§E2.15分離公理

証明.$x\neq y$と仮定する。$X$の T2 性により、$x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。$U$は$x$を含む開集合であるから§E2.11 定義 6.1により$x$の近傍であり、同じ理由により$V$は$y$の近傍である。§E2.13 定義 7.1により、正の整数$N_1$が存在して$n\geq N_1$を満たすすべての正の整数$n$について$x_n\in U$であり、正の整数$N_2$が存在して$n\geq N_2$を満たすすべての正の整数$n$について$x_n\in V$である。$N=\max\{N_1,N_2\}$とおくと$x_N\in U$かつ$x_N\in V$であり、$U\cap V=\emptyset$と両立しない。ゆえに$x=y$である。▨

証明. 必要性を示す。$X$を T1 空間とし、$y\in X$をとる。$x\in X\setminus\{y\}$に対して$x\neq y$であるから、T1 性により$x\in U_x$かつ$y\notin U_x$を満たす開集合$U_x$が存在する。$y\notin U_x$から$U_x\subseteq X\setminus\{y\}$であるので、§E2.11 補題 2.6により$X\setminus\{y\}$は開集合であり、$\{y\}$は閉集合である。

十分性を示す。$X$のすべての一点集合が閉集合であるとし、相異なる$x,y\in X$をとる。$\{y\}$は閉集合であるから$U=X\setminus\{y\}$は開集合であり、$x\neq y$から$x\in U$であって$y\notin U$である。ゆえに$X$は T1 空間である。▨

証明.$S\subseteq X$をとる。§E1.18 補題 2.4により$S$は有限集合である。$S=\emptyset$のとき、§E2.11 定理 2.3 条件 (a)により$S$は閉集合である。$S\neq\emptyset$のときは正の整数$n$を用いて$S=\{s_1,\ldots,s_n\}$と書くことができ、命題 1.5により各$\{s_i\}$は閉集合であるから、§E2.11 定理 2.3 条件 (c)により$S=\bigcup_{i=1}^{n}\{s_i\}$は閉集合である。いずれの場合も$S$は閉集合である。

$T\subseteq X$をとる。$X\setminus T$も$X$の部分集合であるから、いま示したことにより閉集合であり、$T=X\setminus(X\setminus T)$は開集合である。ゆえに$X$のすべての部分集合が開集合であり、$X$の位相は$\mathcal P(X)$、すなわち離散位相である。▨

証明.(1)を示す。$X$を T4 空間、$F$を$X$の閉集合、$x\in X\setminus F$とする。$X$は T1 であるから命題 1.5により$\{x\}$は閉集合であり、$x\notin F$から$\{x\}\cap F=\emptyset$である。$X$の正規性を$\{x\}$と$F$に適用すると、$\{x\}\subseteq U$、$F\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。$x\in U$であるから$X$は正則であり、T1 性と合わせて定義 1.8により$X$は T3 空間である。

(2)を示す。$X$を T3½ 空間、$F$を$X$の閉集合、$x\in X\setminus F$とする。$X$の完全正則性により、$f(x)=0$を満たし$F$のすべての点で値$1$をとる連続写像$f\colon X\to[0,1]$が存在する。$(-\infty,\tfrac12)$と$(\tfrac12,\infty)$は§E2.13 例 2.7の準開基$\mathcal S$に属するから、§E2.13 定理 2.2により$\mathbb R$の開集合である。$[0,\tfrac12)=(-\infty,\tfrac12)\cap[0,1]$と$(\tfrac12,1]=(\tfrac12,\infty)\cap[0,1]$であるから、§E2.12 定義 4.1によりこの二つは$[0,1]$の開集合である。そこで

とおくと、$f$の連続性により$U,V$は$X$の開集合である。$[0,\tfrac12)\cap(\tfrac12,1]=\emptyset$であるから、逆像が共通部分を保つこと（§E1.1 命題 4.4）により$U\cap V=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$である。$f(x)=0\in[0,\tfrac12)$から$x\in U$であり、$F$のすべての点で$f$の値は$1\in(\tfrac12,1]$であるから$F\subseteq V$である。ゆえに$X$は正則であり、T1 性と合わせて$X$は T3 空間である。

(3)を示す。$X$を T3 空間とし、相異なる$x,y\in X$をとる。$X$は T1 であるから命題 1.5により$\{y\}$は閉集合であり、$x\neq y$から$x\notin\{y\}$である。$X$の正則性を$x$と$\{y\}$に適用すると、$x\in U$、$\{y\}\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。$y\in V$であるから、定義 1.2により$X$は T2 空間である。

(4)を示す。$X$を T2 空間とし、相異なる$x,y\in X$をとる。$x\in U$、$y\in V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$をとる。$y\in V$かつ$U\cap V=\emptyset$であるから$y\notin U$である。ゆえに$U$は$x$を含み$y$を含まない開集合であり、$X$は T1 空間である。

(5)を示す。$X$を T1 空間とし、相異なる$x,y\in X$をとる。T1 性により$x$を含み$y$を含まない開集合が存在し、この開集合は$x$と$y$の一方だけを含む。ゆえに$X$は T0 空間である。▨

証明.$X$を継承的正規な位相空間とし、$E,F$を$X$の互いに素な閉集合とする。§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline E=E$かつ$\overline F=F$であるから、$E\cap F=\emptyset$より$\overline E\cap F=\emptyset$かつ$E\cap\overline F=\emptyset$である。したがって定義 1.9により$E$と$F$は分離している。$X$の継承的正規性により、$E\subseteq U$、$F\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす開集合$U,V$が存在する。ゆえに$X$は正規である。

$X$を T5 空間とする。前段落により$X$は正規であり、$X$は T1 でもあるから、定義 1.8により$X$は T4 空間である。▨

証明. 以下、閉包を$X$でとるものを$\overline{\phantom{A}}$で表す。

必要性を示す。$X$を継承的正規とし、$A\subseteq X$をとる。$E,F$を部分空間$A$の互いに素な閉集合とする。§E2.12 命題 4.7 (1)により$E$の$A$における閉包は$\overline E\cap A$であり、$E$は$A$の閉集合であるから$\overline E\cap A=E$である。$F\subseteq A$であるから

である。$E$と$F$を交換した議論により$E\cap\overline F=\emptyset$である。ゆえに$E$と$F$は$X$において分離している。$X$の継承的正規性により、$E\subseteq U$、$F\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$X$の開集合$U,V$が存在する。§E2.12 定義 4.1により$U\cap A$と$V\cap A$は$A$の開集合であり、$E\subseteq U\cap A$、$F\subseteq V\cap A$、$(U\cap A)\cap(V\cap A)\subseteq U\cap V=\emptyset$である。ゆえに$A$は正規である。

十分性を示す。$X$のすべての部分空間が正規であるとし、$A,B\subseteq X$が分離しているとする。

とおく。$\overline A\cap\overline B$は§E2.11 定理 2.3 条件 (b)により閉集合であるから、$G$は$X$の開集合である。$a\in A$が$\overline A\cap\overline B$に属するとすると$a\in A\cap\overline B$となり、$A\cap\overline B=\emptyset$に反する。したがって$A\subseteq G$であり、$A$と$B$を交換した議論により$B\subseteq G$である。

§E2.12 命題 4.7 (1)により、$A$の$G$における閉包は$\overline A\cap G$、$B$の$G$における閉包は$\overline B\cap G$であり、いずれも$G$の閉集合である。$G$の定義により

である。部分空間$G$は正規であるから、$\overline A\cap G\subseteq U$、$\overline B\cap G\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$G$の開集合$U,V$が存在する。§E2.12 定義 4.1により$U=W\cap G$を満たす$X$の開集合$W$が存在し、$G$も$X$の開集合であるから、§E2.11 定義 1.1 条件 (c)により$U$は$X$の開集合である。$V$についても同様に$X$の開集合である。§E2.11 命題 2.5 (1)により$A\subseteq\overline A$であるから$A\subseteq\overline A\cap G\subseteq U$であり、同様に$B\subseteq V$である。ゆえに$X$は継承的正規である。▨

証明. 相異なる$x,y\in X$をとる。$(X,\mathcal{O}_1)$が T0・T1・T2 のいずれかを満たすとき、定義 1.1または定義 1.2により、$x$と$y$を分離する$\mathcal{O}_1$の開集合(の組)が存在する。$\mathcal{O}_1\subset\mathcal{O}_2$であるから、これらは$\mathcal{O}_2$の開集合でもあり、同じ分離を与える。ゆえに$(X,\mathcal{O}_2)$も同じ分離公理を満たす。▨

証明.(1)を示す。相異なる$x,y\in A$をとる。$x$と$y$は$X$の相異なる二点であるから、$X$の T0 性により$x$と$y$の一方だけを含む$X$の開集合$U$が存在する。§E2.12 定義 4.1により$U\cap A$は$A$の開集合であり、$x\in A$かつ$y\in A$であるから、$U\cap A$は$x$と$y$の一方だけを含む。ゆえに$A$は T0 空間である。

(2)と(3)は、$X$の開集合と$A$との共通部分をとる同じ議論により示すことができるので演習とする（問題 6.2）。

(4)を示す。$C$を$A$の閉集合とし、$x\in A\setminus C$をとる。§E2.12 命題 4.6により$C=F\cap A$を満たす$X$の閉集合$F$が存在する。$x\in A$かつ$x\notin C$であるから$x\notin F$である。$X$の正則性を$x$と$F$に適用すると、$x\in U$、$F\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$X$の開集合$U,V$が存在する。$U\cap A$と$V\cap A$は$A$の開集合であり、$x\in U\cap A$、$C=F\cap A\subseteq V\cap A$、$(U\cap A)\cap(V\cap A)\subseteq U\cap V=\emptyset$である。ゆえに$A$は正則である。

(5)を示す。$C$を$A$の閉集合とし、$x\in A\setminus C$をとる。前段落と同じく、$C=F\cap A$を満たす$X$の閉集合$F$をとると$x\notin F$である。$X$の完全正則性により、$f(x)=0$を満たし$F$のすべての点で値$1$をとる連続写像$f\colon X\to[0,1]$が存在する。包含写像$\iota_A\colon A\to X$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$f\circ\iota_A\colon A\to[0,1]$は連続である。$f\circ\iota_A$は$x$で値$0$をとり、$C\subseteq F$のすべての点で値$1$をとる。ゆえに$A$は完全正則である。▨

証明.$X$を T3 空間とし、$A\subseteq X$をとる。$X$は正則であるから定理 2.1 (4)により$A$は正則であり、$X$は T1 であるから定理 2.1 (2)により$A$は T1 である。ゆえに定義 1.8により$A$は T3 空間である。

$X$を T3½ 空間とし、$A\subseteq X$をとる。$X$は完全正則であるから定理 2.1 (5)により$A$は完全正則であり、$X$は T1 であるから定理 2.1 (2)により$A$は T1 である。ゆえに定義 1.8により$A$は T3½ 空間である。▨

証明.$X$を T5 空間とし、$A\subseteq X$に部分空間位相を入れる。$B\subseteq A$をとると、§E2.12 系 4.5により$B$が$A$から受ける部分空間位相と$X$から受ける部分空間位相は一致する。$X$は継承的正規であるから命題 1.14により$B$は正規である。$B$は$A$の任意の部分集合であったから、$A$のすべての部分空間は正規であり、同じ命題により$A$は継承的正規である。$X$は T1 であるから定理 2.1 (2)により$A$は T1 であり、定義 1.10により$A$は T5 空間である。▨

証明. 必要性を示す。$X$を正則な位相空間とし、$x\in X$と$x$を含む開集合$W$をとる。$F=X\setminus W$は閉集合であり、$x\in W$から$x\notin F$である。正則性により、$x\in V$、$F\subseteq V'$、$V\cap V'=\emptyset$を満たす開集合$V,V'$が存在する。$V\cap V'=\emptyset$から$V\subseteq X\setminus V'$であり、$X\setminus V'$は閉集合であるから、閉包が集合を含む最小の閉集合であること（§E2.11 命題 2.5 (1)）により$\overline V\subseteq X\setminus V'$である。$F\subseteq V'$から$X\setminus V'\subseteq X\setminus F=W$であるので、$\overline V\subseteq W$を得る。

十分性を示す。条件が成り立つとし、$X$の閉集合$F$と$x\in X\setminus F$をとる。$W=X\setminus F$は$x$を含む開集合であるから、$x\in V$かつ$\overline V\subseteq W$を満たす開集合$V$が存在する。$V'=X\setminus\overline V$は開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (1)により$V\subseteq\overline V$であるから$V\cap V'=\emptyset$である。また$\overline V\subseteq W=X\setminus F$から$F\subseteq X\setminus\overline V=V'$である。ゆえに$X$は正則である。▨

証明.$\mathcal S=\{(a,\infty)\mid a\in\mathbb R\}\cup\{(-\infty,b)\mid b\in\mathbb R\}$とおく。§E2.13 例 2.7により$\mathcal S$は$\mathbb R$の通常の位相の準開基であり、§E2.13 定理 2.2により$\mathcal S$の各元は$\mathbb R$の開集合である。したがって§E2.13 命題 2.5 (2)により、$\mathcal S$の各元$S$について$f^{-1}(S)$が$Z$の開集合であることを示せば足りる。

$a\in\mathbb R$とする。有限個の実数の最大値が$a$より大きいことと、そのうちの少なくとも一つが$a$より大きいことは同値であるから、

である。各$h_i$は連続であるから、右辺は$Z$の開集合からなる集合族の和集合であり、§E2.11 定義 1.1 条件 (b)により$Z$の開集合である。

$b\in\mathbb R$とする。有限個の実数の最大値が$b$より小さいことと、そのすべてが$b$より小さいことは同値であるから、

である。右辺は$Z$の有限個の開集合の共通部分であるから、§E2.11 定義 1.1 条件 (c)により$Z$の開集合である。ゆえに$f$は連続である。▨

証明.$\pi_\mu\colon X\to X_\mu$を射影とし、$z\in X$に対して$z_\mu=\pi_\mu(z)$と書く。§E2.14 命題 1.2 (1)により各$\pi_\mu$は連続である。

(1)を示す。相異なる$x,y\in X$をとる。$x\neq y$であるから$x_\mu\neq y_\mu$を満たす$\mu\in\Lambda$が存在する。$X_\mu$の T0 性により$x_\mu$と$y_\mu$の一方だけを含む$X_\mu$の開集合$U$が存在する。$\pi_\mu$は連続であるから$\pi_\mu^{-1}(U)$は$X$の開集合であり、$x\in\pi_\mu^{-1}(U)$と$x_\mu\in U$は同値、$y\in\pi_\mu^{-1}(U)$と$y_\mu\in U$は同値である。したがって$\pi_\mu^{-1}(U)$は$x$と$y$の一方だけを含む。ゆえに$X$は T0 空間である。

(2)を示す。相異なる$x,y\in X$をとり、$x_\mu\neq y_\mu$を満たす$\mu\in\Lambda$をとる。$X_\mu$の T1 性により$x_\mu\in U$かつ$y_\mu\notin U$を満たす$X_\mu$の開集合$U$が存在する。$\pi_\mu^{-1}(U)$は$X$の開集合であり、$x\in\pi_\mu^{-1}(U)$かつ$y\notin\pi_\mu^{-1}(U)$である。ゆえに$X$は T1 空間である。

(3)を示す。相異なる$x,y\in X$をとり、$x_\mu\neq y_\mu$を満たす$\mu\in\Lambda$をとる。$X_\mu$の T2 性により$x_\mu\in U$、$y_\mu\in U'$、$U\cap U'=\emptyset$を満たす$X_\mu$の開集合$U,U'$が存在する。$\pi_\mu^{-1}(U)$と$\pi_\mu^{-1}(U')$は$X$の開集合であり、$x\in\pi_\mu^{-1}(U)$、$y\in\pi_\mu^{-1}(U')$である。§E1.1 命題 4.4により$\pi_\mu^{-1}(U)\cap\pi_\mu^{-1}(U')=\pi_\mu^{-1}(U\cap U')=\emptyset$である。ゆえに$X$は T2 空間である。

(4)を示す。$x\in X$と$x$を含む$X$の開集合$W$をとる。§E2.14 命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、$\Lambda$の有限部分集合$M$と各$\lambda\in M$に対する$X_\lambda$の開集合$U_\lambda$が存在して、

が$x\in B\subseteq W$を満たす。ここで§E2.14 命題 1.3で用いた約束に従い、$M=\emptyset$のときこの共通部分は$X$を表す。各$\lambda\in M$について$x_\lambda\in U_\lambda$であり、$X_\lambda$は正則であるから、補題 2.6により$x_\lambda\in V_\lambda$かつ$\overline{V_\lambda}\subseteq U_\lambda$を満たす$X_\lambda$の開集合$V_\lambda$が存在する。同じ約束のもとで

とおくと、$M=\emptyset$のときは$V=X$であって§E2.11 定義 1.1 条件 (a)により$X$の開集合であり、$M\neq\emptyset$のときは$V$は$X$の有限個の開集合の共通部分であるから§E2.11 定義 1.1 条件 (c)により$X$の開集合である。いずれの場合も$x\in V$である。各$\lambda\in M$について、$\pi_\lambda$は連続であり$\overline{V_\lambda}$は$X_\lambda$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6 (2)により$\pi_\lambda^{-1}(\overline{V_\lambda})$は$X$の閉集合である。$V\subseteq\pi_\lambda^{-1}(V_\lambda)\subseteq\pi_\lambda^{-1}(\overline{V_\lambda})$であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\overline V\subseteq\pi_\lambda^{-1}(\overline{V_\lambda})$である。$\lambda\in M$は任意であるから

である。ゆえに補題 2.6により$X$は正則である。

(5)を示す。$F$を$X$の閉集合とし、$x\in X\setminus F$をとる。$W=X\setminus F$は$x$を含む開集合であるから、§E2.14 命題 1.3と§E2.13 命題 1.2により、$\Lambda$の有限部分集合$M$と各$\lambda\in M$に対する$X_\lambda$の開集合$U_\lambda$が存在して、$B=\bigcap_{\lambda\in M}\pi_\lambda^{-1}(U_\lambda)$が$x\in B\subseteq W$を満たす。

$M=\emptyset$の場合、$B=X$であり$F\subseteq X\setminus B=\emptyset$であるから、値$0$をとる定値写像$f\colon X\to[0,1]$が完全正則性の条件を満たす。実際、定値写像による$[0,1]$の開集合の逆像は、その開集合が$0$を含むならば$X$、含まないならば$\emptyset$であり、いずれも$X$の開集合であるから、この定値写像は連続である。

$M\neq\emptyset$の場合を考える。各$\lambda\in M$について$x_\lambda\in U_\lambda$であり、$X_\lambda\setminus U_\lambda$は$X_\lambda$の閉集合で$x_\lambda$を含まない。$X_\lambda$の完全正則性により、$g_\lambda(x_\lambda)=0$を満たし$X_\lambda\setminus U_\lambda$のすべての点で値$1$をとる連続写像$g_\lambda\colon X_\lambda\to[0,1]$が存在する。§E2.12 命題 1.10により$g_\lambda\circ\pi_\lambda\colon X\to[0,1]$は連続であり、§E2.12 定理 4.4 (3)により$X$から$\mathbb R$への写像としても連続である。$M$の元を$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$と並べ、

で$f\colon X\to\mathbb R$を定めると、補題 2.7により$f$は連続である。各$i$について$g_{\lambda_i}(x_{\lambda_i})=0$であるから$f(x)=0$である。$z\in F$とすると$z\notin B$であるから、ある$i$について$z_{\lambda_i}\notin U_{\lambda_i}$であり、$g_{\lambda_i}(z_{\lambda_i})=1$である。$f$の値は$[0,1]$に属するから$f(z)=1$であり、§E2.12 定理 4.4 (3)により$f$は$X$から$[0,1]$への連続写像でもある。

いずれの場合も条件を満たす連続写像を得たから、$X$は完全正則である。▨

証明. すべての$X_\lambda$が T3 空間であるとする。各$X_\lambda$は正則であるから定理 2.8 (4)により$X$は正則であり、各$X_\lambda$は T1 であるから定理 2.8 (2)により$X$は T1 である。ゆえに定義 1.8により$X$は T3 空間である。

すべての$X_\lambda$が T3½ 空間であるとする。各$X_\lambda$は完全正則であるから定理 2.8 (5)により$X$は完全正則であり、各$X_\lambda$は T1 であるから定理 2.8 (2)により$X$は T1 である。ゆえに定義 1.8により$X$は T3½ 空間である。▨

証明.§E2.10 定義 5.1により$0$は集合$\{d(x,a)\mid a\in A\}$の下界であるから、下限が最大の下界であること（§D1.4 定義 1.3）により$d(x,A)\ge0$である。$A$は閉集合であるから§E2.11 命題 2.5 (2)により$\overline A=A$であり、$x\notin A$から$x\notin\overline A$である。§E2.11 命題 7.3により、この閉包は距離空間$(X,d)$について定めた閉包と一致するから、§E2.10 命題 5.2 (2)により$d(x,A)\neq0$であり、$d(x,A)>0$を得る。▨

証明.(1)を示す。相異なる$x,y\in X$をとる。§E2.1 定義 1.1 条件 (a)と§E2.1 命題 1.2により$d(x,y)>0$であるから、$r=d(x,y)/2$とおくと$r>0$である。$z\in B(x,r)\cap B(y,r)$が存在すると仮定すると、三角不等式と§E2.1 定義 1.1 条件 (b)により

となり、実数$d(x,y)$が自分自身より小さいことになって矛盾である。したがって$B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$である。§E2.2 補題 1.2により$B(x,r)$と$B(y,r)$は開集合であり、§E2.1 注意 1.5により$x\in B(x,r)$かつ$y\in B(y,r)$である。ゆえに定義 1.2により$X$は T2 空間である。

(2)を示す。まず正規性を示す。$E,F$を$X$の互いに素な閉集合とする。$E=\emptyset$のときは$U=\emptyset$、$V=X$とおけばよく、$F=\emptyset$のときは$U=X$、$V=\emptyset$とおけばよい。以下$E\neq\emptyset$かつ$F\neq\emptyset$とする。各$p\in E$について$p\notin F$であり、$F$は空でない閉集合であるから補題 3.1により$d(p,F)>0$である。同様に各$q\in F$について$d(q,E)>0$である。