§E2.31Arzelà–Ascoli の定理

証明.$\mathcal{F}$が定義 1.2で定めた距離による条件を満たすとし、$\varepsilon>0$に対して$\delta>0$をその条件が与えるものとする。§E2.2 補題 1.2により$B(x,\delta)$は$x$を含む開集合であり、$x'\in B(x,\delta)$は$d_X(x,x')<\delta$を満たすから、すべての$f\in\mathcal{F}$について$d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr)<\varepsilon$である。

逆に、$\mathcal{F}$が定義 1.1で定めた開近傍による条件を点$x$で満たすとし、$\varepsilon>0$をとる。$x$を含む開集合$U$で、すべての$f\in\mathcal{F}$と$x'\in U$について$d_Y\bigl(f(x),f(x')\bigr)<\varepsilon$を満たすものが存在する。§E2.2 定義 1.1により$B(x,\delta)\subseteq U$を満たす$\delta>0$が存在し、$d_X(x,x')<\delta$を満たす$x'\in X$は$U$に属する。よって、この$\delta$は定義 1.2で定めた距離による条件を満たす値である。

族についての二つの条件は、いずれも$X$のすべての点における条件であるから、点ごとの同値から従う。▨

証明.$f\in\mathcal{F}$と$Y$の開集合$V$をとる。$x\in f^{-1}(V)$とする。$f(x)\in V$と§E2.2 定義 1.1により、$B\bigl(f(x),\varepsilon\bigr)\subseteq V$を満たす$\varepsilon>0$が存在する。定義 1.1により、$x$を含む開集合$U$で、すべての$g\in\mathcal{F}$と$x'\in U$について$d_Y\bigl(g(x),g(x')\bigr)<\varepsilon$を満たすものが存在する。$g=f$とすると$f(U)\subseteq B\bigl(f(x),\varepsilon\bigr)\subseteq V$であるから、$x\in U\subseteq f^{-1}(V)$である。$x$は任意であるから、§E2.11 補題 2.6により$f^{-1}(V)$は開集合であり、§E2.12 定義 1.1により$f$は連続である。▨

証明. 2 を仮定し、$x\in X$と$\varepsilon>0$をとる。定義 1.4で定めた条件が与える$\delta>0$は、固定した$x$において定義 1.2で定めた距離による条件を満たす。$x$は任意であるから 1 が成り立つ。

1 を仮定する。$X=\emptyset$ならば、任意の$\delta>0$が 2 の条件を満たす。以下では$X\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$をとる。集合

を定める。同程度連続性により、各$a\in X$はある$(a,r)\in\Lambda$に対して$B(a,r)$に属する。§E2.2 補題 1.2により各$B(a,r)$は開集合であるから、$\{B(a,r)\}_{(a,r)\in\Lambda}$は$X$の開被覆である。

§E2.19 定義 2.1により、有限個の$(a_i,r_i)\in\Lambda$、$1\le i\le n$で

を満たすものが存在する。$\delta=\min_{1\le i\le n}r_i>0$とおく。$f\in\mathcal{F}$と$x,x'\in X$が$d_X(x,x')<\delta$を満たすとし、$x\in B(a_i,r_i)$となる$i$をとる。三角不等式から

である。$(a_i,r_i)\in\Lambda$であるから、

である。よって 2 が成り立つ。▨

証明.$A=\emptyset$ならば$\varphi(A)=\emptyset$は全有界である。$A\ne\emptyset$とし、$\varepsilon>0$をとる。§E2.8 定義 1.2により、有限個の$a_1,\ldots,a_m\in A$で

を満たすものが存在する。$a\in A$と$a\in B(a_i,\varepsilon/L)$を満たす$i$に対して、

である。したがって、$\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_m)$は$\varphi(A)$の有限$\varepsilon$-網である。▨

証明.$S$が全有界ならば、§E2.8 命題 1.3により$S$は有界である。逆に、$S$が有界であるとする。$S=\emptyset$ならば$S$は全有界である。$S\ne\emptyset$ならば、有界性が与える$a\in\mathbb{R}$と$R>0$に対して$M=|a|+R$とおくと、$S\subseteq B(a,R)\subseteq[-M,M]$である。$\varepsilon>0$をとり、$2M/m<\varepsilon$を満たす正の整数$m$をとる。$0\le i\le m-1$に対して

と定めると、$c_i\in[-M,M]$である。$x\in[-M,M]$に対して

を満たす$i\in\{0,1,\ldots,m-1\}$をとることができ、このとき$|x-c_i|\le M/m<\varepsilon$である。したがって、有限個の点$c_0,\ldots,c_{m-1}$は$[-M,M]$の$\varepsilon$-網であり、§E2.8 定義 1.2により$[-M,M]$は全有界である。よって、§E2.8 命題 3.1により$S$も全有界である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば$C(X,Y)$は一点集合であり、二条件はいずれも成り立つ。$\mathcal{F}=\emptyset$の場合にも、二条件はいずれも空虚に成り立つ。以下では$X\ne\emptyset$かつ$\mathcal{F}\ne\emptyset$とする。

1 を仮定し、$x\in X$を固定する。評価写像$e_x:C(X,Y)\to Y$、$e_x(f)=f(x)$は

を満たす。補題 2.2により$e_x(\mathcal{F})=\mathcal{F}(x)$は全有界である。$x$は任意であるから、$\mathcal{F}$は各点で全有界である。

$x_0\in X$と$\varepsilon>0$をとる。全有界性により、有限個の$f_1,\ldots,f_m\in\mathcal{F}$で

を満たすものが存在する。各$i$について

とおく。§E2.2 補題 1.2により$B(f_i(x_0),\varepsilon/3)$は$Y$の開集合であり、$f_i$は連続であるから§E2.12 定義 1.1により$V_i$は$X$の開集合であって、$x_0\in V_i$である。$U=\bigcap_{i=1}^{m}V_i$とおくと、§E2.11 定義 1.1により$U$は開集合であり$x_0$を含む。$f\in\mathcal{F}$に対して$d_\infty(f,f_i)<\varepsilon/3$となる$i$をとると、$x'\in U$のとき

である。定義 1.1により$\mathcal{F}$は点$x_0$において同程度連続である。$x_0$は任意であるから、$\mathcal{F}$は同程度連続である。

2 を仮定し、$\varepsilon>0$をとる。集合

を定める。定義 1.1により、各$a\in X$はある$(a,U)\in\Lambda$の$U$に属する。したがって$\{U\mid\exists a,\ (a,U)\in\Lambda\}$は$X$の開被覆であり、§E2.19 定義 2.1により有限個の$(a_1,U_1),\ldots,(a_n,U_n)\in\Lambda$で

を満たすものが存在する。

各$\mathcal{F}(a_i)$は全有界であるから、有限個の点$y_{i,1},\ldots,y_{i,m_i}\in\mathcal{F}(a_i)$で

を満たすものをとる。$f\in\mathcal{F}$と$i$に対して、(3) を満たす添字の最小値を$\sigma_i(f)$とし、

と定める。$\sigma(\mathcal{F})$は有限集合$\prod_{i=1}^{n}\{1,\ldots,m_i\}$の部分集合である。各$\alpha\in\sigma(\mathcal{F})$について$\sigma(g_\alpha)=\alpha$となる$g_\alpha\in\mathcal{F}$を一つとる。

$f\in\mathcal{F}$とし、$\alpha=\sigma(f)$、$g=g_\alpha$とおく。各$i$について、(3) と三角不等式から

を得る。$x\in X$に対して、(2) により$x\in U_i$となる$i$をとる。(1) の条件を$(a_i,U_i)$と$f$および$g$へ適用し、(4) を用いると、

である。§E2.30 命題 2.4により$d_\infty(f,g)$を与える最大点が存在し、その点にもこの評価を適用することができるから、$d_\infty(f,g)<\varepsilon$である。したがって、有限集合$\{g_\alpha\mid\alpha\in\sigma(\mathcal{F})\}$は$\mathcal{F}$の$\varepsilon$-網であり、1 が成り立つ。▨

証明.$S$が全有界であるとする。§E2.8 命題 3.2により$\overline{S}$は全有界である。$\overline{S}$は§E2.11 命題 2.5 (1)により完備距離空間$Z$の閉部分集合であるから、§E2.5 定理 3.2により完備であり、§E2.9 系 3.3によりコンパクトである。したがって$S$は相対コンパクトである。

$S$が相対コンパクトであるとする。$\overline{S}$はコンパクトであるから、§E2.9 系 3.3により全有界である。$S\subseteq\overline{S}$であるから、§E2.8 命題 3.1により$S$も全有界である。▨

証明.補題 4.2を完備距離空間$Y$の各部分集合$\mathcal{F}(x)$へ適用すると、条件 3 は「$\mathcal{F}$が同程度連続であり、かつ各点で全有界である」ことと同値である。したがって、定理 3.1により 2 と 3 は同値である。

§E2.30 定理 2.10により$(C(X,Y),d_\infty)$は完備である。この空間で補題 4.2を$\mathcal{F}$へ適用すると、1 と 2 が同値である。▨

証明.定理 3.1により$\mathcal{F}$は全有界である。§E2.8 定理 2.1により、$(f_n)$は一様距離に関する Cauchy 列である部分列$(f_{n_k})$をもつ。§E2.30 定理 2.10により$C(X,Y)$は完備であるから、ある$f\in C(X,Y)$に対して$d_\infty(f_{n_k},f)\to0$となる。定義 4.3により、$(f_{n_k})$は$f$へ一様収束する。▨

証明.$j$は等長写像であるから 1-Lipschitz であり、§E2.4 命題 3.4により連続である。§E2.12 注意 1.2により、この連続性は$d_Y$と$\widehat d$が定める位相に関する連続性に一致する。したがって、§E2.12 命題 1.10により$\Phi(f)=j\circ f$は連続である。$X=\emptyset$の場合には二つの一様距離はいずれも恒等的に$0$である。$X\ne\emptyset$の場合には、$f,g\in C(X,Y)$に対して

である。よって 1 が成り立つ。

$\widehat Y$は完備であるから、§E2.30 定理 2.10により$C(X,\widehat Y)$は完備である。$\widehat{\mathcal{F}}$は§E2.11 命題 2.5 (1)により閉部分集合であるから、§E2.5 定理 3.2により完備である。1 により$\Phi|_{\mathcal{F}}$は等長写像であり、$\widehat{\mathcal{F}}$の定義により像$\Phi(\mathcal{F})$は$\widehat{\mathcal{F}}$で稠密である。したがって、§E2.6 定義 1.4の三条件が成り立ち、2 を得る。

2 と§E2.8 命題 3.3により、$\mathcal{F}$が全有界であることと$\widehat{\mathcal{F}}$が全有界であることは同値である。$\widehat{\mathcal{F}}$は完備であるから、§E2.9 系 3.3により後者は$\widehat{\mathcal{F}}$のコンパクト性と同値である。さらに、定理 3.1により$\mathcal{F}$の全有界性は同程度連続性と各点における全有界性に同値である。以上から 3 が従う。

3 を仮定する。§E2.8 定理 2.1により、任意の点列$(f_n)$は$\mathcal{F}$における Cauchy 部分列$(f_{n_k})$をもつ。1 により$(\Phi(f_{n_k}))$も Cauchy 列であり、$\widehat{\mathcal{F}}$の完備性と像の包含から、ある$g\in\widehat{\mathcal{F}}$へ収束する。定義 4.3により、この収束は一様収束である。▨

証明.補題 2.3により、各$\mathcal{F}(x)$の有界性と全有界性は同値である。したがって、定理 3.1により 2 と 3 は同値である。§E2.5 命題 4.2により$\mathbb{R}$は完備であるから、系 4.4により 1 と 2 は同値である。

$\mathcal{F}$が一様有界ならば、ある$M\ge0$に対して$\mathcal{F}(x)\subseteq[-M,M]$がすべての$x\in X$について成り立つ。したがって、同程度連続性と合わせて系 4.5の仮定を満たし、任意の点列は一様収束する部分列をもつ。▨

証明.$\varepsilon>0$に対して$\delta=\varepsilon/L$とおく。$d_X(x,x')<\delta$ならば、すべての$f\in\mathcal{F}$について

である。したがって 1 が成り立つ。

$\mathcal{L}$の各元は 1-Lipschitz であるから、1 により$\mathcal{L}$は一様に同程度連続であり、定理 1.6により距離について同程度連続である。したがって、命題 1.3により$\mathcal{L}$は開近傍についても同程度連続である。§E2.4 例 3.5により、写像$x\mapsto d_X(x,x_0)$は$|d_X(x,x_0)-d_X(x',x_0)|\le d_X(x,x')$を満たして連続であり、§E2.12 注意 1.2により、この連続性は$d_X$と$\mathbb{R}$の通常の距離が定める位相に関する連続性に一致する。したがって、§E2.19 定理 4.4により、この写像は空でないコンパクト空間$X$上で最大値$R$をとる。$f\in\mathcal{L}$と$x\in X$に対して

であるから、$\mathcal{L}$は一様有界である。系 5.2により$\overline{\mathcal{L}}$はコンパクトである。

$f\in C(X,\mathbb{R})\setminus\mathcal{L}$をとる。$f(x_0)\ne c$ならば、$\eta=|f(x_0)-c|/2>0$とおくと、$d_\infty(f,g)<\eta$を満たすすべての$g$は$g(x_0)\ne c$を満たす。ある$x_1,x_2\in X$に対して$|f(x_1)-f(x_2)|>d_X(x_1,x_2)$ならば、

とおく。$d_\infty(f,g)<\eta$ならば

したがって$g\notin\mathcal{L}$である。いずれの場合も$f$は$C(X,\mathbb{R})\setminus\mathcal{L}$の内点であるから、$\mathcal{L}$は閉集合である。よって$\mathcal{L}=\overline{\mathcal{L}}$はコンパクトである。▨