距離空間の開集合・閉集合 | 位相空間論 I

1 開集合

定義 1.1. 距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $U\subseteq X$ が開集合 (open set) であるとは、§E2.1 定義 1.4 $B(x,\varepsilon)$ を用いて、任意の $x\in U$ に対して $B(x,\varepsilon)\subseteq U$ を満たす実数 $\varepsilon>0$ が存在することをいう。

補題 1.2. 距離空間 $(X,d)$ の $a\in X$ と $r>0$ に対して、開球 $B(a,r)$ は開集合である。

証明. $x\in B(a,r)$ とすると $r-d(a,x)>0$ である。 $\varepsilon=r-d(a,x)$ とおく。 $y\in B(x,\varepsilon)$ ならば $d(a,y)\leq d(a,x)+d(x,y)<r$ であるから、 $B(x,\varepsilon)\subseteq B(a,r)$ となる。▨

定理 1.3. 距離空間 $(X,d)$ では、空集合と $X$ は開集合であり、任意個の開集合の和集合と有限個の開集合の共通部分は開集合である。

証明. 空集合についての条件は空虚に成り立ち、 $X$ は任意の点を中心とする開球を含む。§E1.2 定義 2.1による開集合族 $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ の和集合に属する点 $x$ はある $U_{\lambda_0}$ に属するので、 $B(x,\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}\subseteq\bigcup_\lambda U_\lambda$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在する。有限個の開集合 $U_1,\ldots,U_n$ の共通部分に属する $x$ について $B(x,\varepsilon_i)\subseteq U_i$ を満たす $\varepsilon_i>0$ を選び、 $\varepsilon=\min_i\varepsilon_i$ とおけば $B(x,\varepsilon)\subseteq\bigcap_iU_i$ である。▨

例 1.4. $\mathbb{R}$ の標準距離で $U_n=(-1/n,1/n)$ とおくと、補題 1.2により各 $U_n$ は開集合である。 $x\ne0$ に対して、「実数の連続性」の§D1.4 系 2.2により $1/n<|x|$ を満たす $n\geq1$ が存在し、この $n$ について $x\notin U_n$ である。したがって $\bigcap_{n\geq1}U_n=\{0\}$ である。この共通部分は開集合でない。任意の $\varepsilon>0$ に対して $\varepsilon/2\in B(0,\varepsilon)$ かつ $\varepsilon/2\notin\{0\}$ であるからである。

2 閉集合、内部、閉包、境界

定義 2.1. 距離空間 $(X,d)$ 、部分集合 $A\subseteq X$ 、点 $x\in X$ を固定する。

$X\setminus A$ が開集合であるとき、 $A$ を閉集合 (closed set) という。
$x\in U\subseteq V$ を満たす開集合 $U$ が存在するとき、 $V$ を $x$ の近傍 (neighborhood) という。 $V$ 自身が開集合ならば $V$ を開近傍 (open neighborhood) という。
$A$ に含まれる開集合すべての和集合を $A$ の内部 (interior) といい、 $\tpint{A}$ と書く。
$A$ を含む閉集合すべての共通部分を $A$ の閉包 (closure) といい、 $\overline A$ と書く。
$\partial A=\overline A\setminus\tpint{A}$ を $A$ の境界 (boundary) という。

命題 2.2. 空集合と $X$ は閉集合であり、空でない任意個の閉集合の共通部分と有限個の閉集合の和集合は閉集合である。

証明. 補集合をとると、空集合と $X$ の場合は開集合の最初の公理に帰着する。空でない閉集合族 $(F_\lambda)$ について $X\setminus\bigcap_\lambda F_\lambda=\bigcup_\lambda(X\setminus F_\lambda)$ であり、右辺は開集合である。有限個の閉集合についても、 $X\setminus\bigcup_{i=1}^nF_i=\bigcap_{i=1}^n(X\setminus F_i)$ と有限共通部分の開性を用いればよい。▨

命題 2.3. $\tpint{A}$ は $A$ に含まれる最大の開集合であり、 $\overline A$ は $A$ を含む最小の閉集合である。したがって、 $A$ が開集合であることと $A=\tpint{A}$ は同値であり、 $A$ が閉集合であることと $A=\overline A$ は同値である。

証明. $\tpint{A}$ は $A$ に含まれる開集合の和集合であるから開集合であり $A$ に含まれる。その族の各元は $\tpint{A}$ に含まれる。 $\overline A$ は $A$ を含む閉集合の共通部分であるから閉集合であり $A$ を含む。その族の各元は $\overline A$ を含む。二つの同値は、それぞれ $A$ 自身が対応する族の元となることから従う。▨

定義 2.4. 距離空間 $(X,d)$ の $a\in X$ と $r>0$ に対し、

\overline B(a,r)=\{x\in X\mid d(a,x)\leq r\}

を、 $a$ を中心とする半径 $r$ の閉球 (closed ball) という。

補題 2.5. $\overline B(a,r)$ は閉集合である。また $B(a,r)\subseteq\overline B(a,r)$ であり、 $0<s<r$ ならば $\overline B(a,s)\subseteq B(a,r)$ である。

証明. 二つの包含は不等式 $d(a,x)<r\Rightarrow d(a,x)\leq r$ と $d(a,x)\leq s<r$ から従う。 $y\notin\overline B(a,r)$ とし、 $\varepsilon=d(a,y)-r>0$ とおく。 $z\in B(y,\varepsilon)$ ならば逆三角不等式により $d(a,z)\geq d(a,y)-d(y,z)>r$ である。よって補集合は開集合であり、閉球は閉集合である。▨

命題 2.6. $x\in\tpint{A}$ であることと、 $B(x,\varepsilon)\subseteq A$ を満たす $\varepsilon>0$ が存在することは同値である。また、 $x\in\overline A$ であることと、任意の $\varepsilon>0$ に対して $B(x,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset$ が成り立つことは同値である。

証明. 第一の同値は、内部が最大の開集合であることと開集合の定義から従う。第二の同値は対偶で示す。ある開球 $B(x,\varepsilon)$ が $A$ と交わらなければ、閉集合 $X\setminus B(x,\varepsilon)$ は $A$ を含み、 $x\notin\overline A$ となる。逆に $x\notin\overline A$ ならば、開集合 $X\setminus\overline A$ が $x$ を含むので、そこに含まれる開球は $A$ と交わらない。▨

3 双対性と基本法則

命題 3.1. 任意の $A\subseteq X$ について

X\setminus\tpint{A}=\overline{X\setminus A},\qquad X\setminus\overline A=\tpint{X\setminus A}

が成り立つ。

証明. $x\notin\tpint{A}$ は、任意の $\varepsilon>0$ に対して $B(x,\varepsilon)$ が $A$ に含まれないことと同値である。各開球が $X$ に含まれることから、これは任意の $\varepsilon>0$ に対して $B(x,\varepsilon)\cap(X\setminus A)\ne\emptyset$ と同値である。前の命題により第一の等式を得る。第一の等式を $X\setminus A$ に適用して補集合をとると第二の等式を得る。▨

命題 3.2. 任意の $A\subseteq X$ について

\partial A=\overline A\cap\overline{X\setminus A}=\partial(X\setminus A)

であり、 $\partial A$ は閉集合である。さらに、 $A$ が開集合であることと $A\cap\partial A=\emptyset$ は同値であり、 $A$ が閉集合であることと $\partial A\subseteq A$ は同値である。

証明. 双対性から $\partial A=\overline A\cap(X\setminus\tpint{A})=\overline A\cap\overline{X\setminus A}$ を得る。右辺は二つの閉集合の共通部分であり、 $A$ と補集合を交換しても不変である。 $A$ が開なら $A=\tpint{A}$ なので境界と交わらない。逆に $A\cap\partial A=\emptyset$ なら、 $A\subseteq\overline A$ と境界の定義から $A\subseteq\tpint{A}$ を得て $A$ は開である。 $\tpint{A}\subseteq A\subseteq\overline A$ であるから

\tpint{A}\cup\partial A=\tpint{A}\cup(\overline A\setminus\tpint{A})=\overline A

が成り立つ。 $A$ が閉なら $A=\overline A$ であるから $\partial A\subseteq\overline A=A$ である。逆に $\partial A\subseteq A$ なら、この等式と $\tpint{A}\subseteq A$ から $\overline A\subseteq A$ となり、 $A\subseteq\overline A$ と合わせて $A=\overline A$ を得るので $A$ は閉である。▨

公式 3.3 (閉包をとる操作の基本公式). $A,B\subseteq X$ に対して、 $\overline\emptyset=\emptyset$ 、 $A\subseteq\overline A$ 、 $\overline{\overline A}=\overline A$ 、 $A\subseteq B\Rightarrow\overline A\subseteq\overline B$ 、 $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$ 、および $\overline{A\cap B}\subseteq\overline A\cap\overline B$ が成り立つ。

証明. 最初の三式は極値性から従う。単調性は、 $\overline B$ が $A$ を含む閉集合であることから従う。二つの包含を単調性と有限和の閉性に適用すると $\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$ を得る。最後の包含は $A\cap B\subseteq A,B$ に単調性を適用して得る。▨

例 3.4. $X=\mathbb R$ 、 $A=\mathbb Q$ 、 $B=\mathbb R\setminus\mathbb Q$ とする。 $A\cap B=\emptyset$ である。一方、有理数の稠密性は「実数の連続性」の§D1.4 系 2.2、無理数の稠密性は「実数の連続性」の§D1.4 補題 2.3が与える。 $x\in\mathbb R$ と $\varepsilon>0$ に対して $B(x,\varepsilon)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ は有理数と無理数の双方を含むから、命題 2.6により $\overline A=\overline B=\mathbb R$ である。したがって $\overline{A\cap B}\subsetneq\overline A\cap\overline B$ である。

公式 3.5 (内部をとる操作の基本公式). $A,B\subseteq X$ に対して、 $\tpint{X}=X$ 、 $\tpint{A}\subseteq A$ 、 $\tpint{\tpint{A}}=\tpint{A}$ 、 $A\subseteq B\Rightarrow\tpint{A}\subseteq\tpint{B}$ 、 $\tpint{A\cap B}=\tpint{A}\cap\tpint{B}$ 、および $\tpint{A}\cup\tpint{B}\subseteq\tpint{A\cup B}$ が成り立つ。

証明. 最初の四式は内部の極値性から従う。双対性と閉包の和に関する公式により、 $\tpint{A\cap B}=X\setminus\overline{(X\setminus A)\cup(X\setminus B)}=\tpint{A}\cap\tpint{B}$ である。最後の包含は単調性から従う。▨

4 集積点

定義 4.1. $x\in X$ が $A\subseteq X$ の集積点 (limit point) であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $(B(x,\varepsilon)\setminus\{x\})\cap A\ne\emptyset$ が成り立つことをいう。

命題 4.2. $A'$ を $A$ の集積点全体とする。このとき $\overline A=A\cup A'$ が成り立つ。

証明. $x\in A$ なら、任意の開球は $x$ を含むから $x\in\overline A$ である。 $x\in A'$ なら、各開球は $x$ とは異なる $A$ の点を含むので、 $x\in\overline A$ である。逆に $x\in\overline A\setminus A$ とする。各開球は $A$ と交わり、その交点は $x$ でないから、 $x\in A'$ である。▨

5 例

例 5.1. $A=(0,1]\subseteq\mathbb R$ について、 $\tpint{A}=(0,1)$ 、 $\overline A=[0,1]$ 、 $\partial A=\{0,1\}$ である。各等式は開球による特徴づけから、端点では任意の開球が $A$ と補集合の双方に交わることを用いて確認することができる。

例 5.2. 離散距離を備えた集合 $X$ の任意の部分集合 $A$ は開集合かつ閉集合である。実際、 $x\in A$ に対して $B(x,1/2)=\{x\}\subseteq A$ であり、同じ議論を補集合へ適用することができる。

注意 5.3. 閉球は対応する開球の閉包とは限らない。離散距離で $0<r\leq1$ とすると、 $B(x,r)=\{x\}$ であり、その閉包は $\{x\}$ である。一方、 $r=1$ なら $\overline B(x,r)=X$ である。

6 演習

問題 6.1 (実数の部分集合). $A=[0,1)\cup\{2\}\subseteq\mathbb R$ の内部、閉包、境界、集積点全体を求めよ。

解答.

$\tpint{A}=(0,1)$ 、 $\overline A=[0,1]\cup\{2\}$ 、 $\partial A=\{0,1,2\}$ 、 $A'=[0,1]$ である。孤立点 $2$ は $A$ に属するが集積点ではない。▨

問題 6.2 (内部と和集合). $\mathbb R$ の部分集合 $A,B$ で $\tpint{A}\cup\tpint{B}\ne\tpint{A\cup B}$ となるものを挙げよ。

解答.

$A=[0,1]$ 、 $B=[1,2]$ とする。命題 2.6により $\tpint{A}=(0,1)$ 、 $\tpint{B}=(1,2)$ であるから、 $\tpint{A}\cup\tpint{B}=(0,1)\cup(1,2)$ である。一方、 $A\cup B=[0,2]$ であるから $\tpint{A\cup B}=(0,2)$ である。点 $1$ は後者に属し前者に属さない。▨

問題 6.3 (近傍の開球による特徴づけ). $V\subseteq X$ が $x$ の近傍であるための必要十分条件が、 $B(x,\varepsilon)\subseteq V$ を満たす $\varepsilon>0$ の存在であることを示せ。

解答.

$V$ が近傍ならば、 $x\in U\subseteq V$ を満たす開集合 $U$ がある。開集合の定義から $B(x,\varepsilon)\subseteq U\subseteq V$ を満たす $\varepsilon>0$ がある。逆に、その開球は開集合であり $x$ を含むので、 $V$ は近傍である。▨

問題 6.4 (開かつ閉であることと境界). $A\subseteq X$ が開集合かつ閉集合であることと $\partial A=\emptyset$ が同値であることを示せ。

解答.

$A$ が開かつ閉なら、 $A\cap\partial A=\emptyset$ と $\partial A\subseteq A$ を合わせて $\partial A=\emptyset$ を得る。逆に境界が空なら $A\cap\partial A=\emptyset$ と $\partial A\subseteq A$ がともに成り立つので、境界の性質により $A$ は開かつ閉である。▨

§E2.2距離空間の開集合・閉集合

1 開集合

2 閉集合、内部、閉包、境界

3 双対性と基本法則

4 集積点

5 例

6 演習

参考文献

前提記事