§E2.47位相次元

証明. 演習とする（問題 5.1）。▨

証明.$\dim X\leq n$ならば、定義が与える有限開被覆がそのまま条件を満たす。

逆に、$X$の任意の有限開被覆が位数$n$以下の開被覆を細分としてもつとする。$\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$を$X$の有限開被覆とし、$\operatorname{ord}\mathcal W\leq n$を満たす開被覆$\mathcal W=(W_j)_{j\in J}$と細分射$f\colon J\to I$をとる。各$i\in I$に対して

とおく。$V_i$は開集合であり、$j\in f^{-1}(i)$ならば$W_j\subseteq U_i$であるから$V_i\subseteq U_i$である。各$x\in X$は$x\in W_j$を満たす$j\in J$をもち、$x\in V_{f(j)}$であるから、$\mathcal V=(V_i)_{i\in I}$は$X$の有限開被覆であり、恒等写像$I\to I$を細分射として$\mathcal V\prec\mathcal U$である。相異なる$i_0,\ldots,i_{n+1}\in I$と$x\in V_{i_0}\cap\cdots\cap V_{i_{n+1}}$が存在したとすると、各$k$について$x\in W_{j_k}$を満たす$j_k\in f^{-1}(i_k)$をとることができ、$f(j_k)=i_k$が相異なるので$j_0,\ldots,j_{n+1}$も相異なり、$x\in W_{j_0}\cap\cdots\cap W_{j_{n+1}}$となる。これは補題 1.5 (1)により$\operatorname{ord}\mathcal W\leq n$に反する。よって補題 1.5 (1)により$\operatorname{ord}\mathcal V\leq n$であり、$\dim X\leq n$である。▨

証明.(1)を示す。整数$n\geq-1$について、同相な任意の位相空間$X$、$Y$に対して条件$\operatorname{ind}X\leq n$と$\operatorname{ind}Y\leq n$が同値であることは、$n$に関する帰納法による。$n=-1$のとき、全単射が存在するので$X=\emptyset$と$Y=\emptyset$は同値である。$n\geq0$とし、$n-1$について同値性が成り立つと仮定する。同相写像$h\colon X\to Y$があり、$\operatorname{ind}X\leq n$が成り立つとする。$y\in Y$と$y$を含む開集合$U$をとると、$h^{-1}(U)$は$h^{-1}(y)$を含む開集合であるから、$h^{-1}(y)\in V\subseteq h^{-1}(U)$を満たす開集合$V$で$\operatorname{ind}\partial V\leq n-1$を満たすものが存在する。§E2.12 命題 6.3 (6)により$h(\partial V)=\partial h(V)$であり、§E2.12 補題 5.6 (1)により$h$と$h^{-1}$の境界への制限はともに連続である。したがって$\partial V$と$\partial h(V)$は同相であり、帰納法の仮定により$\operatorname{ind}\partial h(V)\leq n-1$である。$h(V)$は$y\in h(V)\subseteq U$を満たす開集合であるので、$\operatorname{ind}Y\leq n$が成り立つ。$h^{-1}$に同じ議論を適用すると逆向きも成り立つ。$\operatorname{Ind}$については、点$y$を閉集合$F$に替えて同じ議論を行う。

$\dim$について、同相写像$h\colon X\to Y$があり$\dim X\leq n$であるとする。$(U_i)_{i\in I}$を$Y$の有限開被覆とすると、$(h^{-1}(U_i))_{i\in I}$は$X$の有限開被覆であるから、$\operatorname{ord}(W_j)_{j\in J}\leq n$を満たす$X$の有限開被覆$(W_j)_{j\in J}$と細分射$f\colon J\to I$が存在する。$(h(W_j))_{j\in J}$は$Y$の有限開被覆であり、$h(W_j)\subseteq U_{f(j)}$である。$h$は全単射であるから、添字$j_0,\ldots,j_m$について$h(W_{j_0})\cap\cdots\cap h(W_{j_m})=h(W_{j_0}\cap\cdots\cap W_{j_m})$であり、補題 1.5 (1)により$\operatorname{ord}(h(W_j))_{j\in J}\leq n$である。よって$\dim Y\leq n$であり、$h^{-1}$について同様である。

三つの次元のそれぞれについて、同じ$n$に対する条件が$X$と$Y$で同値であるから、値も一致する。▨

証明. 整数$n\geq-1$について、任意の位相空間$X$と任意の$M\subseteq X$に対して条件$\operatorname{ind}X\leq n$から条件$\operatorname{ind}M\leq n$が従うことは、$n$に関する帰納法による。$n=-1$のとき$X=\emptyset$であるから$M=\emptyset$である。$n\geq0$とし、$n-1$についてこの主張が成り立つと仮定し、$\operatorname{ind}X\leq n$とする。$x\in M$と、$x$を含む$M$の開集合$U$をとる。$U=U'\cap M$を満たす$X$の開集合$U'$をとると、$x\in V'\subseteq U'$を満たす$X$の開集合$V'$で$\operatorname{ind}\partial V'\leq n-1$を満たすものが存在する。$V=V'\cap M$は$x\in V\subseteq U$を満たす$M$の開集合であり、§E2.12 命題 4.7 (4)により$M$における境界$\partial_MV$は$\partial V'$の部分集合である。帰納法の仮定を空間$\partial V'$とその部分集合$\partial_MV$に適用すると$\operatorname{ind}\partial_MV\leq n-1$であり、$\operatorname{ind}M\leq n$が成り立つ。補題 1.5 (2)により値について$\operatorname{ind}M\leq\operatorname{ind}X$である。▨

証明. 整数$n\geq-1$について、任意の位相空間$X$と$X$の任意の閉集合$M$に対して条件$\operatorname{Ind}X\leq n$から条件$\operatorname{Ind}M\leq n$が従うことは、$n$に関する帰納法による。$n=-1$のとき$M=\emptyset$である。$n\geq0$とし、$n-1$についてこの主張が成り立つと仮定し、$\operatorname{Ind}X\leq n$とする。$F$を$M$の閉集合、$U$を$F\subseteq U$を満たす$M$の開集合とする。$M$は$X$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$F$は$X$の閉集合である。$U=U'\cap M$を満たす$X$の開集合$U'$をとり、$U''=U'\cup(X\setminus M)$とおくと、$U''$は$F$を含む$X$の開集合である。仮定により、$F\subseteq V'\subseteq U''$を満たす$X$の開集合$V'$で$\operatorname{Ind}\partial V'\leq n-1$を満たすものが存在する。$V=V'\cap M$は$M$の開集合であり、$F\subseteq V\subseteq U''\cap M=U$を満たす。§E2.11 命題 2.8 (3)により$M$における境界$\partial_MV$は$M$の閉集合であり、$M$が$X$の閉集合であるから$X$の閉集合である。§E2.12 命題 4.7 (4)により$\partial_MV\subseteq\partial V'$であるから、$\partial_MV$は$\partial V'$の閉集合である。帰納法の仮定により$\operatorname{Ind}\partial_MV\leq n-1$であり、$\operatorname{Ind}M\leq n$が成り立つ。補題 1.5 (2)により値について$\operatorname{Ind}M\leq\operatorname{Ind}X$である。▨

証明. 整数$n\geq-1$について$\dim X\leq n$とし、$(U_i)_{i\in I}$を$M$の有限開被覆とする。各$i\in I$について$U_i=U_i'\cap M$を満たす$X$の開集合$U_i'$をとる。$I$に属さない添字$*$を一つ加え、$U'_*=X\setminus M$とおくと、$(U_i')_{i\in I\cup\{*\}}$は$X$の有限開被覆である。仮定により、$\operatorname{ord}(W_j)_{j\in J}\leq n$を満たす$X$の有限開被覆$(W_j)_{j\in J}$と細分射$f\colon J\to I\cup\{*\}$が存在する。$J_M=f^{-1}(I)$とおく。$x\in M$に対して$x\in W_j$を満たす$j\in J$をとると、$W_{j}\subseteq U'_{f(j)}$と$x\notin X\setminus M$から$f(j)\neq*$であり、$j\in J_M$である。したがって$(W_j\cap M)_{j\in J_M}$は$M$の有限開被覆であり、$W_j\cap M\subseteq U'_{f(j)}\cap M=U_{f(j)}$であるから$f$の$J_M$への制限は細分射である。相異なる$j_0,\ldots,j_{n+1}\in J_M$について$(W_{j_0}\cap M)\cap\cdots\cap(W_{j_{n+1}}\cap M)\subseteq W_{j_0}\cap\cdots\cap W_{j_{n+1}}$であり、右辺は補題 1.5 (1)により空であるから、同じ判定により$\operatorname{ord}(W_j\cap M)_{j\in J_M}\leq n$である。よって$\dim M\leq n$であり、補題 1.5 (2)により値について$\dim M\leq\dim X$である。▨

証明.$V$を$X$の開集合とすると、§E2.11 命題 2.8 (1)により$\partial V=\overline V\setminus V$であるから、$\partial V=\emptyset$であることと$\overline V=V$であること、すなわち$V$が閉集合であることは同値である。$\operatorname{ind}\partial V\leq-1$と$\operatorname{Ind}\partial V\leq-1$はいずれも$\partial V=\emptyset$を意味する。

(1)を示す。上の同値により、$\operatorname{ind}X\leq0$は、任意の開集合$U$と$x\in U$に対して$x\in V\subseteq U$を満たす開かつ閉な集合$V$が存在することと同値である。§E2.13 命題 1.2により、この条件は開かつ閉な集合の全体が開基であることと同値である。

(2)を示す。上の同値により、$\operatorname{Ind}X\leq0$は、任意の閉集合$F$と$F\subseteq U$を満たす任意の開集合$U$に対して$F\subseteq V\subseteq U$を満たす開かつ閉な集合$V$が存在することと同値であり、これは§E2.45 定義 1.1 (2)そのものである。

(3)を示す。補題 1.5 (1)により、族の位数が$0$以下であることは、族が互いに交わらないことと同値である。したがって補題 1.6により、$\dim X\leq0$は、$X$の任意の有限開被覆が互いに交わらない開集合からなる$X$の開被覆を細分としてもつことと同値であり、これは§E2.45 定義 1.1 (3)そのものである。

$X$は空でないから、補題 1.5 (3)により三つの値はいずれも$-1$でなく、補題 1.5 (2)により値が$0$であることは条件$\leq0$と同値である。▨

証明.(1)を示す。$X$は$C$の点を含むので空でない。$\operatorname{ind}X\leq0$であるとすると、命題 3.1 (1)により$X$は 0 次元の T0 空間であり、§E2.45 命題 2.11 (3)により完全不連結である。一方、§E2.45 命題 2.3により完全不連結な空間は二点以上を含む連結部分集合をもたないので、$C$の存在と両立しない。よって$\operatorname{ind}X\geq1$である。

(2)を示す。§E2.15 定理 1.11 (5)により$X$は T0 空間であるから、(1)により$\operatorname{ind}X\geq1$である。

$\operatorname{Ind}X\leq0$であるとすると、命題 3.1 (2)により§E2.45 定義 1.1 (2)が成り立ち、$X$は T1 空間であるから§E2.45 命題 1.4 (2)により$X$は 0 次元である。命題 3.1 (1)により$\operatorname{ind}X\leq0$となり、$\operatorname{ind}X\geq1$と両立しない。

$\dim X\leq0$であるとすると、命題 3.1 (3)と§E2.45 定理 1.3により§E2.45 定義 1.1 (2)が成り立ち、同じ理由で$\operatorname{ind}X\geq1$と両立しない。よって$\operatorname{Ind}X\geq1$かつ$\dim X\geq1$である。▨

証明.$S$の空でない開集合は$\{1\}$と$S$であり、どちらも$1$を含むので、$S$を互いに素な空でない二つの開集合の和に分けることはできない。したがって$S$は連結である。開集合$\{1\}$は$1$を含み$0$を含まないので、$S$は T0 空間である。命題 3.2 (1)により$\operatorname{ind}S\geq1$である。

$S$の閉集合は$\emptyset$、$\{0\}$、$S$であるから、$\overline{\{1\}}=S$であり、$\partial\{1\}=S\cap\overline{\{0\}}=\{0\}$、$\partial S=\emptyset$である。一点空間$\{0\}$ではその開集合$\{0\}$の境界が空であるから、$\operatorname{ind}\{0\}\leq0$である。$x\in U$を満たす$S$の開集合$U$について、$U=S$ならば$V=S$、$U=\{1\}$ならば$V=\{1\}$とおくと、$\operatorname{ind}\partial V\leq0$である。よって$\operatorname{ind}S\leq1$であり、$\operatorname{ind}S=1$である。

§E2.45 例 1.7により§E2.45 定義 1.1 (2)と§E2.45 定義 1.1 (3)が成り立つので、命題 3.1により$\operatorname{Ind}S=\dim S=0$である。▨

証明.$A=\emptyset$ならば、補題 1.5 (3)により三つの値は$-1$である。$A\neq\emptyset$とし、$a\in A$と、$a$を含む$A$の開集合$U$をとる。$U=U'\cap A$を満たす$\R$の開集合$U'$と、$(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\subseteq U'$を満たす実数$\varepsilon>0$をとる。二点以上を含む区間$(a-\varepsilon,a)$と$(a,a+\varepsilon)$は$A$に含まれないので、$r\in(a-\varepsilon,a)\setminus A$と$s\in(a,a+\varepsilon)\setminus A$が存在する。$C=(r,s)\cap A$は$A$の開集合であり、$r,s\notin A$から$C=[r,s]\cap A$であるので、§E2.12 命題 4.6により$A$の閉集合でもある。$a\in C\subseteq(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\cap A\subseteq U$であるから、§E2.13 命題 1.2により$A$の開かつ閉な部分集合の全体は$A$の開基であり、$A$は 0 次元である。

$A$は第二可算な T1 空間である（§E2.13 例 5.2、§E2.13 命題 3.2、§E2.15 定理 3.2 (4)）。したがって、§E2.45 系 1.6により§E2.45 定義 1.1 (2)と§E2.45 定義 1.1 (3)も成り立つ。命題 3.1により三つの値は$0$以下である。▨

証明.$\partial_GV$に含まれる区間$J$が二点$c<d$を含んだとすると、区間の条件により$(c,d)\subseteq J\subseteq\partial_GV$である。§E2.11 命題 2.8 (1)により$\partial_GV=\tpcl[G]{V}\setminus V$であるから、$(c,d)\cap V=\emptyset$である。$(c,d)$は$\R$の開集合であって$G$に含まれるので$G$の開集合であり、$G\setminus(c,d)$は$V$を含む$G$の閉集合である。したがって$\tpcl[G]{V}\subseteq G\setminus(c,d)$であり、空でない$(c,d)$が$\tpcl[G]{V}$に含まれることと両立しない。▨

証明.$G$の開集合$U$に対して、補題 4.2と補題 4.1により$\operatorname{ind}\partial_GU\leq0$かつ$\operatorname{Ind}\partial_GU\leq0$である。$x\in U$を満たす点$x$、または$F\subseteq U$を満たす閉集合$F$に対して$V=U$とおけば定義の条件が満たされるので、$\operatorname{ind}G\leq1$かつ$\operatorname{Ind}G\leq1$である。▨

証明. 演習とする（問題 5.2）。▨

証明.$U$を$S^1$の開集合とする。$U=\emptyset$ならば$\partial U=\emptyset$であり、$\operatorname{ind}\partial U\leq0$かつ$\operatorname{Ind}\partial U\leq0$である。$U\neq\emptyset$ならば$z\in U$をとる。$S^1$は§E2.15 定理 3.2 (4)により T1 空間であるから、§E2.15 命題 1.5により$W=S^1\setminus\{z\}$は開集合である。§E2.11 命題 2.8 (1)により$\partial U=\overline U\setminus U$は$z$を含まないので$\partial U\subseteq W$であり、§E2.12 命題 4.7 (5)により$\partial U=\partial U\cap W=\partial_W(U\cap W)$である。補題 4.4 (1)の同相写像$h_z\colon\R\to W$の逆写像に§E2.12 命題 6.3 (6)を適用すると、$h_z^{-1}(\partial U)$は$\R$の開集合$h_z^{-1}(U\cap W)$の境界である。$h_z$と$h_z^{-1}$の制限は§E2.12 補題 5.6 (1)により連続であるから、$\partial U$と$h_z^{-1}(\partial U)$は同相である。補題 4.2と補題 4.1により$h_z^{-1}(\partial U)$の小さい帰納的次元と大きい帰納的次元は$0$以下であるから、命題 2.1 (1)により$\operatorname{ind}\partial U\leq0$かつ$\operatorname{Ind}\partial U\leq0$である。

$x\in U$を満たす点$x$、または$F\subseteq U$を満たす閉集合$F$に対して$V=U$とおけば定義の条件が満たされるので、$\operatorname{ind}S^1\leq1$かつ$\operatorname{Ind}S^1\leq1$である。▨

証明. ある$i\in I$について$U_i=\R$であるとする。$t_j=j$とおくと(1)と(2)が成り立つ。

すべての$i\in I$について$U_i\neq\R$であるとする。$\R\setminus U_i$は空でない閉集合であり、§E2.10 定義 5.1の点と集合の距離を用いて

とおく。$\R$は空でないので$I$も空でない。

$\rho$は次の三つの性質をもつ。第一に、$x\in\R$は$x\in U_i$を満たす$i$をもち、$x$は閉集合$\R\setminus U_i$に属さないので、§E2.10 命題 5.2 (2)により$d(x,\R\setminus U_i)>0$であり、$\rho(x)>0$である。

第二に、$\rho(x)=d(x,\R\setminus U_i)$を満たす$i$について$(x-\rho(x),x+\rho(x))\subseteq U_i$である。実際、$|y-x|<\rho(x)$かつ$y\notin U_i$ならば$d(x,\R\setminus U_i)\leq|x-y|<\rho(x)$となる。

第三に、任意の$x,y\in\R$について$\rho(y)\geq\rho(x)-|x-y|$である。実際、$\rho(x)=d(x,\R\setminus U_i)$を満たす$i$をとると、§E2.10 命題 5.2 (1)により$\rho(y)\geq d(y,\R\setminus U_i)\geq\rho(x)-|x-y|$である。

$t_0=0$とおき、$j\geq0$について$t_{j+1}=t_j+\rho(t_j)/3$、$j\leq0$について$t_{j-1}=t_j-\rho(t_j)/3$と再帰的に定める。第一の性質により$t_j<t_{j+1}$である。

$j\in\Z$をとる。$j\geq0$ならば$t_{j+1}-t_j=\rho(t_j)/3$である。$j\geq1$ならば、第三の性質により

であるから$t_j-t_{j-1}\leq\rho(t_j)/2$であり、$j=0$ならば$t_0-t_{-1}=\rho(t_0)/3$である。$j\leq-1$の場合も、$t_j-t_{j-1}=\rho(t_j)/3$と、第三の性質から従う$t_{j+1}-t_j=\rho(t_{j+1})/3\leq(\rho(t_j)+(t_{j+1}-t_j))/3$によって同じ評価を得る。したがって$t_{j+1}-t_j\leq\rho(t_j)/2$かつ$t_j-t_{j-1}\leq\rho(t_j)/2$であり、$\rho(t_j)>0$であるから$[t_{j-1},t_{j+1}]\subseteq(t_j-\rho(t_j),t_j+\rho(t_j))$である。第二の性質によりこの開区間はある$U_i$に含まれるので、この場合に(2)が成り立つ。

$\{t_j\mid j\geq0\}$が上に有界であると仮定し、その上限を$t^*$とする。$\rho(t^*)>0$であるから、$t_j>t^*-\rho(t^*)/4$を満たす$j\geq0$が存在し、第三の性質により$\rho(t_j)\geq\rho(t^*)-(t^*-t_j)>3\rho(t^*)/4$である。このとき

となり、$t^*$が上界であることに反する。よって$\{t_j\mid j\geq0\}$は上に有界でない。$\{t_j\mid j\leq0\}$が下に有界でないことも、下限について同じ評価を行って得られる。$(t_j)_{j\in\Z}$は増加するので、任意の実数$M$に対して$t_j<M<t_k$を満たす$j,k$が存在し、この場合に(1)が成り立つ。

(3)を示す。どちらの場合にも(1)が成り立つので、$s\in\R$に対して$t_j<s<t_k$を満たす$j,k$をとる。$\{m\in\Z\mid t_m\leq s\}$は$j$を含み、$k$以上の整数を含まないので、最大元$m_0$をもつ。$t_{m_0-1}<t_{m_0}\leq s<t_{m_0+1}$であるから$m_0\in Z_s$である。$m,m'\in Z_s$が$m'\geq m+2$を満たしたとすると、$t_{m'-1}<s<t_{m+1}\leq t_{m'-1}$となって両立しない。▨

証明.(1)を示す。$(U_i)_{i\in I}$を$\R$の有限開被覆とし、補題 4.6の族$(t_j)_{j\in\Z}$をとる。開区間の族$\mathcal W=((t_{j-1},t_{j+1}))_{j\in\Z}$は、補題 4.6 (3)により$Z_s$が空でないので$\R$の開被覆であり、補題 4.6 (2)により各$j$に$(t_{j-1},t_{j+1})\subseteq U_{i}$を満たす$i$を対応させる写像が細分射になる。相異なる三つの添字$j<j'<j''$の開区間が点$s$を共有したとすると、$j,j''\in Z_s$かつ$j''-j\geq2$となって補題 4.6 (3)に反する。したがって補題 1.5 (1)により$\operatorname{ord}\mathcal W\leq1$であり、補題 1.6により$\dim\R\leq1$である。