§E2.13開基と可算性

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$U\in\mathcal O$と$x\in U$をとる。$U$は$\mathcal B$の元からなるある集合族の和集合であるから、§E1.2 定義 2.1の和集合の定義により$x\in B\subseteq U$を満たす$B\in\mathcal B$が存在する。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$U\in\mathcal O$に対して$\mathcal B_U=\{B\in\mathcal B\mid B\subseteq U\}$とおく。$\mathcal B_U$の各元は$U$に含まれるので$\bigcup\mathcal B_U\subseteq U$である。逆に$x\in U$をとると、仮定により$x\in B\subseteq U$を満たす$B\in\mathcal B$が存在し、この$B$は$\mathcal B_U$に属する。よって$U=\bigcup\mathcal B_U$であり、$U$は$\mathcal B$の元からなる集合族の和集合として表される。$U$は任意であったから、$\mathcal B$は$\mathcal O$の開基である。▨

証明.$\emptyset$は空な集合族の和集合であるから§E1.2 注意 2.3により$\mathcal O_{\mathcal B}$に属し、$X=\bigcup\mathcal B$も$\mathcal O_{\mathcal B}$に属する。$\mathcal O_{\mathcal B}$の元からなる集合族の和集合は、$\mathcal B$の元からなる集合族の和集合を再びとったものであるから$\mathcal O_{\mathcal B}$に属する。

$U,V\in\mathcal O_{\mathcal B}$と$x\in U\cap V$をとる。$U$と$V$の表示から$x\in B_1\subseteq U$と$x\in B_2\subseteq V$を満たす$B_1,B_2\in\mathcal B$が存在する。仮定により$x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\subseteq U\cap V$を満たす$B_3\in\mathcal B$が存在する。$x$は$U\cap V$の任意の点であったから、$U\cap V$は自身に含まれる$\mathcal B$の元の和集合であり、$\mathcal O_{\mathcal B}$に属する。正の整数$n$と$U_1,\ldots,U_n\in\mathcal O_{\mathcal B}$に対する$\bigcap_{i=1}^nU_i$は、$n$についての帰納法により$\mathcal O_{\mathcal B}$に属する。以上で§E2.11 定義 1.1の三つの公理が成り立つ。

$\mathcal B$の各元は自身一つからなる集合族の和集合であるから$\mathcal B\subseteq\mathcal O_{\mathcal B}$であり、$\mathcal O_{\mathcal B}$の定義は各元を$\mathcal B$の元からなる集合族の和集合として与える。ゆえに$\mathcal B$は$\mathcal O_{\mathcal B}$の開基である。▨

証明.$X\in\mathcal B(\mathcal S)$であるから$\bigcup\mathcal B(\mathcal S)=X$である。$B_1,B_2\in\mathcal B(\mathcal S)$をとる。両者がともに$\mathcal S$の有限個の元の共通部分であるならば$B_1\cap B_2$も$\mathcal S$の有限個の元の共通部分であり、一方が$X$であるならば$B_1\cap B_2$は他方に等しい。いずれの場合も$B_1\cap B_2\in\mathcal B(\mathcal S)$であるから、$x\in B_1\cap B_2$に対して$B_3=B_1\cap B_2$ととればよい。ゆえに命題 1.3を適用することができ、$\mathcal O(\mathcal S)$は$X$の位相であって$\mathcal B(\mathcal S)$はその開基である。

$\mathcal O'$を$\mathcal S\subseteq\mathcal O'$を満たす$X$の位相とする。$\mathcal O'$は有限共通部分について閉じ、$X$を含むから$\mathcal B(\mathcal S)\subseteq\mathcal O'$である。$\mathcal O'$は任意和についても閉じているから$\mathcal O(\mathcal S)\subseteq\mathcal O'$である。$\mathcal S\subseteq\mathcal B(\mathcal S)\subseteq\mathcal O(\mathcal S)$であるから、$\mathcal O(\mathcal S)$は$\mathcal S$を含む位相のうち最も粗いものである。▨

証明.$\mathcal B\subseteq\mathcal O$であるから、定理 2.2により$\mathcal O(\mathcal B)$は$\mathcal B$を含む位相のうち最も粗いものであり、$\mathcal O(\mathcal B)\subseteq\mathcal O$である。逆に、$\mathcal O$の各元は$\mathcal B$の元からなる集合族の和集合として表され、定義 2.1により$\mathcal B$の各元は$\mathcal B(\mathcal B)$に属するから、$\mathcal O\subseteq\mathcal O(\mathcal B)$である。ゆえに$\mathcal O=\mathcal O(\mathcal B)$であり、$\mathcal B$は$\mathcal O$の準開基である。▨

証明.(1)を示す。$\mathcal B\subseteq\mathcal O_Y$であるから、$f$が連続ならば各$B\in\mathcal B$に対して$f^{-1}(B)\in\mathcal O_X$である。逆に、すべての$B\in\mathcal B$に対して$f^{-1}(B)\in\mathcal O_X$であると仮定し、$V\in\mathcal O_Y$をとる。開基の定義により、$\mathcal B$の元からなる集合族$(B_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$で$V=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda$を満たすものが存在する。§E1.2 定理 4.1により$f^{-1}(V)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_\lambda)$である。右辺は$\mathcal O_X$の元からなる集合族の和集合であるから$\mathcal O_X$に属する。ゆえに$f$は連続である。

(2)を示す。$\mathcal S\subseteq\mathcal O(\mathcal S)=\mathcal O_Y$であるから、$f$が連続ならば各$S\in\mathcal S$に対して$f^{-1}(S)\in\mathcal O_X$である。逆に、すべての$S\in\mathcal S$に対して$f^{-1}(S)\in\mathcal O_X$であると仮定する。定理 2.2により$\mathcal B(\mathcal S)$は$\mathcal O_Y$の開基である。$\mathcal B(\mathcal S)$の元は$\mathcal S$の有限個の元の共通部分であるか、または$Y$である。§E1.2 定理 4.1により前者の逆像は$\mathcal O_X$の有限個の元の共通部分であり、後者については$f^{-1}(Y)=X\in\mathcal O_X$である。したがって$\mathcal B(\mathcal S)$の各元の逆像は$\mathcal O_X$に属し、(1)により$f$は連続である。▨

証明.(1)$\Leftrightarrow$(2)は§E2.12 命題 5.8 (1)である。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$\mathcal B$の元は$X$の開集合であるから、$f$が開写像ならばその像は$Y$の開集合である。

(3)$\Rightarrow$(1)を示す。$U$を$X$の開集合とすると、定義 1.1により$U$は$\mathcal B$の元からなる集合族$(B_i)_{i\in I}$の和集合である。§E1.2 定理 4.2により

であり、仮定により各$f(B_i)$は$Y$の開集合であるから、§E2.11 定義 1.1により$f(U)$は$Y$の開集合である。▨

証明.(1)を示す。$\mathcal S'$が生成する位相を$\mathcal T$と書く。各$f_\lambda$は$\mathcal I$に関して連続であるから、$\mathcal S'\subseteq\mathcal I$であり、定理 2.2により$\mathcal T\subseteq\mathcal I$である。一方、$\mathcal S_\lambda$の各元の$f_\lambda$による逆像は$\mathcal T$に属するから、命題 2.5 (2)により各$f_\lambda\colon(X,\mathcal T)\to Y_\lambda$は連続である。§E2.12 命題 3.3 (2)により$\mathcal I\subseteq\mathcal T$であり、$\mathcal T=\mathcal I$である。$\mathcal S_\lambda=\mathcal O_\lambda$とすれば、最後の主張も従う。

(2)を示す。§E2.12 補題 3.6により$\mathcal I$の各元は$Y$の開集合$V$による$f^{-1}(V)$の形である。$V$は$\mathcal B$の元からなる集合族の和集合であり、逆像は任意和を保つから、$f^{-1}(V)$は$\{f^{-1}(B)\mid B\in\mathcal B\}$の元からなる集合族の和集合である。ゆえにこの集合族は$\mathcal I$の開基である。▨

証明. 包含写像$\iota_A\colon A\to X$に対して$\iota_A^{-1}(B)=B\cap A$である。部分空間位相は$\iota_A$による始位相であるから、補題 3.1 (2)により$\mathcal B_A$はその開基である。▨

証明.$\mathcal S$が生成する位相は$\mathcal O(\mathcal S)$であり、$S\in\mathcal S$に対して$\iota_A^{-1}(S)=S\cap A$であるから、$\mathcal S_A=\{\iota_A^{-1}(S)\mid S\in\mathcal S\}$である。§E2.12 命題 4.3により部分空間位相は$\iota_A$による始位相であるから、補題 3.1 (1)により$\mathcal S_A$が生成する位相は部分空間位相に一致する。▨

証明.$x\in X$をとり、各正の整数$n$に対して$V_n=B(x,1/n)$とおくと、各$V_n$は$x$を含む開集合であるから$x$の近傍である。$V$を$x$の任意の近傍とすると、§E2.11 命題 6.3により$B(x,\varepsilon)\subseteq V$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在する。§D1.4 系 2.2により$1/n<\varepsilon$を満たす正の整数$n$が存在し、この$n$について$V_n\subseteq B(x,\varepsilon)\subseteq V$となる。したがって$(V_n)_{n\in\NN}$は$x$の可算近傍基である。$x$は任意であったから$X$は第一可算である。▨

証明.$(V_n)_{n\in\NN}$を$x$の可算近傍基とし、$W_n=\bigcap_{k=1}^nV_k$と定める。§E2.11 補題 6.6により割り当て$y\mapsto\mathcal N_{\mathcal O}(y)$は近傍系の公理を満たすから、§E2.11 定義 6.5 条件 (d)を$n-1$回用いると、各$W_n$は$x$の近傍である。定義から$W_{n+1}\subseteq W_n$である。$V\in\mathcal N_{\mathcal O}(x)$をとると、$V_m\subseteq V$を満たす正の整数$m$が存在し、$W_m\subseteq V_m\subseteq V$となる。したがって$(W_n)_{n\in\NN}$は$x$の可算近傍基である。▨

証明.$(X,\mathcal O)$を第二可算な位相空間とし、高々可算な開基$\mathcal B$をとる。$x\in X$を固定する。$X$は$x$を含む開集合であるから、命題 1.2により$x\in B\subseteq X$を満たす$B\in\mathcal B$が存在し、とくに$\mathcal B$は空でない。§E1.18 補題 3.6により全射$e\colon\NN\to\mathcal B$が存在する。各正の整数$n$に対して、$x\in e(n)$ならば$V_n=e(n)$、そうでなければ$V_n=X$と定める。$V_n$は$x$を含む開集合であるから$x$の近傍である。

$V$を$x$の近傍とする。§E2.11 定義 6.1により$x\in U\subseteq V$を満たす開集合$U$が存在し、命題 1.2により$x\in B\subseteq U$を満たす$B\in\mathcal B$が存在する。$e$は全射であるから$e(n)=B$を満たす正の整数$n$が存在し、$x\in e(n)$であるから$V_n=B\subseteq U\subseteq V$である。ゆえに$(V_n)_{n\in\NN}$は$x$の可算近傍基である。$x$は任意であったから$X$は第一可算である。▨

証明.$\mathcal U=\emptyset$ならば$\mathcal U$は有限であるから高々可算である。以下$\mathcal U\ne\emptyset$とし、高々可算な開基$\mathcal B$をとり、$\mathcal U$の元$U_0$をとる。$U_0$は空でないから$x_0\in U_0$をとると、命題 1.2により$x_0\in B\subseteq U_0$を満たす$B\in\mathcal B$が存在し、とくに$\mathcal B$は空でない。§E1.18 補題 3.6により全射$e\colon\NN\to\mathcal B$が存在する。

$U\in\mathcal U$をとる。$U$は空でないから$x\in U$をとると、命題 1.2により$x\in B\subseteq U$を満たす$B\in\mathcal B$が存在する。この$B$は$x$を含むので空でない。$e$は全射であるから$e(n)=B$を満たす正の整数$n$が存在し、この$n$は$e(n)\ne\emptyset$と$e(n)\subseteq U$をともに満たす。したがって、$e(n)\ne\emptyset$かつ$e(n)\subseteq U$を満たす正の整数$n$の全体は空でなく、そのうち最小のものを$\nu(U)$と定めることができる。この定め方は$\mathcal U$の各元に対して一意であるから、写像$\nu\colon\mathcal U\to\NN$が得られる。

$U,U'\in\mathcal U$が$\nu(U)=\nu(U')$を満たすとし、$n=\nu(U)=\nu(U')$とおく。$\nu$の定め方により$e(n)\ne\emptyset$、$e(n)\subseteq U$、$e(n)\subseteq U'$であるから$U\cap U'\ne\emptyset$であり、$\mathcal U$の相異なる二元が交わらないという仮定により$U=U'$である。ゆえに$\nu$は単射である。包含写像$\NN\to\Z_{\geq0}$は単射であるから、$\nu$とこの包含写像の合成は$\mathcal U$から$\Z_{\geq0}$への単射であり、$\mathcal U$は高々可算である。▨

証明.$\mathcal O$の各元は自身一つからなる集合族の和集合であるから、$\mathcal O$は$\mathcal O$の開基である。§E1.21 定理 2.2 (1)により基数$\kappa_0=\lvert\mathcal O\rvert$が定まり、$\kappa_0$は問題の性質をもつ。

$\mathcal B$を$\mathcal O$の開基とすると$\mathcal B\subseteq\mathcal O$であり、包含写像は単射であるから、§E1.21 命題 2.5 (1)により順序数として$\lvert\mathcal B\rvert\leq\kappa_0$である。すなわち$\lvert\mathcal B\rvert\in\kappa_0$または$\lvert\mathcal B\rvert=\kappa_0$であるから、問題の基数はすべて集合$\kappa_0\cup\{\kappa_0\}$に属する。ゆえに問題の基数の全体は$\kappa_0\cup\{\kappa_0\}$から分出される集合であり、$\kappa_0$を元にもつので空でない。

§E1.21 定義 1.1により基数は順序数であるから、§E1.16 命題 2.5 (3)によりこの集合は$\in$による比較について整列される。整列された集合の空でない部分集合は最小元をもつから、この集合自身が最小元をもつ。▨

証明. まず、集合$A$について、$A$が高々可算であることと$\lvert A\rvert\leq\aleph_0$が成り立つこととが同値であることを見る。§E1.16 命題 4.9により$\mathbb N_{\geq0}=\omega$であり、§E1.21 定義 4.1により記号$\aleph_0$は$\omega$そのものを指す。§E1.21 命題 1.3により$\omega$は基数であるから、§E1.21 定理 2.2 (3)により$\lvert\mathbb N_{\geq0}\rvert=\omega=\aleph_0$である。§E1.18 定理 3.3 (1)により$A$が高々可算であることは単射$A\to\mathbb N_{\geq0}$が存在することと同値であり、§E1.21 命題 2.5 (1)によりこれは$\lvert A\rvert\leq\aleph_0$と同値である。

$X$が第二可算であるとする。高々可算な開基$\mathcal B$をとると、いま見たことにより$\lvert\mathcal B\rvert\leq\aleph_0$である。$w(X)$は$\lvert\mathcal B\rvert$を元にもつ集合の最小元であるから$w(X)\leq\lvert\mathcal B\rvert\leq\aleph_0$である。

逆に$w(X)\leq\aleph_0$とする。定義 5.7により$\lvert\mathcal B\rvert=w(X)$を満たす$\mathcal O$の開基$\mathcal B$が存在し、$\lvert\mathcal B\rvert\leq\aleph_0$であるから、いま見たことにより$\mathcal B$は高々可算である。ゆえに$X$は第二可算である。▨

証明. 各正整数$n$に対して、半径$1/n$の開球全体は$X$の開被覆である。$(X, d)$はコンパクト距離空間であるから、有限集合$F_n\subset X$が存在して、

は$X$の開被覆となる。$\mathcal B=\bigcup_{n\geq1}\{B(a,1/n)\mid a\in F_n\}$とおくと、各$F_n$は有限であるから$\mathcal B$は高々可算である。

$U$を開集合、$x\in U$とする。ある$\varepsilon>0$について$B(x,\varepsilon)\subseteq U$である。$2/n<\varepsilon$を満たす正整数$n$を取り、$x\in B(a,1/n)$を満たす$a\in F_n$を取る。$y\in B(a,1/n)$ならば三角不等式から$d(x,y)<2/n<\varepsilon$である。よって$x\in B(a,1/n)\subseteq U$であり、$\mathcal B$は開基である。▨

証明.$\mathcal B$を$|\mathcal B|\leq\kappa$を満たす開基とし、$(U_i)_{i\in I}$を$X$の開被覆とする。$\mathcal B_0=\{B\in\mathcal B\mid B\subseteq U_i\text{ となる }i\in I\text{ が存在する}\}$とおく。各$B\in\mathcal B_0$に対して$B\subseteq U_{i(B)}$を満たす添字$i(B)$を一つとる。

任意の$x\in X$に対して、ある$i\in I$と$B\in\mathcal B$が存在して$x\in B\subseteq U_i$となる。この$B$は$\mathcal B_0$に属し、$x\in B\subseteq U_{i(B)}$である。したがって$(U_i)_{i\in\{i(B):B\in\mathcal B_0\}}$は部分被覆であり、添字集合の濃度は$|\mathcal B_0|\leq\kappa$以下である。▨

証明.$(X,\mathcal O)$を第二可算な位相空間とする。$X=\emptyset$ならば$\emptyset$は$X$で稠密であるから$X$は可分空間である。以下$X\ne\emptyset$とし、高々可算な開基$\mathcal B$をとり、$z\in X$を固定する。$X$は$z$を含む開集合であるから、命題 1.2により$\mathcal B$は空でなく、§E1.18 補題 3.6により全射$e\colon\NN\to\mathcal B$が存在する。各正の整数$n$に対して、$e(n)\ne\emptyset$ならば$A_n=e(n)$、そうでなければ$A_n=\{z\}$と定めると、各$A_n$は空でない。各$n$について$x_n\in A_n$を選ぶ。包含写像$\NN\to\Z_{\geq0}$は単射であるから$\NN$は高々可算であり、$n\mapsto x_n$の像$D=\{x_n\mid n\in\NN\}$は§E1.18 補題 3.5により高々可算である。

$U$を$X$の空でない開集合とし、$x\in U$をとる。命題 1.2により$x\in B\subseteq U$を満たす$B\in\mathcal B$が存在する。$e$は全射であるから$e(n)=B$を満たす正の整数$n$が存在し、$B$は$x$を含むので空でない。したがって$A_n=B$であり、$x_n\in B\subseteq U$であるから$U\cap D\ne\emptyset$である。ゆえに§E2.11 命題 2.9により$D$は$X$で稠密であり、$X$は可分空間である。▨

証明.$D\subseteq X$を$X$で稠密な高々可算部分集合とする。$a\in D$と$q\in\Q$に対して、$q>0$ならば$\varphi(a,q)=B(a,q)$、そうでなければ$\varphi(a,q)=\emptyset$と定め、$\mathcal B=\varphi(D\times\Q)$とおく。§E2.2 補題 1.2により開球は開集合であるから、$\mathcal B$の各元は開集合である。§E1.18 定理 4.1と§E1.18 定理 5.2により$D\times\Q$は高々可算であり、§E1.18 補題 3.5により$\mathcal B$は高々可算である。

$U$を開集合、$x\in U$とする。§E2.2 定義 1.1によりある実数$\varepsilon>0$に対して$B(x,\varepsilon)\subseteq U$である。$B(x,\varepsilon/3)$は空でない開集合であるから、§E2.11 命題 2.9により$a\in D\cap B(x,\varepsilon/3)$をとることができる。$2d(x,a)<2\varepsilon/3<\varepsilon$であるから$d(x,a)<\varepsilon-d(x,a)$であり、§D1.4 系 2.2により$d(x,a)<q<\varepsilon-d(x,a)$を満たす有理数$q$が存在する。$q>d(x,a)\geq0$であるから$q>0$であり、$\varphi(a,q)=B(a,q)$は$\mathcal B$に属する。$d(a,x)<q$から$x\in B(a,q)$であり、$y\in B(a,q)$ならば三角不等式により$d(x,y)\leq d(x,a)+d(a,y)<d(x,a)+q<\varepsilon$であるから$B(a,q)\subseteq B(x,\varepsilon)\subseteq U$である。ゆえに$x\in B(a,q)\subseteq U$であり、命題 1.2により$\mathcal B$は$\mathcal O_d$の開基である。$\mathcal B$は高々可算であるから$X$は第二可算である。▨