§E2.6距離空間の完備化

証明.$f\colon X\to Y$を等長写像とし、$f(x)=f(x')$とする。等長性から$d_X(x,x')=d_Y(f(x),f(x'))=0$であるため、距離の同一律により$x=x'$である。また、等長写像は Lipschitz 定数$1$の Lipschitz 写像であるから、§E2.4 命題 3.4により連続である。▨

証明.$(y_n)_{n\geq1}$を$f(X)$の Cauchy 列とする。命題 1.2により$f$は単射であり、任意の$n$に対して$f(x_n)=y_n$を満たす$x_n\in X$がただ一つ存在する。等長性から$d_X(x_m,x_n)=d_Y(y_m,y_n)$であるため、$(x_n)$は$X$の Cauchy 列である。$X$の完備性により、$x_n\to x$を満たす$x\in X$が存在する。再び等長性から$d_Y(y_n,f(x))=d_X(x_n,x)\to0$であり、§E2.5 補題 3.1により$(y_n)$は$f(X)$において$f(x)$へ収束する。▨

証明. 任意の$(x_n)\in\mathcal C(X)$に対して$d(x_n,x_n)=0$であるため、$(x_n)\approx(x_n)$である。距離の対称律から$(x_n)\approx(y_n)$ならば$(y_n)\approx(x_n)$である。さらに$(x_n)\approx(y_n)$かつ$(y_n)\approx(z_n)$ならば、三角不等式により

である。したがって$(x_n)\approx(z_n)$であり、反射律、対称律、推移律がすべて成り立つ。▨

証明.§E2.1 命題 1.3を二度用いると

を得る。$\varepsilon>0$をとる。二つの列の Cauchy 性から、$m,n\geq N$ならば$d(x_n,x_m)<\varepsilon/2$かつ$d(y_n,y_m)<\varepsilon/2$となる$N$が存在する。上の不等式により$(d(x_n,y_n))$は実数の Cauchy 列であるから、§D1.10 定理 1.1により収束する。▨

証明.§E2.1 命題 1.3を各変数について用いると、任意の$n\geq1$に対して

である。右辺は$0$に収束するため、左辺も$0$に収束し、二つの実数列の極限は一致する。▨

証明.$D\colon\mathcal C(X)\times\mathcal C(X)\to\mathbb R$を$D((x_n),(y_n))=\lim_n d(x_n,y_n)$と定める。補題 2.3により極限は存在し、補題 2.4により$D$は各変数の同値類だけに依存する。したがって§E1.3 命題 4.4により、表示された等式を満たす写像$\widehat d$がただ一つ存在する。

各$d(x_n,y_n)$は非負であるから$\widehat d([(x_n)],[(y_n)])\geq0$である。また

であり、最後の同値には§E1.3 補題 2.2を用いた。対称律は$d(x_n,y_n)=d(y_n,x_n)$から従う。三角不等式は、任意の$(z_n)\in\mathcal C(X)$に対する

の両辺の極限をとることにより得られる。よって$\widehat d$は距離の公理をすべて満たす。▨

証明. 各$x\in X$に対する定値列$c_x$は Cauchy 列であるため、$\iota\colon X\to\widehat X$が定まる。任意の$x,y\in X$に対して

であるから、$\iota$は等長写像である。

任意の$\xi=[(x_n)]\in\widehat X$と$\varepsilon>0$をとる。$(x_n)$の Cauchy 性により、$m,n\geq N$ならば$d(x_m,x_n)<\varepsilon/2$となる$N$が存在する。$n\to\infty$とすると

を得る。したがって、開球$B(\xi,\varepsilon)$は$\iota(X)$と交わる。§E2.2 命題 2.6により$\iota(X)$は$\widehat X$で稠密である。

$(\xi_k)_{k\geq1}$を$\widehat X$の Cauchy 列とする。稠密性により

は各$k\geq1$について空でない。そこで$a_k\in S_k$を同時に選ぶ。$\varepsilon>0$に対し、§D1.4 命題 2.1により$1/K<\varepsilon/3$であり、かつ$k,l\geq K$ならば$\widehat d(\xi_k,\xi_l)<\varepsilon/3$となる$K$をとる。$k,l\geq K$ならば

であるから、$(a_k)$は$X$の Cauchy 列である。

$\xi=[(a_k)]\in\widehat X$とおく。$\varepsilon>0$に対し、$1/K<\varepsilon/2$であり、かつ$k,l\geq K$ならば$d(a_k,a_l)<\varepsilon/2$となる$K$をとる。$k\geq K$を固定して$l\to\infty$とすると

である。したがって、$k\geq K$ならば

である。よって$\xi_k\to\xi$であり、$(\widehat X,\widehat d)$は完備である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば、$\iota(X)$の稠密性から$\widehat X=\emptyset$であり、空写像が結論を満たす。$X\ne\emptyset$とし、$\xi\in\widehat X$をとる。$\iota(X)$の稠密性と§E2.2 命題 2.6により、各$n\in\NN$について

を満たす$x_n\in X$を選ぶことができる。$\iota(x_n)\to\xi$であるから、§E2.5 命題 1.2と$\iota$の等長性により$(x_n)$は Cauchy 列である。$\varepsilon>0$に対して$f$の一様連続性が与える$\delta>0$をとる。十分大きい$m,n$では$d_X(x_m,x_n)<\delta$であるから、$d_Y(f(x_m),f(x_n))<\varepsilon$である。したがって$(f(x_n))$は Cauchy 列であり、$Y$の完備性により、ある$u\in Y$に収束する。

$\iota(x'_n)\to\xi$を満たす別の点列$(x'_n)$をとる。三角不等式と等長性により

である。任意の$\varepsilon>0$に対して一様連続性が与える$\delta>0$をとると、十分大きい$n$では$d_X(x_n,x'_n)<\delta$となるため、$d_Y(f(x_n),f(x'_n))<\varepsilon$である。よって

であり、$(f(x'_n))$も$u$へ収束する。§E2.3 命題 1.3により像列の極限は一意であるから、$F(\xi)=u$とおくと近似列の選び方によらない写像が定まる。各$\xi$に対して近似列が存在し、その像列の極限が一意であるため、表示された条件を満たす写像は$F$だけである。▨

証明.補題 3.1で定まる写像を$\widehat f$とする。$x\in X$に対して定値列$x_n=x$を用いると、$\widehat f(\iota(x))=f(x)$である。したがって$\widehat f\circ\iota=f$が成り立つ。

$\varepsilon>0$をとる。$f$の一様連続性により、任意の$x,y\in X$に対して

となる$\delta>0$をとる。$\widehat d(\xi,\eta)<\delta/3$を満たす$\xi,\eta\in\widehat X$に対し、$\iota(x_n)\to\xi$、$\iota(y_n)\to\eta$となる点列をとる。十分大きい$n$では

であり、$d_Y(f(x_n),f(y_n))<\varepsilon/3$となる。また、$f(x_n)\to\widehat f(\xi)$、$f(y_n)\to\widehat f(\eta)$であるから、$n$をさらに大きくすると

を得る。$\delta/3$は$\xi,\eta$に依存しないため、$\widehat f$は一様連続である。

$g\colon\widehat X\to Y$も一様連続であり、$g\circ\iota=f$を満たすとする。§E2.4 命題 3.3により$g$は連続である。任意の$\xi\in\widehat X$に対して$\iota(x_n)\to\xi$となる点列をとると、§E2.4 命題 1.3により$f(x_n)=g(\iota(x_n))\to g(\xi)$である。一方、$f(x_n)\to\widehat f(\xi)$であるから、§E2.3 命題 1.3により$g(\xi)=\widehat f(\xi)$である。したがって$g=\widehat f$である。▨

証明.$\iota_Y$は等長写像であるから、任意の$x,x'\in X$に対して$\widehat d_Y(\iota_Y(f(x)),\iota_Y(f(x')))=d_Y(f(x),f(x'))$であり、$\iota_Y\circ f$は一様連続である。完備距離空間$\widehat Y$への写像$\iota_Y\circ f$に定理 3.2を適用する。▨

証明. 等長写像$\iota_2$は§E2.4 命題 3.4により一様連続であるから、定理 3.2により$\Phi\circ\iota_1=\iota_2$を満たす一様連続写像$\Phi\colon Y_1\to Y_2$が存在する。$\Phi$は§E2.4 命題 3.3により連続であり、$\iota_1(x_n)\to\xi$ならば§E2.4 命題 1.3により$\iota_2(x_n)=\Phi(\iota_1(x_n))\to\Phi(\xi)$である。▨

証明.$\xi,\eta\in Y_1$をとり、$\iota_1(x_n)\to\xi$かつ$\iota_1(y_n)\to\eta$となる点列をとる。§E2.1 命題 1.3を二度用いると

である。同じ評価を$Y_2$で用いると

を得る。一方、$d(x_n,y_n)\to e_1(\xi,\eta)$でもあるから、実数列の極限の一意性により$e_2(\Phi(\xi),\Phi(\eta))=e_1(\xi,\eta)$である。したがって、$\Phi$は等長写像である。

$x\in X$に対して定値列$x_n=x$を用いると、補題 4.1の特徴づけから$\Phi(\iota_1(x))=\iota_2(x)$である。よって$\Phi\circ\iota_1=\iota_2$が成り立つ。▨

証明.命題 4.2と補題 1.3により$\Phi(Y_1)$は完備であり、§E2.5 定理 3.3により$Y_2$の閉集合である。また、$\iota_2(X)=\Phi(\iota_1(X))\subseteq\Phi(Y_1)$であり、$\iota_2(X)$は$Y_2$で稠密である。§E2.2 命題 2.3により

であるから、$\Phi$は全射である。▨

証明.$\Psi\colon Y_1\to Y_2$も等長写像であり、$\Psi\circ\iota_1=\iota_2$を満たすとする。命題 4.2により、$\Phi$も等長写像であり、$\Phi\circ\iota_1=\iota_2$を満たす。$\Phi$と$\Psi$は§E2.4 命題 3.4により一様連続であるから、定理 3.2の延長の一意性により$\Phi=\Psi$である。▨

証明.補題 4.1により写像$\Phi\colon Y_1\to Y_2$が定まる。命題 4.2により、$\Phi$は等長写像であり、$\Phi\circ\iota_1=\iota_2$を満たす。命題 4.3により$\Phi$は全射である。等長写像は単射であるから、$\Phi$は全単射である。命題 4.4により、この条件を満たす等長写像は$\Phi$に限る。▨