§E2.16実数値連続関数の空間

証明.§E2.14 例 1.16により$\mathbb R^2$の積位相は Euclid 距離$d_2$が定める位相に一致するから、§E2.12 補題 1.8を$d_2$について用いる。$(s_0,t_0)\in\mathbb R^2$と$\varepsilon>0$をとる。

(1)を示す。$d_2\bigl((s,t),(s_0,t_0)\bigr)<\varepsilon/2$ならば$\lvert s-s_0\rvert<\varepsilon/2$かつ$\lvert t-t_0\rvert<\varepsilon/2$であるから、$\lvert(s+t)-(s_0+t_0)\rvert\leq\lvert s-s_0\rvert+\lvert t-t_0\rvert<\varepsilon$である。

(2)を示す。$M=\lvert s_0\rvert+\lvert t_0\rvert+1$とおき、$\delta=\min\{1,\varepsilon/(2M)\}$とする。$d_2\bigl((s,t),(s_0,t_0)\bigr)<\delta$ならば$\lvert t\rvert\leq\lvert t_0\rvert+1$であり、

である。

(3)を示す。$\bigl\lvert\,\lvert s\rvert-\lvert s_0\rvert\,\bigr\rvert\leq\lvert s-s_0\rvert$であるから、$\delta=\varepsilon$とすればよい。

(4)を示す。$t_0\neq0$とし、$\delta=\min\{\lvert t_0\rvert/2,\ \varepsilon\lvert t_0\rvert^2/2\}$とする。$\lvert t-t_0\rvert<\delta$ならば$\lvert t\rvert\geq\lvert t_0\rvert/2>0$であり、

である。§E2.12 命題 4.8により$\mathbb R\setminus\{0\}$の部分空間位相は制限距離が定める位相であるから、$\iota$は連続である。▨

証明.$u,v\in C(X,\mathbb R)$とする。§E2.14 定理 1.6により、各成分が$u$と$v$である写像$(u,v)\colon X\to\mathbb R^2$は連続である。

(1)を示す。$u+v=\sigma\circ(u,v)$と$uv=\mu\circ(u,v)$であるから、補題 1.1 (1)・補題 1.1 (2)と§E2.12 命題 1.10により$u+v$と$uv$は連続である。定数写像は§E2.12 例 1.12により連続であり、スカラー倍$cu$は値$c$をとる定数写像と$u$の積であるから連続である。

(2)を示す。$\lvert u\rvert$は$u$と絶対値の合成であるから、補題 1.1 (3)と§E2.12 命題 1.10により連続である。実数$a,b$について$\max(a,b)=\tfrac12(a+b+\lvert a-b\rvert)$と$\min(a,b)=\tfrac12(a+b-\lvert a-b\rvert)$が成り立つことは、$a\geq b$の場合と$a<b$の場合に分けて$\lvert a-b\rvert$を書き下せば確かめられる。右辺は(1)といま示したことにより連続な写像から和とスカラー倍で得られるから、$\max(u,v)$と$\min(u,v)$は連続である。

(3)を示す。すべての$x$について$u(x)\neq0$であるとする。§E2.12 定理 4.4 (3)により、終域を$\mathbb R\setminus\{0\}$へ制限した写像$u_0\colon X\to\mathbb R\setminus\{0\}$は連続である。$1/u=\iota\circ u_0$であるから、補題 1.1 (4)と§E2.12 命題 1.10により連続である。▨

証明.$x\in X$と$\varepsilon>0$をとる。一様収束により、すべての$y\in X$について$|w_N(y)-w(y)|\leq\varepsilon/3$を満たす$N$が存在する。$w_N$の連続性と§E2.12 補題 1.9により、$x$の開近傍$W$であって、$y\in W$について$|w_N(y)-w_N(x)|<\varepsilon/3$を満たすものが存在する。$y\in W$に対して

である。よって§E2.12 補題 1.9により$w$は連続である。▨

証明.補題 1.2 (1)により各$w_N$は連続である。$0\leq g_n\leq1$から各$x\in X$について列$(w_N(x))_{N\geq1}$は単調増加であり

を満たすから、§D1.4 定義 1.2により上限$w(x)$が実数として定まり、$0\leq w(x)\leq1$である。$M>N$に対して

であるから、上限をとって$w_N(x)\leq w(x)\leq w_N(x)+2^{-N}$を得る。$N\geq1$について$2^{N}\geq N$が帰納法で従うから$2^{-N}\leq1/N$であり、§D1.4 系 2.2により、任意の実数$\varepsilon>0$に対して$2^{-N}\leq1/N<\varepsilon$を満たす$N$が存在する。ゆえに定義 2.3の意味で$(w_N)_{N\geq1}$は$w$へ一様収束し、定理 2.4により$w$は連続である。

$w(x)=0$とすると、$0\leq2^{-n}g_n(x)\leq w_n(x)\leq w(x)=0$からすべての$n$について$g_n(x)=0$である。逆にすべての$n$について$g_n(x)=0$ならば、すべての$N$について$w_N(x)=0$であるから$w(x)=0$である。▨

証明.$w\in\mathcal F_b(X)$を$C_b(X)$の閉包の点とする。各$n\in\mathbb Z_{\geq1}$に対して$d_\infty(w_n,w)<1/n$を満たす$w_n\in C_b(X)$をとると、任意の$\varepsilon>0$に対して$1/N\leq\varepsilon$を満たす$N$をとれば$n\geq N$のとき、すべての$x\in X$について$\lvert w_n(x)-w(x)\rvert\leq d_\infty(w_n,w)<\varepsilon$である。ゆえに定義 2.3の意味で$(w_n)$は$w$へ一様収束し、定理 2.4により$w$は連続である。$w\in\mathcal F_b(X)$から$w$は有界であるから$w\in C_b(X)$であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$C_b(X)$は$\mathcal F_b(X)$の閉集合である。

§E2.5 定理 5.5により$\mathcal F_b(X)$は完備であるから、§E2.5 系 3.4により閉部分空間$C_b(X)$は完備である。▨

証明.$u\in C_b(Y)$とすると、§E2.12 命題 1.10により$u\circ f$は連続であり、$u$の値の全体が有界であることから$u\circ f$も有界であるから$f^{*}(u)\in C_b(X)$である。

$u,v\in C_b(Y)$と$x\in X$について

であるから、左辺の上限をとって$d_\infty(f^{*}(u),f^{*}(v))\leq d_\infty(u,v)$を得る。この不等式により、$\varepsilon>0$に対して$\delta=\varepsilon$とおけば連続性の条件が満たされる。

$f(X)$が$Y$で稠密であるとする。$u,v\in C_b(Y)$をとり、$c=d_\infty(f^{*}(u),f^{*}(v))$とおく。補題 1.2 (1)と補題 1.2 (2)により$w=\lvert u-v\rvert$は$Y$から$\mathbb R$への連続写像であり、$x\in X$について$w(f(x))=\lvert f^{*}(u)(x)-f^{*}(v)(x)\rvert\leq c$であるから、$f(X)\subseteq w^{-1}\bigl((-\infty,c]\bigr)$である。§E2.12 命題 1.6により$w^{-1}\bigl((-\infty,c]\bigr)$は$Y$の閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\overline{f(X)}\subseteq w^{-1}\bigl((-\infty,c]\bigr)$であり、§E2.11 定義 2.7により$\overline{f(X)}=Y$である。ゆえにすべての$y\in Y$について$\lvert u(y)-v(y)\rvert\leq c$であり、上限をとって$d_\infty(u,v)\leq c$を得る。$f$が全射ならば$f(X)=Y$は$Y$で稠密であるから、この場合も等号が成り立つ。▨

証明.(1)を示す。$x\in X$をとる。一点部分空間$\{x\}$の包含写像$\iota_{\{x\}}\colon\{x\}\to X$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であるから、命題 3.1により、これに沿った引き戻し$\iota_{\{x\}}^{*}\colon C_b(X)\to C_b(\{x\})$は

を満たす。§E2.5 定義 5.2の一様距離は一点集合の上の関数に対しては一元集合の上限であるから、左辺は$\lvert u(x)-v(x)\rvert$に等しい。

(2)を示す。$x\in X$と$\varepsilon>0$をとる。$(u_n)$が$u$へ収束することから、$n\geq N$を満たすすべての$n$について$d_\infty(u_n,u)<\varepsilon$が成り立つ$N$が存在する。そのような$n$について、(1)により$\lvert u_n(x)-u(x)\rvert\leq d_\infty(u_n,u)<\varepsilon$である。ゆえに$(u_n(x))$は$u(x)$へ収束する。▨

証明.$(x_0,u_0)\in X\times C_b(X)$と$\varepsilon>0$をとる。$u_0$は連続であるから、$x_0$を含む開集合$O$で、すべての$x\in O$が$\lvert u_0(x)-u_0(x_0)\rvert<\varepsilon/2$を満たすものが存在する。$B=\{u\in C_b(X)\mid d_\infty(u,u_0)<\varepsilon/2\}$は§E2.2 補題 1.2により$C_b(X)$の開集合であり$u_0$を含む。$(x,u)\in O\times B$に対して

である。§E2.14 補題 1.11により$O\times B$は$(x_0,u_0)$の近傍であるから、§E2.12 補題 1.9により$\operatorname{ev}$は連続である。▨

証明.$\{0\}$は$\mathbb R$の閉集合であるから、§E2.12 命題 1.6により$Z(f)$は閉集合であり、$\operatorname{coz}(f)$は開集合である。補題 1.2 (2)により$\lvert f\rvert\in C(X,\mathbb R)$であるから

は開集合である。$f(x)=0$ならばすべての$n$で$x\in V_n$であり、逆にすべての$n$で$\lvert f(x)\rvert<1/n$ならば、§D1.4 系 2.2により$\lvert f(x)\rvert>0$ではありえないので$f(x)=0$である。ゆえに$Z(f)=\bigcap_{n\in\mathbb Z_{\ge1}}V_n$であり、(1)が成り立つ。

定数写像は補題 1.2 (1)により$C(X,\mathbb R)$に属し、$Z(0)=X$と$Z(1)=\emptyset$である。これが(2)である。

$f^2+g^2$と$fg$は補題 1.2 (1)により$C(X,\mathbb R)$に属する。実数$s,t$について$s^2+t^2=0$であることと$s=t=0$であることは同値であり、$st=0$であることと$s=0$または$t=0$であることは同値である。$x\in X$ごとにこれを$s=f(x)$、$t=g(x)$へ適用すると(3)の二つの等式を得る。二つの零集合の共通部分と和集合が零集合であることから、有限個の場合が個数についての帰納法で従う。共通部分と和集合の個数が$0$の場合は(2)が与える。

$f-c$、$\max(f-c,0)$および$\min(f-c,0)$は補題 1.2 (1)と補題 1.2 (2)により$C(X,\mathbb R)$に属する。実数$t$について$t-c=0$、$\max(t-c,0)=0$、$\min(t-c,0)=0$はそれぞれ$t=c$、$t\le c$、$t\ge c$と同値であるから、(4)が成り立つ。

(5)を示す。各$n\in\NN$に対して$Z_n=Z(f_n)$を満たす$f_n\in C(X,\R)$をとる。$g_n=\min\{\lvert f_n\rvert,1\}$とおくと、補題 1.2により$g_n\in C(X,\R)$、$0\le g_n\le1$および$Z(g_n)=Z_n$である。補題 2.5により$h=\sum_{n\in\NN}2^{-n}g_n$は連続であり、$h(x)=0$であることとすべての$n\in\NN$について$g_n(x)=0$であることとは同値である。したがって$Z(h)=\bigcap_{n\in\NN}Z_n$である。▨

証明.補題 1.2 (1)により、$f,g\in C(X,\mathbb R)$に対して$f+g$、$fg$、$-f=(-1)f$および定数写像は$C(X,\mathbb R)$に属する。§E1.5 定義 2.1が課す条件はいずれも各点ごとの等式であり、$\mathbb R$が可換環であることから成り立つ。値$0$と値$1$をとる定数写像がそれぞれ加法単位元と乗法単位元である。ゆえに(1)が成り立つ。

$fg=1$を満たす$g\in C(X,\mathbb R)$があれば、各$x\in X$で$f(x)g(x)=1$であるから$f(x)\ne0$であり、$Z(f)=\emptyset$である。逆に$Z(f)=\emptyset$ならば補題 1.2 (3)により$1/f\in C(X,\mathbb R)$であり、$f\cdot(1/f)=1$である。これが(2)である。▨

証明.補題 1.2 (1)により定数写像は$C(X,\mathbb R)$に属する。定数写像の和と積は、対応する定数の和と積をとる定数写像であるから、$\kappa_X$は加法と乗法を保つ。$\kappa_X(1)=1$を満たすので$\kappa_X$は環準同型である。$X\ne\emptyset$のとき$x\in X$をとると、$c\ne c'$ならば$\kappa_X(c)(x)=c\ne c'=\kappa_X(c')(x)$であるから$\kappa_X$は単射である。▨

証明. 相異なる$x,y\in X$をとる。仮定により$u_\lambda(x)\neq u_\lambda(y)$を満たす$\lambda$が存在するので、$u=u_\lambda$とおく。$\varepsilon=\lvert u(x)-u(y)\rvert/2>0$とおき、

とおく。§E2.12 定義 1.1により$U$と$V$は$X$の開集合であり、$x\in U$、$y\in V$である。$z\in U\cap V$とすると

となって両立しない。ゆえに$U\cap V=\emptyset$であり、§E2.15 定義 1.2により$X$は T2 空間である。▨