§E2.1距離空間

証明. 距離の三角不等式を$x,y,x$に適用すると、$0=d(x,x)\leq d(x,y)+d(y,x)=2d(x,y)$を得る。したがって$d(x,y)\geq0$である。▨

証明.$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$から$d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)$を得る。$x,y$を交換すると$d(y,z)-d(x,z)\leq d(x,y)$を得る。この二式は主張の絶対値不等式と同値である。▨

証明.$d_Y$について、$Y$の二点は$X$の二点でもあるから、$d$の三公理はそのまま$d_Y$の三公理を与える。また$z\in Y$について、$z\in B_{d_Y}(y,r)$は$d(y,z)<r$と同値であり、これは$z\in Y\cap B_d(y,r)$と同値である。▨

証明. 同一律と対称律は定義から従う。$x=z$のとき三角不等式の左辺は$0$である。$x\ne z$のとき左辺は$1$であり、$x=y$と$y=z$が同時に成り立つことはないので、右辺は少なくとも$1$である。よって三角不等式が成り立つ。開球の記述は、$\delta(x,z)$が$z=x$なら$0$、そうでなければ$1$であることから直ちに従う。▨

証明.$p=1$では両辺が等しい。$p>1$とし、$f(t)=t^p$（$t>0$）、$f(0)=0$とおく。正の底については§D1.24 定義 3.5と§D1.24 定理 3.8により$t^p=\exp(p\log t)$である。$t>0$で$h\to0$とすると、$u=p\log t$、$u_h=p\log(t+h)$に対して

ここで§D1.24 定理 1.3と§D1.24 定理 3.4の微分公式を用いた。$\log$は狭義単調増加であり、§D1.24 命題 3.1により$\exp$も狭義単調増加である。したがって$t^{p-1}=\exp((p-1)\log t)$は$t>0$で狭義単調増加だから、$f'$も狭義単調増加である。また$0<t\leq1$では$\log t\leq0$であり、指数関数の単調性から$0\leq t^p\leq t$となる。したがって$f$は$0$でも連続である。

$a=b$または$\lambda\in\{0,1\}$の場合は等号が成り立つ。$a>b$の場合は$a,b$を交換し、$\lambda$を$1-\lambda$に置き換えればよい。そこで$a<b$、$0<\lambda<1$とし、$c=(1-\lambda)a+\lambda b$とおくと$a<c<b$である。§D1.14 定理 3.1を$[a,c]$と$[c,b]$に適用すると、$a<u<c<v<b$を満たす$u,v$が存在して

となる。$a=0$の場合も、$f$の$0$での連続性によって最初の平均値の定理を適用することができる。$c-a=\lambda(b-a)$、$b-c=(1-\lambda)(b-a)$を代入して整理すると、$f(c)\leq(1-\lambda)f(a)+\lambda f(b)$を得る。▨

証明.$p=1$では両辺が$\sum_i(a_i+b_i)$に等しい。$p>1$とし、$A=(\sum_i a_i^p)^{1/p}$、$B=(\sum_i b_i^p)^{1/p}$とおく。$A=0$なら、非負項の和が$0$なので、すべての$a_i=0$であり、主張は等号となる。$B=0$の場合も同様である。

$A,B>0$の場合は$\lambda=A/(A+B)$とおく。各$i$について$a_i/A,b_i/B\geq0$であり、補題 2.6により

この不等式を$i=1,\ldots,n$について加えると、右辺は$\lambda+(1-\lambda)=1$となる。両辺に$(A+B)^p$を掛け、非負実数上での$1/p$乗の単調性を用いると主張を得る。▨

証明.$d_p$と$d_\infty$は非負かつ対称である。非負項の和または最大値が$0$となることは各$d_i(x_i,y_i)=0$と同値であり、各$d_i$の同一律によって$x=y$と同値である。任意の$x,y,z\in X$と各$i$について

であるから、最大をとって$d_\infty$の三角不等式を得る。また、非負実数上での$p$乗と$1/p$乗の単調性および定理 2.7により

とくに$p=1$の場合は、各成分の三角不等式を加えたものに等しい。▨

証明.$v=0$なら主張は明らかである。$v\ne0$とし、実数$t$に対する二乗和

を考える。この二次式の判別式は高々$0$であるから、$\bigl(\sum_i u_iv_i\bigr)^2\leq(\sum_i u_i^2)(\sum_i v_i^2)$を得る。両辺の非負平方根をとればよい。▨

証明. 非負性、対称律、同一律は平方和の性質から従う。$w\in\mathbb R^n$に対して$\lVert w\rVert_2=(\sum_{i=1}^nw_i^2)^{1/2}$と書く。$u=x-y$、$v=y-z$とおくと、補題 3.1より

両辺が非負であるから平方根をとり、$d_2(x,z)\leq d_2(x,y)+d_2(y,z)$を得る。▨

証明.$a_i=d_i(x_i,y_i)\geq0$、$M=\max_i a_i$とおく。各$a_i^p$は非負であり、$a_i^p\leq M^p$である。最大値を与える成分の$p$乗が和に含まれるから

非負実数上での$1/p$乗の単調性から距離の比較を得る。$d_\infty(x,y)<r/n^{1/p}$なら$d_p(x,y)\leq n^{1/p}d_\infty(x,y)<r$であり、$d_p(x,y)<r$なら$d_\infty(x,y)\leq d_p(x,y)<r$である。したがって両方の開球包含が成り立つ。▨

証明. 各成分の絶対値は$d_2(x,y)$以下であるから、最大をとって第一の不等式を得る。非負数$a_i=|x_i-y_i|$に対して$(\sum_i a_i)^2\geq\sum_i a_i^2$であるから第二の不等式を得る。各$a_i\leq\max_j a_j=d_\infty(x,y)$を加えると第三の不等式を得る。▨