§D1.14微分の定義と平均値の定理

証明.$I$は開集合であり$a\in I$であるから、ある$r>0$が存在して$(a-r,a+r)\subseteq I$となる。したがって

とおくと、任意の$\delta>0$に対して$0<h<\min\{r,\delta\}$を満たす$h$が$H_a^*$に属するため、$0$は$H_a^*$の集積点である。関数$q,p:H_a^*\to\mathbb R$を

で定める。$f$の$a$における微分可能性から$h\to0$のとき$q(h)\to f'(a)$であり、極限の定義から$p(h)\to0$である。共通の定義域$H_a^*$上で§D1.11 定理 2.2 (4)を適用すると、$q(h)p(h)\to0$を得る。

$\varepsilon>0$をとる。この極限から、ある$\delta>0$が存在し、$h\in H_a^*$かつ$0<|h|<\delta$ならば$|q(h)p(h)|<\varepsilon$となる。$x\in I$が$|x-a|<\delta$を満たすとする。$x=a$ならば$|f(x)-f(a)|=0<\varepsilon$である。$x\ne a$ならば$h=x-a$とおくと$h\in H_a^*$であり、

であるから$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$である。したがって$f$は$a$で連続である。▨

証明.$f$が$c$で極大値をとるとする。ある$\delta>0$が存在し、$0<|h|<\delta$ならば$f(c+h)\le f(c)$となる。$0<h<\delta$では

であるから$f'(c)\le0$である。$-\delta<h<0$では同じ差商が$0$以上であるから$f'(c)\ge0$である。したがって$f'(c)=0$である。$f$が$c$で極小値をとる場合には、正の$h$に対する差商が$0$以上、負の$h$に対する差商が$0$以下となるため、同じ結論を得る。▨

証明.§D1.13 定理 2.1 (最大値の定理)により、$f$は$[a,b]$で最大値と最小値をとる。最大値と最小値がともに$f(a)=f(b)$に等しければ、$f$は定数関数であり、任意の$c\in(a,b)$に対して$f'(c)=0$である。そうでなければ、最大値または最小値の一方は$f(a)=f(b)$と異なるため、その値をとる点はある$c\in(a,b)$である。補題 2.1により$f'(c)=0$である。▨

証明.

とおく。$g$は$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能であり、$g(a)=g(b)=0$を満たす。定理 2.2により、ある$c\in(a,b)$に対して$g'(c)=0$である。したがって

である。▨

証明.$x,y\in I$を任意にとる。$x$と$y$を入れ替えても示す不等式の両辺は変わらないため、$x\le y$としてよい。$x=y$ならば

である。$x<y$とする。$I$は区間であるから$[x,y]\subseteq I$であり、$(x,y)\subseteq\tpint{I}$である。$f$の$[x,y]$への制限は$[x,y]$で連続かつ$(x,y)$で微分可能である。定理 3.1により、ある$c\in(x,y)$に対して

である。$|f'(c)|\le L$と$y-x>0$から

を得る。▨

証明. 任意の$x_1,x_2\in(a,b)$で$x_1<x_2$を満たすものをとる。$f$を$[x_1,x_2]$に制限して定理 3.1を適用すると、ある$c\in(x_1,x_2)$に対して

である。したがって$f(x_1)=f(x_2)$であり、$f$は定数関数である。▨

証明. 任意の$x_1,x_2\in(a,b)$で$x_1<x_2$を満たすものをとる。$f$を$[x_1,x_2]$に制限して定理 3.1を適用すると、ある$c\in(x_1,x_2)$に対して

である。すべての$x\in(a,b)$に対して$f'(x)>0$ならば右辺は正であり、$f(x_1)<f(x_2)$である。すべての$x\in(a,b)$に対して$f'(x)<0$ならば右辺は負であり、$f(x_1)>f(x_2)$である。▨

証明.$h:[a,b]\to\mathbb R$を

で定める。$h$は$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能であり、$h(a)=h(b)=0$を満たす。定理 2.2により、ある$c\in(a,b)$に対して$h'(c)=0$である。したがって

である。▨