§D1.6極限の性質の証明

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高校では「極限は和・積・商について自然にふるまう」と認めて使っていました。ここではそれを ε-N 定義から証明します。証明はどれも同じ骨格——定義を展開し、三角不等式で評価する——なので、1つ書ければ全部書けます。

1 補題：収束列は有界

積の証明で使う道具を先に用意します。

補題 1.1. 収束する数列{an}\{a_n\}は有界、すなわちあるMMで∣an∣≤M|a_n| \le M（すべてのnn）。

証明.an→αa_n \to \alphaとし、ε=1\varepsilon = 1に対するNNをとるとn≥Nn \ge Nで∣an∣≤∣α∣+1|a_n| \le |\alpha| + 1。残る有限個a1,…,aN−1a_1, \dots, a_{N-1}とあわせM=max⁡{∣a1∣,…,∣aN−1∣, ∣α∣+1}M = \max\{|a_1|, \dots, |a_{N-1}|,\ |\alpha| + 1\}とすればよい。▨

2 極限法則

定理 2.1 (極限法則).an→αa_n \to \alpha,bn→βb_n \to \betaのとき、任意のc∈Rc\in\mathbb Rに対して

  1. an+bn→α+βa_n+b_n\to\alpha+\beta。
  2. an−bn→α−βa_n-b_n\to\alpha-\beta。
  3. can→cαca_n\to c\alpha。
  4. anbn→αβa_nb_n\to\alpha\beta。
  5. β≠0\beta\ne0ならば、あるN0N_0が存在して、すべてのn≥N0n\ge N_0に対してbn≠0b_n\ne0であり、尾部(an/bn)n≥N0\left(a_n/b_n\right)_{n\ge N_0}はα/β\alpha/\betaに収束する。

証明 (和).ε>0\varepsilon > 0を与える。an→αa_n \to \alphaよりn≥N1n \ge N_1で∣an−α∣<ε2|a_n - \alpha| < \frac\varepsilon2、bn→βb_n \to \betaよりn≥N2n \ge N_2で∣bn−β∣<ε2|b_n - \beta| < \frac\varepsilon2。N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)とするとn≥Nn \ge Nで三角不等式より

∣(an+bn)−(α+β)∣≤∣an−α∣+∣bn−β∣<ε2+ε2=ε.|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| \le |a_n - \alpha| + |b_n - \beta| < \tfrac\varepsilon2 + \tfrac\varepsilon2 = \varepsilon.▨

証明 (差).ε>0\varepsilon>0を与える。an→αa_n\to\alphaよりn≥N1n\ge N_1で∣an−α∣<ε2|a_n-\alpha|<\frac\varepsilon2、bn→βb_n\to\betaよりn≥N2n\ge N_2で∣bn−β∣<ε2|b_n-\beta|<\frac\varepsilon2となるようにN1,N2N_1,N_2をとる。N=max⁡(N1,N2)N=\max(N_1,N_2)とすると、n≥Nn\ge Nで

∣(an−bn)−(α−β)∣≤∣an−α∣+∣bn−β∣<ε2+ε2=ε.|(a_n-b_n)-(\alpha-\beta)|\le|a_n-\alpha|+|b_n-\beta|<\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2=\varepsilon.▨

証明 (定数倍).c=0c=0ならば、すべてのnnに対して∣can−cα∣=0|ca_n-c\alpha|=0であるから、N=1N=1と取ればよい。c≠0c\ne0とする。ε>0\varepsilon>0を与え、an→αa_n\to\alphaよりn≥Nn\ge Nで∣an−α∣<ε∣c∣|a_n-\alpha|<\frac\varepsilon{|c|}となるようにNNをとる。このとき、n≥Nn\ge Nで

∣can−cα∣=∣c∣ ∣an−α∣<∣c∣ε∣c∣=ε.|ca_n-c\alpha|=|c|\,|a_n-\alpha|<|c|\frac\varepsilon{|c|}=\varepsilon.▨

証明 (積).補題 1.1で∣an∣≤M|a_n| \le Mととる（M>0M > 0としてよい）。恒等式

anbn−αβ=an(bn−β)+(an−α)βa_n b_n - \alpha\beta = a_n(b_n - \beta) + (a_n - \alpha)\beta

より∣anbn−αβ∣≤M ∣bn−β∣+∣β∣ ∣an−α∣|a_n b_n - \alpha\beta| \le M\,|b_n - \beta| + |\beta|\,|a_n - \alpha|。ε>0\varepsilon > 0に対し、n≥N1n \ge N_1で∣bn−β∣<ε2M|b_n - \beta| < \dfrac{\varepsilon}{2M}、n≥N2n \ge N_2で∣an−α∣<ε2(∣β∣+1)|a_n - \alpha| < \dfrac{\varepsilon}{2(|\beta| + 1)}ととりN=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)とすれば、n≥Nn \ge Nで

∣anbn−αβ∣<M⋅ε2M+∣β∣⋅ε2(∣β∣+1)<ε2+ε2=ε.|a_n b_n - \alpha\beta| < M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + |\beta|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|\beta|+1)} < \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon.▨

証明 (商).β≠0\beta\ne0とする。bn→βb_n\to\betaより、n≥N0n\ge N_0で∣bn−β∣<∣β∣2|b_n-\beta|<\frac{|\beta|}{2}となるN0N_0をとる。このときn≥N0n\ge N_0ならば∣bn∣>∣β∣2|b_n|>\frac{|\beta|}{2}であるから、bn≠0b_n\ne0である。k≥1k\ge1に対してa~k=aN0+k−1\widetilde a_k=a_{N_0+k-1}、b~k=bN0+k−1\widetilde b_k=b_{N_0+k-1}、rk=1/b~kr_k=1/\widetilde b_kとおく。a~k→α\widetilde a_k\to\alpha、b~k→β\widetilde b_k\to\betaであり、

<2∣β∣2∣b~k−β∣.<\frac{2}{|\beta|^2}|\widetilde b_k-\beta|.

ε>0\varepsilon>0に対し、b~k→β\widetilde b_k\to\betaよりk≥Kk\ge Kで∣b~k−β∣<∣β∣22ε|\widetilde b_k-\beta|<\dfrac{|\beta|^2}{2}\varepsilonとなるKKをとると、k≥Kk\ge Kで∣rk−1/β∣<ε\left|r_k-1/\beta\right|<\varepsilonとなる。したがってrk→1/βr_k\to1/\betaである。(4)を(a~k)(\widetilde a_k)と(rk)(r_k)に適用すると、

aN0+k−1bN0+k−1=a~krk→αβ.\frac{a_{N_0+k-1}}{b_{N_0+k-1}}=\widetilde a_kr_k\to\frac\alpha\beta.

ゆえに、(an/bn)n≥N0\left(a_n/b_n\right)_{n\ge N_0}はα/β\alpha/\betaに収束する。▨

「ε2\frac\varepsilon2ずつに割り振る」「max⁡\maxで番号を揃える」「bnb_nを下から∣β∣2\frac{|\beta|}2で押さえる」——これらが極限証明の定番の手筋です。

3 はさみうちの原理と使用例

もう一つ、極限計算で頻用する道具を証明しておきます。

定理 3.1 (はさみうちの原理).an≤cn≤bna_n \le c_n \le b_n（十分大きいnnで）かつan→La_n \to L,bn→Lb_n \to Lならばcn→Lc_n \to L。

証明.ε>0\varepsilon > 0を与える。an→La_n \to Lよりn≥N1n \ge N_1でL−ε<anL - \varepsilon < a_n、bn→Lb_n \to Lよりn≥N2n \ge N_2でbn<L+εb_n < L + \varepsilon。N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)とするとn≥Nn \ge NでL−ε<an≤cn≤bn<L+εL - \varepsilon < a_n \le c_n \le b_n < L + \varepsilon、すなわち∣cn−L∣<ε|c_n - L| < \varepsilon。▨

例 3.2.cn=sin⁡nnc_n = \dfrac{\sin n}{n}は−1n≤cn≤1n-\dfrac1n \le c_n \le \dfrac1nで両端が00に収束するからcn→0c_n \to 0。sin⁡n\sin n自体は振動して極限を持たないのに、nnで割れば00に収束する。極限法則だけでは扱えない振動因子を、はさみうちが処理する。

例 3.3 (極限法則の合わせ技).3n2−n2n2+5\dfrac{3n^2 - n}{2n^2 + 5}の極限は、分母分子をn2n^2で割って3−1/n2+5/n2\dfrac{3 - 1/n}{2 + 5/n^2}とし、§D1.4 系 2.2（1/n→01/n \to 0）と定理 2.1 (1)、定理 2.1 (5)を順に適用して3−02+0=32\dfrac{3 - 0}{2 + 0} = \dfrac32を得る。「まずnnの最高次で割る →1/n→01/n \to 0→ 極限法則」という有理式の定石が、法則の積み重ねで正当化される。

これらの法則はβ≠0\beta \ne 0など前提つきです。bn→0b_n \to 0のときan/bna_n/b_nが発散したり振動したりする（例：an=1a_n = 1,bn=1/nb_n = 1/nでan/bn=n→∞a_n/b_n = n \to \infty）のは、商の法則の前提が破れているから、と理解してください。

前提記事