§D1.23べき級数と収束半径

証明. 仮定より、ある$M>0$が存在して、すべての$n$について$|a_n x_0^{\,n}| \le M$となる。$|x|<|x_0|$とし、$t=\dfrac{|x|}{|x_0|}$とおくと$0 \le t<1$である。このとき

が成り立つ。$\sum M t^n$は公比$t$の等比級数で収束するから、§D1.21 定理 1.3により$\sum |a_n x^n|$は収束する。▨

証明.(1)を示す。$|x|<R$とする。$R=\infty$のとき$E$は上に有界でないので、$|x|<r$を満たす$r \in E$が存在する。$R<\infty$のとき、$|x|$は$E$の上界ではないので（$R$が最小の上界であることによる。§D1.4 命題 1.6を$\varepsilon=R-|x|$に対して用いてもよい）、やはり$|x|<r$を満たす$r \in E$が存在する。

$r \in E$であるから、$|x_0|=r$かつ$\sum a_n x_0^{\,n}$が収束するような$x_0$が存在する。収束する級数の項は$0$へ収束するから（§D1.21 命題 1.1）、数列$\{a_n x_0^{\,n}\}$は有界である。$|x|<r=|x_0|$であるから、補題 1.2により$\sum a_n x^n$は絶対収束する。

(2)を示す。$|x|>R$とする。もし$\sum a_n x^n$が収束するとすれば$|x| \in E$となり、$|x|>R=\sup E$に反する。したがって発散する。▨

証明.$x \ne 0$とし、$L<\dfrac{1}{|x|}$が成り立つとする。このとき$L<\theta<\dfrac1{|x|}$を満たす$\theta>0$を取ることができる（$L=0$のときも、$\theta$を$0<\theta<\frac1{|x|}$の範囲に取ればよい）。§D1.8 定理 2.7 (3)により、ある正の整数$N$が存在して、すべての$n\ge N$について$|a_n|^{1/n}<\theta$となる。したがって$|a_n x^n|<(\theta|x|)^n$である。$\theta|x|<1$であるから、等比級数との比較（§D1.21 定理 1.3）により$\sum a_n x^n$は絶対収束する。

$x \ne 0$とし、$L>\dfrac1{|x|}$が成り立つとする。このとき$L<\infty$ならば$\dfrac1{|x|}<\theta<L$を満たす$\theta$を取る。§D1.8 定理 2.7 (3)により、任意の正の整数$N$に対して、ある$k\ge N$が存在して$|a_k|^{1/k}>\theta$となる。$L=\infty$ならば$\dfrac1{|x|}<\theta$を満たす$\theta$を取る。同じ§D1.8 定理 2.7 (3)により、任意の正の整数$N$に対して、ある$k\ge N$が存在して$|a_k|^{1/k}>\theta$となる。いずれの場合も、その$k$について$|a_k x^k|>(\theta|x|)^k>1$である。したがって項$a_n x^n$は$0$へ収束せず、§D1.21 命題 1.1により$\sum a_n x^n$は発散する。

$0<L<\infty$のとき、$|x|<\frac1L$で収束し$|x|>\frac1L$で発散するので、収束半径の定義から$R=\frac1L$である。$L=0$のときはすべての$x$で収束するので$R=\infty$、$L=\infty$のときは$x \ne 0$のすべてで発散するので$R=0$である。▨

証明.$r<R$であるから、定理 1.4により$\sum|a_n|r^n$は収束する。$M_n=|a_n|r^n$とおくと、$|x| \le r$を満たすすべての$x$について$|a_n x^n| \le M_n$であり、$\sum M_n$は収束する。したがって§D1.22 定理 5.2により、$\{s_N\}$は$[-r,r]$上で一様収束する。▨

証明.$x_1 \in (-R,R)$を取り、$|x_1|<r<R$を満たす$r$を選ぶ。定理 3.1により、部分和の列は$[-r,r]$上で$f$へ一様収束する。各部分和は多項式であるから$[-r,r]$上連続で、§D1.22 定理 2.1により$f$は$[-r,r]$上連続である。とくに$x_1$で連続である。$x_1$は任意であったから、$f$は$(-R,R)$上連続である。▨

証明.$r=\max\{|c|,|d|\}$とおくと$r<R$であり、$[c,d] \subseteq [-r,r]$である。定理 3.1により、部分和の列$\{s_N\}$は$[-r,r]$上で$f$へ一様収束する。各$s_N$は多項式であるから連続であり、したがって可積分である（§D1.17 定理 2.5）。よって§D1.22 定理 3.1により

が成り立つ。

左辺を計算する。$S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$は多項式であり、有限個の和の微分は各項の微分の和に等しいので（§D1.6 定理 2.1の和についての法則から従う）、$S_N'=s_N$である。$s_N$は連続であるから§D1.19 定理 2.1により

である。左辺の数列が収束するので、右辺の部分和も収束し、両者の極限は等しくなる。▨

証明.$x=0$のときは第1項だけが残るので明らかである。$0<|x|<R$とし、$|x|<r<R$を満たす$r$を取る。定理 1.4により$\sum|a_n|r^n$は収束する。$t=\dfrac{|x|}{r}$とおくと$0<t<1$である。級数$\sum_{n\ge1}n\,t^{n-1}$は、隣り合う項の比が$\dfrac{(n+1)t^{n}}{n\,t^{n-1}}=\dfrac{n+1}{n}t \to t<1$となるので収束し（§D1.21 定理 2.1）、したがって項$n\,t^{n-1}$は$0$へ収束して有界である。その上界を$K$とすると

となり、§D1.21 定理 1.3により$\sum n|a_n||x|^{n-1}$は収束する。

$R<\infty$とし$|x|>R$とする。$\sum n\,a_n x^{n-1}$が収束すると仮定すると、§D1.21 命題 1.1により$n\,a_n x^{n-1} \to 0$となり、この数列は有界である。その上界を$M$とすると、$n\ge1$について$|a_n x^n|=|x|\cdot|a_n x^{n-1}| \le \dfrac{|x|M}{n} \le |x|M$であるから、数列$\{a_n x^n\}$は有界である。よって$|y|<|x|$を満たす任意の$y$に対し、補題 1.2により$\sum a_n y^n$は収束し、$|y| \le R$となる。$|y|$は$|x|$にいくらでも近く取ることができるので$|x| \le R$となり、$|x|>R$に反する。したがって発散する。

以上より、$\sum n\,a_n x^{n-1}$は$|x|<R$で収束し$|x|>R$で発散するので、その収束半径は$R$である。▨

証明.$x_1 \in (-R,R)$を取り、$|x_1|<r<R$を満たす$r$を選ぶ。以下、区間$[-r,r]$の上で考える。

部分和$s_N(x)=\sum_{n=0}^{N}a_n x^n$は多項式であるから微分可能で、その導関数$s_N'(x)=\sum_{n=1}^{N}n\,a_n x^{n-1}$も多項式であり連続である（有限個の和の微分が各項の微分の和に等しいことは、§D1.6 定理 2.1の和についての法則から従う）。

補題 4.2により$\sum n\,a_n x^{n-1}$の収束半径は$R$であるから、定理 3.1を$\sum n\,a_n x^{n-1}$へ適用すると、$\{s_N'\}$は$[-r,r]$上である関数$g$へ一様収束する。また$x_0=0 \in [-r,r]$について$s_N(0)=a_0$は収束する数列である。

したがって§D1.22 定理 4.2の仮定がすべて満たされ、$\{s_N\}$は$[-r,r]$上のある関数へ一様収束して、その関数は微分可能で導関数が$g$に等しくなる。$\{s_N\}$は$[-r,r]$上で$f$へ収束しているから、この関数は$f$である。よって$f$は$[-r,r]$で微分可能で$f'=g$であり、とくに$x_1$において$f'(x_1)=\sum_{n\ge1}n\,a_n x_1^{\,n-1}$が成り立つ。$x_1$は任意であったから、主張が従う。▨