§D1.5ε-N による数列の収束

最終更新

実数列が実数へ近づくことは、任意の誤差に対して十分後方のすべての項を評価することによって定式化します。本記事では、収束の定義を具体例へ適用した後、極限の一意性と部分列の性質を導き、実数への非収束と正の無限大への発散を区別します。

1 収束の定義と最初の例

定義 1.1 (数列の収束).(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}を実数列とし、L∈RL\in\mathbb Rとする。(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}がLLに 収束する (converge) とは、

∀ε∈R>0 ∃N∈Z≥1 ∀n∈Z≥1(n≥N⟹∣an−L∣<ε)\forall\varepsilon\in\mathbb R_{>0}\ \exists N\in\mathbb Z_{\geq1}\ \forall n\in\mathbb Z_{\geq1}\quad \bigl(n\geq N\Longrightarrow |a_n-L|<\varepsilon\bigr)

が成り立つことをいう。このときan→La_n\to Lと書き、LLを数列(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}の極限という。

例 1.2. 実数列(1/n)n∈Z≥1(1/n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}は00に収束する。

証明. 実数ε>0\varepsilon>0を取る。§D1.4 系 2.2により、ある正の整数NNが存在し、任意の正の整数n≥Nn\geq Nに対して

0<1n<ε0<\frac1n<\varepsilon

が成り立つ。したがって、任意の正の整数n≥Nn\geq Nに対して∣1/n−0∣=1/n<ε|1/n-0|=1/n<\varepsilonである。定義 1.1により1/n→01/n\to0である。▨

2 極限の一意性と部分列

命題 2.1 (極限の一意性).(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}を実数列とし、L,L′∈RL,L'\in\mathbb Rとする。an→La_n\to Lかつan→L′a_n\to L'ならばL=L′L=L'である。

証明.L≠L′L\neq L'と仮定し、ε=∣L−L′∣/2>0\varepsilon=|L-L'|/2>0と置く。an→La_n\to Lであるから、ある正の整数N1N_1が存在し、任意の正の整数n≥N1n\geq N_1に対して∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilonが成り立つ。同様に、ある正の整数N2N_2が存在し、任意の正の整数n≥N2n\geq N_2に対して∣an−L′∣<ε|a_n-L'|<\varepsilonが成り立つ。正の整数n=max⁡{N1,N2}n=\max\{N_1,N_2\}を取ると、

∣L−L′∣≤∣L−an∣+∣an−L′∣<2ε=∣L−L′∣|L-L'|\leq |L-a_n|+|a_n-L'|<2\varepsilon=|L-L'|

となる。これは実数∣L−L′∣|L-L'|が自分自身より小さいことを意味するので、L≠L′L\neq L'という仮定に反する。したがってL=L′L=L'である。▨

命題 2.2 (部分列への遺伝).(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}を実数列とし、L∈RL\in\mathbb Rとする。an→La_n\to Lならば、正の整数からなる任意の狭義単調増加列(nk)k∈Z≥1(n_k)_{k\in\mathbb Z_{\geq1}}に対してank→La_{n_k}\to Lである。

証明. 実数ε>0\varepsilon>0を取る。an→La_n\to Lであるから、ある正の整数NNが存在し、任意の正の整数n≥Nn\geq Nに対して∣an−L∣<ε|a_n-L|<\varepsilonが成り立つ。正の整数からなる狭義単調増加列は、任意の正の整数kkに対してnk≥kn_k\geq kを満たす。したがって、任意の正の整数k≥Nk\geq Nに対してnk≥k≥Nn_k\geq k\geq Nであり、∣ank−L∣<ε|a_{n_k}-L|<\varepsilonが成り立つ。ゆえにank→La_{n_k}\to Lである。▨

系 2.3.(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}を実数列とする。正の整数からなる狭義単調増加列(nk)k∈Z≥1(n_k)_{k\in\mathbb Z_{\geq1}}と(mk)k∈Z≥1(m_k)_{k\in\mathbb Z_{\geq1}}および相異なる実数L,L′L,L'が存在して、ank→La_{n_k}\to Lかつamk→L′a_{m_k}\to L'が成り立つならば、(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}はどの実数にも収束しない。

証明.an→Aa_n\to Aを満たす実数AAが存在すると仮定する。命題 2.2によりank→Aa_{n_k}\to Aかつamk→Aa_{m_k}\to Aである。命題 2.1をそれぞれの部分列へ適用するとL=AL=AかつL′=AL'=Aとなり、L≠L′L\neq L'に反する。したがって(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}はどの実数にも収束しない。▨

3 実数への非収束と正の無限大への発散

命題 3.1. 実数列(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}がどの実数にも収束しないことと、

∀L∈R ∃ε∈R>0 ∀N∈Z≥1 ∃n∈Z≥1(n≥N ∧ ∣an−L∣≥ε)\forall L\in\mathbb R\ \exists\varepsilon\in\mathbb R_{>0}\ \forall N\in\mathbb Z_{\geq1}\ \exists n\in\mathbb Z_{\geq1}\quad \bigl(n\geq N\ \land\ |a_n-L|\geq\varepsilon\bigr)

が成り立つことは同値である。

証明. 実数LLを固定する。定義 1.1の量化式を否定すると、

∃ε∈R>0 ∀N∈Z≥1 ∃n∈Z≥1(n≥N ∧ ∣an−L∣≥ε)\exists\varepsilon\in\mathbb R_{>0}\ \forall N\in\mathbb Z_{\geq1}\ \exists n\in\mathbb Z_{\geq1}\quad \bigl(n\geq N\ \land\ |a_n-L|\geq\varepsilon\bigr)

を得る。(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}がどの実数にも収束しないことは、この否定式が任意のL∈RL\in\mathbb Rに対して成り立つことに等しい。したがって主張の量化式を得る。▨

定義 3.2 (正の無限大への発散). 実数列(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}が正の無限大へ発散 (divergence to positive infinity) するとは、

∀M∈R ∃N∈Z≥1 ∀n∈Z≥1(n≥N⟹an>M)\forall M\in\mathbb R\ \exists N\in\mathbb Z_{\geq1}\ \forall n\in\mathbb Z_{\geq1}\quad \bigl(n\geq N\Longrightarrow a_n>M\bigr)

が成り立つことをいい、an→+∞a_n\to+\inftyと書く。記号+∞+\inftyは実数を表さず、この定義は実数を極限とする収束の定義とは異なる。

例 3.3. 実数列(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}をan=na_n=nによって定める。この数列は正の無限大へ発散し、どの実数にも収束しない。

証明. 実数MMを取る。§D1.4 命題 2.1によりM<NM<Nを満たす正の整数NNが存在する。任意の正の整数n≥Nn\geq Nに対してan=n≥N>Ma_n=n\geq N>Mであるから、an→+∞a_n\to+\inftyである。

実数LLを取ってε=1\varepsilon=1と置く。任意の正の整数NNに対して、§D1.4 命題 2.1により

n>max⁡{N,L+1}n>\max\{N,L+1\}

を満たす正の整数nnが存在する。このnnはn≥Nn\geq Nかつ∣an−L∣=n−L>1|a_n-L|=n-L>1を満たす。命題 3.1により(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}はどの実数にも収束しない。▨

例 3.4. 実数列(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}をan=(−1)na_n=(-1)^nによって定める。この数列は有界であるが、どの実数にも収束しない。

正の整数nnに対して∣an∣=1|a_n|=1であるから、この数列は有界である。正の整数kkに対して

a2k=1,a2k−1=−1a_{2k}=1,\qquad a_{2k-1}=-1

が成り立つ。任意の実数ε>0\varepsilon>0と任意の正の整数kkに対して∣a2k−1∣=0<ε|a_{2k}-1|=0<\varepsilonかつ∣a2k−1−(−1)∣=0<ε|a_{2k-1}-(-1)|=0<\varepsilonであるから、a2k→1a_{2k}\to1かつa2k−1→−1a_{2k-1}\to-1である。系 2.3により(an)n∈Z≥1(a_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}はどの実数にも収束しない。

前提記事