§D1.20広義積分

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リーマン積分は「有界閉区間上の有界関数」で定義しました。広義積分とは、この枠を超える場合——積分区間が無限、または関数が非有界——の積分を、極限として定義したものです。

1 定義：積分してから極限

定義 1.1 (広義積分). 広義積分 (improper integral) を、有限区間上のリーマン積分の次の極限として定める。a<ba<bとする。

  1. f ⁣:[a,b)→Rf\colon[a,b)\to\Rとし、すべてのt∈(a,b)t\in(a,b)についてf∣[a,t]f|_{[a,t]}がリーマン可積分であるとする。極限 lim⁡t→b−∫atf(x) dx\lim_{t\to b-}\int_a^t f(x)\,dx が有限の実数として存在するとき、∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dxは収束するといい、その極限を積分値と定める。
  2. f ⁣:(a,b]→Rf\colon(a,b]\to\Rとし、すべてのt∈(a,b)t\in(a,b)についてf∣[t,b]f|_{[t,b]}がリーマン可積分であるとする。極限 lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\lim_{t\to a+}\int_t^b f(x)\,dx が有限の実数として存在するとき、∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dxは収束するといい、その極限を積分値と定める。
  3. f ⁣:[a,∞)→Rf\colon[a,\infty)\to\Rとし、すべてのR>aR>aについてf∣[a,R]f|_{[a,R]}がリーマン可積分であるとする。極限 lim⁡R→∞∫aRf(x) dx\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx が有限の実数として存在するとき、∫a∞f(x) dx\displaystyle\int_a^\infty f(x)\,dxは収束するといい、その極限を積分値と定める。
  4. f ⁣:(−∞,b]→Rf\colon(-\infty,b]\to\Rとし、すべてのL<bL<bについてf∣[L,b]f|_{[L,b]}がリーマン可積分であるとする。極限 lim⁡L→−∞∫Lbf(x) dx\lim_{L\to-\infty}\int_L^b f(x)\,dx が有限の実数として存在するとき、∫−∞bf(x) dx\displaystyle\int_{-\infty}^b f(x)\,dxは収束するといい、その極限を積分値と定める。
  5. IIを(a,b)(a,b)、(a,∞)(a,\infty)、(−∞,b)(-\infty,b)、R\Rのいずれかとし、f ⁣:I→Rf\colon I\to\RがIIに含まれるすべての有界閉区間上でリーマン可積分であるとする。s∈Is\in Iを一つ選び、IIの左端をα\alpha、右端をβ\betaと書く。上の片側の定義による∫αsf(x) dx\displaystyle\int_\alpha^s f(x)\,dxと∫sβf(x) dx\displaystyle\int_s^\beta f(x)\,dxがともに収束するとき、 ∫If(x) dx=∫αsf(x) dx+∫sβf(x) dx\int_I f(x)\,dx=\int_\alpha^s f(x)\,dx+\int_s^\beta f(x)\,dx と定める。

各場合で、要求した極限の一つでも有限の実数として存在しないとき、その広義積分は発散するという。

命題 1.2.定義 1.1 (5)において、あるs∈Is\in Iに対する二つの片側広義積分が収束するならば、任意のt∈It\in Iに対する二つの片側広義積分も収束し、それらの和はssを用いた和に等しい。したがって、両側の広義積分の値は分割点に依存しない。

証明.s<ts<tとする。IIの左端へ近づく切断点をuu、右端へ近づく切断点をvvとする。u<s<t<vu<s<t<vのとき、§D1.17 定理 3.6により

∫utf(x) dx=∫usf(x) dx+∫stf(x) dx,∫svf(x) dx=∫stf(x) dx+∫tvf(x) dx\int_u^t f(x)\,dx=\int_u^s f(x)\,dx+\int_s^t f(x)\,dx, \qquad \int_s^v f(x)\,dx=\int_s^t f(x)\,dx+\int_t^v f(x)\,dx

である。第一式でuuを左端へ近づけ、第二式でvvを右端へ近づけると、

∫αtf=∫αsf+∫stf,∫tβf=∫sβf−∫stf\int_\alpha^t f=\int_\alpha^s f+\int_s^t f, \qquad \int_t^\beta f=\int_s^\beta f-\int_s^t f

を得る。右辺は有限であるから、ttによる二つの片側広義積分は収束し、それらの和はssによる和に等しい。t<st<sの場合もssとttを入れ替えた同じ計算で従う。▨

定義 1.3.定義 1.1の各場合で、ffを∣f∣|f|に置き換えた広義積分が収束するとき、ffの広義積分は 絶対収束 (absolute convergence) するという。ffの広義積分が収束し、∣f∣|f|の広義積分が発散するとき、ffの広義積分は 条件収束 (conditional convergence) するという。

定理 1.4.定義 1.1の局所的なリーマン可積分性の仮定を満たすffの広義積分が絶対収束するならば、ffの広義積分は収束する。

証明. まず、定義 1.1の片側の四場合を扱う。有限の切断区間上で

f+(x)=∣f(x)∣+f(x)2,f−(x)=∣f(x)∣−f(x)2f_+(x)=\frac{|f(x)|+f(x)}2, \qquad f_-(x)=\frac{|f(x)|-f(x)}2

とおく。§D1.17 定理 3.5と§D1.17 定理 3.2によりf+f_+とf−f_-は各切断区間上でリーマン可積分であり、0≤f±≤∣f∣0\leq f_\pm\leq |f|である。

右端へ切断区間を広げる場合はH±(t)=∫atf±H_\pm(t)=\int_a^t f_\pmとおく。§D1.17 定理 3.6とf±≥0f_\pm\geq0によりH±H_\pmは単調増加し、§D1.17 命題 3.4により

0≤H±(t)≤∫at∣f(x)∣ dx0\leq H_\pm(t)\leq\int_a^t|f(x)|\,dx

である。右辺は切断点を右端へ近づける向きに単調増加して有限の極限をもつから、H±H_\pmは上に有界である。H±H_\pmの値全体の上限をM±M_\pmとおくと、任意のε>0\varepsilon>0に対してM±−ε<H±(t0)M_\pm-\varepsilon<H_\pm(t_0)となるt0t_0が存在する。t≥t0t\geq t_0ならば

M±−ε<H±(t0)≤H±(t)≤M±M_\pm-\varepsilon<H_\pm(t_0)\leq H_\pm(t)\leq M_\pm

であるから、切断点を右端へ近づけるとH±(t)→M±H_\pm(t)\to M_\pmとなる。左端へ切断区間を広げる場合はH±(t)=∫tbf±H_\pm(t)=\int_t^b f_\pmとおく。ttを左端へ近づける向きにH±H_\pmは単調増加して上に有界である。H±H_\pmの値全体の上限をM±M_\pmとし、M±−ε<H±(t0)M_\pm-\varepsilon<H_\pm(t_0)となるt0t_0を選ぶと、t≤t0t\leq t_0について

M±−ε<H±(t0)≤H±(t)≤M±M_\pm-\varepsilon<H_\pm(t_0)\leq H_\pm(t)\leq M_\pm

である。したがって、切断点を左端へ近づけるとH±(t)→M±H_\pm(t)\to M_\pmとなる。

各切断区間でf=f+−f−f=f_+-f_-であるから、§D1.17 定理 3.2により

∫f=∫f+−∫f−\int f=\int f_+-\int f_-

である。切断点を対応する端へ近づけると右辺は有限の極限をもち、片側の広義積分∫f\int fは収束する。

最後に、両側の場合には一つの分割点ssを選ぶ。∣f∣|f|の左右の片側広義積分がともに収束するから、すでに示した片側の場合によりffの左右の片側広義積分もともに収束する。したがって定義 1.1 (5)により両側の広義積分も収束する。▨

2 p-積分

命題 2.1.∫1∞dxxp\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}はp>1p > 1で収束（値1p−1\frac{1}{p-1}）、p≤1p \le 1で発散。

証明.p≠1p \ne 1なら∫1bx−p dx=b1−p−11−p\int_1^b x^{-p}\,dx = \dfrac{b^{1-p}-1}{1-p}。b→∞b\to\inftyでb1−p→0b^{1-p} \to 0（p>1p>1）または→∞\to\infty（p<1p<1）。p=1p=1なら∫1bdxx=log⁡b→∞\int_1^b \frac{dx}{x} = \log b \to \infty。以上より主張を得る。▨

「1x\frac1xは積分すると発散、1x2\frac1{x^2}は収束」という境目p=1p=1は、級数∑1np\sum\frac1{n^p}の収束の境目と対応します（§D1.21 定理 4.1）。

3 比較判定

値を求めずに収束の有無だけ言いたいときの基本道具です。

定理 3.1 (比較判定).0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x)（x≥ax \ge a）で、各有限区間で可積分とする。∫a∞g\int_a^\infty gが収束すれば∫a∞f\int_a^\infty fも収束する。

証明.F(b)=∫abfF(b) = \int_a^b fはf≥0f \ge 0よりbbについて単調増加である。またF(b)=∫abf≤∫abg≤∫a∞g=:SF(b) = \int_a^b f \le \int_a^b g \le \int_a^\infty g =: S（有限）で上に有界である。

M=sup⁡{F(b):b≥a}M=\sup\{F(b):b\geq a\}

とおく。任意のε>0\varepsilon>0に対して、上限の定義によりM−ε<F(b0)M-\varepsilon<F(b_0)となるb0≥ab_0\geq aが存在する。b≥b0b\geq b_0ならば、FFの単調性から

M−ε<F(b0)≤F(b)≤MM-\varepsilon<F(b_0)\leq F(b)\leq M

である。したがってb→∞b\to\inftyのときF(b)→MF(b)\to Mであり、∫a∞f\int_a^\infty fは収束する。▨

対偶で「∫f\int fが発散すれば∫g\int gも発散」も使えます。

4 条件収束する広義積分

級数と同じく、広義積分にも「収束するが絶対収束しない」ものがあります。

例 4.1.∫1∞sin⁡xx dx\displaystyle\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dxは収束するが、∫1∞∣sin⁡x∣x dx=∞\displaystyle\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx = \infty（条件収束）。前者は部分積分で∫1bsin⁡xx dx=[−cos⁡xx]1b−∫1bcos⁡xx2 dx\int_1^b \frac{\sin x}{x}\,dx = \Bigl[-\frac{\cos x}{x}\Bigr]_1^b - \int_1^b \frac{\cos x}{x^2}\,dxとすると、第1項はb→∞b \to \inftyでcos⁡1\cos 1に収束し、第2項は∣cos⁡xx2∣≤1x2\bigl|\frac{\cos x}{x^2}\bigr| \le \frac{1}{x^2}と比較判定（定理 3.1。∫1∞dxx2\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}の収束は命題 2.1）で絶対収束するので、全体が収束する。一方∣sin⁡x∣x≥sin⁡2xx=1−cos⁡2x2x\frac{|\sin x|}{x} \ge \frac{\sin^2 x}{x} = \frac{1 - \cos 2x}{2x}で、∫1∞dx2x\int_1^\infty \frac{dx}{2x}は発散し、∫1∞cos⁡2x2x dx\int_1^\infty \frac{\cos 2x}{2x}\,dxは上と同様に収束するから、差である∫1∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dxは発散する。

これは交代調和級数∑(−1)n−1n\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}の積分版で、プラスとマイナスの打ち消し合いで収束している「きわどい」収束です。この打ち消しに頼る収束は、絶対値をとると壊れるため、絶対可積分性を要求するルベーグ積分（測度と確率）では扱えません——リーマンの広義積分とルベーグ積分が食い違う、有名な例になっています。

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