§E1.2集合族

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平面の点は二つの実数の組で表され、数列は番号づけられた数の並びとして扱われ、位相の公理は開集合の集まりの和集合を要求する。どの場面でも、いくつかの対象を順序をつけて並べるか、または多くの集合に添字をつけて一斉に扱っている。ところが集合の言葉だけでは、この二つはまだ表されていない。集合は元の並び方を区別せず、a≠ba\neq bであっても{a,b}={b,a}\{a,b\}=\{b,a\}だからである。順序対は二つの元に第一と第二の区別を与え、添字集合をもつ族は、集合を一つずつ添字へ割り当てて並べる。本記事は、順序対と族を定義し、それらに対する直積、任意和および任意共通部分の基本法則を証明する。

1 順序対と有限個の直積

定義 1.1.aaとbbを集合とする。

(a,b)={{a},{a,b}}(a,b)=\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}

と定め、(a,b)(a,b)をaaとbbの順序対 (ordered pair) という。aaを第一成分、bbを第二成分という。

この定義から、(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d)であることとa=ca=cかつb=db=dであることが同値になる（命題 1.2）。以後、順序対についてはこの同値だけを用い、右辺の具体的な集合としての形は用いない。

命題 1.2.aa、bb、ccおよびddを集合とする。(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d)であることと、a=ca=cかつb=db=dであることは同値である。

証明.a=ca=cかつb=db=dであるとすると、{a}={c}\{a\}=\{c\}かつ{a,b}={c,d}\{a,b\}=\{c,d\}であるから(a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d)である。

逆に{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}=\bigl\{\{c\},\{c,d\}\bigr\}であるとする。まずa=ba=bの場合を扱う。このとき{a,b}={a}\{a,b\}=\{a\}であるから左辺は{{a}}\bigl\{\{a\}\bigr\}であり、{c}\{c\}と{c,d}\{c,d\}はいずれも{a}\{a\}に等しい。{c}={a}\{c\}=\{a\}からc=ac=aを得、{c,d}={a}\{c,d\}=\{a\}からd=a=bd=a=bを得る。

次にa≠ba\neq bの場合を扱う。{a}\{a\}は左辺の元であるから、{a}={c}\{a\}=\{c\}または{a}={c,d}\{a\}=\{c,d\}である。後者が成り立つとするとc=d=ac=d=aとなり、右辺は{{a}}\bigl\{\{a\}\bigr\}である。一方a≠ba\neq bにより{a}≠{a,b}\{a\}\neq\{a,b\}であるから、左辺は相異なる二つの元をもつ集合であり、右辺と等しくない。よって{a}={c}\{a\}=\{c\}であり、a=ca=cである。同様に{a,b}\{a,b\}は右辺の元であるから、{a,b}={c}\{a,b\}=\{c\}または{a,b}={c,d}\{a,b\}=\{c,d\}である。{a,b}={c}={a}\{a,b\}=\{c\}=\{a\}とするとb=ab=aとなって仮定に反するので、{a,b}={c,d}={a,d}\{a,b\}=\{c,d\}=\{a,d\}である。b∈{a,d}b\in\{a,d\}かつb≠ab\neq aであるからb=db=dである。▨

定義 1.3.X1X_1とX2X_2を集合とする。

X1×X2={(x1,x2)∣x1∈X1, x2∈X2}X_1\times X_2=\{(x_1,x_2)\mid x_1\in X_1,\ x_2\in X_2\}

と定め、この集合をX1X_1とX2X_2の直積 (Cartesian product) という。

n∈Z≥1n\in\mathbb Z_{\geq1}とする。nn個の対象x1,…,xnx_1,\dots,x_nに対するnn組(x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)を、nnについての再帰によって

(x1)=x1,(x1,…,xn)=(x1,(x2,…,xn))(n≥2)(x_1)=x_1, \qquad (x_1,\dots,x_n)=\bigl(x_1,(x_2,\dots,x_n)\bigr)\quad(n\geq2)

と定める。nn組(x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)に対して、xix_iをその第ii番目の成分 (component) という（命題 1.4により第ii成分は一意に定まる）。X1,…,XnX_1,\dots,X_nを集合として

X1×⋯×Xn={(x1,…,xn)∣xi∈Xi (1≤i≤n)}X_1\times\cdots\times X_n=\{(x_1,\dots,x_n)\mid x_i\in X_i\ (1\leq i\leq n)\}

と定め、この集合をX1,…,XnX_1,\dots,X_nの直積という。n=1n=1のとき右辺はX1X_1そのものであり、n=2n=2のときは二つの集合の直積に一致する。X1=⋯=Xn=XX_1=\cdots=X_n=Xである場合にはXnX^nと書く。

命題 1.4.n∈Z≥1n\in\mathbb Z_{\geq1}とし、x1,…,xnx_1,\dots,x_nとy1,…,yny_1,\dots,y_nを対象とする。(x1,…,xn)=(y1,…,yn)(x_1,\dots,x_n)=(y_1,\dots,y_n)であることと、すべてのiiについてxi=yix_i=y_iであることは同値である。

証明.nnについての帰納法による。n=1n=1のとき、定義により(x1)=x1(x_1)=x_1かつ(y1)=y1(y_1)=y_1であるから、主張はx1=y1x_1=y_1そのものである。

n≥2n\geq2とし、n−1n-1について主張が成り立つとする。定義により(x1,…,xn)=(x1,(x2,…,xn))(x_1,\dots,x_n)=\bigl(x_1,(x_2,\dots,x_n)\bigr)であり、(y1,…,yn)=(y1,(y2,…,yn))(y_1,\dots,y_n)=\bigl(y_1,(y_2,\dots,y_n)\bigr)である。命題 1.2により、この二つの順序対が等しいことと、x1=y1x_1=y_1かつ(x2,…,xn)=(y2,…,yn)(x_2,\dots,x_n)=(y_2,\dots,y_n)が成り立つことは同値である。帰納法の仮定により、後者の等式はxi=yix_i=y_i（2≤i≤n2\leq i\leq n）と同値である。▨

注意 1.5.n≥2n\geq2のとき、nn組(x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)はx1x_1と(n−1)(n-1)組(x2,…,xn)(x_2,\dots,x_n)との順序対であり、(n−1)(n-1)組(x1,…,xn−1)(x_1,\dots,x_{n-1})とxnx_nとの順序対ではない。したがって((x1,…,xn),xn+1)\bigl((x_1,\dots,x_n),x_{n+1}\bigr)と(x1,…,xn+1)(x_1,\dots,x_{n+1})は一般に相異なる対象であり、(X1×⋯×Xn)×Xn+1(X_1\times\cdots\times X_n)\times X_{n+1}とX1×⋯×Xn+1X_1\times\cdots\times X_{n+1}は一般に相異なる集合である。

両者の間には、((x1,…,xn),xn+1)\bigl((x_1,\dots,x_n),x_{n+1}\bigr)に(x1,…,xn+1)(x_1,\dots,x_{n+1})を対応させる全単射がある。実際、逆向きの対応(x1,…,xn+1)↦((x1,…,xn),xn+1)(x_1,\dots,x_{n+1})\mapsto\bigl((x_1,\dots,x_n),x_{n+1}\bigr)は命題 1.4により写像を定め、二つの合成はいずれも恒等写像であるから、§E1.1 命題 3.8により全単射である。位相空間の有限直積を扱う後続の単元は、この全単射が同相写像であることを用いる。

例 1.6.

  1. X={1,2}X=\{1,2\}とY={a,b,c}Y=\{a,b,c\}に対して、X×YX\times Yの元は(1,a)(1,a)、(1,b)(1,b)、(1,c)(1,c)、(2,a)(2,a)、(2,b)(2,b)および(2,c)(2,c)の六つである。
  2. 実数全体R\mathbb Rに対してR2=R×R\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb Rであり、その元は平面の点の座標に対応する。
  3. 任意の集合XXに対してX×∅=∅X\times\emptyset=\emptysetである。(x1,x2)∈X×∅(x_1,x_2)\in X\times\emptysetとなる元があればx2∈∅x_2\in\emptysetとなり、∅\emptysetが元をもたないことに反するからである。
  4. 二つの集合の直積は因子の順序に依存する。X={1}X=\{1\}、Y={2}Y=\{2\}とするとX×Y={(1,2)}X\times Y=\{(1,2)\}かつY×X={(2,1)}Y\times X=\{(2,1)\}であり、1≠21\neq2と命題 1.2により(1,2)≠(2,1)(1,2)\neq(2,1)であるから、この二つの集合は相異なる。

2 添字づけられた族と任意和・任意共通部分

定義 2.1.Λ\Lambdaを集合とする。Λ\Lambdaの各元λ\lambdaに対して一つの対象AλA_\lambdaを定める対応を、Λ\Lambdaを添字集合 (index set) とする族 (family) といい、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}または{Aλ}λ∈Λ\{A_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}と書く。どちらの記法も同じ対象を表す。族は集合として実現される。すなわち、族(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}とは順序対の集合

{(λ,Aλ)∣λ∈Λ}\{(\lambda,A_\lambda)\mid\lambda\in\Lambda\}

のことであり、これは各λ\lambdaに値AλA_\lambdaを割り当てる対応のグラフにほかならない。したがって外延性により、二つの族は、添字集合が等しく、かつ各添字における値が等しいとき、またそのときに限り等しい。各AλA_\lambdaが集合である族を集合族 (family of sets) という。

集合族(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}に対して

⋃λ∈ΛAλ={x∣x∈Aλ0 を満たす λ0∈Λ が存在する}\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\{x\mid x\in A_{\lambda_0}\text{ を満たす }\lambda_0\in\Lambda\text{ が存在する}\}

と定め、この集合を族の任意和 (union of a family) という。Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetであるとき

⋂λ∈ΛAλ={x∣すべての λ∈Λ について x∈Aλ}\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\{x\mid\text{すべての }\lambda\in\Lambda\text{ について }x\in A_\lambda\}

と定め、この集合を族の任意共通部分 (intersection of a family) という。添字集合が空である場合の値は注意 2.3が定める。

元がすべて集合である集合A\mathcal Aに対しては、A\mathcal A自身を添字集合とし、各A∈AA\in\mathcal AにAAを対応させる族の任意和と任意共通部分を

⋃A=⋃A∈AA,⋂A=⋂A∈AA(A≠∅)\bigcup\mathcal A=\bigcup_{A\in\mathcal A}A, \qquad \bigcap\mathcal A=\bigcap_{A\in\mathcal A}A\quad(\mathcal A\neq\emptyset)

と書く。以上の集合が存在することは、和の原理と分出の原理による。用いる原理そのものは「集合の存在原理」が扱う。

注意 2.2. 族と写像は異なるデータである。写像は定義域、終域およびグラフの三つを込みにしたものであり、終域を取り替えた写像はもとの写像と等しくない（§E1.1 定義 1.1）。族はこのうちグラフだけを取り出したものであり、終域を伴わない。したがって、族(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}の値をどの集合の元とみなすかは、族としての同一性に影響しない。

添字集合がΛ\Lambdaである族xxについて、各λ\lambdaに対する値x(λ)x(\lambda)をxλx_\lambdaとも書く。この規約と、族の相等が添字集合と値だけで決まることは、定義 5.1で直積の元を比較するときに用いる。

注意 2.3.XXを集合とし、XXの部分集合からなる空な集合族、すなわち添字集合が空である族を考える。任意和については定義をそのまま適用して

⋃λ∈∅Aλ=∅\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=\emptyset

である。共通部分については、条件「すべてのλ∈∅\lambda\in\emptysetについてx∈Aλx\in A_\lambda」がどのxxについても空虚に成り立つので、値の範囲を制限しなければ集合が定まらない。そこで、XXの部分集合からなる空な集合族については

⋂λ∈∅Aλ=X\bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=X

と定める。

この規約は全体集合XXに依存する。したがって、空な集合族の共通部分を書く場合には、どの集合の部分集合からなる族を考えているかを明示する。定理 3.2では、補集合を取る全体集合と、この規約で採る全体集合を同じXXにそろえる。

命題 2.4.Λ\Lambdaを添字集合、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合族、BBを集合とする。

  1. 各μ∈Λ\mu\in\LambdaについてAμ⊆⋃λ∈ΛAλA_\mu\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaである。
  2. 各μ∈Λ\mu\in\Lambdaについて⋂λ∈ΛAλ⊆Aμ\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\subseteq A_\muである。
  3. すべてのλ∈Λ\lambda\in\LambdaについてAλ⊆BA_\lambda\subseteq Bであるならば、⋃λ∈ΛAλ⊆B\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\subseteq Bである。
  4. Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetであり、すべてのλ∈Λ\lambda\in\LambdaについてB⊆AλB\subseteq A_\lambdaであるならば、B⊆⋂λ∈ΛAλB\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaである。

(2)ではμ∈Λ\mu\in\LambdaによりΛ≠∅\Lambda\neq\emptysetであるから、任意共通部分が定まる。

証明.(1)μ∈Λ\mu\in\Lambdaをとる。x∈Aμx\in A_\muとすると、λ0=μ\lambda_0=\muがx∈Aλ0x\in A_{\lambda_0}を満たすのでx∈⋃λ∈ΛAλx\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaである。

(2)μ∈Λ\mu\in\Lambdaをとる。x∈⋂λ∈ΛAλx\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaとすると、すべてのλ\lambdaについてx∈Aλx\in A_\lambdaであるから、とくにx∈Aμx\in A_\muである。

(3)x∈⋃λ∈ΛAλx\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaとすると、x∈Aλ0x\in A_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在する。仮定によりAλ0⊆BA_{\lambda_0}\subseteq Bであるからx∈Bx\in Bである。

(4)x∈Bx\in Bとすると、仮定によりすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈Aλx\in A_\lambdaであるからx∈⋂λ∈ΛAλx\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaである。▨

例 2.5.

  1. Λ=Z≥1\Lambda=\mathbb Z_{\geq1}とし、An={k∈Z≥1∣n≤k}A_n=\{k\in\mathbb Z_{\geq1}\mid n\leq k\}とおく。1≤k1\leq kを満たす各kkはA1A_1に属するので⋃n≥1An=Z≥1\bigcup_{n\geq1}A_n=\mathbb Z_{\geq1}である。また、各k∈Z≥1k\in\mathbb Z_{\geq1}はAk+1A_{k+1}に属さないので⋂n≥1An=∅\bigcap_{n\geq1}A_n=\emptysetである。
  2. 定値族、すなわちすべてのλ∈Λ\lambda\in\LambdaについてAλ=AA_\lambda=Aである族については、Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetのとき⋃λ∈ΛAλ=A\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=Aかつ⋂λ∈ΛAλ=A\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=Aである。
  3. 集合XXの冪集合P(X)\mathcal P(X)については⋃P(X)=X\bigcup\mathcal P(X)=Xである。また∅∈P(X)\emptyset\in\mathcal P(X)であるから、命題 2.4 (2)により⋂P(X)=∅\bigcap\mathcal P(X)=\emptysetである。
  4. 族は値の集まりよりも細かいデータである。Λ={1,2}\Lambda=\{1,2\}としA1=A2={0}A_1=A_2=\{0\}とおいた族と、Λ′={1}\Lambda'=\{1\}としA1={0}A_1=\{0\}とおいた族は、添字集合が異なるので族としては相異なるが、値の集まりはどちらも{{0}}\bigl\{\{0\}\bigr\}である。任意和と任意共通部分はどちらの族についても{0}\{0\}である。

3 分配法則と一般のド・モルガン則

定理 3.1.AAを集合、Λ\Lambdaを添字集合、(Bλ)λ∈Λ(B_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合族とする。

  1. 任意のΛ\LambdaについてA∩⋃λ∈ΛBλ=⋃λ∈Λ(A∩Bλ)A\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A\cap B_\lambda)である。
  2. Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetであるときA∪⋂λ∈ΛBλ=⋂λ∈Λ(A∪Bλ)A\cup\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A\cup B_\lambda)である。

とくにΛ={1,2}\Lambda=\{1,2\}ととれば、二元の族に対する二つの分配法則

A∩(B1∪B2)=(A∩B1)∪(A∩B2),A∪(B1∩B2)=(A∪B1)∩(A∪B2)A\cap(B_1\cup B_2)=(A\cap B_1)\cup(A\cap B_2), \qquad A\cup(B_1\cap B_2)=(A\cup B_1)\cap(A\cup B_2)

を得る。

証明.(1)x∈A∩⋃λ∈ΛBλx\in A\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaであることは、x∈Ax\in Aであり、かつx∈Bλ0x\in B_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することと同値である。これは、x∈A∩Bλ0x\in A\cap B_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在すること、すなわちx∈⋃λ∈Λ(A∩Bλ)x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A\cap B_\lambda)であることと同値である。Λ=∅\Lambda=\emptysetのときは両辺とも∅\emptysetである。

(2)x∈A∪⋂λ∈ΛBλx\in A\cup\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaとする。x∈Ax\in Aであればすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈A∪Bλx\in A\cup B_\lambdaであり、x∈⋂λ∈ΛBλx\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaであればすべてのλ\lambdaについてx∈Bλ⊆A∪Bλx\in B_\lambda\subseteq A\cup B_\lambdaである。いずれの場合もx∈⋂λ∈Λ(A∪Bλ)x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A\cup B_\lambda)である。

逆にx∈⋂λ∈Λ(A∪Bλ)x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(A\cup B_\lambda)とする。x∈Ax\in Aであればx∈A∪⋂λ∈ΛBλx\in A\cup\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaである。x∉Ax\notin Aであるとすると、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈A∪Bλx\in A\cup B_\lambdaかつx∉Ax\notin Aであるからx∈Bλx\in B_\lambdaであり、Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetにより⋂λ∈ΛBλ\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaが定まってx∈⋂λ∈ΛBλx\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaである。▨

定理 3.2.XXを集合、Λ\Lambdaを添字集合とし、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXの部分集合からなる集合族とする。XXの部分集合AAに対して、差集合X∖AX\setminus AをXXにおけるAAの補集合という。Λ=∅\Lambda=\emptysetである場合には、和集合と共通部分の値を注意 2.3の規約により定める。ただし全体集合は、補集合を取る集合と同じXXにとる。

  1. X∖⋃λ∈ΛAλ=⋂λ∈Λ(X∖Aλ)X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_\lambda)である。
  2. X∖⋂λ∈ΛAλ=⋃λ∈Λ(X∖Aλ)X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_\lambda)である。
  3. XXの部分集合AAについてX∖(X∖A)=AX\setminus(X\setminus A)=Aである。
  4. ⋂λ∈ΛAλ=X∖⋃λ∈Λ(X∖Aλ)\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda=X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_\lambda)である。すなわち、任意共通部分は補集合と任意和とによって表される。

Λ\Lambdaに条件を課していないので、Λ={1,…,n}\Lambda=\{1,\dots,n\}ととれば有限個の場合の

X∖⋃i=1nAi=⋂i=1n(X∖Ai),X∖⋂i=1nAi=⋃i=1n(X∖Ai)X\setminus\bigcup_{i=1}^{n}A_i=\bigcap_{i=1}^{n}(X\setminus A_i), \qquad X\setminus\bigcap_{i=1}^{n}A_i=\bigcup_{i=1}^{n}(X\setminus A_i)

を得、さらにΛ={1,2}\Lambda=\{1,2\}ととれば二つの部分集合A,B⊆XA,B\subseteq Xに対する

X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B),X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B), \qquad X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B)

を得る。

証明. はじめの二つを示す。まずΛ≠∅\Lambda\neq\emptysetとする。

(1)x∈X∖⋃λ∈ΛAλx\in X\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaであることは、x∈Xx\in Xであり、かつどのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてもx∉Aλx\notin A_\lambdaであることと同値であり、これはすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈X∖Aλx\in X\setminus A_\lambdaであることと同値である。実際、後者から前者を導く箇所ではΛ≠∅\Lambda\neq\emptysetによりλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaをとり、x∈X∖Aλ0x\in X\setminus A_{\lambda_0}からx∈Xx\in Xを得る。

(2)x∈X∖⋂λ∈ΛAλx\in X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaであることは、x∈Xx\in Xであり、かつx∉Aλ0x\notin A_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することと同値であり、これはx∈X∖Aλ0x\in X\setminus A_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することと同値である。

Λ=∅\Lambda=\emptysetとする。族(X∖Aλ)λ∈∅(X\setminus A_\lambda)_{\lambda\in\emptyset}もまたXXの部分集合からなる空な集合族であるから、注意 2.3により

⋃λ∈∅Aλ=∅,⋂λ∈∅Aλ=X,⋃λ∈∅(X∖Aλ)=∅,⋂λ∈∅(X∖Aλ)=X\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=\emptyset, \qquad \bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=X, \qquad \bigcup_{\lambda\in\emptyset}(X\setminus A_\lambda)=\emptyset, \qquad \bigcap_{\lambda\in\emptyset}(X\setminus A_\lambda)=X

である。(1)はX∖∅=XX\setminus\emptyset=Xから従い、(2)はX∖X=∅X\setminus X=\emptysetから従う。

(3)x∈X∖(X∖A)x\in X\setminus(X\setminus A)であることは、x∈Xx\in Xかつx∉X∖Ax\notin X\setminus Aであること、すなわちx∈Xx\in Xかつx∈Ax\in Aであることと同値であり、A⊆XA\subseteq Xによりこれはx∈Ax\in Aと同値である。

(4)各X∖AλX\setminus A_\lambdaはXXの部分集合であるから、(1)を族(X∖Aλ)λ∈Λ(X\setminus A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}へ適用し、(3)を各AλA_\lambdaへ適用して

X∖⋃λ∈Λ(X∖Aλ)=⋂λ∈Λ(X∖(X∖Aλ))=⋂λ∈ΛAλX\setminus\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus A_\lambda)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\bigl(X\setminus(X\setminus A_\lambda)\bigr)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda

を得る。▨

例 3.3.定理 3.2で二つの全体集合をそろえる仮定は、Λ=∅\Lambda=\emptysetの場合に外すことができない。Y={0,1}Y=\{0,1\}、X={0}X=\{0\}とし、Λ=∅\Lambda=\emptysetとする。空な集合族の共通部分をXXではなくYYと定めたとすると、定理 3.2 (1)の右辺⋂λ∈∅(X∖Aλ)\bigcap_{\lambda\in\emptyset}(X\setminus A_\lambda)はY={0,1}Y=\{0,1\}となる。一方、左辺はX∖⋃λ∈∅Aλ=X∖∅={0}X\setminus\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_\lambda=X\setminus\emptyset=\{0\}である。{0}≠{0,1}\{0\}\neq\{0,1\}であるから等式は成り立たない。

4 像と逆像との交換則

定理 4.1.f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、Λ\Lambdaを添字集合とし、(Bλ)λ∈Λ(B_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をYYの部分集合からなる集合族とする。

  1. 任意のΛ\Lambdaについてf−1(⋃λ∈ΛBλ)=⋃λ∈Λf−1(Bλ)f^{-1}\bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\bigr)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_\lambda)である。
  2. Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetであるときf−1(⋂λ∈ΛBλ)=⋂λ∈Λf−1(Bλ)f^{-1}\bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\bigr)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_\lambda)である。

元がすべてYYの部分集合である集合B\mathcal Bに対しては、B\mathcal B自身を添字集合とする族へ(1)を適用してf−1(⋃B)=⋃B∈Bf−1(B)f^{-1}\bigl(\bigcup\mathcal B\bigr)=\bigcup_{B\in\mathcal B}f^{-1}(B)を得る。

証明.(1)逆像の定義により、x∈f−1(⋃λ∈ΛBλ)x\in f^{-1}\bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\bigr)であることはf(x)∈⋃λ∈ΛBλf(x)\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaであることと同値である。これはf(x)∈Bλ0f(x)\in B_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在すること、すなわちx∈f−1(Bλ0)x\in f^{-1}(B_{\lambda_0})を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することと同値であり、x∈⋃λ∈Λf−1(Bλ)x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_\lambda)であることと同値である。

(2)同様に、x∈f−1(⋂λ∈ΛBλ)x\in f^{-1}\bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda\bigr)であることはf(x)∈⋂λ∈ΛBλf(x)\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambdaであることと同値であり、これはすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてf(x)∈Bλf(x)\in B_\lambdaであること、すなわちすべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈f−1(Bλ)x\in f^{-1}(B_\lambda)であることと同値である。Λ≠∅\Lambda\neq\emptysetにより、両辺の共通部分がいずれも定まる。▨

定理 4.2.f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、Λ\Lambdaを添字集合とし、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXの部分集合からなる集合族とする。任意のΛ\Lambdaについて

f(⋃λ∈ΛAλ)=⋃λ∈Λf(Aλ)f\Bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\Bigr)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_\lambda)

が成り立つ。

証明. 像の定義により、y∈f(⋃λ∈ΛAλ)y\in f\bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\bigr)であることは、y=f(x)y=f(x)を満たすx∈⋃λ∈ΛAλx\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaが存在することと同値である。これは、λ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaとx∈Aλ0x\in A_{\lambda_0}であってy=f(x)y=f(x)を満たすものが存在すること、すなわちy∈f(Aλ0)y\in f(A_{\lambda_0})を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaが存在することと同値であり、y∈⋃λ∈Λf(Aλ)y\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f(A_\lambda)であることと同値である。Λ=∅\Lambda=\emptysetのときは両辺とも∅\emptysetである。▨

命題 4.3.f ⁣:X→Yf\colon X\to Yを写像、Λ\Lambdaを空でない添字集合とし、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}をXXの部分集合からなる集合族とする。

f(⋂λ∈ΛAλ)⊆⋂λ∈Λf(Aλ)f\Bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\Bigr)\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_\lambda)

が成り立つ。

証明.y∈f(⋂λ∈ΛAλ)y\in f\bigl(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\bigr)とし、y=f(x)y=f(x)を満たすx∈⋂λ∈ΛAλx\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaをとる。各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈Aλx\in A_\lambdaであるからy=f(x)∈f(Aλ)y=f(x)\in f(A_\lambda)であり、y∈⋂λ∈Λf(Aλ)y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_\lambda)である。▨

例 4.4.命題 4.3の包含は一般に等号にならない。f ⁣:Z→{0,1}f\colon\mathbb Z\to\{0,1\}を、kkが偶数のときf(k)=0f(k)=0、kkが奇数のときf(k)=1f(k)=1と定める。Λ=Z≥1\Lambda=\mathbb Z_{\geq1}とし、An={k∈Z∣n≤k}A_n=\{k\in\mathbb Z\mid n\leq k\}とおく。各nnについてAnA_nはnnとn+1n+1を含み、この二つは一方が偶数で他方が奇数であるからf(An)={0,1}f(A_n)=\{0,1\}であり、したがって⋂n∈Λf(An)={0,1}\bigcap_{n\in\Lambda}f(A_n)=\{0,1\}である。一方、各k∈Zk\in\mathbb Zについてk<nk<nを満たすn∈Λn\in\Lambdaをとればk∉Ank\notin A_nであるから⋂n∈ΛAn=∅\bigcap_{n\in\Lambda}A_n=\emptysetであり、

f(⋂n∈ΛAn)=f(∅)=∅f\Bigl(\bigcap_{n\in\Lambda}A_n\Bigr)=f(\emptyset)=\emptyset

である。この族は、有限個のn1,…,nr∈Λn_1,\dots,n_r\in\LambdaをどうとってもAn1∩⋯∩Anr=Amax⁡{n1,…,nr}≠∅A_{n_1}\cap\cdots\cap A_{n_r}=A_{\max\{n_1,\dots,n_r\}}\neq\emptysetを満たす。すなわち破れは、族のうちの二つが交わらないことから生じるのではなく、無限個にわたって共通部分を取ることから生じる。等号が成り立つためのffについての条件は「写像」が扱う。

5 添字集合をもつ直積

定義 5.1.IIを集合とし、(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}を集合族とする。IIを添字集合とする族xxであって、すべてのi∈Ii\in Iについてx(i)∈Aix(i)\in A_iを満たすものの全体を

∏i∈IAi\prod_{i\in I}A_i

と書き、この集合を族(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}の直積という。

一般に、BBを集合とするとき、IIを添字集合とし値がすべてBBに属する族の全体をBIB^Iと書く。族は順序対の集合であるから、そのような族はどれもI×BI\times Bの部分集合であり、BIB^Iは冪集合P(I×B)\mathcal P(I\times B)から分出される。直積の元の値はすべて⋃i∈IAi\bigcup_{i\in I}A_iに属するので、B=⋃i∈IAiB=\bigcup_{i\in I}A_iととれば

∏i∈IAi={ x∈(⋃i∈IAi)I ∣ ∀i∈I, x(i)∈Ai }\prod_{i\in I}A_i=\Bigl\{\,x\in\Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr)^{I}\ \Bigm|\ \forall i\in I,\ x(i)\in A_i\,\Bigr\}

である。とくに、IIが集合であり各AiA_iが集合であるならば、この直積は集合である。以上の集合が存在することは、和、冪および分出の原理による。用いる原理そのものは「集合の存在原理」が扱う。

μ∈I\mu\in Iに対して、pμ(x)=x(μ)p_\mu(x)=x(\mu)によって定まる写像pμ ⁣:∏i∈IAi→Aμp_\mu\colon\prod_{i\in I}A_i\to A_\muを、第μ\mu成分への射影 (projection) という。射影をπμ\pi_\muとも書く。直積の元xxについて、値x(i)x(i)をxix_iとも書き、xx自身を(xi)i∈I(x_i)_{i\in I}とも書く。すべてのi∈Ii\in IについてAi=AA_i=Aである定値族の直積はAIA^Iである。

命題 5.2.IIを集合とし、(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}と(Yi)i∈I(Y_i)_{i\in I}を集合族とする。

  1. Ai0=∅A_{i_0}=\emptysetを満たすi0∈Ii_0\in Iが存在するならば、∏i∈IAi=∅\prod_{i\in I}A_i=\emptysetである。
  2. すべてのi∈Ii\in IについてAi⊆YiA_i\subseteq Y_iであるならば、∏i∈IAi⊆∏i∈IYi\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}Y_iである。

証明.(1)x∈∏i∈IAix\in\prod_{i\in I}A_iがあるとするとxi0∈Ai0x_{i_0}\in A_{i_0}となり、Ai0A_{i_0}が元をもたないことに反する。よって∏i∈IAi\prod_{i\in I}A_iは元をもたない。

(2)x∈∏i∈IAix\in\prod_{i\in I}A_iとすると、xxはIIを添字集合とする族であって、各i∈Ii\in Iについてxi∈Ai⊆Yix_i\in A_i\subseteq Y_iを満たす。よってx∈∏i∈IYix\in\prod_{i\in I}Y_iである。▨

注意 5.3. 添字集合が空である場合の直積を調べる。Λ=∅\Lambda=\emptysetとすると、∅\emptysetを添字集合とする族は、値を一つも定めない族ただ一つである。条件「すべてのλ∈∅\lambda\in\emptysetについてxλ∈Xλx_\lambda\in X_\lambda」はこの族について空虚に成り立つ。したがって

∏λ∈∅Xλ\prod_{\lambda\in\emptyset}X_\lambda

は、この空な族ただ一つを元とする一元集合である。

命題 5.4.n∈Z≥1n\in\mathbb Z_{\geq1}とし、X1,…,XnX_1,\dots,X_nを集合、Λ={1,…,n}\Lambda=\{1,\dots,n\}とする。x∈∏λ∈ΛXλx\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaに対してΦ(x)=(x1,…,xn)\Phi(x)=(x_1,\dots,x_n)と定めると、

Φ ⁣:∏λ∈ΛXλ⟶X1×⋯×Xn\Phi\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\longrightarrow X_1\times\cdots\times X_n

は全単射である。さらにΦ\Phiは各座標を保つ。すなわち、pr⁡i ⁣:X1×⋯×Xn→Xi\operatorname{pr}_i\colon X_1\times\cdots\times X_n\to X_iを第ii成分への射影、πi ⁣:∏λ∈ΛXλ→Xi\pi_i\colon\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\to X_iを定義 5.1の射影とすると、1≤i≤n1\leq i\leq nについて

pr⁡i∘Φ=πi,πi∘Φ−1=pr⁡i\operatorname{pr}_i\circ\Phi=\pi_i, \qquad \pi_i\circ\Phi^{-1}=\operatorname{pr}_i

が成り立つ。

証明.x∈∏λ∈ΛXλx\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaをとる。各iiについてxi∈Xix_i\in X_iであるから(x1,…,xn)∈X1×⋯×Xn(x_1,\dots,x_n)\in X_1\times\cdots\times X_nであり、Φ\Phiは写像である。

逆向きの対応を定める。t∈X1×⋯×Xnt\in X_1\times\cdots\times X_nに対して、命題 1.4により第ii成分tit_iは一意に定まるので、λ↦tλ\lambda\mapsto t_\lambda（λ∈Λ\lambda\in\Lambda）はΛ\Lambdaを添字集合とする族を定める。この族をΨ(t)\Psi(t)と書くと、各λ\lambdaについてtλ∈Xλt_\lambda\in X_\lambdaであるからΨ(t)∈∏λ∈ΛXλ\Psi(t)\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaであり、Ψ ⁣:X1×⋯×Xn→∏λ∈ΛXλ\Psi\colon X_1\times\cdots\times X_n\to\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaは写像である。

t∈X1×⋯×Xnt\in X_1\times\cdots\times X_nに対してΦ(Ψ(t))=(t1,…,tn)=t\Phi(\Psi(t))=(t_1,\dots,t_n)=tである。x∈∏λ∈ΛXλx\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaに対して、Ψ(Φ(x))\Psi(\Phi(x))はλ↦xλ\lambda\mapsto x_\lambdaで定まる族であり、添字集合と各添字における値がxxと一致するのでΨ(Φ(x))=x\Psi(\Phi(x))=xである。よってΨ\PsiはΦ\Phiの逆写像であり、§E1.1 命題 3.8によりΦ\Phiは全単射である。

座標については、x∈∏λ∈ΛXλx\in\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambdaと1≤i≤n1\leq i\leq nに対してpr⁡i(Φ(x))=xi=πi(x)\operatorname{pr}_i(\Phi(x))=x_i=\pi_i(x)であり、t∈X1×⋯×Xnt\in X_1\times\cdots\times X_nに対してπi(Φ−1(t))=πi(Ψ(t))=ti=pr⁡i(t)\pi_i(\Phi^{-1}(t))=\pi_i(\Psi(t))=t_i=\operatorname{pr}_i(t)である。▨

命題 5.5.Λ\Lambdaを添字集合とし、(Uλ)λ∈Λ(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}と(Vλ)λ∈Λ(V_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合族とする。

(∏λ∈ΛUλ)∩(∏λ∈ΛVλ)=∏λ∈Λ(Uλ∩Vλ)\Bigl(\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\Bigr)\cap\Bigl(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda\Bigr)=\prod_{\lambda\in\Lambda}(U_\lambda\cap V_\lambda)

が成り立つ。

証明.xxが左辺に属するとする。xxはΛ\Lambdaを添字集合とする族であって、すべてのλ\lambdaについてxλ∈Uλx_\lambda\in U_\lambdaを満たし、かつすべてのλ\lambdaについてxλ∈Vλx_\lambda\in V_\lambdaを満たす。したがってすべてのλ\lambdaについてxλ∈Uλ∩Vλx_\lambda\in U_\lambda\cap V_\lambdaであり、xxは右辺に属する。

逆にxxが右辺に属するとする。xxはΛ\Lambdaを添字集合とする族であって、すべてのλ\lambdaについてxλ∈Uλ∩Vλx_\lambda\in U_\lambda\cap V_\lambdaを満たす。とくにすべてのλ\lambdaについてxλ∈Uλx_\lambda\in U_\lambdaであり、かつすべてのλ\lambdaについてxλ∈Vλx_\lambda\in V_\lambdaであるから、xxは左辺の二つの直積のどちらにも属する。▨

例 5.6. 直積は共通部分とは交換するが、和集合とは交換しない。Λ={1,2}\Lambda=\{1,2\}とし、U1=U2={0}U_1=U_2=\{0\}、V1=V2={1}V_1=V_2=\{1\}とおく。∏λ∈ΛUλ\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambdaの元はx1=x2=0x_1=x_2=0を満たす族ただ一つであり、∏λ∈ΛVλ\prod_{\lambda\in\Lambda}V_\lambdaの元はx1=x2=1x_1=x_2=1を満たす族ただ一つであるから、二つの和集合は二つの元をもつ。一方Uλ∪Vλ={0,1}U_\lambda\cup V_\lambda=\{0,1\}であるから、∏λ∈Λ(Uλ∪Vλ)\prod_{\lambda\in\Lambda}(U_\lambda\cup V_\lambda)の元は(x1,x2)(x_1,x_2)が(0,0)(0,0)、(0,1)(0,1)、(1,0)(1,0)および(1,1)(1,1)のいずれかである四つの族である。とくにx1=0x_1=0かつx2=1x_2=1を満たす族は左辺のどちらの直積にも属さない。したがって

(∏λ∈ΛUλ)∪(∏λ∈ΛVλ)⊊∏λ∈Λ(Uλ∪Vλ)\Bigl(\prod_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\Bigr)\cup\Bigl(\prod_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda\Bigr)\subsetneq\prod_{\lambda\in\Lambda}(U_\lambda\cup V_\lambda)

である。

注意 5.7. 選択公理を仮定する。(Xλ)λ∈Λ(X_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合族とし、すべてのλ∈Λ\lambda\in\LambdaについてXλ≠∅X_\lambda\neq\emptysetであるとすると、∏λ∈ΛXλ≠∅\prod_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\neq\emptysetである。この含意は選択公理と同値であり、選択公理を仮定しなければ証明することができない。

一般に選択公理が要るのは次の理由による。直積の元は、各λ\lambdaに対してXλX_\lambdaの元を一つずつ指定する族であり、Λ\Lambdaが無限である場合には、この指定を一斉に行う規則が仮定から得られないからである。Λ\Lambdaが有限である場合には、Λ\Lambdaの元の個数についての帰納法によって、選択公理を用いずに導くことができる。選択公理の定式化と、それと同値な主張は「選択公理と Zorn の補題」が扱う。

例 5.8.

  1. I=Z≥1I=\mathbb Z_{\geq1}とし、すべてのnnについてAn=ZA_n=\mathbb Zとおく。∏n∈Z≥1Z=ZZ≥1\prod_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}\mathbb Z=\mathbb Z^{\mathbb Z_{\geq1}}であり、その元は整数列にほかならない。
  2. I={1,2}I=\{1,2\}、A1={a,b}A_1=\{a,b\}、A2={c}A_2=\{c\}とおくと、∏i∈IAi\prod_{i\in I}A_iは二つの元をもつ。命題 5.4のΦ\Phiによる像は{(a,c),(b,c)}=A1×A2\{(a,c),(b,c)\}=A_1\times A_2である。
  3. I={1,2}I=\{1,2\}、A1={a}A_1=\{a\}、A2=∅A_2=\emptysetとおくと、命題 5.2 (1)により∏i∈IAi=∅\prod_{i\in I}A_i=\emptysetである。因子の一つが空であれば、他の因子が空でなくても直積は空である。

本記事が定義した直積は、「二項演算」が演算の定義域として、「準同型と商」が成分ごとの演算を備えた直積として用いる。任意和と任意共通部分は、「Boolean 代数」における冪集合の分配法則と、後続の単元における位相の公理が用いる。

6 演習

問題 6.1.Λ\LambdaとMMを添字集合、(Aλ)λ∈Λ(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}と(Bμ)μ∈M(B_\mu)_{\mu\in M}を集合族とする。直積Λ×M\Lambda\times Mを添字集合とする族(Aλ∩Bμ)(λ,μ)∈Λ×M(A_\lambda\cap B_\mu)_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times M}について

(⋃λ∈ΛAλ)∩(⋃μ∈MBμ)=⋃(λ,μ)∈Λ×M(Aλ∩Bμ)\Bigl(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\Bigr)\cap\Bigl(\bigcup_{\mu\in M}B_\mu\Bigr)=\bigcup_{(\lambda,\mu)\in\Lambda\times M}(A_\lambda\cap B_\mu)

が成り立つことを証明せよ。

解答.

xxが左辺に属するとする。x∈Aλ0x\in A_{\lambda_0}を満たすλ0∈Λ\lambda_0\in\Lambdaと、x∈Bμ0x\in B_{\mu_0}を満たすμ0∈M\mu_0\in Mが存在する。このとき(λ0,μ0)∈Λ×M(\lambda_0,\mu_0)\in\Lambda\times Mでありx∈Aλ0∩Bμ0x\in A_{\lambda_0}\cap B_{\mu_0}であるから、xxは右辺に属する。

逆にxxが右辺に属するとする。x∈Aλ0∩Bμ0x\in A_{\lambda_0}\cap B_{\mu_0}を満たす(λ0,μ0)∈Λ×M(\lambda_0,\mu_0)\in\Lambda\times Mが存在する。命題 1.2により第一成分λ0\lambda_0と第二成分μ0\mu_0は一意に定まる。x∈Aλ0x\in A_{\lambda_0}からx∈⋃λ∈ΛAλx\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambdaであり、x∈Bμ0x\in B_{\mu_0}からx∈⋃μ∈MBμx\in\bigcup_{\mu\in M}B_\muであるから、xxは左辺に属する。▨

問題 6.2.Λ\Lambdaを空でない添字集合、(Mλ)λ∈Λ(M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を集合族とし、各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて(Aλ,μ)μ∈Mλ(A_{\lambda,\mu})_{\mu\in M_\lambda}を集合族とする。選択公理を仮定して

⋂λ∈Λ⋃μ∈MλAλ,μ=⋃f∈∏λ∈ΛMλ ⋂λ∈ΛAλ,f(λ)\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\bigcup_{\mu\in M_\lambda}A_{\lambda,\mu}=\bigcup_{f\in\prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}\ \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda,f(\lambda)}

が成り立つことを証明せよ。右辺の添字集合は直積∏λ∈ΛMλ\prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambdaである。

解答.

xxが右辺に属するとする。f∈∏λ∈ΛMλf\in\prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambdaであって、すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてx∈Aλ,f(λ)x\in A_{\lambda,f(\lambda)}を満たすものが存在する。各λ\lambdaについてf(λ)∈Mλf(\lambda)\in M_\lambdaであるからx∈⋃μ∈MλAλ,μx\in\bigcup_{\mu\in M_\lambda}A_{\lambda,\mu}であり、xxは左辺に属する。この向きに選択公理は要らない。

逆にxxが左辺に属するとする。各λ∈Λ\lambda\in\Lambdaについて

Sλ={μ∈Mλ∣x∈Aλ,μ}S_\lambda=\{\mu\in M_\lambda\mid x\in A_{\lambda,\mu}\}

とおく。x∈⋃μ∈MλAλ,μx\in\bigcup_{\mu\in M_\lambda}A_{\lambda,\mu}であるからSλ≠∅S_\lambda\neq\emptysetであり、注意 5.7により∏λ∈ΛSλ≠∅\prod_{\lambda\in\Lambda}S_\lambda\neq\emptysetである。その元ffをとると、Sλ⊆MλS_\lambda\subseteq M_\lambdaと命題 5.2 (2)によりf∈∏λ∈ΛMλf\in\prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambdaである。すべてのλ∈Λ\lambda\in\Lambdaについてf(λ)∈Sλf(\lambda)\in S_\lambda、すなわちx∈Aλ,f(λ)x\in A_{\lambda,f(\lambda)}であるからx∈⋂λ∈ΛAλ,f(λ)x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda,f(\lambda)}であり、xxは右辺に属する。▨

問題 6.3.IIを集合、(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}と(Yi)i∈I(Y_i)_{i\in I}を集合族とする。

∏i∈IAi≠∅\prod_{i\in I}A_i\neq\emptysetかつ∏i∈IAi⊆∏i∈IYi\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}Y_iであるならば、すべてのi∈Ii\in IについてAi⊆YiA_i\subseteq Y_iであることを証明せよ。また、∏i∈IAi=∅\prod_{i\in I}A_i=\emptysetである場合には、∏i∈IAi⊆∏i∈IYi\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}Y_iからAi⊆YiA_i\subseteq Y_iが従わない例を挙げよ。

解答.

z∈∏i∈IAiz\in\prod_{i\in I}A_iをとる。i0∈Ii_0\in Iとa∈Ai0a\in A_{i_0}をとり、IIを添字集合とする族xxを

xi={a,i=i0,zi,i≠i0x_i= \begin{cases} a,&i=i_0,\\ z_i,&i\neq i_0 \end{cases}

によって定める。すべてのi∈Ii\in Iについてxi∈Aix_i\in A_iであるから、定義 5.1によりx∈∏i∈IAix\in\prod_{i\in I}A_iである。仮定によりx∈∏i∈IYix\in\prod_{i\in I}Y_iであるからa=xi0∈Yi0a=x_{i_0}\in Y_{i_0}である。a∈Ai0a\in A_{i_0}は任意であったからAi0⊆Yi0A_{i_0}\subseteq Y_{i_0}であり、i0∈Ii_0\in Iも任意であったから、すべてのi∈Ii\in IについてAi⊆YiA_i\subseteq Y_iである。

I={1,2}I=\{1,2\}、A1={0}A_1=\{0\}、A2=∅A_2=\emptyset、Y1=Y2=∅Y_1=Y_2=\emptysetとおく。命題 5.2 (1)により∏i∈IAi=∅\prod_{i\in I}A_i=\emptysetかつ∏i∈IYi=∅\prod_{i\in I}Y_i=\emptysetであるから包含∏i∈IAi⊆∏i∈IYi\prod_{i\in I}A_i\subseteq\prod_{i\in I}Y_iが成り立つ。しかしA1={0}A_1=\{0\}はY1=∅Y_1=\emptysetに含まれない。▨

問題 6.4.X1X_1を空でない集合とし、Λ={1}\Lambda=\{1\}とする。命題 5.4のn=1n=1の場合について、Φ\Phiが∏λ∈{1}Xλ\prod_{\lambda\in\{1\}}X_\lambdaとX1X_1の間の全単射を与えることを確かめよ。また、X1={∅}X_1=\{\emptyset\}である場合に、この二つが相異なる集合であることを示せ。

解答.

Φ\Phiはx∈∏λ∈{1}Xλx\in\prod_{\lambda\in\{1\}}X_\lambdaに(x1)=x1∈X1(x_1)=x_1\in X_1を対応させる。逆向きに、t∈X1t\in X_1に対して1↦t1\mapsto tで定まる族Ψ(t)\Psi(t)を対応させると、Φ(Ψ(t))=t\Phi(\Psi(t))=tであり、Ψ(Φ(x))\Psi(\Phi(x))は1↦x11\mapsto x_1で定まる族であってxxに等しい。したがってΦ\Phiは全単射であり、pr⁡1∘Φ=π1\operatorname{pr}_1\circ\Phi=\pi_1が成り立つ。

X1={∅}X_1=\{\emptyset\}とする。n=1n=1のとき、定義 1.3により有限直積はX1X_1そのものであり、その唯一の元∅\emptysetは元をもたない。一方∏λ∈{1}Xλ\prod_{\lambda\in\{1\}}X_\lambdaの唯一の元は、11に∅\emptysetを割り当てる族、すなわち定義 2.1により集合{(1,∅)}\{(1,\emptyset)\}であり、これは元(1,∅)(1,\emptyset)をもつ。もし∏λ∈{1}Xλ=X1\prod_{\lambda\in\{1\}}X_\lambda=X_1であるとすると、{(1,∅)}∈X1\{(1,\emptyset)\}\in X_1から{(1,∅)}=∅\{(1,\emptyset)\}=\emptysetとなり、(1,∅)∈∅(1,\emptyset)\in\emptysetに反する。したがってこの二つは相異なる集合である。▨

問題 6.5.IIを集合、(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}を集合族、μ∈I\mu\in Iとし、pμ ⁣:∏i∈IAi→Aμp_\mu\colon\prod_{i\in I}A_i\to A_\muを射影とする。∏i∈IAi≠∅\prod_{i\in I}A_i\neq\emptysetであるならばpμp_\muは全射であることを証明せよ。また、Ai0=∅A_{i_0}=\emptysetを満たすi0∈Ii_0\in Iが存在し、かつAμ≠∅A_\mu\neq\emptysetである場合にはpμp_\muが全射でないことを確かめよ。

解答.

z∈∏i∈IAiz\in\prod_{i\in I}A_iをとる。a∈Aμa\in A_\muに対して、IIを添字集合とする族xxを

xi={a,i=μ,zi,i≠μx_i= \begin{cases} a,&i=\mu,\\ z_i,&i\neq\mu \end{cases}

によって定める。すべてのi∈Ii\in Iについてxi∈Aix_i\in A_iであるからx∈∏i∈IAix\in\prod_{i\in I}A_iであり、pμ(x)=xμ=ap_\mu(x)=x_\mu=aである。a∈Aμa\in A_\muは任意であったからpμp_\muは全射である。

Ai0=∅A_{i_0}=\emptysetを満たすi0∈Ii_0\in Iが存在するとする。命題 5.2 (1)により∏i∈IAi=∅\prod_{i\in I}A_i=\emptysetであるから、pμp_\muの定義域は空であり、その像も空である。Aμ≠∅A_\mu\neq\emptysetであればこの像はAμA_\muと一致しないので、pμp_\muは全射ではない。▨

参考文献

  1. Paul R. Halmos, Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1974, originally published 1960.和集合と共通部分、順序対、および添字づけられた族と直積の扱いを参考にした。
  2. Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Academic Press, 1977.任意個の和集合と共通部分、順序対の特徴づけ、および無限個の直積の定義を参考にした。

前提記事