§E1.10Boolean 代数

例 1.3.$\mathbf 2=\{0,1\}$を$0<1$で順序づける。結びを最大値、交わりを最小値とすると、$\mathbf 2$は零元$0$と単位元$1$をもつ有界束である。$x=0$のとき$x\wedge(y\vee z)$と$(x\wedge y)\vee(x\wedge z)$はともに$0$であり、$x=1$のときはともに$y\vee z$であるから、第一の分配法則が成り立つ。$x=1$のとき$x\vee(y\wedge z)$と$(x\vee y)\wedge(x\vee z)$はともに$1$であり、$x=0$のときはともに$y\wedge z$であるから、第二の分配法則も成り立つ。$0$の補元は$1$であり、$1$の補元は$0$であるから、$\mathbf 2$は Boolean 代数である。

例 1.4. 集合$X$に対して、$\mathcal P(X)$は包含関係について完備束であり、その零元と単位元は$\emptyset$と$X$、結びと交わりは和集合と共通部分である（§E1.9 例 3.4）。二元の族に対する§E1.2 定理 3.1により二つの分配法則が成り立ち、$A\subseteq X$の補元は$X\setminus A$であるから、$\mathcal P(X)$は Boolean 代数である。$X=\emptyset$のとき$\mathcal P(X)$は一元集合であり、$0=1$となる場合を与える。

例 1.5. 集合$X$に対して、$A$と$X\setminus A$の少なくとも一方が有限集合であるような$A\subseteq X$の全体を$\mathrm{FC}(X)$と書く。$\emptyset$は有限集合であり、$X\setminus X=\emptyset$も有限集合であるから、$\emptyset$と$X$は$\mathrm{FC}(X)$に属する。$A\in\mathrm{FC}(X)$に対しては$X\setminus(X\setminus A)=A$であるから、$X\setminus A\in\mathrm{FC}(X)$である。$A,B\in\mathrm{FC}(X)$とする。有限合併と有限共通部分への閉性は§E1.9 例 3.4で示したので、$A\cup B$と$A\cap B$は$\mathrm{FC}(X)$に属する。

$A\cup B$と$A\cap B$は$\mathcal P(X)$における$\{A,B\}$の上限と下限であるから、$\mathrm{FC}(X)$における上限と下限でもある。よって$\mathrm{FC}(X)$は零元$\emptyset$と単位元$X$をもつ有界束であり、その結びと交わりは$\mathcal P(X)$のものの制限である。分配法則は$\mathcal P(X)$の元について成り立つから$\mathrm{FC}(X)$の元についても成り立ち、$A\in\mathrm{FC}(X)$の補元は$X\setminus A$である。したがって$\mathrm{FC}(X)$は Boolean 代数である。

$X=\mathbb N_{\geq 0}$とし、$E=\{2n\mid n\in\mathbb N_{\geq 0}\}$とすると、$E$と$\mathbb N_{\geq 0}\setminus E$はともに無限集合であるから$E\notin\mathrm{FC}(\mathbb N_{\geq 0})$であり、$\mathrm{FC}(\mathbb N_{\geq 0})$は$\mathcal P(\mathbb N_{\geq 0})$の真部分集合である。

例 2.1. 五元集合$M_3=\{0,a,b,c,1\}$に、$0<a<1$、$0<b<1$、$0<c<1$であり、$a$、$b$、$c$が互いに比較不能であるような順序を入れる。$0$または$1$を含む二元集合の上限と下限は、その二元のうち大きい方と小さい方である。$\{a,b\}$、$\{a,c\}$、$\{b,c\}$の上界は$1$だけ、下界は$0$だけであるから、これらの上限と下限は$1$と$0$である。したがって$M_3$は最小元$0$と最大元$1$をもつ有界束である。$a\vee b=a\vee c=1$かつ$a\wedge b=a\wedge c=0$であるから、$b$と$c$はいずれも$a$の補元であり、$a$は相異なる二つの補元をもつ。また、$a\wedge(b\vee c)=a\wedge1=a$である一方で$(a\wedge b)\vee(a\wedge c)=0\vee0=0$であり、$a\neq0$であるから、$M_3$は分配束ではない。

例 4.3. 写像$g:X\to Y$に対する逆像写像$g^{-1}:\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)$は完備束準同型である（§E1.9 問題 4.4）。§E1.9 命題 4.2により$g^{-1}$は有界束準同型であり、例 1.4により$\mathcal P(Y)$と$\mathcal P(X)$は Boolean 代数であるから、$g^{-1}$は Boolean 準同型である。命題 4.2により$g^{-1}$は補元を保ち、これは

と書き表される。

例 4.4. Boolean 代数$B$、$C$の直積に対して、第一射影$\pi_B:B\times C\to B$を$\pi_B(b,c)=b$によって定める。命題 3.1の結びと交わりは成分ごとに定義されているから、

であり、交わりについても同じ計算が成り立つ。また、$\pi_B(0_B,0_C)=0_B$、$\pi_B(1_B,1_C)=1_B$である。したがって$\pi_B$は Boolean 準同型である。第二射影については、同じ計算の第二成分を取ればよい。