§E1.4二項演算

例 1.3. 次の規則が二項演算になるかを確かめる。

1. 整数の加法は写像$+\colon\mathbb Z\times\mathbb Z\to\mathbb Z$なので、$\mathbb Z$上の二項演算である。偶数全体の集合$2\mathbb Z$は加法について閉じている。
2. 自然数の減法は$\mathbb N$上の二項演算ではない。たとえば$2-3=-1\notin\mathbb N$だからである。
3. 集合$X$から自分自身への写像全体を$\operatorname{End}(X)$と書く。写像の合成（§E1.1 定義 2.1）は $$\circ\colon\operatorname{End}(X)\times\operatorname{End}(X)\longrightarrow\operatorname{End}(X)$$ を定めるので、$\operatorname{End}(X)$上の二項演算である。

例 1.5.$A=\{0,1,2\}$上の演算$\oplus$を次の表で定める。

各欄が$A$の元なので、この表は$A$上の二項演算を定める。$x\oplus y$は$x+y$を$3$で割った余りであり、余りを取る操作は加法と両立するので、整数の加法の結合律から$\oplus$は結合的である。また、$0$の行と列には見出しの元がそのまま並ぶので、$0$は単位元である。

例 2.2.$X$を集合とする。§E1.1 命題 2.2により、$\operatorname{End}(X)$上の合成は結合的である。

$X=\{0,1\}$とし、$s(0)=1,s(1)=0$、$c(0)=c(1)=0$と定める。このとき$(s\circ c)(0)=1$であるが$(c\circ s)(0)=0$なので、写像の合成は一般には可換ではない。

例 2.3. 整数の減法は$\mathbb Z$上の二項演算であるが、$(1-2)-3=-4$と$1-(2-3)=2$が異なるので結合的ではない。また、$1-2=-1$と$2-1=1$が異なるので可換でもない。

例 2.6.$A$を二つ以上の元をもつ集合とし、$x*y=y$によって$A$上の二項演算$*$を定める。任意の$e,x\in A$に対して$e*x=x$であるから、$A$のすべての元が左単位元である。一方、$e\in A$が右単位元であるとすると、任意の$x\in A$に対して$x=x*e=e$となり、$A$は一元集合になる。したがって右単位元は存在せず、左単位元は一意ではない。

例 2.8.$X$を集合とする。§E1.1 命題 2.2は、任意の$f\in\operatorname{End}(X)$に対して$f\circ\operatorname{id}_X=f=\operatorname{id}_X\circ f$が成り立つことも与える。したがって$\operatorname{id}_X$は$\operatorname{End}(X)$上の合成の単位元である。

$g\in\operatorname{End}(X)$が$\operatorname{id}_X$に関する$f$の逆元であることは、$g\circ f=\operatorname{id}_X=f\circ g$が成り立つこと、すなわち$g$が$f$の逆写像であることにほかならない。§E1.1 命題 3.8により、$\operatorname{End}(X)$で逆元をもつ元は、ちょうど$X$から$X$への全単射である。

例 2.9.$A=\{e,a,b\}$上の演算$*$を次の表で定める。

$e$の行と列には見出しの元がそのまま並ぶので、$e$は単位元である。$a*a=e$であり、$a*b=e=b*a$であるから、$a$は$a$と$b$という相異なる二つの逆元をもつ。また、$(a*a)*b=e*b=b$と$a*(a*b)=a*e=a$が異なるので、この演算は結合的ではない。表は対角線について対称なので、この演算は可換である。