§E1.21基数とアレフ

証明.(1)$\kappa$と$\lambda$は順序数であるから、§E1.16 命題 2.5 (2)を適用する。

(2)$\kappa$は$\kappa$自身と等濃であり、定義 1.1により$\kappa$未満のどの順序数とも等濃でない。したがって$\kappa$と等濃な順序数のうち最小のものである。逆に$\alpha$が$\alpha$と等濃な順序数のうち最小のものであるとすると、$\beta<\alpha$を満たす順序数$\beta$は$\alpha$と等濃でないから、$\alpha$は基数である。

(3)$\alpha<\kappa$とし、単射$v\colon\kappa\to\alpha$が存在すると仮定する。§E1.16 命題 2.5 (1)により$\alpha\subseteq\kappa$であるから、包含写像は$\alpha$から$\kappa$への単射である。§E1.11 定理 4.2により$\alpha$と$\kappa$は等濃であるが、$\alpha<\kappa$であり$\kappa$は基数であるから、これは定義 1.1に反する。

(4)$\kappa\leq\lambda$とすると、§E1.16 命題 2.5 (1)により$\kappa\subseteq\lambda$であり、包含写像が$\kappa$から$\lambda$への単射である。逆に$\kappa$から$\lambda$への単射が存在するとする。$\lambda<\kappa$と仮定すると(3)に反するから、(1)により$\kappa\leq\lambda$である。

$\kappa<\lambda$とすると、いま示した同値により$\lvert\kappa\rvert\leq\lvert\lambda\rvert$であり、$\lvert\lambda\rvert\leq\lvert\kappa\rvert$であるとすると$\lambda\leq\kappa$となって(1)に反するから、§E1.18 定義 1.1の意味で$\lvert\kappa\rvert<\lvert\lambda\rvert$である。逆に$\lvert\kappa\rvert<\lvert\lambda\rvert$とすると$\lvert\kappa\rvert\leq\lvert\lambda\rvert$から$\kappa\leq\lambda$であり、$\kappa=\lambda$であるとすると恒等写像が$\lambda$から$\kappa$への単射を与えて$\lvert\lambda\rvert\leq\lvert\kappa\rvert$となるから、$\kappa<\lambda$である。

(5)$\sigma=\bigcup C$とおく。$C$は順序数からなる集合であるから、§E1.16 補題 4.4により$\sigma$は順序数であり、$C$の最小上界である。

$\sigma$が基数でないと仮定する。すると$\alpha<\sigma$を満たす順序数$\alpha$と全単射$u\colon\sigma\to\alpha$が存在する。$\sigma$は$C$の最小上界であるから、$\alpha$は$C$の上界ではなく、$\alpha<\mu$を満たす$\mu\in C$が存在する。$\mu\leq\sigma$であるから、§E1.16 命題 2.5 (1)により$\mu\subseteq\sigma$であり、$u$の$\mu$への制限は$\mu$から$\alpha$への単射である。$\mu$は基数であり$\alpha<\mu$であるから、これは(3)に反する。したがって$\sigma$は基数である。

$C$が最大元$\mu_0$をもつならば、$\mu_0$は$C$の最小上界であり、順序数の大小について最小上界は一意であるから$\bigcup C=\mu_0$である。最後に、基数$\kappa_1,\dots,\kappa_n$（$n\geq1$）を並べた集合が最大元をもつことは、$n$についての帰納法による。$n=1$のときは$\kappa_1$が最大元である。$\{\kappa_1,\dots,\kappa_n\}$の最大元を$\mu$とすると、(1)により$\mu<\kappa_{n+1}$か$\kappa_{n+1}\leq\mu$のいずれかであり、前者では$\kappa_{n+1}$が、後者では$\mu$が$\{\kappa_1,\dots,\kappa_{n+1}\}$の最大元である。▨

証明.$m<n<\omega$とする。$m$から$n$への全単射$f$が存在すると仮定すると、その逆写像は$n$から$m$への単射であり、§E1.18 補題 2.1 (2)により$n\leq m$となって$m<n$に反する。よって$n$は基数である。

$\omega$について、$n<\omega$を満たす順序数$n$と全単射$f\colon n\to\omega$が存在すると仮定する。$\omega$は§E1.16 命題 4.8 (1)により極限順序数であるから、§E1.16 系 4.3により$n+1<\omega$である。$n+1\subseteq\omega$であるから、$f$の逆写像の$n+1$への制限は$n+1=S(n)$から$n$への単射であり、§E1.18 補題 2.1 (1)に反する。よって$\omega$は基数である。▨

証明.$X$上の整列順序$\preceq$を一つ取る。§E1.16 定理 3.1により、整列集合$(X,\preceq)$と順序同型な順序数$\gamma$がただ一つ存在する。順序同型は全単射であるから、$\gamma$と$X$は等濃である。

$\gamma$以下の順序数であって$X$と等濃なもの全体を$S$とおく。$S$は$\gamma+1$の部分集合であるから、§E1.13 定義 2.1により集合であり、$\gamma\in S$であるから空でない。§E1.16 命題 2.5 (3)により$S$は最小元$\kappa$をもつ。

$\kappa$は基数である。実際、$\alpha<\kappa$を満たす順序数$\alpha$が$\kappa$と等濃であるとすると、$\kappa$が$X$と等濃であることとあわせて$\alpha$は$X$と等濃であり、$\alpha<\kappa\leq\gamma$であるから$\alpha\in S$となって$\kappa$の最小性に反する。

$\kappa$と$\lambda$がともに$X$と等濃な基数であるとする。全単射の合成により$\kappa$と$\lambda$は等濃である。命題 1.2 (1)により$\kappa<\lambda$、$\kappa=\lambda$、$\lambda<\kappa$のちょうど一つが成り立つ。$\kappa<\lambda$ならば$\lambda$が$\lambda$未満の順序数$\kappa$と等濃になり、$\lambda$が基数であることに反する。$\lambda<\kappa$の場合も同様である。よって$\kappa=\lambda$である。▨

証明.(1)選択公理を仮定するから、§E1.20 定理 2.1 (2)により$X$上の整列順序が存在する。よって命題 2.1により、$X$と等濃な基数がただ一つ存在する。

(2)$\lvert X\rvert$は$X$と等濃であるから、定義により全単射$q\colon\lvert X\rvert\to X$が存在する。

(3)$\kappa$は$\kappa$自身と等濃な基数であるから、(1)の一意性により$\lvert\kappa\rvert=\kappa$である。▨

証明.$X$と$Y$が等濃であるとする。$X$と等濃な基数は$Y$とも等濃であるから、定理 2.2 (1)の一意性により$\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$である。逆に$\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$であるとすると、定理 2.2 (2)が与える全単射$\lvert X\rvert\to X$の逆写像と全単射$\lvert Y\rvert\to Y$を合成して、$X$から$Y$への全単射を得る。▨

証明.(1)定理 2.2 (2)により、全単射$q\colon\kappa\to X$と$r\colon\lambda\to Y$を取る。

$\kappa\leq\lambda$とする。命題 1.2 (4)により単射$v\colon\kappa\to\lambda$が存在するから、$r\circ v\circ q^{-1}$は$X$から$Y$への単射である。

逆に単射$u\colon X\to Y$が存在するとする。$r^{-1}\circ u\circ q$は$\kappa$から$\lambda$への単射であるから、命題 1.2 (4)により$\kappa\leq\lambda$である。

(2)§E1.18 定義 1.1により、$\lvert X\rvert<\lvert Y\rvert$とは、単射$X\to Y$が存在し、かつ単射$Y\to X$が存在しないことである。

$\kappa<\lambda$とする。(1)により単射$X\to Y$が存在する。単射$Y\to X$も存在するとすると、(1)により$\lambda\leq\kappa$となり、§E1.16 命題 2.5 (2)に反する。

逆に単射$X\to Y$が存在し、単射$Y\to X$が存在しないとする。(1)により$\kappa\leq\lambda$である。$\kappa=\lambda$とすると、(1)を$Y$と$X$に適用して単射$Y\to X$を得るので、仮定に反する。よって$\kappa<\lambda$である。

(3)(1)を両向きに適用すると$\kappa\leq\lambda$かつ$\lambda\leq\kappa$を得る。順序数の大小は§E1.16 命題 2.5 (2)により反対称的であるから$\kappa=\lambda$である。命題 2.4により$X$と$Y$は等濃である。▨

証明.$W$を、$A\subseteq X$と$A$上の整列順序$R\subseteq A\times A$の組$(A,R)$の全体とする。$W$は$\mathcal P(X)\times\mathcal P(X\times X)$の部分集合であるから、§E1.13 定義 3.1 (3)と§E1.13 定義 2.1により集合である。

§E1.16 定理 3.1により、各$(A,R)\in W$に対して整列集合$(A,R)$と順序同型な順序数がただ一つ定まる。これを$\operatorname{ot}(A,R)$と書く。§E1.13 定義 5.1により、像

は集合である。

順序数$\alpha$について、$\alpha$から$X$への単射が存在することと$\alpha\in H$であることは同値である。実際、単射$g\colon\alpha\to X$が存在するならば、$A=g(\alpha)$とおき、$A$上の関係$R$を、$\beta<\delta<\alpha$であるときにかぎり$g(\beta)\mathrel{R}g(\delta)$が成り立つものとして定める。$g$は$\alpha$から$A$への全単射であるから、$R$は$A$上の整列順序であって$g$は順序同型$\alpha\to A$を与える。したがって$(A,R)\in W$かつ$\operatorname{ot}(A,R)=\alpha$である。逆に$\alpha=\operatorname{ot}(A,R)$ならば、順序同型$\alpha\to A$と包含写像$A\subseteq X$の合成が単射$\alpha\to X$である。したがって$H$は$X$への単射をもつ順序数の全体であり、これは集合である。

$H$は推移的である。$\beta<\alpha\in H$とすると、単射$\alpha\to X$の$\beta$への制限は単射$\beta\to X$であるから$\beta\in H$である。$H$は順序数からなる集合であるから§E1.16 命題 2.5 (3)により属する関係によって整列され、推移的であるから§E1.16 定義 2.1により順序数である。

$H\notin H$である。§E1.16 命題 2.3 (2)により順序数は自分自身に属さないからである。したがって$H$は$X$への単射をもたない順序数であり、$\alpha<H$すなわち$\alpha\in H$を満たす順序数はすべて$X$への単射をもつ。よって$H$は$X$への単射をもたない最小の順序数であり、$\hbar(X)=H$である。

(1)$\alpha$から$X$への単射が存在するならば$\alpha\in H=\hbar(X)$であり、§E1.16 命題 2.3 (3)により$\alpha<\hbar(X)$である。

(2)$\alpha<\hbar(X)$を満たす順序数$\alpha$が$\hbar(X)$と等濃であると仮定する。$\alpha\in H$であるから単射$g\colon\alpha\to X$が存在し、全単射$\hbar(X)\to\alpha$と$g$の合成は単射$\hbar(X)\to X$である。これは$\hbar(X)\notin H$に反する。よって定義 1.1により$\hbar(X)$は基数である。

(3)$\hbar(X)=H$かつ$H\notin H$であるから、$\hbar(X)$から$X$への単射は存在しない。▨

証明. 恒等写像$\kappa\to\kappa$は単射であるから、定理 3.1 (1)により$\kappa<\hbar(\kappa)$である。定理 3.1 (2)により$\hbar(\kappa)$は基数である。

$\mu$を$\kappa<\mu$を満たす基数とする。命題 1.2 (3)により$\mu$から$\kappa$への単射は存在しない。$\hbar(\kappa)$は$\kappa$への単射をもたない順序数のうち最小のものであるから、$\hbar(\kappa)\leq\mu$である。

したがって$\hbar(\kappa)$は$\kappa$より大きい基数であって、$\kappa$より大きいどの基数以下でもある。▨

証明.(1)順序数$\gamma$が$\omega\leq\gamma$を満たすならば$\gamma$は無限である。実際、§E1.16 命題 2.5 (1)により$\omega\subseteq\gamma$であり、$\gamma$が有限であるとすると§E1.18 補題 2.4により$\omega$も有限になる。しかし命題 1.3により$\omega$は基数であるから、定義 1.1により$\omega$はどの$n<\omega$とも等濃でなく、§E1.18 定義 1.2 (1)の意味で$\omega$は無限である。

§E1.17 定理 1.1により、$\aleph_\alpha$が無限基数であることを$\alpha$について示す。$\alpha=0$のとき、命題 1.3により$\aleph_0=\omega$は基数であり、いま述べたことから無限である。$\aleph_\alpha$が無限基数であるとすると、定理 3.1 (2)により$\aleph_{\alpha+1}=\hbar(\aleph_\alpha)$は基数であり、系 3.3により$\aleph_\alpha<\aleph_{\alpha+1}$であるから$\omega\leq\aleph_\alpha<\aleph_{\alpha+1}$であって$\aleph_{\alpha+1}$は無限である。また系 3.3は$\hbar(\aleph_\alpha)$が$\aleph_\alpha$より大きい最小の基数であることを与えるから、$\aleph_{\alpha+1}=(\aleph_\alpha)^{+}$である。$\lambda$が極限順序数であり、$\alpha<\lambda$を満たすすべての$\alpha$について$\aleph_\alpha$が無限基数であるとすると、$C=\{\aleph_\alpha\mid\alpha<\lambda\}$は§E1.13 定義 5.1により基数からなる集合であり、命題 1.2 (5)により$\aleph_\lambda=\bigcup C$は基数である。$\lambda\neq0$であるから$\aleph_0\in C$であり、$\omega=\aleph_0\leq\aleph_\lambda$であるから$\aleph_\lambda$は無限である。

(2)$\beta$を固定し、$\alpha<\beta$について$\aleph_\alpha<\aleph_\beta$を§E1.17 定理 1.1により示す。$\beta=0$のとき$\alpha<0$を満たす$\alpha$は無い。$\beta=\delta+1$のとき、$\alpha<\beta$ならば§E1.16 命題 4.2 (3)により$\alpha\leq\delta$であり、帰納法の仮定と系 3.3の$\aleph_\delta<\aleph_{\delta+1}$から$\aleph_\alpha\leq\aleph_\delta<\aleph_\beta$である。$\beta$が極限順序数のとき、$\alpha<\beta$ならば§E1.16 系 4.3により$\alpha+1<\beta$であり、系 3.3により$\aleph_\alpha<\aleph_{\alpha+1}$である。§E1.16 補題 4.4により$\aleph_\beta=\bigcup_{\delta<\beta}\aleph_\delta$は$\{\aleph_\delta\mid\delta<\beta\}$の上界であるから$\aleph_{\alpha+1}\leq\aleph_\beta$であり、あわせて$\aleph_\alpha<\aleph_\beta$である。

$\alpha\leq\aleph_\alpha$も§E1.17 定理 1.1による。$0\leq\aleph_0$である。$\alpha\leq\aleph_\alpha$ならば$\alpha<\aleph_{\alpha+1}$であるから§E1.16 命題 4.2 (3)により$\alpha+1\leq\aleph_{\alpha+1}$である。$\lambda$が極限順序数であり$\alpha\leq\aleph_\alpha$が$\alpha<\lambda$で成り立つならば、各$\alpha<\lambda$について$\alpha\leq\aleph_\alpha\leq\aleph_\lambda$であるから、$\aleph_\lambda$は$\lambda$の上界であり、§E1.16 命題 4.5 (2)により$\lambda\leq\aleph_\lambda$である。

(3)一意性は(2)から従う。$\kappa$を無限基数とする。$\alpha\leq\aleph_\alpha$であるから、$\aleph_\alpha\leq\kappa$を満たす順序数$\alpha$は$\kappa$以下であり、

は§E1.13 定義 2.1により$\kappa+1$の部分集合として集合である。$\kappa<\omega$とすると、恒等写像が全単射$\kappa\to\kappa$を与えるから§E1.18 定義 1.2 (1)により$\kappa$は有限であり、$\kappa$が無限であることに反する。よって§E1.16 命題 2.5 (2)により$\omega\leq\kappa$である。$\aleph_0=\omega\leq\kappa$であるから$0\in D$であり、$D$は空でない。(2)により$D$は下に閉じている。$\eta=\bigcup D$とおくと、§E1.16 補題 4.4により$\eta$は$D$の最小上界である。$D\subseteq\kappa+1$であるから$\kappa$は$D$の上界であり、$\eta\leq\kappa$である。

$\eta\in D$である。$\eta=0$ならば$0\in D$である。$\eta=\delta+1$ならば、$\delta<\eta$であって$\eta$は最小上界であるから$\delta$は$D$の上界でなく、$\delta<\alpha$を満たす$\alpha\in D$が存在する。$\alpha\leq\eta=\delta+1$と$\delta<\alpha$から§E1.16 命題 4.2 (3)により$\alpha=\eta$であり、$\eta\in D$である。$\eta$が極限順序数ならば、定義 4.1により$\aleph_\eta=\bigcup_{\alpha<\eta}\aleph_\alpha$であり、各$\alpha<\eta$は$D$が下に閉じていることから$D$に属して$\aleph_\alpha\leq\kappa$を満たすから、$\kappa$は$\{\aleph_\alpha\mid\alpha<\eta\}$の上界であって§E1.16 補題 4.4により$\aleph_\eta\leq\kappa$である。$\eta\leq\kappa$とあわせて$\eta\in D$である。

$\aleph_\eta<\kappa$と仮定する。$\aleph_\eta$と$\kappa$はともに基数であるから、系 3.3により$\aleph_{\eta+1}=(\aleph_\eta)^{+}\leq\kappa$である。(2)により$\eta+1\leq\aleph_{\eta+1}\leq\kappa$であるから$\eta+1\in D$となり、$\eta$が$D$の上界であることに反する。よって命題 1.2 (1)により$\kappa=\aleph_\eta$である。

(4)$\kappa$を無限基数とする。(3)により$\kappa=\aleph_\eta$を満たす順序数$\eta$が存在し、(2)により$\aleph_0\leq\aleph_\eta=\kappa$である。(1)により$\aleph_0$自身が無限基数であるから、$\aleph_0$は最小の無限基数である。▨

証明.定理 3.1を$X=\omega$に適用する。同定理により、$\omega$への単射をもつ順序数の全体$H$は集合であり、$\hbar(\omega)$は$\omega$への単射をもたない最小の順序数である。$\hbar(\omega)$の最小性により、順序数$\alpha$について$\alpha<\hbar(\omega)$であることと$\alpha$から$\omega$への単射が存在することは同値である。§E1.16 命題 2.3 (3)により$\hbar(\omega)=\{\alpha\mid\alpha<\hbar(\omega)\}$であるから$H=\hbar(\omega)$である。

$H$は極限順序数である。$0$から$\omega$への単射は空写像であるから$0\in H$であり、$H\neq0$である。$H=\delta+1$と仮定すると$\delta\in H$であるから単射$g\colon\delta\to\omega$が存在し、$g'(\delta)=0$および$g'(\beta)=g(\beta)+1$（$\beta<\delta$）と定めると$g'$は$\delta+1$から$\omega$への単射である。よって$\delta+1\in H=\delta+1$となり、§E1.16 命題 2.3 (2)に反する。$H$は$0$でも後続順序数でもないから、§E1.16 定義 4.1により極限順序数である。

したがって§E1.16 命題 4.5 (2)により$\bigcup H=H$である。すなわち$\omega$への単射をもつ順序数の全体の和集合は$H$自身であり、$\omega_1=H=\hbar(\omega)$である。

(1)$\omega_1=\hbar(\omega)$は順序数であるから、§E1.16 命題 2.3 (3)により$\omega_1=\{\alpha\mid\alpha<\omega_1\}$である。

(2)$\alpha<\omega_1$ならば$\alpha\in H$であるから、$\alpha$から$\omega$への単射が存在する。$\omega$を$\mathbb N_{\geq0}$と同一視すると（「順序数」§E1.16 命題 4.9）、§E1.18 定義 1.2により$\alpha$は高々可算な集合である。

(3)$\beta$を高々可算な順序数とすると、§E1.18 定理 3.3により$\beta$から$\mathbb N_{\geq0}$への単射が存在する。よって$\beta\in H=\omega_1$であり、(1)により$\beta<\omega_1$である。

(4)定理 3.1 (3)により、$\omega_1=\hbar(\omega)$から$\omega$への単射は存在しない。§E1.18 定理 3.3により、高々可算な集合は$\mathbb N_{\geq0}$への単射をもつから、$\omega_1$は高々可算でなく、§E1.18 定義 1.2の意味で非可算である。

(5)上で示した。

(6)定理 3.1 (2)により$\omega_1=\hbar(\omega)$は基数である。定義 4.1により$\aleph_1=\hbar(\aleph_0)=\hbar(\omega)$であるから$\omega_1=\aleph_1$である。

(7)$\gamma$を非可算な順序数とする。$\gamma<\omega_1$と仮定すると(2)により$\gamma$は高々可算であり、仮定に反する。よって§E1.16 命題 2.5 (2)により$\omega_1\leq\gamma$である。(4)により$\omega_1$自身が非可算であるから、$\omega_1$は非可算な順序数のうち最小のものであり、(6)により基数でもあるから、非可算な基数のうちも最小のものである。▨