§E1.6準同型と商

最終更新

代数的な構造を比較するとき、元の名前ではなく演算の結果を保つ写像が本質となる。たとえば整数の加法と偶数の加法は異なる集合上にあるが、整数を二倍する写像は加法の規則を保つ。準同型は、演算を保つ比較を一つまたは二つの二項演算に共通する形で記述する概念である。演算を保つ写像と、閉じた部分集合、直積および商による基本構成を扱う。

設定 以下では、断らない限り一つの二項演算を備えた集合を対象とする。二つの二項演算を備えた対象については、各演算について同じ条件を課し、同じ規則で構成を定める。二つの演算をともに含む分配律についても同様である。

1 準同型と閉じた部分集合

定義 1.1.(A,∗)(A,*)と(B,⋄)(B,\diamond)を一つの二項演算を備えた集合とする。写像f ⁣:A→Bf\colon A\to Bが、任意のa,a′∈Aa,a'\in Aに対して

f(a∗a′)=f(a)⋄f(a′)f(a*a')=f(a)\diamond f(a')

を満たすとき、ffを準同型 (homomorphism) という。

(A,+A,⋅A)(A,+_A,\cdot_A)と(B,+B,⋅B)(B,+_B,\cdot_B)が二つの二項演算を備える場合には、任意のa,a′∈Aa,a'\in Aに対して

f(a+Aa′)=f(a)+Bf(a′),f(a⋅Aa′)=f(a)⋅Bf(a′)f(a+_Aa')=f(a)+_Bf(a'),\qquad f(a\cdot_Aa')=f(a)\cdot_Bf(a')

を満たす写像を準同型という。

AAとBBがともにモノイド、ともに群またはともに環である場合には、演算を保つことに加えて、単位元を保つことも要求する。すなわち、AAの単位元をeAe_A、BBの単位元をeBe_Bと書くとき、f(eA)=eBf(e_A)=e_Bが成り立つことを要求する。環について要求する単位元は乗法単位元であり、これらを1A1_A、1B1_Bとも書く。

例 1.2.

  1. m∈Zm\in\mathbb Zを固定し、f(n)=mnf(n)=mnによってf ⁣:Z→Zf\colon\mathbb Z\to\mathbb Zを定める。m(n+n′)=mn+mn′m(n+n')=mn+mn'であるから、ffは(Z,+)(\mathbb Z,+)から(Z,+)(\mathbb Z,+)への準同型である。
  2. 指数関数exp⁡\expはexp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)を満たすので、(R,+)(\mathbb R,+)から(R>0,⋅)(\mathbb R_{>0},\cdot)への準同型である。加法単位元00はexp⁡(0)=1\exp(0)=1により乗法単位元へ送られる。

命題 1.3.GGとHHを群とし、どちらの演算も並置で書き、単位元をそれぞれeGe_G、eHe_Hと書く。演算を保つ写像f ⁣:G→Hf\colon G\to Hに対して

f(eG)=eH,f(g−1)=f(g)−1(g∈G)f(e_G)=e_H,\qquad f(g^{-1})=f(g)^{-1}\quad(g\in G)

が成り立つ。とくに、群の間では演算を保つ写像は準同型である。

証明. 等式

f(eG)=f(eGeG)=f(eG)f(eG)f(e_G)=f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G)

の両辺へ左からf(eG)−1f(e_G)^{-1}を掛けると、eH=f(eG)e_H=f(e_G)を得る。任意のg∈Gg\in Gに対して

f(g)f(g−1)=f(gg−1)=eH,f(g−1)f(g)=f(g−1g)=eHf(g)f(g^{-1})=f(gg^{-1})=e_H, \qquad f(g^{-1})f(g)=f(g^{-1}g)=e_H

である。両側逆元の一意性（§E1.4 命題 2.7）により、f(g−1)=f(g)−1f(g^{-1})=f(g)^{-1}である。群の間の準同型が演算の保存に加えて満たすべき条件は単位元の保存だけであり、それはf(eG)=eHf(e_G)=e_Hが与える。▨

例 1.4. 群とは異なり、モノイドと環では、演算を保つ写像が単位元を保つとは限らない。成分ごとの加法と乗法を備えたZ×Z\mathbb Z\times\mathbb Zは乗法単位元(1,1)(1,1)をもつ環である。写像f ⁣:Z→Z×Zf\colon\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Zをf(n)=(n,0)f(n)=(n,0)によって定めると、任意のm,n∈Zm,n\in\mathbb Zに対して

f(m+n)=(m+n,0)=(m,0)+(n,0)=f(m)+f(n)f(m+n)=(m+n,0)=(m,0)+(n,0)=f(m)+f(n)

であり、

f(mn)=(mn,0)=(mn,0⋅0)=(m,0)(n,0)=f(m)f(n)f(mn)=(mn,0)=(mn,0\cdot 0)=(m,0)(n,0)=f(m)f(n)

である。したがってffは両方の演算を保つ。しかしf(1)=(1,0)≠(1,1)f(1)=(1,0)\ne(1,1)であるから、ffは環の間の準同型ではない。

定義 1.5. 準同型f ⁣:A→Bf\colon A\to Bが全単射であるとき、ffを同型写像 (isomorphism) という。同型写像が存在する二つの代数系を同型 (isomorphic) であるという。

例 1.6. 指数関数exp⁡\expはR\mathbb RからR>0\mathbb R_{>0}への全単射であるから、(R,+)(\mathbb R,+)から(R>0,⋅)(\mathbb R_{>0},\cdot)への同型写像であり、この二つは同型である。逆写像は対数関数であり、log⁡(uv)=log⁡u+log⁡v\log(uv)=\log u+\log vが成り立つ。また、偶数全体2Z2\mathbb Zに加法を備えた(2Z,+)(2\mathbb Z,+)に対して、f(n)=2nf(n)=2nによって定まる写像は(Z,+)(\mathbb Z,+)から(2Z,+)(2\mathbb Z,+)への同型写像である。

命題 1.7.(A,∗)(A,*)と(B,⋄)(B,\diamond)を一つの二項演算を備えた集合とし、f ⁣:A→Bf\colon A\to Bを同型写像とする。逆写像f−1 ⁣:B→Af^{-1}\colon B\to Aは準同型である。

証明.b,b′∈Bb,b'\in Bをとり、a=f−1(b)a=f^{-1}(b)、a′=f−1(b′)a'=f^{-1}(b')とおく。ffが演算を保つので

f(a∗a′)=f(a)⋄f(a′)=b⋄b′f(a*a')=f(a)\diamond f(a')=b\diamond b'

である。両辺にf−1f^{-1}を適用すると

f−1(b⋄b′)=a∗a′=f−1(b)∗f−1(b′)f^{-1}(b\diamond b')=a*a'=f^{-1}(b)*f^{-1}(b')

を得る。AAとBBがともにモノイド、ともに群またはともに環である場合には、f(eA)=eBf(e_A)=e_Bの両辺にf−1f^{-1}を適用してf−1(eB)=eAf^{-1}(e_B)=e_Aを得るので、f−1f^{-1}は単位元も保つ。▨

補題 1.8.(A,∗)(A,*)、(B,⋄)(B,\diamond)および(C,∙)(C,\bullet)を一つの二項演算を備えた集合とし、f ⁣:A→Bf\colon A\to Bとg ⁣:B→Cg\colon B\to Cを準同型とする。合成g∘f ⁣:A→Cg\circ f\colon A\to Cは準同型である。

証明. 任意のa,a′∈Aa,a'\in Aに対して

(g∘f)(a∗a′)=g(f(a)⋄f(a′))=g(f(a))∙g(f(a′))=(g∘f)(a)∙(g∘f)(a′)(g\circ f)(a*a')=g(f(a)\diamond f(a')) =g(f(a))\bullet g(f(a')) =(g\circ f)(a)\bullet(g\circ f)(a')

である。三つがいずれもモノイド、いずれも群またはいずれも環である場合には、f(eA)=eBf(e_A)=e_Bとg(eB)=eCg(e_B)=e_Cから(g∘f)(eA)=eC(g\circ f)(e_A)=e_Cが従うので、g∘fg\circ fは単位元も保つ。▨

系 1.9.AA、BBおよびCCを集合とし、添字集合IIの各元iiに対してAA上の二項演算∗i*_i、BB上の二項演算⋄i\diamond_iおよびCC上の二項演算∙i\bullet_iが定まっているとする。さらに、添字集合JJの各元jjに対して元uj∈Au_j\in A、vj∈Bv_j\in Bおよびwj∈Cw_j\in Cが指定されているとする。写像f ⁣:A→Bf\colon A\to Bとg ⁣:B→Cg\colon B\to Cが

f(a∗ia′)=f(a)⋄if(a′),g(b⋄ib′)=g(b)∙ig(b′)(i∈I, a,a′∈A, b,b′∈B)f(a*_ia')=f(a)\diamond_if(a'),\qquad g(b\diamond_ib')=g(b)\bullet_ig(b') \qquad(i\in I,\ a,a'\in A,\ b,b'\in B)

および

f(uj)=vj,g(vj)=wj(j∈J)f(u_j)=v_j,\qquad g(v_j)=w_j\qquad(j\in J)

を満たすとする。

  1. ffが全単射であるならば、逆写像f−1 ⁣:B→Af^{-1}\colon B\to Aは、任意のi∈Ii\in Iとb,b′∈Bb,b'\in Bに対してf−1(b⋄ib′)=f−1(b)∗if−1(b′)f^{-1}(b\diamond_ib')=f^{-1}(b)*_if^{-1}(b')を満たし、任意のj∈Jj\in Jに対してf−1(vj)=ujf^{-1}(v_j)=u_jを満たす。
  2. 合成g∘f ⁣:A→Cg\circ f\colon A\to Cは、任意のi∈Ii\in Iとa,a′∈Aa,a'\in Aに対して(g∘f)(a∗ia′)=(g∘f)(a)∙i(g∘f)(a′)(g\circ f)(a*_ia')=(g\circ f)(a)\bullet_i(g\circ f)(a')を満たし、任意のj∈Jj\in Jに対して(g∘f)(uj)=wj(g\circ f)(u_j)=w_jを満たす。

証明.(1)i∈Ii\in Iを固定する。(A,∗i)(A,*_i)と(B,⋄i)(B,\diamond_i)は一つの二項演算を備えた集合であり、仮定によりffはその間の準同型であって全単射であるから、定義 1.5により同型写像である。したがって命題 1.7によりf−1f^{-1}は(B,⋄i)(B,\diamond_i)から(A,∗i)(A,*_i)への準同型であり、これが求める等式である。j∈Jj\in Jについては、f(uj)=vjf(u_j)=v_jの両辺にf−1f^{-1}を適用してf−1(vj)=ujf^{-1}(v_j)=u_jを得る。

(2)i∈Ii\in Iを固定すると、ffは(A,∗i)(A,*_i)から(B,⋄i)(B,\diamond_i)への準同型であり、ggは(B,⋄i)(B,\diamond_i)から(C,∙i)(C,\bullet_i)への準同型であるから、補題 1.8によりg∘fg\circ fは(A,∗i)(A,*_i)から(C,∙i)(C,\bullet_i)への準同型である。j∈Jj\in Jについては(g∘f)(uj)=g(vj)=wj(g\circ f)(u_j)=g(v_j)=w_jである。

いずれの主張についても、演算ごとに既出の二つの主張をそのまま適用し、指定した元ごとに一行の計算を繰り返しただけであり、議論は演算や指定した元の個数によらない。▨

注意 1.10.IIが二つの元から成り、JJが一つの元から成ってuju_j、vjv_jおよびwjw_jを各環の乗法単位元とする場合、系 1.9の仮定は、定義 1.1の意味でffとggが環の間の準同型であることにほかならない。したがってこの系により、全単射な環準同型の逆写像は環準同型であり、環準同型の合成は環準同型である。IIとJJをいずれも一つの元から成る集合とすれば、モノイドまたは群の間の準同型についての同じ主張が得られる。

系 1.11.AA、BBおよびCCを、同じ個数の二項演算を備えた集合とする。

  1. AAはAAと同型である。
  2. AAがBBと同型であるならば、BBはAAと同型である。
  3. AAがBBと同型であり、BBがCCと同型であるならば、AAはCCと同型である。

証明. 恒等写像id⁡A\operatorname{id}_Aは、AAの演算∗*についてid⁡A(a∗a′)=a∗a′=id⁡A(a)∗id⁡A(a′)\operatorname{id}_A(a*a')=a*a'=\operatorname{id}_A(a)*\operatorname{id}_A(a')を満たし、単位元があればそれを自身へ送る。恒等写像は全単射であるから、AAからAAへの同型写像である。

f ⁣:A→Bf\colon A\to Bを同型写像とする。命題 1.7によりf−1f^{-1}は準同型であり、ffはf−1f^{-1}の逆写像であるから、§E1.1 命題 3.8によりf−1f^{-1}は全単射である。したがってf−1f^{-1}はBBからAAへの同型写像である。

f ⁣:A→Bf\colon A\to Bとg ⁣:B→Cg\colon B\to Cを同型写像とする。補題 1.8によりg∘fg\circ fは準同型であり、§E1.1 命題 3.5 (3)により全単射である。したがってg∘fg\circ fはAAからCCへの同型写像である。▨

定義 1.12.(A,∗)(A,*)を一つの二項演算を備えた集合とし、S⊆AS\subseteq Aを空でない部分集合とする。「二項演算」で定義した閉性条件（§E1.4 定義 1.1）をSSが∗*について満たすとする。§E1.4 注意 1.2により、∗*をS×SS\times Sへ制限し、終域をSSとみなした写像はSS上の二項演算になる。この制限演算を備えたSSを(A,∗)(A,*)の部分構造 (substructure) という。

部分構造には∗*について閉じていることだけを要求し、AAの単位元がSSに属することも、SSの元がSSの中に逆元をもつことも要求しない。

例 1.13.

  1. §E1.4 例 1.3により、偶数全体2Z2\mathbb Zは整数の加法について閉じている。したがって、整数の加法を2Z×2Z2\mathbb Z\times2\mathbb Zへ制限して得る加法を備えた2Z2\mathbb Zは、(Z,+)(\mathbb Z,+)の部分構造である。
  2. Z⊆Q\mathbb Z\subseteq\mathbb Qは加法と乗法について閉じているので、二つの演算を備えた集合(Q,+,⋅)(\mathbb Q,+,\cdot)の部分構造である。
  3. 集合XX上の全単射全体Sym⁡(X)\operatorname{Sym}(X)は、§E1.1 命題 3.5 (3)により写像の合成について閉じているので、自己写像全体End⁡(X)\operatorname{End}(X)の部分構造である。

命題 1.14.(A,∗)(A,*)を一つの二項演算を備えた集合とし、SSを(A,∗)(A,*)の部分構造とする。

  1. AAで結合律、可換律または二つの演算の分配律が成り立つならば、同じ法則がSSでも成り立つ。
  2. ι(s)=s\iota(s)=sによって定まる包含写像ι ⁣:S→A\iota\colon S\to Aは演算を保つ。AAの単位元eeがSSに属するならば、eeはSSの単位元でもあり、ι\iotaは単位元も保つ。
  3. (B,⋄)(B,\diamond)を一つの二項演算を備えた集合とする。AAが空でなく、f ⁣:A→Bf\colon A\to Bが準同型であるならば、像f(A)f(A)は(B,⋄)(B,\diamond)の部分構造である。

証明.(1)SSの演算は∗*の制限であるから、s,t,u∈Ss,t,u\in Sに対してSSで計算した(s∗t)∗u(s*t)*uとs∗(t∗u)s*(t*u)はAAで計算したものに等しい。したがって、AAで任意の元について成り立つ結合律、可換律および分配律の等式は、SSの元へそのまま適用することができる。

(2)任意のs,t∈Ss,t\in Sに対して、SSの演算の定義によりι(s∗t)=s∗t=ι(s)∗ι(t)\iota(s*t)=s*t=\iota(s)*\iota(t)である。e∈Se\in Sであるとき、任意のs∈Ss\in Sに対してe∗s=s=s∗ee*s=s=s*eがAAで成り立ち、両辺はSSの元であるから、eeはSSの単位元であり、ι(e)=e\iota(e)=eは単位元を単位元へ送る。

(3)AAが空でないのでf(A)f(A)も空でない。b,b′∈f(A)b,b'\in f(A)をとり、b=f(a)b=f(a)およびb′=f(a′)b'=f(a')となるa,a′∈Aa,a'\in Aを選ぶと

b⋄b′=f(a)⋄f(a′)=f(a∗a′)∈f(A)b\diamond b'=f(a)\diamond f(a')=f(a*a')\in f(A)

である。したがってf(A)f(A)は⋄\diamondについて閉じており、(B,⋄)(B,\diamond)の部分構造である。▨

例 1.15. 部分構造には閉じていることだけを要求するので、部分構造は元の代数系と同じ種類の代数系とは限らない。

  1. 00を含む自然数全体N≥0\mathbb N_{\geq 0}は加法について閉じているので、(Z,+)(\mathbb Z,+)の部分構造である。(Z,+)(\mathbb Z,+)は群であるが、11の加法逆元−1-1はN≥0\mathbb N_{\geq 0}に属さないので、(N≥0,+)(\mathbb N_{\geq 0},+)は群ではない。
  2. 2Z2\mathbb Zは、2m+2n=2(m+n)2m+2n=2(m+n)および(2m)(2n)=2(2mn)(2m)(2n)=2(2mn)により加法と乗法について閉じているので、(Z,+,⋅)(\mathbb Z,+,\cdot)の部分構造である。しかし(Z,+,⋅)(\mathbb Z,+,\cdot)の乗法単位元11は2Z2\mathbb Zに属さない。

2 成分ごとの直積

定義 2.1.(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}を集合族とし、各i∈Ii\in Iに対して∗i*_iをAiA_i上の二項演算とする。「集合族」で定義した直積集合

A=∏i∈IAiA=\prod_{i\in I}A_i

に対して、a=(ai)i∈Ia=(a_i)_{i\in I}とb=(bi)i∈Ib=(b_i)_{i\in I}の成分ごとの演算を

(a∗b)i=ai∗ibi(i∈I)(a*b)_i=a_i*_ib_i\qquad(i\in I)

によって定める。この演算を備えたAAを、族(Ai)i∈I(A_i)_{i\in I}と演算の族(∗i)i∈I(*_i)_{i\in I}の直積 (direct product) という。

命題 2.2.定義 2.1の成分ごとの規則は直積集合AA上の二項演算を定める。各AiA_iで結合律、可換律または二つの演算の分配律が成り立つならば、同じ法則がAAでも成り立つ。

各∗i*_iに単位元eie_iがある場合には、e=(ei)i∈Ie=(e_i)_{i\in I}が直積の単位元である。さらに、各aia_iに一意に定まる逆元がある場合には、a=(ai)i∈Ia=(a_i)_{i\in I}は(ai−1)i∈I(a_i^{-1})_{i\in I}をただ一つの逆元としてもつ。

証明.a,b∈Aa,b\in Aに対して、各i∈Ii\in Iでai∗ibi∈Aia_i*_ib_i\in A_iである。したがってi↦ai∗ibii\mapsto a_i*_ib_iはAAの元であり、成分ごとの規則は写像A×A→AA\times A\to Aを定める。

各∗i*_iが結合的であるとする。任意のa,b,c∈Aa,b,c\in Aとi∈Ii\in Iに対して

((a∗b)∗c)i=(ai∗ibi)∗ici=ai∗i(bi∗ici)=(a∗(b∗c))i((a*b)*c)_i=(a_i*_ib_i)*_ic_i =a_i*_i(b_i*_ic_i)=(a*(b*c))_i

である。すべての成分が等しいので、(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c=a*(b*c)である。可換律と分配律も、各成分で対応する等式を適用すると得られる。

単位元がある場合には、任意のa∈Aa\in Aとi∈Ii\in Iに対して

(e∗a)i=ei∗iai=ai,(a∗e)i=ai∗iei=ai(e*a)_i=e_i*_ia_i=a_i, \qquad (a*e)_i=a_i*_ie_i=a_i

である。各成分の単位元は一意に定まるので、i↦eii\mapsto e_iの構成に選択を要しない。任意のa=(ai)i∈I∈Aa=(a_i)_{i\in I}\in Aに対して、逆元についても

(a∗a−1)i=ai∗iai−1=ei,(a−1∗a)i=ai−1∗iai=ei(a*a^{-1})_i=a_i*_ia_i^{-1}=e_i, \qquad (a^{-1}*a)_i=a_i^{-1}*_ia_i=e_i

である。ここでa−1=(ai−1)i∈Ia^{-1}=(a_i^{-1})_{i\in I}とおいた。b∈Ab\in Aがaaの逆元であるならば、各i∈Ii\in Iで(a∗b)i=ai∗ibi=ei(a*b)_i=a_i*_ib_i=e_iかつ(b∗a)i=bi∗iai=ei(b*a)_i=b_i*_ia_i=e_iであるから、bib_iはaia_iの逆元であり、仮定した一意性によりbi=ai−1b_i=a_i^{-1}である。したがってb=a−1b=a^{-1}であり、逆元はAAでも一意である。▨

例 2.3.(A,∗)(A,*)を一つの二項演算を備えた集合とし、XXを集合とする。すべてのx∈Xx\in Xに対してAx=AA_x=Aおよび∗x=∗*_x=*とおく。直積∏x∈XAx\prod_{x\in X}A_xの元はXXからAAへの写像のグラフであるから、この直積はXXからAAへの写像全体と同一視することができる。これをAXA^Xと書くと、成分ごとの演算は

(f∗g)(x)=f(x)∗g(x)(x∈X)(f*g)(x)=f(x)*g(x)\qquad(x\in X)

という各点ごとの演算である。たとえばRX\mathbb R^Xは各点ごとの加法を備えた実数値関数全体であり、(R,+)(\mathbb R,+)が可換群であることと命題 2.2により、(RX,+)(\mathbb R^X,+)も可換群である。

3 両立する同値関係と商

定義 3.1.(A,∗)(A,*)を一つの二項演算を備えた集合とし、∼\simをAA上の同値関係とする。任意のa,a′,b,b′∈Aa,a',b,b'\in Aに対して

a∼a′,b∼b′⟹a∗b∼a′∗b′a\sim a',\quad b\sim b' \quad\Longrightarrow\quad a*b\sim a'*b'

が成り立つとき、∼\simを∗*と両立する同値関係 (compatible equivalence relation)、または合同関係 (congruence relation) という。

定理 3.2.(A,∗)(A,*)を一つの二項演算を備えた集合とし、∼\simを∗*と両立するAA上の同値関係とする。「同値関係と商」で定義した商集合A/∼A/{\sim}上で

[a]∗[b]=[a∗b][a]*[b]=[a*b]

と定めると、同値類[a∗b][a*b]は代表元a,ba,bの選び方に依存せず、A/∼A/{\sim}上の二項演算を定める。

AAで結合律、可換律または二つの演算の分配律が成り立つならば、同じ法則がA/∼A/{\sim}でも成り立つ。∗*に単位元eeがある場合には[e][e]が商の単位元であり、a∈Aa\in Aに逆元a−1a^{-1}がある場合には[a−1][a^{-1}]が[a][a]の逆元である。

証明. 写像F ⁣:A×A→A/∼F\colon A\times A\to A/{\sim}をF(a,b)=[a∗b]F(a,b)=[a*b]によって定める。§E1.3 補題 2.2により、a∗b∼a′∗b′a*b\sim a'*b'であることとF(a,b)=F(a′,b′)F(a,b)=F(a',b')であることは同値である。したがって、∼\simが∗*と両立することは、X=Y=AX=Y=Aとし、XXとYY上の同値関係をともに∼\simとし、Z=A/∼Z=A/{\sim}とした場合の§E1.3 命題 4.4の第1条件を、このFFが満たすことにほかならない。同命題により、F‾([a],[b])=[a∗b]\overline F([a],[b])=[a*b]を満たす写像

F‾ ⁣:(A/∼)×(A/∼)⟶A/∼\overline F\colon(A/{\sim})\times(A/{\sim})\longrightarrow A/{\sim}

がただ一つ定まる。このF‾\overline Fが[a]∗[b]=[a∗b][a]*[b]=[a*b]によって与えられるA/∼A/{\sim}上の二項演算である。

任意の[a],[b],[c]∈A/∼[a],[b],[c]\in A/{\sim}に対して

([a]∗[b])∗[c]=[(a∗b)∗c]=[a∗(b∗c)]=[a]∗([b]∗[c])([a]*[b])*[c]=[(a*b)*c]=[a*(b*c)]=[a]*([b]*[c])

である。可換律と分配律も、AAで成り立つ対応する等式を同値類へ移すと得られる。単位元については

[e]∗[a]=[e∗a]=[a],[a]∗[e]=[a∗e]=[a][e]*[a]=[e*a]=[a], \qquad [a]*[e]=[a*e]=[a]

であり、逆元については

[a]∗[a−1]=[a∗a−1]=[e],[a−1]∗[a]=[a−1∗a]=[e][a]*[a^{-1}]=[a*a^{-1}]=[e], \qquad [a^{-1}]*[a]=[a^{-1}*a]=[e]

である。▨

命題 3.3.(A,∗)(A,*)と∼\simを定理 3.2のとおりとし、π ⁣:A→A/∼\pi\colon A\to A/{\sim}をπ(a)=[a]\pi(a)=[a]によって定める。同定理の商演算に関して、π\piは全射準同型である。

証明. 任意のa,b∈Aa,b\in Aに対して

π(a∗b)=[a∗b]=[a]∗[b]=π(a)∗π(b)\pi(a*b)=[a*b]=[a]*[b]=\pi(a)*\pi(b)

である。∗*に単位元eeがある場合には、定理 3.2により[e][e]が商の単位元であるから、π(e)=[e]\pi(e)=[e]はπ\piが単位元を保つことを意味する。任意の[a]∈A/∼[a]\in A/{\sim}はπ(a)\pi(a)に等しいので、π\piは全射である。▨

例 3.4.

  1. nnを正の整数とし、a∼ba\sim bをa−ba-bがnnの倍数であることによって定める。∼\simはZ\mathbb Z上の同値関係である。a−a′a-a'とb−b′b-b'がともにnnの倍数であるならば、(a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′)(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')とab−a′b′=a(b−b′)+b′(a−a′)ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')もまたnnの倍数であるから、∼\simは加法および乗法の両方と両立する。したがって商集合Z/∼\mathbb Z/{\sim}は定理 3.2により加法と乗法を備え、π ⁣:Z→Z/∼\pi\colon\mathbb Z\to\mathbb Z/{\sim}は命題 3.3により全射準同型である。n=3n=3の場合に商集合の元を決定することは演習とする。
  2. (A,∗)(A,*)と(B,⋄)(B,\diamond)を一つの二項演算を備えた集合、f ⁣:A→Bf\colon A\to Bを準同型とし、a∼a′a\sim a'をf(a)=f(a′)f(a)=f(a')によって定める。∼\simはAA上の同値関係である。a∼a′a\sim a'かつb∼b′b\sim b'ならば
f(a∗b)=f(a)⋄f(b)=f(a′)⋄f(b′)=f(a′∗b′)f(a*b)=f(a)\diamond f(b)=f(a')\diamond f(b')=f(a'*b')

であるから、∼\simは∗*と両立する。

注意 3.5. 合同関係の両立性は、商演算が代表元の選び方に依存せず定まるための必要十分条件である。十分性は定理 3.2が与える。必要性については、F‾([a],[b])=[a∗b]\overline F([a],[b])=[a*b]が写像を定めるならば§E1.3 命題 4.4の第2条件が成り立ち、同命題の第1条件からa∼a′a\sim a'かつb∼b′b\sim b'のとき[a∗b]=[a′∗b′][a*b]=[a'*b']が従うので、§E1.3 補題 2.2によりa∗b∼a′∗b′a*b\sim a'*b'である。

群や環において合同関係を特定の部分集合によって分類する理論は、本節の一般構成とは別の構造論である。

4 演習

問題 4.1.Z\mathbb Z上でa∼ba\sim bを、a−ba-bが33の倍数であることによって定める。∼\simが同値関係であり、加法および乗法と両立することを証明せよ。商集合の元をすべて挙げ、商写像が二つの演算を保つことも確かめよ。

解答.

a−a=0a-a=0は33の倍数であるから、a∼aa\sim aである。a∼ba\sim bならば、ある整数kkに対してa−b=3ka-b=3kであり、b−a=3(−k)b-a=3(-k)であるからb∼ab\sim aである。a∼ba\sim bかつb∼cb\sim cならば、ある整数k,lk,lに対してa−b=3ka-b=3k、b−c=3lb-c=3lであり、a−c=3(k+l)a-c=3(k+l)であるからa∼ca\sim cである。したがって∼\simは同値関係である。

a∼a′a\sim a'、b∼b′b\sim b'とする。ある整数k,lk,lが存在してa−a′=3ka-a'=3k、b−b′=3lb-b'=3lである。このとき

(a+b)−(a′+b′)=3(k+l)(a+b)-(a'+b')=3(k+l)

であるから、a+b∼a′+b′a+b\sim a'+b'である。また

ab−a′b′=a(b−b′)+b′(a−a′)=3(al+b′k)ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')=3(al+b'k)

であるから、ab∼a′b′ab\sim a'b'である。したがって∼\simは加法と乗法の両方と両立する。

任意の整数は33で割った余りにより0,1,20,1,2のいずれかと同値であるから、商集合の元は[0],[1],[2][0],[1],[2]である。二つの異なる余りの差は33の倍数ではないので、同値類[0],[1],[2][0],[1],[2]は互いに異なる。

商写像をπ(a)=[a]\pi(a)=[a]とすると、商演算の定義により

π(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=π(a)+π(b),π(ab)=[ab]=[a][b]=π(a)π(b)\pi(a+b)=[a+b]=[a]+[b]=\pi(a)+\pi(b), \qquad \pi(ab)=[ab]=[a][b]=\pi(a)\pi(b)

である。よってπ\piは両方の演算を保つ。▨

問題 4.2.(A,∗)(A,*)と(B,⋄)(B,\diamond)を一つの二項演算を備えた集合、f ⁣:A→Bf\colon A\to Bを準同型、TTを(B,⋄)(B,\diamond)の部分構造とする。逆像f−1(T)f^{-1}(T)が空でないならば、f−1(T)f^{-1}(T)は(A,∗)(A,*)の部分構造であることを証明せよ。

解答.

s,t∈f−1(T)s,t\in f^{-1}(T)とする。逆像の定義によりf(s)∈Tf(s)\in Tかつf(t)∈Tf(t)\in Tである。ffが準同型であるからf(s∗t)=f(s)⋄f(t)f(s*t)=f(s)\diamond f(t)であり、TTが⋄\diamondについて閉じているのでf(s)⋄f(t)∈Tf(s)\diamond f(t)\in Tである。したがってf(s∗t)∈Tf(s*t)\in T、すなわちs∗t∈f−1(T)s*t\in f^{-1}(T)である。仮定によりf−1(T)f^{-1}(T)は空でないから、f−1(T)f^{-1}(T)は∗*について閉じたAAの空でない部分集合であり、定義 1.12により(A,∗)(A,*)の部分構造である。▨

問題 4.3.定義 2.1の直積A=∏i∈IAiA=\prod_{i\in I}A_iとμ∈I\mu\in Iに対して、「集合族」で定義した射影πμ ⁣:A→Aμ\pi_\mu\colon A\to A_\muが準同型であることを証明せよ。各∗i*_iに単位元eie_iがある場合にπμ\pi_\muが単位元を保つことも確かめよ。

解答.

a=(ai)i∈Ia=(a_i)_{i\in I}とb=(bi)i∈Ib=(b_i)_{i\in I}をAAの元とする。射影の定義によりπμ(a)=aμ\pi_\mu(a)=a_\muおよびπμ(b)=bμ\pi_\mu(b)=b_\muであり、成分ごとの演算の定義により(a∗b)μ=aμ∗μbμ(a*b)_\mu=a_\mu*_\mu b_\muである。したがって

πμ(a∗b)=(a∗b)μ=aμ∗μbμ=πμ(a)∗μπμ(b)\pi_\mu(a*b)=(a*b)_\mu=a_\mu*_\mu b_\mu=\pi_\mu(a)*_\mu\pi_\mu(b)

であるから、πμ\pi_\muは演算を保つ。

各∗i*_iに単位元eie_iがある場合には、命題 2.2によりe=(ei)i∈Ie=(e_i)_{i\in I}がAAの単位元である。πμ(e)=eμ\pi_\mu(e)=e_\muであるから、πμ\pi_\muは単位元を保つ。▨

問題 4.4. モノイド(M,∗)(M,*)からモノイド(M′,∗′)(M',*')への演算を保つ写像で、MMの単位元をM′M'の単位元へ送らないものの例を一つ挙げよ。また、演算を保つ写像f ⁣:M→M′f\colon M\to M'が全射であるならば、ffが単位元を保つことを証明せよ。

解答.

M=M′=(Z,⋅)M=M'=(\mathbb Z,\cdot)とする。整数の乗法は結合的であり、単位元11をもつので、これはモノイドである。f(n)=0f(n)=0によって定まる写像f ⁣:Z→Zf\colon\mathbb Z\to\mathbb Zは、任意のm,n∈Zm,n\in\mathbb Zに対してf(mn)=0=0⋅0=f(m)f(n)f(mn)=0=0\cdot0=f(m)f(n)であるから演算を保つ。しかしf(1)=0f(1)=0であり、これは乗法単位元11ではない。

MMの単位元をee、M′M'の単位元をe′e'と書き、f ⁣:M→M′f\colon M\to M'を演算を保つ全射とする。任意のb∈M′b\in M'に対して、全射性からf(a)=bf(a)=bとなるa∈Ma\in Mが存在する。このとき

f(e)∗′b=f(e)∗′f(a)=f(e∗a)=f(a)=b,b∗′f(e)=f(a)∗′f(e)=f(a∗e)=f(a)=bf(e)*'b=f(e)*'f(a)=f(e*a)=f(a)=b, \qquad b*'f(e)=f(a)*'f(e)=f(a*e)=f(a)=b

である。したがってf(e)f(e)は∗′*'の単位元であり、単位元の一意性（§E1.4 命題 2.5）によりf(e)=e′f(e)=e'である。▨

参考文献

  1. Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, Boston, 2011.準同型、閉じた部分集合および直積の基本的な定式化を参考にした。
  2. Stanley Burris and H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1981.演算と両立する同値関係および商演算の一般的な構成を参考にした。

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