§E2.10距離の修正

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$x\in X$と実数$\varepsilon>0$をとる。§E2.2 補題 1.2により$B_{d_1}(x,\varepsilon)$は$d_1$が定める開集合であり、仮定によりこれは$d_2$が定める開集合でもある。$x$はこの集合に属するから、§E2.2 定義 1.1により$B_{d_2}(x,\delta)\subseteq B_{d_1}(x,\varepsilon)$を満たす実数$\delta>0$が存在する。$d_1$と$d_2$を入れ替えて同じ議論を行うと、$B_{d_1}(x,\delta')\subseteq B_{d_2}(x,\varepsilon)$を満たす実数$\delta'>0$を得る。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$U$を$d_1$が定める開集合とし、$x\in U$とする。§E2.2 定義 1.1により$B_{d_1}(x,\varepsilon)\subseteq U$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在し、仮定が与える実数$\delta>0$に対して$B_{d_2}(x,\delta)\subseteq B_{d_1}(x,\varepsilon)\subseteq U$が成り立つ。$x\in U$は任意であるから、$U$は$d_2$が定める開集合である。$d_1$と$d_2$を入れ替えて同じ議論を行うと、$d_2$が定める開集合が$d_1$が定める開集合であることを得る。したがって二つの開集合の全体は一致する。▨

証明.(1)を示す。§E2.2 定義 2.1により、部分集合が閉集合であることはその補集合が開集合であることであるから、開集合の全体が一致すれば閉集合の全体も一致する。

(2)を示す。§E2.3 命題 1.2により、$x_n\to x$であることは、$x$の任意の近傍$V$に対してある番号以降のすべての項が$V$に属することと同値である。§E2.2 定義 2.1により$x$の近傍は開集合によって定まるから、$d_1$における$x$の近傍の全体と$d_2$における$x$の近傍の全体とは一致する。したがって二つの収束条件は一致する。

(3)を示す。§E2.4 定理 2.1により、$f$が連続写像であることは$Y$の任意の開集合の逆像が$X$の開集合であることと同値である。$X$の開集合の全体は$d_1$と$d_2$で一致するから、$f$についての二つの条件は一致する。同じ定理により、$g$が連続写像であることは$X$の任意の開集合の逆像が$Y$の開集合であることと同値であり、$X$の開集合の全体が一致することから、$g$についての二つの条件も一致する。▨

証明.(1)を示す。$d_1$と$d_2$が定める開集合の全体は一致するため、$X$の開被覆の全体も一致する。したがって、任意の開被覆が有限部分被覆をもつという条件は二つの距離について同値である。

(2)を示す。(1)により、一方がコンパクトならば他方もコンパクトである。§E2.9 系 3.3をそれぞれの距離空間へ適用すると、$(X,d_1)$と$(X,d_2)$はともに完備かつ全有界である。

(3)を示す。命題 1.3 (3)により、二つの恒等写像はともに連続である。(1)により両方の定義域はコンパクトであるから、それぞれの恒等写像へ§E2.9 定理 5.1を適用すると、両者はともに一様連続である。▨

証明.$y\in Y$と実数$\varepsilon>0$をとる。補題 1.2により$B_{d_2}(y,\delta)\subseteq B_{d_1}(y,\varepsilon)$を満たす実数$\delta>0$が存在する。§E2.1 命題 2.2により$B_{(d_2)_Y}(y,\delta)=Y\cap B_{d_2}(y,\delta)$かつ$B_{(d_1)_Y}(y,\varepsilon)=Y\cap B_{d_1}(y,\varepsilon)$であるから、$B_{(d_2)_Y}(y,\delta)\subseteq B_{(d_1)_Y}(y,\varepsilon)$が成り立つ。$d_1$と$d_2$を入れ替えて同じ議論を行うと残りの包含を得る。ふたたび補題 1.2を用いると、$(d_1)_Y$と$(d_2)_Y$は同値である。▨

証明.(1)を示す。二つの不等式は、最小値が二つの値のいずれ以下でもあることから従う。

(2)を示す。$d_R(x,y)=0$であることは$\min\{d(x,y),R\}=0$であることであり、$R>0$であるからこれは$d(x,y)=0$と同値であり、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)により$x=y$と同値である。$d(x,y)=d(y,x)$から$d_R(x,y)=d_R(y,x)$が従う。三角不等式について、$x,y,z\in X$をとる。$d(x,y)\geq R$または$d(y,z)\geq R$が成り立つ場合は、§E2.1 命題 1.2により$d_R$は非負であるから

である。$d(x,y)<R$かつ$d(y,z)<R$が成り立つ場合は、§E2.1 定義 1.1の三角不等式により

である。

(3)を示す。$d(x,y)<\varepsilon$ならば$d_R(x,y)\leq d(x,y)<\varepsilon$である。逆に$d_R(x,y)<\varepsilon$とする。$\varepsilon\leq R$であるから$\min\{d(x,y),R\}<R$であり、$R$が最小値でないことから最小値は$d(x,y)$である。したがって$d(x,y)=d_R(x,y)<\varepsilon$である。▨

証明.(1)を示す。命題 2.3 (1)により任意の$x,y\in X$に対して$d_R(x,y)\leq R$であるから、$(X,d_R)$の直径は$R$以下である。同じ主張の不等式$d_R(x,y)\leq d(x,y)$は、定義 2.1により恒等写像$\mathrm{id}_X\colon(X,d)\to(X,d_R)$が 1-Lipschitz 写像であることを述べている。

(2)を示す。$\mathrm{id}_X$は全単射であるから、$g\circ\mathrm{id}_X=f$を満たす写像$g$は$g=f$のほかにない。したがって、$f$が$(X,d_R)$から$(Y,e)$への 1-Lipschitz 写像であることを示せば十分である。$x,x'\in X$をとる。$f$が$(X,d)$から$(Y,e)$への 1-Lipschitz 写像であることから$e(f(x),f(x'))\leq d(x,x')$であり、$(Y,e)$の直径が$R$以下であることから$e(f(x),f(x'))\leq R$である。この二つの不等式から

を得る。▨

証明. 仮定により任意の$x,y\in X$に対して$e(x,y)\leq R$が成り立つから、§E2.5 注意 2.2の読み方のもとで距離空間$(X,e)$の直径は$R$以下である。また、任意の$x,y\in X$に対する仮定の不等式$e(x,y)\leq d(x,y)$は、定義 2.1により恒等写像$\mathrm{id}_X\colon(X,d)\to(X,e)$が 1-Lipschitz 写像であることを述べている。定理 2.4 (2)を$(Y,e)=(X,e)$と$f=\mathrm{id}_X$へ適用すると、$g\circ\mathrm{id}_X=\mathrm{id}_X$を満たす 1-Lipschitz 写像$g\colon(X,d_R)\to(X,e)$がただ一つ存在する。$\mathrm{id}_X$は全単射であるからこの$g$は$\mathrm{id}_X$であり、その 1-Lipschitz 性は、任意の$x,y\in X$に対して$e(x,y)\leq d_R(x,y)$が成り立つことにほかならない。$d_R$自身が$d$以下であって$R$以下であることは命題 2.3 (1)による。▨

証明.$x\in X$と実数$\varepsilon>0$をとり、$\delta=\min\{\varepsilon,R\}$とおく。$y\in X$が$d_R(x,y)<\delta$を満たすならば、$0<\delta\leq R$と命題 2.3 (3)により$d(x,y)<\delta\leq\varepsilon$である。したがって$B_{d_R}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$である。また命題 2.3 (1)の$d_R\leq d$により$B_d(x,\varepsilon)\subseteq B_{d_R}(x,\varepsilon)$である。補題 1.2により$d$と$d_R$は同値である。

後半の主張について、$d_R$は$d$と同値であり、定理 2.4 (1)により$(X,d_R)$の直径は$R$以下であるから$(X,d_R)$は有界である。したがって$e=d_R$が条件を満たす。▨

証明.$(x_n)_{n\geq1}$を$X$の点列とする。命題 2.3 (1)の$d_R\leq d$により、$(X,d)$の Cauchy 列は$(X,d_R)$の Cauchy 列である。逆に$(x_n)_{n\geq1}$が$(X,d_R)$の Cauchy 列であるとし、実数$\varepsilon>0$をとる。$\varepsilon'=\min\{\varepsilon,R\}$とおくと、§E2.5 定義 1.1により、$m,n\geq N$を満たすすべての$m,n$に対して$d_R(x_m,x_n)<\varepsilon'$が成り立つ番号$N$が存在する。$0<\varepsilon'\leq R$であるから、命題 2.3 (3)により、これらの$m,n$に対して$d(x_m,x_n)<\varepsilon'\leq\varepsilon$が成り立つ。したがって$(x_n)_{n\geq1}$は$(X,d)$の Cauchy 列である。

定理 2.6と命題 1.3 (2)により、$(X,d)$と$(X,d_R)$は同じ点列を同じ極限へ収束させる。前段により二つの空間は同じ Cauchy 列をもつから、一方において Cauchy 列がすべて収束することと、他方においてそうであることとは同値である。▨

証明.$x,x'\in X$をとる。$\rho(x,x')=0$であることは$e(f(x),f(x'))=0$であることであり、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)により$f(x)=f(x')$と同値であり、$f$が単射であることにより$x=x'$と同値である。$e$の対称律から$\rho(x,x')=\rho(x',x)$が従う。$x,x',x''\in X$に対して、$e$の三角不等式を$f(x)$、$f(x')$、$f(x'')$へ適用すると$\rho(x,x'')\leq\rho(x,x')+\rho(x',x'')$を得る。▨

証明.$x,y\in X$に対して$S_N(x,y)=\sum_{n=1}^{N}\rho_n(x,y)$とおく。§E2.1 命題 1.2により各$\rho_n$は非負値をとるから、実数列$(S_N(x,y))_{N\geq1}$は単調増加である。仮定によりこの実数列は上に有界であるから、§D1.7 定理 1.1により収束し、その極限は上限$\sup_{N\geq1}S_N(x,y)$に等しい。したがって級数$\sum_{n\geq1}\rho_n(x,y)$は収束して$\rho(x,y)$が定まり、上限が上界であることから、任意の$N\geq1$に対して$S_N(x,y)\leq\rho(x,y)$が成り立つ。

$\rho(x,y)=0$とすると、$0\leq\rho_1(x,y)=S_1(x,y)\leq\rho(x,y)=0$から$\rho_1(x,y)=0$であり、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)により$x=y$である。逆に$x=y$ならばすべての$n$について$\rho_n(x,y)=0$であるから$\rho(x,y)=0$である。各$\rho_n$の対称律から$\rho(x,y)=\rho(y,x)$が従う。

$x,y,z\in X$をとる。各$n\geq1$について$\rho_n(x,z)\leq\rho_n(x,y)+\rho_n(y,z)$であるから、$n=1$から$N$まで加えて

を得る。実数列$(S_N(x,z))_{N\geq1}$は$\rho(x,z)$に収束するから、§E2.5 補題 5.4により$\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$である。▨

証明.(1)を示す。$x,y\in X$をとる。命題 2.3 (1)により、任意の$k\in\mathbb Z_{\geq1}$について$\bar d_k(x_k,y_k)\leq1$であり、$k\geq1$であるから$\bar d_k(x_k,y_k)/k\leq1$である。したがって実数の集合$\{\bar d_k(x_k,y_k)/k\mid k\in\mathbb Z_{\geq1}\}$は空でなく$1$を上界にもつから、§D1.4 定義 1.2により$\rho(x,y)$が定まる。命題 2.3 (2)により各$\bar d_k$は$X_k$の上の距離であり、§E2.1 命題 1.2によりその値は非負であるから、$\rho(x,y)\geq0$である。

$\rho(x,y)=0$とすると、任意の$k$について$0\leq\bar d_k(x_k,y_k)/k\leq\rho(x,y)=0$であるから$\bar d_k(x_k,y_k)=0$であり、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)により$x_k=y_k$である。すべての成分の値が一致するから、§E1.2 定義 5.1により$x=y$である。逆に$x=y$ならば、上限をとる集合の元はすべて$0$であるから$\rho(x,y)=0$である。各$\bar d_k$の対称律から$\rho(x,y)=\rho(y,x)$が従う。$x,y,z\in X$と$k\in\mathbb Z_{\geq1}$をとると、$\bar d_k$の三角不等式により

である。右辺は$k$によらないから、左辺の$k$についての上限をとって$\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$を得る。

(2)を示す。$x\in X$、$N\in\mathbb Z_{\geq1}$および実数$\delta>0$をとり、$\delta'=\min\{\delta,1\}$、$\varepsilon=\delta'/N$とおく。$\delta'>0$であるから$\varepsilon>0$である。$y\in B_\rho(x,\varepsilon)$とし、$1\leq k\leq N$を満たす$k$をとる。上限は上界であるから$\bar d_k(x_k,y_k)/k\leq\rho(x,y)<\varepsilon$であり、$k\leq N$とあわせて

を得る。$0<\delta'\leq1$であるから、命題 2.3 (3)により$d_k(x_k,y_k)<\delta'\leq\delta$である。$\pi_k(y)=y_k$であるから$y\in\pi_k^{-1}(B_{d_k}(x_k,\delta))$であり、$k$は$1\leq k\leq N$の範囲で任意であったから$y\in C_N(x,\delta)$である。

(3)を示す。$x\in X$および実数$\varepsilon>0$をとる。§E2.5 補題 6.1により$n\leq2/\varepsilon<n+1$を満たす非負整数$n$が存在する。$N=n+1$とおくと$2/\varepsilon<N$であり、$1/N<\varepsilon/2$である。$\delta=\min\{\varepsilon/2,1\}$とおくと$\delta>0$である。$y\in C_N(x,\delta)$とする。$1\leq k\leq N$を満たす$k$については$d_k(x_k,y_k)<\delta\leq\varepsilon/2$であり、命題 2.3 (1)の$\bar d_k\leq d_k$と$k\geq1$から

である。$k>N$を満たす$k$については、命題 2.3 (1)の$\bar d_k\leq1$から

である。したがって$\varepsilon/2$は上限をとる集合の上界であり、$\rho(x,y)\leq\varepsilon/2<\varepsilon$であるから$y\in B_\rho(x,\varepsilon)$である。▨

証明.(1)を示す。$x,y\in X$と$a\in A$をとる。下限の定義と§E2.1 定義 1.1の三角不等式により

が成り立つ。左辺は$a$を含まないから、右辺について$a\in A$にわたる下限をとると$d(x,A)\leq d(x,y)+d(y,A)$を得る。$x$と$y$を入れ替えた不等式と合わせると$\lvert d(x,A)-d(y,A)\rvert\leq d(x,y)$が成り立つ。この不等式は定義 2.1の条件そのものであり、§E2.4 命題 3.4により$x\mapsto d(x,A)$は連続写像である。

(2)を示す。$x\in\overline A$とする。実数$\varepsilon>0$に対して、§E2.2 命題 2.6により$B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset$であるから、$d(x,a)<\varepsilon$を満たす$a\in A$が存在し、$0\leq d(x,A)\leq d(x,a)<\varepsilon$である。実数$\varepsilon>0$は任意であるから$d(x,A)=0$である。逆に$d(x,A)=0$とする。実数$\varepsilon>0$に対して、下限が最大の下界であることから$d(x,a)<\varepsilon$を満たす$a\in A$が存在し、$B(x,\varepsilon)\cap A\neq\emptyset$である。ふたたび§E2.2 命題 2.6により$x\in\overline A$である。▨