§E2.46完全コンパクト化

証明.§E2.22 系 6.5により$R_b=R_c$であるから、$\pi_b$と$\pi_c$のファイバーの全体は一致する。したがって、$\pi_b$のファイバーがすべて連結であることと$\pi_c$のファイバーがすべて連結であることは同値である。▨

証明.$x\in X$について、§E2.22 系 5.6により$\pi_c^{-1}(\{x\})=\{x\}$であり、§E2.43 例 1.2によりこれは連結である。

$s\in cX\setminus X$とし、$F=\pi_c^{-1}(\{s\})$に分離$(A,A')$が存在すると仮定する。$cX$は Hausdorff であるから$\{s\}$は閉集合であり、$F$は$\beta X$の閉集合である。$A=F\setminus A'$と$A'=F\setminus A$は$F$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$\beta X$の互いに素な閉集合である。§E2.19 定理 6.11により、$A\subseteq U$、$A'\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$\beta X$の開集合$U$、$V$が存在する。§E2.20 命題 1.2 (4)により$\pi_c$は閉写像であり、$F\subseteq U\cup V$であるから、§E2.12 定理 5.10 (3)により$s\in O$かつ$\pi_c^{-1}(O)\subseteq U\cup V$を満たす$cX$の開集合$O$が存在する。仮定により、$s\in W\subseteq O$を満たし$W\cap X$が連結である$cX$の開集合$W$をとる。

$\pi_c$は$X$のすべての点を固定するから$\pi_c^{-1}(W)\cap X=W\cap X$であり、$W\cap X\subseteq\pi_c^{-1}(O)\subseteq U\cup V$である。したがって$W\cap X\cap U$と$W\cap X\cap V$は$W\cap X$の互いに素な開集合であり、その和は$W\cap X$である。$\pi_c^{-1}(W)\cap U$は空でない$A$を含む$\beta X$の開集合であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$X$と交わり、その交わりの点は$W\cap X\cap U$に属する。同様に$W\cap X\cap V$は空でない。ゆえに$(W\cap X\cap U,W\cap X\cap V)$は$W\cap X$の分離であり、$W\cap X$が連結であることと両立しない。したがって$F$は連結であり、$cX$は完全である。▨

証明.$X=\emptyset$ならば$cX=\emptyset$であり、両条件は成り立つ。以下、$X\neq\emptyset$とする。

(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$g\colon cX\to\R$を$|f|$の連続な延長とする。§E2.19 定理 4.4により$g$は有界であるから、$f$も有界である。$f(X)\subseteq[-M,M]$を満たす実数$M>0$をとり、§E2.22 定理 3.2による連続な延長$F\colon\beta X\to[-M,M]$をとる。$|F|$と$g\circ\pi_c$は$X$上で一致するので、§E2.22 補題 2.1により

である。各$s\in cX$について$F(\pi_c^{-1}(\{s\}))$は連結であり、$\{-g(s),g(s)\}$に含まれるから一点集合である。したがって$F$は$\pi_c$の各ファイバー上で定数である。$\pi_c$は閉な全射であるから商写像であり、§E2.12 定理 8.10により$F=\bar f\circ\pi_c$を満たす連続関数$\bar f\colon cX\to\R$が存在する。$\pi_c$は$X$の各点を固定するから$\bar f|_X=f$である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。ある$s\in cX$のファイバー$K=\pi_c^{-1}(\{s\})$が連結でないと仮定し、その分離を$(A,B)$とする。$A$と$B$は$\beta X$の互いに素な閉集合であるから、§E2.19 定理 6.11により、$A\subseteq U$、$B\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$\beta X$の開集合$U,V$が存在する。§E2.12 定理 5.10 (3)により、$s\in O$かつ$\pi_c^{-1}(O)\subseteq U\cup V$を満たす$cX$の開集合$O$がある。§E2.18 系 3.5により、$h(s)=1$、$h|_{cX\setminus O}=0$を満たす連続関数$h\colon cX\to[0,1]$をとる。

$H=h\circ\pi_c$とおき、$G\colon\beta X\to[-1,1]$を

で定める。$\pi_c^{-1}(O)$の中では、$G$は互いに素な二つの開集合上で$H$または$-H$に一致するから連続である。$z\notin\pi_c^{-1}(O)$では$H(z)=G(z)=0$であり、$|G|=H$であるから、任意の$\varepsilon>0$に対して$H^{-1}([0,\varepsilon))$は$|G|<\varepsilon$となる$z$の開近傍である。したがって$G$は全体で連続である。

$f=G|_X$とすると$|f|=h|_X$であるから、仮定により$f$は連続関数$\bar f\colon cX\to\R$に延長する。§E2.22 補題 2.1により$G=\bar f\circ\pi_c$である。しかし$G$は$A$上で$1$、$B$上で$-1$をとる一方、$\bar f\circ\pi_c$は$K$上で定数であり、両立しない。ゆえに$cX$は完全である。▨

証明.§E2.43 定理 6.2 (3)により、各ファイバー$f^{-1}(\{y\})$の連結成分の全体はそのファイバーの分割であるから、$E_f$は同値関係である。

$(u,v)\in(K\times K)\setminus E_f$をとる。$f(u)\neq f(v)$の場合、$L$は Hausdorff であるから、$f(u)\in G$、$f(v)\in H$、$G\cap H=\emptyset$を満たす$L$の開集合$G$、$H$が存在する。$f^{-1}(G)\times f^{-1}(H)$は$(u,v)$を含む$K\times K$の開集合であり、その各点$(u',v')$は$f(u')\neq f(v')$を満たすから、$E_f$と交わらない。

$f(u)=f(v)$の場合、$y=f(u)$、$F=f^{-1}(\{y\})$とおき、$u$と$v$を含む$F$の連結成分をそれぞれ$C$、$D$とする。$(u,v)\notin E_f$であるから$C\neq D$である。$L$は Hausdorff であるから$\{y\}$は閉集合であり、$F$は$K$の閉集合である。したがって§E2.19 命題 4.1により$F$はコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff である。§E2.43 系 7.4により、$C\subseteq H$かつ$H\cap D=\emptyset$を満たす$F$の開かつ閉な部分集合$H$が存在する。

$H$と$F\setminus H$は$F$の閉集合であり$F$は$K$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$K$の互いに素な閉集合である。

§E2.19 定理 6.11により、$H\subseteq U$、$F\setminus H\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$K$の開集合$U$、$V$が存在する。§E2.20 命題 1.2 (4)により$f$は閉写像であり、$F\subseteq U\cup V$であるから、§E2.12 定理 5.10 (3)により$y\in W$かつ$f^{-1}(W)\subseteq U\cup V$を満たす$L$の開集合$W$が存在する。

とおくと、$u\in C\subseteq H\subseteq U$かつ$v\in D\subseteq F\setminus H\subseteq V$であるから、$N$は$(u,v)$を含む$K\times K$の開集合である。$(u',v')\in N\cap E_f$が存在すると仮定し、$u'$と$v'$をともに含む$f^{-1}(\{f(u')\})$の連結成分を$C'$とする。$f(u')\in W$であるから$C'\subseteq f^{-1}(W)\subseteq U\cup V$であり、$C'\cap U$と$C'\cap V$は$C'$の互いに素な開集合で、その和は$C'$であり、それぞれ$u'$と$v'$を含むから、$(C'\cap U,C'\cap V)$は$C'$の分離である。一方、§E2.43 定理 6.2 (1)により$C'$は連結であり、両立しない。ゆえに$N\cap E_f=\emptyset$である。

いずれの場合にも$(u,v)$は$(K\times K)\setminus E_f$に含まれる開集合をもつから、§E2.11 補題 2.6により$(K\times K)\setminus E_f$は開集合であり、$E_f$は閉集合である。▨

証明.$A=f^{-1}(C)$とおき、$f$の制限$g\colon A\to C$をとる。§E2.12 補題 5.6 (1)と§E2.12 補題 5.6 (3)により$g$は連続な閉写像であり、$f$が全射であるから$g$も全射である。$A$に分離$(P,Q)$が存在すると仮定する。各$z\in C$について、$f^{-1}(\{z\})\cap P$と$f^{-1}(\{z\})\cap Q$は$f^{-1}(\{z\})$の互いに素な開集合でその和は$f^{-1}(\{z\})$であるから、$f^{-1}(\{z\})$の連結性によりいずれか一方は空である。したがって$P=g^{-1}(g(P))$、$Q=g^{-1}(g(Q))$であり、$g(P)\cap g(Q)=\emptyset$である。$P=A\setminus Q$と$Q=A\setminus P$は$A$の閉集合であるから、$g(P)$と$g(Q)$は$C$の閉集合であり、$g$の全射性により$g(P)\cup g(Q)=C$である。ゆえに$g(P)=C\setminus g(Q)$と$g(Q)=C\setminus g(P)$は$C$の開集合であり、$P$と$Q$が空でないことからいずれも空でない。$(g(P),g(Q))$は$C$の分離であり、$C$が連結であることと両立しない。したがって$A$は連結である。▨

証明.$R_X$が反射的かつ対称的であることは定義から従う。$(u,v)\in R_X$かつ$(v,w)\in R_X$とする。$u=v$または$v=w$ならば$(u,w)\in R_X$である。そうでなければ、$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体$K_1\ni u,v$と$K_2\ni v,w$が存在する。$K_1\cup K_2$は、§E2.43 命題 1.7により連結であり、§E2.19 補題 2.8によりコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff であり、空でない。したがって$K_1\cup K_2$は$u$と$w$を含み$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体であり、$(u,w)\in R_X$である。

$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体は$X$の点を含まないから、$x\in X$の同値類は$\{x\}$である。$p\in\beta X\setminus X$について、§E2.19 例 2.3と§E2.43 例 1.2により$\{p\}$は$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体であるから、$p$の同値類は$p$を含み$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体すべての和に等しい。この和は§E2.43 命題 1.7により連結である。▨

証明.§E2.22 命題 6.4 (3)により、各$s\in cX$について$\pi_b$が$F=\pi_c^{-1}(\{s\})$の上で定数であることを示せばよい。$s\in X$ならば§E2.22 系 5.6により$F=\{s\}$である。$s\in cX\setminus X$とする。§E2.22 系 3.5により$\pi_c$は全射であるから$F$は空でない。$\{s\}$は$cX$の閉集合であるから$F$は$\beta X$の閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。$cX$は完全であるから$F$は連結であり、§E2.22 系 5.3 (1)により$F\subseteq\beta X\setminus X$である。同じ主張を$bX$へ適用すると$\pi_b(\beta X\setminus X)\subseteq bX\setminus X$であるから、$\pi_b(F)$は$bX\setminus X$に含まれ、§E2.19 定理 4.2と§E2.43 定理 1.4により空でないコンパクトかつ連結な集合である。$bX\setminus X$は点型空間であるから、$\pi_b(F)$はただ一点からなる。▨

証明.$(u,v)\in R_X$かつ$u\neq v$とし、$u$と$v$を含み$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体$K$をとる。§E2.22 系 5.3 (1)により$\pi_b(K)\subseteq bX\setminus X$であり、§E2.19 定理 4.2と§E2.43 定理 1.4により$\pi_b(K)$は空でないコンパクトかつ連結な集合であるから、$bX\setminus X$が点型空間であることにより$\pi_b(K)$は一点$y$からなる。$K$は$u$を含む$\pi_b^{-1}(\{y\})$の連結部分集合であるから、§E2.43 定理 6.2 (1)により$u$を含む$\pi_b^{-1}(\{y\})$の連結成分に含まれ、その成分は$v$を含む。ゆえに$(u,v)\in E_{\pi_b}$である。

$(u,v)\in E_{\pi_b}$かつ$u\neq v$とし、$y=\pi_b(u)=\pi_b(v)$、$F=\pi_b^{-1}(\{y\})$とおく。§E2.22 系 5.6により$u,v\in\beta X\setminus X$であり、$y\notin X$であるから、§E2.22 系 5.3 (1)により$F\subseteq\beta X\setminus X$である。$u$と$v$を含む$F$の連結成分$C$は、§E2.43 命題 6.3により$F$の閉集合であり、$F$は$\beta X$の閉集合であるから$C$は$\beta X$の閉集合であってコンパクトである。$C$は連結であり、空でなく、Hausdorff であるから、$u$と$v$を含み$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体である。ゆえに$(u,v)\in R_X$である。

$R_X=E_{\pi_b}$であるから、補題 2.1により$R_X$は$\beta X\times\beta X$の閉集合である。▨

証明.$\beta X$の射影は恒等写像である。補題 3.1により$R_X$は同値関係であり、$X$の点の同値類は一点集合であるから、§E2.22 命題 6.9を$cX=\beta X$、$E=R_X$へ適用すると、$mX$は$X$のコンパクト化であり$\pi_m=q$である。$q$のファイバーは$R_X$の同値類であり、$X$の点の同値類は一点集合であって、$\beta X\setminus X$の点の同値類は補題 3.1により連結であるから、$mX$は完全である。

$L\subseteq mX\setminus X$を空でないコンパクトかつ連結な部分集合とする。$mX$は Hausdorff であるから$L$は閉集合であり、$q^{-1}(L)$は$\beta X$の閉集合であってコンパクトである。§E2.19 補題 6.18により$q$は連続な全射閉写像であり、ファイバーはいずれも連結であるから、補題 2.2により$q^{-1}(L)$は連結である。§E2.22 系 5.3 (1)により$q^{-1}(L)\subseteq q^{-1}(mX\setminus X)=\beta X\setminus X$であり、$q^{-1}(L)$は$q$の全射性により空でない。したがって$q^{-1}(L)$は$\beta X\setminus X$に含まれる部分連続体であり、その任意の二点$u$、$v$は$(u,v)\in R_X$、すなわち$q(u)=q(v)$を満たす。ゆえに$L=q(q^{-1}(L))$はただ一点からなり、$mX$は点型である。▨

証明.$yX=\beta X/E_{\pi_m}$とおき、標準全射を$q\colon\beta X\to yX$とする。補題 2.1により$E_{\pi_m}$は$\beta X\times\beta X$の閉集合である同値関係であり、§E2.22 系 5.6により$x\in X$について$\pi_m^{-1}(\{x\})=\{x\}$であるから、$x$の同値類は$\{x\}$である。$\beta X$の射影は恒等写像であるから、§E2.22 命題 6.9を$cX=\beta X$へ適用すると、$yX$は$X$のコンパクト化であり、$\pi_y=q$である。$q$のファイバーは$\pi_m$のファイバーの連結成分であり、§E2.43 定理 6.2 (1)により連結であるから、$yX$は完全である。$(u,v)\in E_{\pi_m}$ならば$\pi_m(u)=\pi_m(v)$であるから、§E2.22 命題 6.4 (3)により$yX\geq mX$である。

$cX$を$cX\geq mX$を満たす完全コンパクト化とし、$u,v\in\beta X$が$\pi_c(u)=\pi_c(v)=s$を満たすとする。§E2.22 命題 6.4 (3)により$\pi_c^{-1}(\{s\})\subseteq\pi_m^{-1}(\{\pi_m(u)\})$であり、$\pi_c^{-1}(\{s\})$は$u$と$v$を含む連結集合であるから、§E2.43 定理 6.2 (1)により$u$と$v$は$\pi_m^{-1}(\{\pi_m(u)\})$の同じ連結成分に属する。ゆえに$q(u)=q(v)$であり、§E2.22 命題 6.4 (3)により$cX\geq yX$である。▨

証明.$E_K$が反射的かつ対称的であることは定義から従う。$(s,t),(t,w)\in E_K$とすると、$s=t$または$t=w$ならば$(s,w)\in E_K$であり、そうでなければ$s,t,w\in K$であるから$(s,w)\in E_K$である。ゆえに$E_K$は推移的である。$\Delta=\{(s,s)\mid s\in mX\}$は§E2.15 命題 2.11により$mX\times mX$の閉集合であり、$K$は Hausdorff 空間$mX$のコンパクト部分集合であるから§E2.19 命題 6.4により閉集合であって、$K\times K=\pr_1^{-1}(K)\cap\pr_2^{-1}(K)$も閉集合である。ゆえに$E_K=\Delta\cup(K\times K)$は閉集合である。$K\cap X=\emptyset$であるから、$x\in X$の同値類は$\{x\}$である。

$q\colon mX\to mX/E_K$を標準全射とする。§E2.22 命題 6.9により、$mX/E_K$は$X$のコンパクト化であり、$mX\geq mX/E_K$であって、その射影は$q\circ\pi_m$である。§E2.22 命題 6.2により$X$のすべての点を固定する連続写像$mX\to mX/E_K$は$q$だけであり、$K$は空でない一つの同値類であるから、$q(K)$は一点である。$E_K$の同値類は$s\in mX\setminus K$についての$\{s\}$と$K$であるから、§E2.22 命題 6.9により、$mX/E_K$の射影のファイバーは$\pi_m^{-1}(\{s\})$（$s\in mX\setminus K$）と$\pi_m^{-1}(K)$である。前者は$mX$が完全であることにより連結である。§E2.22 系 3.5と§E2.20 命題 1.2 (4)により$\pi_m$は連続な全射閉写像であり、そのファイバーはいずれも連結であるから、補題 2.2により後者も連結である。ゆえに$mX/E_K$は完全である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)は命題 3.3による。(2)$\Rightarrow$(5)は命題 3.4による。(5)$\Rightarrow$(1)は定義から従う。

(5)$\Rightarrow$(4)を示す。

$mX$を点型の完全コンパクト化とすると、命題 3.2により、任意の完全コンパクト化$cX$について$cX\geq mX$である。

(4)$\Rightarrow$(3)を示す。$mX$を(4)の完全コンパクト化とすると、$[mX]$は完全コンパクト化の同相類の全体の下界である。$[bX]$をこの全体の任意の下界とすると、$mX$は完全であるから$mX\geq bX$である。ゆえに$[mX]$は下限である。

(3)$\Rightarrow$(5)を示す。完全コンパクト化の同相類の全体の下限を$[mX]$とし、$yX=\beta X/E_{\pi_m}$を補題 3.5のコンパクト化とする。任意の完全コンパクト化$cX$は$cX\geq mX$を満たすから、補題 3.5により$cX\geq yX$である。したがって$[yX]$は完全コンパクト化の同相類の全体の下界であり、$[mX]$が下限であることから$mX\geq yX$である。補題 3.5により$yX\geq mX$でもあるから$[yX]=[mX]$であり、$yX$は完全であるから、系 1.3により$mX$は完全である。

$mX\setminus X$のコンパクトかつ連結な部分集合$K$が相異なる二点$a$、$b$を含むと仮定する。$K$は空でなく、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff であるから、$mX$の部分連続体である。補題 3.6により、$mX/E_K$は$mX\geq mX/E_K$を満たす完全コンパクト化であり、$X$のすべての点を固定する連続写像$\varphi\colon mX\to mX/E_K$は$\varphi(a)=\varphi(b)$を満たす。$[mX]$は完全コンパクト化の同相類の全体の下界であるから$mX/E_K\geq mX$であり、$[mX]=[mX/E_K]$である。§E2.22 命題 6.3により$X$のすべての点を固定する同相写像$mX\to mX/E_K$が存在し、§E2.22 命題 6.2の一意性によりそれは$\varphi$に等しい。したがって$\varphi$は単射であり、$a\neq b$と$\varphi(a)=\varphi(b)$は両立しない。ゆえに$mX\setminus X$のコンパクトかつ連結な部分集合は高々一点からなり、$mX$は点型である。

条件が成り立つとする。(1)は、(2)と命題 3.4による。(2)の前半は命題 3.2によるものであり、後半は(4)$\Rightarrow$(3)の証明による。(3)は、点型の完全コンパクト化$mX$、$m'X$に命題 3.2を両向きに適用して得られる。▨

証明.§E2.45 命題 2.10により$bX$は点型コンパクト化であるから、定理 3.7により$X$は点型の完全コンパクト化$mX$をもち、命題 3.2により$mX\geq bX$である。$X$のすべての点を固定する連続写像$\varphi\colon mX\to bX$をとる。§E2.22 命題 6.4 (3)により$\pi_b=\varphi\circ\pi_m$である。$w\in mX\setminus X$とすると、§E2.22 系 5.3 (2)により$w=\pi_m(u)$を満たす$u\in\beta X\setminus X$が存在し、§E2.22 系 5.3 (1)により$\varphi(w)=\pi_b(u)\in bX\setminus X$である。

$C$を$mX\setminus X$の空でない連結部分集合とする。§E2.43 定理 1.4により$\varphi(C)$は$bX\setminus X$の連結部分集合であるから、§E2.45 命題 2.3によりただ一点$y$からなる。$\varphi$は$X$のすべての点を固定し$y\notin X$であるから、$\varphi^{-1}(\{y\})\subseteq mX\setminus X$であり、$\varphi^{-1}(\{y\})$は$C$を含む閉集合である。したがって$\tpcl[mX]{C}\subseteq\varphi^{-1}(\{y\})\subseteq mX\setminus X$であり、$\tpcl[mX]{C}$は§E2.43 命題 1.6により連結であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。$mX$は点型であるから$\tpcl[mX]{C}$は高々一点からなり、$C$も高々一点からなる。§E2.45 命題 2.3により$mX\setminus X$は完全不連結である。▨

証明.$bX\setminus X$は Hausdorff であるから、§E2.45 命題 2.11 (3)により完全不連結である。命題 3.8により、剰余が完全不連結である点型の完全コンパクト化$mX\geq bX$が存在する。$X$の各点を固定する連続写像$\varphi\colon mX\to bX$をとる。$\pi_b=\varphi\circ\pi_m$と剰余の射影対応から

であり、$\varphi$は全射閉写像である。

$R=mX\setminus X$、$S=bX\setminus X$とおき、$p\in R$と$p$を含む$R$の開集合$O$をとる。$y=\varphi(p)\in S$とし、$K=\varphi^{-1}(\{y\})$とおく。$K$は$R$に含まれる非空コンパクト Hausdorff 空間であり、$R$の完全不連結性を遺伝するから、§E2.45 定理 3.1により開かつ閉な集合の開基をもつ。したがって$p\in H\subseteq K\cap O$を満たす$K$の開かつ閉な部分集合$H$が存在する。

$O=O'\cap R$を満たす$mX$の開集合$O'$をとる。$H$と$(K\setminus H)\cup(mX\setminus O')$は互いに素な閉集合であるから、$mX$の正規性により、$H\subseteq U$、$(K\setminus H)\cup(mX\setminus O')\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$mX$の開集合$U,V$がある。特に$U\subseteq O'$であり、$K\subseteq U\cup V$である。

§E2.12 定理 5.10 (3)により、$y\in W$かつ$\varphi^{-1}(W)\subseteq U\cup V$を満たす$bX$の開集合$W$をとる。$S$は 0 次元であるから、$y\in D\subseteq W\cap S$を満たす$S$の開かつ閉な集合$D$がある。$\varphi|_R$は連続であるから$T=\varphi^{-1}(D)$は$R$の開かつ閉な集合であり、$T\subseteq U\cup V$である。したがって$T\cap U$は$R$の開集合であり、その補集合は