§E2.21Lindelöf 空間

証明. 開被覆$(U_i)_{i\in I}$をとると、§E2.19 定義 2.1により、有限な$I_0\subseteq I$で$(U_i)_{i\in I_0}$が開被覆となるものが存在する。有限集合は高々可算であるため、これは定義 1.1が要求する部分被覆である。▨

証明.$X$の開被覆$\mathcal{U} = (U_i)_{i\in I}$を任意にとれば、$f$は固有写像であるから、§E2.20 補題 3.1 (2)より$f(\mathcal{U}) = (Y\setminus f(X\setminus \bigcup_{i\in A}U_i))_{A\in[I]^{<\infty}}$は$Y$の開被覆である。$Y$は Lindelöf なので可算部分集合$J\subset [I]^{<\infty}$が存在して$(Y\setminus f(X\setminus \bigcup_{i\in A}U_i))_{A\in J}$は$Y$の被覆となる。このとき§E2.20 補題 3.1 (1)より$(\bigcup_{i\in A}U_i)_{A\in J}$は$X$の可算開被覆であり、よって$(U_i)_{i\in \bigcup_{A\in J}A}$は$\mathcal{U}$の可算部分被覆である。以上で示された。▨

証明.(1)を示す。§E2.20 命題 1.2 (3)により包含写像$\iota_F\colon F\to X$は固有であって閉写像であるから、定理 1.3を$\iota_F$へ適用すると$F$は Lindelöf である。

(2)を示す。§E2.20 命題 4.5により射影$\operatorname{pr}_X\colon X\times K\to X$は固有であって閉写像であるから、定理 1.3を$\operatorname{pr}_X$へ適用すると$X\times K$は Lindelöf である。▨

証明.$(V_i)_{i\in I}$を$f(X)$の開被覆とする。各$V_i$は$f(X)$の開集合であるため、§E2.12 定義 4.1により$V_i=W\cap f(X)$を満たす$Y$の開集合$W$が存在する。$f(X)$は$f$の像であるから$f^{-1}(V_i)=f^{-1}(W)$であり、§E2.12 定義 1.1により$f^{-1}(V_i)$は$X$の開集合である。したがって$(f^{-1}(V_i))_{i\in I}$は$X$の開被覆であり、高々可算な$I_0\subseteq I$が存在して$(f^{-1}(V_i))_{i\in I_0}$が$X$を覆う。$y\in f(X)$をとり$y=f(x)$と書くと、$x\in f^{-1}(V_i)$となる$i\in I_0$が存在するから$y\in V_i$である。ゆえに$(V_i)_{i\in I_0}$は$f(X)$を覆い、$f(X)$は Lindelöf である。▨

証明.$(X,\mathcal O)$を第二可算な位相空間とし、§E2.13 定義 5.1が与える高々可算な開基$\mathcal B$をとる。$(U_i)_{i\in I}$を$X$の開被覆とし、

とおく。さらに

とおき、$p\colon P\to\mathcal B_0$を第一成分への射影とする。$\mathcal B_0$の定義から$p$は全射であり、$\mathcal B_0$は高々可算であるから、§E1.20 補題 4.8により$p\circ s=\operatorname{id}_{\mathcal B_0}$を満たす写像$s\colon\mathcal B_0\to P$が存在する。$s(B)$の第二成分を$i_B$と書くと$B\subseteq U_{i_B}$である。$I_0=\{i_B\mid B\in\mathcal B_0\}$は$B\mapsto i_B$による$\mathcal B_0$の像であるから、§E1.18 補題 3.5により高々可算である。

$x\in X$をとる。$(U_i)_{i\in I}$が$X$を覆い、$\mathcal B$が開基であるため、$x\in B\subseteq U_i$を満たす$B\in\mathcal B$と$i\in I$が存在する。このとき$B\in\mathcal B_0$かつ$x\in B\subseteq U_{i_B}$である。したがって$(U_i)_{i\in I_0}$は$X$を覆い、$X$は Lindelöf である。▨

証明.$a\in A$をとる。§E2.15 定義 1.7 (1)を点$a$と閉集合$B$に適用すると、$a\in W$、$B\subseteq W'$、$W\cap W'=\emptyset$を満たす開集合$W,W'$が存在する。$W\subseteq X\setminus W'$であり$X\setminus W'$は閉集合であるため、$\overline W\subseteq X\setminus W'$である。したがって$\overline W\cap B=\emptyset$であり、$W\in\mathcal W(A,B)$である。$a$は任意であるから、$\mathcal W(A,B)$は$A$を覆う。▨

証明.$n\geq1$に対して

とおく。有限個の閉集合の合併は閉集合であるから、$U'_n$と$V'_n$は開集合である。さらに

とおくと、$U$と$V$も開集合である。$A$の各点はどの$\overline{V_k}$にも属さず、ある$U_n$に属するため$A\subseteq U$である。同様に$B\subseteq V$である。

$z\in U'_n\cap V'_m$と仮定する。$n\leq m$ならば、$z\in U_n\subseteq\overline{U_n}$である一方、$V'_m$の定義から$z\notin\overline{U_n}$となる。$m<n$ならば、$z\in V_m\subseteq\overline{V_m}$である一方、$U'_n$の定義から$z\notin\overline{V_m}$となる。いずれの場合にも矛盾するため$U\cap V=\emptyset$である。▨

証明.$A,B\subseteq X$を互いに交わらない閉集合とする。一方が空集合ならば、空集合と$X$が両者を分離する。$A\neq\emptyset$かつ$B\neq\emptyset$とする。

補題 2.1により$\mathcal W(A,B)$は$A$を覆い、$\mathcal W(B,A)$は$B$を覆う。$\mathcal W(A,B)\cup\{X\setminus A\}$を、それ自身を添字集合とする族とみなすと$X$の開被覆である。Lindelöf 性が与える高々可算な部分被覆から$X\setminus A$を除くと、$A$を覆う$\mathcal W(A,B)$の空でない高々可算な部分族を得る。§E1.18 補題 3.6により、その元を$U_1,U_2,\ldots$と並べることができる。同様に、$B$を覆う$\mathcal W(B,A)$の元を$V_1,V_2,\ldots$と並べることができる。

各$n\geq1$について$\overline{U_n}\cap B=\emptyset$かつ$\overline{V_n}\cap A=\emptyset$である。補題 2.2から$A$と$B$は互いに交わらない開集合で分離される。$A$と$B$は任意であるから、§E2.15 定義 1.7 (3)により$X$は正規である。▨

証明.$X$を Lindelöf な T3 空間とする。§E2.15 定義 1.8 (1)により$X$は正則かつ T1 である。定理 2.3により$X$は正規であり、正規性と T1 性から、§E2.15 定義 1.8 (3)によって$X$は T4 である。▨

証明.$X$を第二可算かつ正則かつ T1 である位相空間とする。命題 1.6により$X$は Lindelöf であり、§E2.15 定義 1.8 (1)により$X$は T3 である。したがって系 2.4により$X$は T4 である。▨

証明. 必要性は§E2.15 定理 3.2 (4)よりただちに従う。十分性は§E2.15 系 4.5、§E2.18 系 3.3、系 2.5よりただちに従う。▨

証明.$Y=\im(f)$として良い。このとき$Y$はコンパクト T2 空間であるため、T3 空間である。§E2.13 補題 5.10より$X$は第二可算である。$f$が全射な場合に帰着しているので§E2.20 命題 2.5より$f$は完全写像であり、よって§E2.20 系 3.2より$Y$は第二可算である。よって系 2.6より$Y$は距離化可能である。▨

証明.$(U_i)_{i\in I}$を$\mathbb R_\ell$の開被覆とする。§E1.18 定理 4.1により$\mathbb Q$と$\mathbb N_{\geq 0}$のあいだに全単射が存在するから、全単射$e\colon\mathbb N_{\geq 0}\to\mathbb Q$を一つ固定する。各$x\in\mathbb R$に対して

とおく。$(U_i)_{i\in I}$は$\mathbb R_\ell$を覆うから$x\in U_i$を満たす$i\in I$が存在し、§E2.17 命題 8.2により半開区間の全体$\mathcal S$は$\mathbb R_\ell$の開基であるから、§E2.13 命題 1.2 (2)により$x\in[a,b)\subseteq U_i$を満たす$[a,b)\in\mathcal S$が存在する。$a\le x<b$であり、§D1.4 系 2.2が与える有理数の稠密性により$x<q<b$を満たす有理数$q$が存在するから、$e(n)=q$を満たす$n\in\mathbb N_{\geq 0}$に対して$[x,e(n))\subseteq[a,b)\subseteq U_i$が成り立ち、$n\in N_x$である。したがって各$N_x$は空でない。その最小元を$n(x)$とおき、$b_x=e(n(x))$と定める。各$x\in\mathbb R$について$x<b_x$であり、$[x,b_x)\subseteq U_i$を満たす$i\in I$が存在する。

$\mathbb R$に通常の位相を入れ、

とおく。各$(x,b_x)$は通常の位相の開集合であるから、$V$は通常の位相の開集合である。

$x,y\in A$が$x<y$を満たすとする。$(x,b_x)\subseteq V$かつ$y\notin V$であるから$y\notin(x,b_x)$であり、$x<y$と合わせて$b_x\le y$を得る。したがって$(x,b_x)$の元はすべて$y$より小さく、$(y,b_y)$の元はすべて$y$より大きいから、$(x,b_x)\cap(y,b_y)=\emptyset$である。

$x\in A$に対して$x<b_x$であるから、§D1.4 系 2.2が与える有理数の稠密性により$x<q<b_x$を満たす有理数$q$が存在し、集合$\{n\in\mathbb N_{\geq 0}\mid e(n)\in(x,b_x)\}$は空でない。その最小元を$m(x)$とおく。$x,y\in A$が$x\neq y$を満たすとすると、$x<y$と$y<x$のいずれか一方が成り立ち、どちらの場合にも前段落により$(x,b_x)\cap(y,b_y)=\emptyset$である。$e(m(x))\in(x,b_x)$かつ$e(m(y))\in(y,b_y)$であるから$e(m(x))\neq e(m(y))$であり、$e$は単射であるから$m(x)\neq m(y)$である。ゆえに$x\mapsto m(x)$は単射$A\to\mathbb N_{\geq 0}$であり、§E1.18 定義 1.2により$A$は高々可算である。

$V$に通常の位相からの部分空間位相を入れる。§E2.13 例 5.2により通常の位相を入れた$\mathbb R$は第二可算であるから、高々可算な開基$\mathcal B$をとると、§E2.13 命題 3.2により$\mathcal B_V=\{B\cap V\mid B\in\mathcal B\}$は部分空間$V$の開基であり、§E1.18 補題 3.5により$\mathcal B_V$は高々可算である。したがって§E2.13 定義 5.1により$V$は第二可算であり、命題 1.6により$V$は Lindelöf である。各$x\in\mathbb R$について$(x,b_x)$は通常の位相の開集合であって$V$に含まれるから、§E2.12 定義 4.1により$(x,b_x)$は部分空間$V$の開集合である。$V$の定義から$((x,b_x))_{x\in\mathbb R}$は$V$の開被覆であり、$V$の Lindelöf 性により、高々可算な部分集合$A_0\subseteq\mathbb R$が存在して$V=\bigcup_{x\in A_0}(x,b_x)$が成り立つ。

§E1.18 定理 5.1により$A_0\cup A$は高々可算である。

とおき、$r\colon Q\to A_0\cup A$を第一成分への射影とする。各$x\in A_0\cup A$について$[x,b_x)\subseteq U_i$を満たす$i\in I$が存在するから$r$は全射であり、$A_0\cup A$は高々可算であるから、可算選択公理と§E1.20 補題 4.8により$r\circ\sigma=\operatorname{id}_{A_0\cup A}$を満たす写像$\sigma\colon A_0\cup A\to Q$が存在する。$\sigma(x)$の第二成分を$i(x)$と書くと$[x,b_x)\subseteq U_{i(x)}$である。$x\mapsto i(x)$による像

は§E1.18 補題 3.5により高々可算である。$x\in A_0$に対して$(x,b_x)\subseteq[x,b_x)\subseteq U_{i(x)}$であるから$V\subseteq\bigcup_{i\in I_0}U_i$であり、$x\in A$に対して$x\in[x,b_x)\subseteq U_{i(x)}$であるから$A\subseteq\bigcup_{i\in I_0}U_i$である。$\mathbb R=V\cup A$であるから、$(U_i)_{i\in I_0}$は$\mathbb R_\ell$の高々可算部分被覆である。ゆえに定義 1.1により$\mathbb R_\ell$は Lindelöf である。▨

証明.§E2.17 系 8.3により$\mathbb R_\ell$は T5 空間であり、§E2.15 命題 1.13により T4 空間であり、§E2.15 定理 1.11 (1)により T3 空間である。§E2.15 系 2.9により T3 空間の直積は T3 空間であるから、$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$は T3 空間である。▨

証明.$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$が Lindelöf であると仮定する。命題 3.2と系 2.4により$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$は T4 空間であり、§E2.15 定義 1.8 (3)により正規である。一方§E2.18 定理 8.4により$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$は正規でない。$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$が正規であることと正規でないことは両立しない。ゆえに$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$は Lindelöf でない。▨

証明.定理 3.1により$\mathbb R_\ell$は Lindelöf であり、定理 3.3により$\mathbb R_\ell\times\mathbb R_\ell$は Lindelöf でない。▨

証明.$n\in\mathbb Z_{\geq1}$に対して

とおく。§E2.1 定義 1.4で定める開球$B(x,1/n)$は§E2.2 補題 1.2により開集合であり、§E2.1 定義 1.1 条件 (a)による$d(x,x)=0<1/n$から$x\in B(x,1/n)$であるから、$(B(x,1/n))_{x\in X}$は$X$の開被覆である。$X$は Lindelöf であるから、高々可算な部分集合$D\subseteq X$が存在して$(B(x,1/n))_{x\in D}$は$X$を覆う。ゆえに各$\mathcal D_n$は空でなく、すべての$n\in\mathbb Z_{\geq1}$について$D_n\in\mathcal D_n$を満たす列$(D_n)_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}$をとることができる。

$D=\bigcup_{n\in\mathbb Z_{\geq1}}D_n$とおく。§E1.18 定理 6.3により$D$は高々可算である。$U$を$X$の空でない開集合とし、$y\in U$をとる。§E2.2 定義 1.1により$B(y,\varepsilon)\subseteq U$を満たす実数$\varepsilon>0$が存在し、§D1.4 系 2.2が与える$1/n\to0$により$1/n<\varepsilon$を満たす$n\in\mathbb Z_{\geq1}$が存在する。$D_n\in\mathcal D_n$であるから$y\in B(x,1/n)$を満たす$x\in D_n$が存在し、§E2.1 定義 1.1 条件 (b)により$d(y,x)=d(x,y)<1/n<\varepsilon$であるから$x\in B(y,\varepsilon)\subseteq U$である。$x\in D$であるから$U\cap D\neq\emptyset$である。ゆえに§E2.11 命題 2.9 (2)により$D$は$X$で稠密であり、$X$は可分空間である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)は命題 4.1が与える。(2)と(3)が同値であることは§E2.13 系 6.5が与える。(3)$\Rightarrow$(1)は命題 1.6が与える。三条件のあいだの残る含意は、この三つの合成として得られる。▨

証明.§E2.17 系 8.3により$\mathbb R_\ell$は T5 空間であり、§E2.15 命題 1.13により T4 空間、§E2.15 定理 1.11 (1)により T3 空間であるから、§E2.15 定義 1.8 (1)により正則かつ T1 である。$\mathbb R_\ell$の位相を生成する距離が存在すると仮定する。定理 3.1により$\mathbb R_\ell$は Lindelöf であるから、定理 4.2により$\mathbb R_\ell$は第二可算である。一方命題 4.3により$\mathbb R_\ell$は第二可算でない。この二つは両立しないから、$\mathbb R_\ell$の位相を生成する距離は存在せず、$\mathbb R_\ell$は距離化可能でない。▨

証明.$\Lambda=\{\alpha\in\omega_1\mid 0<\alpha\}$とおき、$\alpha\in\Lambda$に対して$V_\alpha=A\cap[0,\alpha)$とおく。$\omega_1$は最小元$0$をもつから$[0,\alpha)=(-\infty,\alpha)$であり、これは§E2.17 定義 1.1で定める基本開集合であるから$\omega_1$の開集合である。ゆえに§E2.12 定義 4.1により各$V_\alpha$は部分空間$A$の開集合である。$a\in A$に対して§E1.22 補題 3.1により$a+1<\omega_1$であり、$a+1\in\Lambda$かつ$a\in[0,a+1)$であるから、族$(V_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}$は部分空間$A$の開被覆である。

$\Lambda_0\subseteq\Lambda$を高々可算な部分集合とする。$\Lambda_0\subseteq\omega_1$であるから、§E2.17 補題 4.2により、すべての$\alpha\in\Lambda_0$に対して$\alpha\le\beta$を満たす順序数$\beta<\omega_1$が存在する。$\alpha\le\beta$ならば$[0,\alpha)\subseteq[0,\beta)$であるから

である。$\beta\in\omega_1$であり$A$は$\omega_1$において上に有界でないから、$\beta<a$を満たす$a\in A$が存在し、この$a$は$[0,\beta)$に属さない。ゆえに$(V_\alpha)_{\alpha\in\Lambda_0}$は$A$を覆わない。$\Lambda_0$は任意であったから、定義 1.1により部分空間$A$は Lindelöf でない。▨

証明.§E2.19 定理 7.2により$\omega+1$と$\omega_1+1$はコンパクトであるから、命題 1.2により Lindelöf である。$\gamma\in\omega_1$に対して§E1.22 補題 3.1により$\gamma+1<\omega_1$であり、$\gamma+1\in\omega_1$かつ$\gamma<\gamma+1$であるから、$\omega_1$は$\omega_1$において上に有界でない。ゆえに命題 5.1により$\omega_1$は Lindelöf でない。▨

証明.(3)$\Rightarrow$(1)は命題 1.6が与える。(1)$\Rightarrow$(2)を示す。可算離散空間$X$において$\{\{x\}\mid x\in X\}$は離散位相の開基であり、これは$x\mapsto\{x\}$による$X$の像であるから§E1.18 補題 3.5により高々可算である。ゆえに§E2.13 定義 5.1により$X$は第二可算であり、(1)から$X$は Lindelöf である。

(2)$\Rightarrow$(3)を示す。$X$を可算集合、$I$を集合、$f\colon I\to X$を全射とする。$X$に離散位相を入れると各$\{f(i)\}$は開集合であり、$f$が全射であるから族$(\{f(i)\})_{i\in I}$は$X$の開被覆である。$X$が Lindelöf であることにより、高々可算な部分集合$I_0\subseteq I$が存在して$(\{f(i)\})_{i\in I_0}$は$X$を覆う。すなわち、各$x\in X$に対して$f(i)=x$を満たす$i\in I_0$が存在する。

$X$は可算であるから空でなく、したがって$I_0$も空でない。$I_0$は空でない高々可算な集合であるから、§E1.18 定理 3.3により全射$u\colon\mathbb N_{\geq 0}\to I_0$が存在する。$x\in X$に対して集合$\{k\in\mathbb N_{\geq 0}\mid f(u(k))=x\}$は前段落により空でないから、その最小元を$k(x)$とおき、$s(x)=u(k(x))$と定めることができる。$f(s(x))=x$であるから、$s\colon X\to I$は$f\circ s=\operatorname{id}_X$を満たす。

以上により、可算集合への任意の全射は切断をもつ。有限集合への全射の切断は§E1.18 補題 2.6が与えるから、高々可算な集合への任意の全射は切断をもつ。ゆえに§E1.20 補題 4.8により可算選択公理が成り立つ。▨