§E2.48Euclid 空間の次元

証明.$\pi$を$\sigma$に対する定義 1.2の全単射とし、$e^1,\ldots,e^n$を同じ定義の点とする。$z\in\Z^n$に対して$s(z)=z_1+\cdots+z_n$とおくと、$s(e^i)=1$であるから、$0\le l\le n$について$s(z^l)=s(z^0)+l$である。

(1)を示す。$z^{j'}-z^j=e^{\pi(j+1)}+\cdots+e^{\pi(j')}$であり、$\pi(j+1),\ldots,\pi(j')$は相異なるから、この差は$\{0,1\}^n$に属し$0$でない。したがって相異なる添字の頂点は相異なり、隣接する。

(2)を示す。$y=y^{j^*}$とおく。$0<j<n$のとき、$y=z^{j-1}+z^{j+1}-z^j=z^{j-1}+e^{\pi(j+1)}$であり、$z^{j+1}-y=e^{\pi(j)}$であるから、$\sigma'$の隣り合う頂点の差は順に$e^{\pi(1)},\ldots,e^{\pi(j-1)},e^{\pi(j+1)},e^{\pi(j)},e^{\pi(j+2)},\ldots,e^{\pi(n)}$である。$j=0$のとき、$y=z^n+e^{\pi(1)}$であり、差は順に$e^{\pi(2)},\ldots,e^{\pi(n)},e^{\pi(1)}$である。$j=n$のとき、$y=z^0-e^{\pi(n)}$であり、差は順に$e^{\pi(n)},e^{\pi(1)},\ldots,e^{\pi(n-1)}$である。いずれの場合も差は$e^1,\ldots,e^n$を一度ずつ並べたものであるから、$\sigma'$は鎖である。$s(y)$は、$0<j<n$のとき$s(z^0)+j$、$j=0$のとき$s(z^0)+n+1$、$j=n$のとき$s(z^0)-1$である。$j\in\{0,n\}$のとき$s(y)$はどの$s(z^l)$とも異なるので、$y$は$\sigma$の頂点でない。$0<j<n$のとき、$s(z^l)=s(y)$を満たす頂点は$z^j$だけであり、$y-z^{j-1}=e^{\pi(j+1)}\neq e^{\pi(j)}=z^j-z^{j-1}$であるから、$y$は$\sigma$の頂点でない。$y^{j^*}$以外の$\sigma'$の頂点は$\sigma$の第$j$面の点であり、$\sigma'$の頂点は相異なるので、$\sigma'$の第$j^*$面は$\sigma$の第$j$面に等しい。

$0<j<n$のとき、$y^{j-1}+y^{j+1}-y^j=z^{j-1}+z^{j+1}-y=z^j$であるから、第$j$隣接鎖は$\sigma$である。$j=0$のとき、$\sigma'=(z^1,\ldots,z^n,y)$であり、$y^0+y^{n-1}-y^n=z^1+z^n-y=z^1-e^{\pi(1)}=z^0$であるから、第$n$隣接鎖は$(z^0,z^1,\ldots,z^n)=\sigma$である。$j=n$のとき、$\sigma'=(y,z^0,\ldots,z^{n-1})$であり、$y^n+y^1-y^0=z^{n-1}+z^0-y=z^{n-1}+e^{\pi(n)}=z^n$であるから、第$0$隣接鎖は$(z^0,\ldots,z^{n-1},z^n)=\sigma$である。

(3)を示す。$0<j<n$のとき、第$j$隣接鎖の頂点のうち$\sigma$の頂点でないものは$y=z^{j-1}+e^{\pi(j+1)}$であり、$z^{j+1}=y+e^{\pi(j)}$である。よって各$i$について$z^{j-1}_i\le y_i\le z^{j+1}_i$であり、$0\le y_i\le N$である。▨

証明. 頂点がすべて$A$に属する鎖を$A$の鎖と呼び、$A$の鎖$\sigma$が完全であるとは、$L$を$\sigma$の頂点の集合へ制限した写像が$\{1,\ldots,n\}$への全射であることをいう。$\sigma=(z^0,\ldots,z^n)$を完全な$A$の鎖とすると、補題 1.3 (1)により相異なる$n+1$個の頂点が$n$個の値へ全射に写るので、$L(z^p)=L(z^q)$を満たす添字$p<q$がちょうど一組あり、他の頂点の値は互いに異なり$L(z^p)$とも異なる。この$p,q$を$\sigma$の重複添字と呼ぶ。$L$が$\sigma$の第$j$面の上で$\{1,\ldots,n\}$への全射であることは、$j\in\{p,q\}$であることと同値である。

完全な$A$の鎖の全体を頂点の集合とするグラフ$\Gamma$を定める。$A$は有限集合であり、鎖は$A$の点の列であるから、$\Gamma$の頂点は有限個である。$\Gamma$の相異なる二頂点を辺で結ぶのは、一方が他方の第$j$隣接鎖であって、$L$が他方の第$j$面の上で全射であるような$j$が存在するときとする。

$0<j<n$のとき、補題 1.3 (3)を$N=k+1$として用いると、$A$の鎖の第$j$隣接鎖は$A$の鎖である。したがって主張 1.4.1により、$\Gamma$の各頂点$\sigma$と辺で結ばれる頂点は高々二つであり、それが二つ未満であるならば、$\sigma$の重複添字$j$で、$j\in\{0,n\}$であって第$j$隣接鎖が$A$の鎖でないものが存在する。

$0\le j\le n$について$c^j=e^1+\cdots+e^j$とおき（$c^0=0$）、$\sigma^0=(c^0,\ldots,c^n)$とおく。$\sigma^0$は恒等写像を全単射とする$A$の鎖である。$0\le j<n$について、$c^j$は第$1$成分から第$j$成分までが$1$、他の成分が$0$であるから、$c^j\in A\setminus H$であり$L(c^j)=j+1$である。よって$L$は$\sigma^0$の第$n$面の上で全射であり、$\sigma^0$は$\Gamma$の頂点で、$r_0=L(c^n)$とおくとその重複添字は$r_0-1$と$n$である。第$n$隣接鎖の頂点$c^0+c^{n-1}-c^n=-e^n$は$A$に属さない。$r_0\ge2$ならば$0<r_0-1<n$であるから、第$r_0-1$隣接鎖は$A$の鎖である。$r_0=1$ならば、第$0$隣接鎖の頂点のうち$\sigma^0$の頂点でないものは$c^n+c^1-c^0=c^n+e^1$であり、$k\ge1$から$2\le k+1$であるので$A$に属する。いずれの場合も、主張 1.4.1により$\sigma^0$と辺で結ばれる頂点はちょうど一つである。

$\Gamma$の相異なる頂点の列$\tau^0,\ldots,\tau^m$で、$\tau^0=\sigma^0$であり隣り合う二項が辺で結ばれ、末尾に$\Gamma$の頂点を一つ加えて同じ条件を満たす列にすることができないものをとる。$\Gamma$は有限であるから、列$(\sigma^0)$から始めて末尾への追加を繰り返すとこのような列が得られ、$\sigma^0$と辺で結ばれる頂点が存在するので$m\ge1$である。$\tau^m$と辺で結ばれる頂点$\rho$で$\tau^{m-1}$と異なるものが存在したとすると、列を延長することができないので$\rho=\tau^l$を満たす$l\le m-2$がある。$l=0$ならば、$\sigma^0$は相異なる$\tau^1$と$\tau^m$の両方と辺で結ばれ、$\sigma^0$と辺で結ばれる頂点がちょうど一つであることに反する。$1\le l\le m-2$ならば、$\tau^l$は相異なる三つの頂点$\tau^{l-1},\tau^{l+1},\tau^m$と辺で結ばれ、辺で結ばれる頂点が高々二つであることに反する。よって$\tau^m$と辺で結ばれる頂点は$\tau^{m-1}$だけであり、$\tau^m\neq\sigma^0$である。

$\tau^m=(z^0,\ldots,z^n)$と書き、その全単射を$\pi$、重複添字を$p<q$とする。$\tau^m$と辺で結ばれる頂点は一つだけであり、$0<j<n$ならば第$j$隣接鎖は$A$の鎖であるから、主張 1.4.1により、重複添字$j\in\{0,n\}$で第$j$隣接鎖が$A$の鎖でないものがある。

$j=n$であると仮定し、$r=\pi(n)$とおく。第$n$隣接鎖の頂点$z^0+z^{n-1}-z^n=z^0-e^r$は$A$に属さず、$z^0\in A$であるから$z^0_r=0$である。$l<n$について$z^l=z^0+e^{\pi(1)}+\cdots+e^{\pi(l)}$であり$\pi(1),\ldots,\pi(l)$は$r$と異なるので、$z^l_r=0$である。よって$0\le l<n$について$z^l\in A\setminus H$であり、$L(z^l)=\min\{i\mid z^l_i=0\}\le r$である。$n$は重複添字であるから$L$は第$n$面$\{z^0,\ldots,z^{n-1}\}$の上で全射であり、値$n$をとるので$r=n$である。

$Z_l=\{i\mid z^l_i=0\}$とおくと、$z^l$の成分は$l$について減少しないので$Z_0\supseteq Z_1\supseteq\cdots\supseteq Z_{n-1}$であり、$L(z^l)=\min Z_l$は$l$について減少しない。$L(z^0),\ldots,L(z^{n-1})$は$1,\ldots,n$を一度ずつとるので$L(z^l)=l+1$である。よってすべての$l<n$について$l+1\in Z_l\subseteq Z_0$であり、$Z_0=\{1,\ldots,n\}$、すなわち$z^0=0$である。

このとき$1\le l<n$について$Z_l=\{1,\ldots,n\}\setminus\{\pi(1),\ldots,\pi(l)\}$であり、$\min Z_l=l+1$から$\{\pi(1),\ldots,\pi(l)\}=\{1,\ldots,l\}$である。したがって$\pi$は恒等写像であり、$\tau^m=\sigma^0$となる。これは$\tau^m\neq\sigma^0$と両立しないので、$j\neq n$である。

よって$j=0$であり、$0$は$\tau^m$の重複添字である。$r=\pi(1)$とおくと、第$0$隣接鎖の頂点$z^n+z^1-z^0=z^n+e^r$は$A$に属さず、$z^n\in A$であるから$z^n_r=k+1$である。$1\le l\le n$について$z^l_r=z^n_r=k+1$である。$L$は第$0$面$\{z^1,\ldots,z^n\}$の上で全射であるから、第$0$面の点$v$で$L(v)=r$を満たすものがあり、$v_r=k+1$である。

$1\le l\le m$について、$\tau^{l-1}$と$\tau^l$は辺で結ばれるので、一方は他方の第$j$隣接鎖であって、$L$は他方の第$j$面$F_l$の上で全射である。補題 1.3 (2)により$F_l$は$\tau^{l-1}$と$\tau^l$の両方の頂点の集合に含まれる。$F_l$の点で$L$の値が$r$であるものを$u^l$とする。$u^0=c^{r-1}$とおくと、$u^0$は$\sigma^0$の頂点であり、$L(u^0)=r$、$u^0_r=0$である。$u^{m+1}=v$とおく。$0\le l\le m$について$u^l$と$u^{l+1}$はともに$\tau^l$の頂点であるから、補題 1.3 (1)により等しいか隣接する。列$u^0,\ldots,u^{m+1}$から直前の項に等しい項を取り除いた列を$w^0,\ldots,w^M$とすると、$w^0=u^0$、$w^M=v$であり、この列は主張の条件を満たす。▨

証明.$A=\{0,1,\ldots,k+1\}^n$とおく。$z\in A\setminus H$は$z_i\in\{0,k+1\}$を満たす$i$をもつので、$z_i=0$を満たす$i$が存在するならば$L(z)=\min\{i\mid z_i=0\}$、存在しないならば$L(z)=\min\{i\mid z_i=k+1\}$と定めて、$L$を$A$上の写像へ延ばすことができる。補題 1.4により、ある$r$と、$L$の値がすべて$r$で隣り合う二項が隣接する$A$の点の列$w^0,\ldots,w^M$で、$w^0_r=0$かつ$w^M_r=k+1$を満たすものがある。$w^a_r=0$を満たす最大の$a$をとると$a<M$であり、$b>a$かつ$w^b_r=k+1$を満たす最小の$b$をとる。$a$と$b$の選び方から、$a<l<b$ならば$1\le w^l_r\le k$である。$A\setminus H$の点$z$で$L(z)=r$を満たすものは、$z_i=0$を満たす$i$が存在するならば$z_r=0$を満たし、存在しないならば$z_r=k+1$を満たす。よって$a<l<b$ならば$w^l\in H$である。隣接する二点の第$r$成分の差の絶対値は$1$以下であるから、$w^b_r-w^a_r=k+1\ge2$から$b-a\ge2$であり、$w^{a+1}_r=1$、$w^{b-1}_r=k$である。したがって$i=r$と列$w^{a+1},\ldots,w^{b-1}$が主張の条件を満たす。▨

証明.$n/(k-1)<\delta$を満たす整数$k\ge2$をとる。$z\in\{1,\ldots,k\}^n$に対して、第$j$成分が$(z_j-1)/(k-1)$である$[0,1]^n$の点を$p(z)$とし、$L(z)=\lambda(p(z))$とおく。定理 1.5により、ある$i$と、$L$の値がすべて$i$で隣り合う二項が隣接する$\{1,\ldots,k\}^n$の点の列$z^0,\ldots,z^m$で、$z^0_i=1$かつ$z^m_i=k$を満たすものがある。$x^l=p(z^l)$とおくと、$\lambda(x^l)=i$、$x^0_i=0$、$x^m_i=1$である。$z^l$と$z^{l+1}$は隣接するので各成分の差の絶対値は$1$以下であり、$d_\infty(x^l,x^{l+1})\le1/(k-1)$である。§E2.1 公式 4.2により$d_2(x^l,x^{l+1})\le n/(k-1)<\delta$である。▨

証明.$\pi_i\colon\R^n\to\R$を第$i$成分への射影とする。

(1)を示す。$[a_i,b_i]$は補集合が二つの開半直線の和集合であるから$\R$の閉集合であり、§E2.12 命題 1.6 (2)により$Q=\bigcap_{i=1}^n\pi_i^{-1}([a_i,b_i])$は$\R^n$の閉集合である。$x,y\in Q$について、§E2.1 公式 4.2により$d_2(x,y)\le n\,d_\infty(x,y)\le n\max_i(b_i-a_i)$であるから、$Q$は有界である。§E2.9 定理 4.3により$Q$はコンパクトである。

(2)を示す。同じ式で写像$\Phi\colon\R^n\to\R^n$を定め、$\Psi(x)=\bigl((x_1-a_1)/(b_1-a_1),\ldots,(x_n-a_n)/(b_n-a_n)\bigr)$で写像$\Psi\colon\R^n\to\R^n$を定める。$\Phi$と$\Psi$の各成分は一つの成分の一次関数であるから、$\Phi$と$\Psi$は連続であり、互いに逆写像である。$a_i+(b_i-a_i)y_i\in[a_i,b_i]$であることは$y_i\in[0,1]$であることと同値であるから$\Phi([0,1]^n)=Q$であり、$\varphi$は同相写像$\Phi$の制限として$[0,1]^n$から$Q$への同相写像である。$a_i+(b_i-a_i)y_i=a_i$は$y_i=0$と同値であり、$a_i+(b_i-a_i)y_i=b_i$は$y_i=1$と同値であるから、面についての主張も成り立つ。

(3)の証明は演習とする（問題 4.1）。▨

証明.$X=\emptyset$ならば$S=\emptyset$とすればよい。ある$t_0\in I$について$U_{t_0}=X$ならば、$S=\{t_0\}$、$W_{t_0}=X$、$\kappa(t_0)=0$とすればよい。以下、$X\neq\emptyset$であり、すべての$t\in I$について$X\setminus U_t\neq\emptyset$であるとする。

$t\in I$に対して$g_t(x)=d(x,X\setminus U_t)$とおく。§E2.10 命題 5.2 (1)により$g_t$は連続である。$X\setminus U_t$は閉集合であるから、§E2.10 命題 5.2 (2)により、$g_t(x)>0$であることは$x\in U_t$であることと同値である。$1\le|T|\le n+1$を満たす$T\subseteq I$の全体を$S$とし、$T\in S$に対して

とおく。ただし$T=I$のときは第 2 項を$0$と読む。§E2.16 補題 1.2 (1)と§E2.16 補題 1.2 (2)により$h_T$は連続であり、$W_T$は開集合である。$\kappa(T)=|T|-1$とおく。

$x\in W_T$ならば、$h_T(x)>0$とすべての$s$について$g_s(x)\ge0$であることから、各$t\in T$について$g_t(x)\ge\min_{t'\in T}g_{t'}(x)>0$であり、$x\in U_t$である。よって各$T\in S$について$T$の元$t_T$を一つ選ぶと$W_T\subseteq U_{t_T}$であり、$T\mapsto t_T$は細分射である。

$x\in X$とし、$T(x)=\{t\in I\mid x\in U_t\}$とおく。$\mathcal U$は被覆であるから$T(x)\neq\emptyset$であり、§E2.47 補題 1.5 (1)により$|T(x)|\le n+1$であるから$T(x)\in S$である。$t\in T(x)$ならば$g_t(x)>0$であり、$s\notin T(x)$ならば$g_s(x)=0$であるから、$x\in W_{T(x)}$である。よって$\mathcal W=(W_T)_{T\in S}$は$X$の有限開被覆であり、$\mathcal W\prec\mathcal U$である。