§E2.44連続体

証明.$X$は T1 空間であるから$X\setminus\{p\}$は開集合であり、$U$と$V$も$X$の開集合である。$X$は互いに素な三つの集合$U$、$V$、$\{p\}$の和であるから、$V\cup\{p\}=X\setminus U$は$X$の閉集合である。

$V\cup\{p\}$に分離$(A,B)$が存在すると仮定し、必要ならば$A$と$B$を入れ替えて$p\in A$とする。$B$は閉集合$V\cup\{p\}$の閉集合であるから$X$の閉集合である。また$B$は$V\cup\{p\}$の開集合であって$p$を含まないから、$V$の開集合でもある。$V$は$X$の開集合であるので、$B$は$X$の開集合である。$B\neq\emptyset$かつ$p\notin B$であるから、§E2.43 命題 1.3により$X$の連結性と両立しない。したがって$V\cup\{p\}$は連結である。$U$と$V$の役割を入れ替えると、$U\cup\{p\}$についても同じことが成り立つ。

$X$が連続体ならば、$U\cup\{p\}$と$V\cup\{p\}$は空でない連結な閉集合であり、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトである。したがって両集合は$X$の部分連続体である。▨

証明.$K_0\in\mathcal K$を一つ固定し、$K=\bigcap\mathcal K$とおく。仮定の条件を有限回用いると、任意の$K_1,\ldots,K_n\in\mathcal K$に対して$K'\subseteq K_1\cap\cdots\cap K_n$を満たす$K'\in\mathcal K$が存在する。$\mathcal K$の各元はコンパクトであるから、§E2.19 命題 6.4により$X$の閉集合であり、$K_0$との共通部分は$K_0$の閉集合である。任意の$K_1,\ldots,K_n\in\mathcal K$に対して、$K_0,K_1,\ldots,K_n$に前文の事実を適用して得る$K'$は空でなく$K'\subseteq K_0\cap K_1\cap\cdots\cap K_n$を満たすから、$K_0$の閉集合族$(K_0\cap L)_{L\in\mathcal K}$は有限交差性をもつ。$K_0$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 3.2により$K=\bigcap_{L\in\mathcal K}(K_0\cap L)$は空でない。$K$は$K_0$の閉集合であるから§E2.19 命題 4.1によりコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff である。

$K$に分離$(A,B)$が存在すると仮定する。$A=K\setminus B$と$B=K\setminus A$は$K$の閉集合であり、$K$は$K_0$の閉集合であるから、§E2.12 命題 4.6により$A$と$B$は$K_0$の互いに素な閉集合である。§E2.19 定理 6.11により$K_0$は正規であるから、$A\subseteq U$、$B\subseteq V$、$U\cap V=\emptyset$を満たす$K_0$の開集合$U,V$が存在する。$K_0$の閉集合族$\bigl((K_0\cap L)\setminus(U\cup V)\bigr)_{L\in\mathcal K}$の共通部分は$K\setminus(U\cup V)=\emptyset$であるから、§E2.19 定理 3.2により、有限個の$K_1,\ldots,K_n\in\mathcal K$で$(K_0\cap K_1\cap\cdots\cap K_n)\setminus(U\cup V)=\emptyset$を満たすものが存在する。$K'\subseteq K_0\cap K_1\cap\cdots\cap K_n$を満たす$K'\in\mathcal K$をとると、$K'\subseteq U\cup V$である。$K'\cap U$と$K'\cap V$は$K'$の互いに素な開集合でその和は$K'$であり、$A\subseteq K\subseteq K'$と$B\subseteq K\subseteq K'$からそれぞれ$A$と$B$を含むので空でない。したがって$(K'\cap U,K'\cap V)$は$K'$の分離であり、$K'$の連結性と両立しない。ゆえに$K$は連結であり、$X$の部分連続体である。▨

証明.$Z=\tpcl{U}$、$\partial=Z\setminus U$とおく。$Z$は連続体$X$の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1によりコンパクトな Hausdorff 空間であり、$\partial$は$Z$の閉集合である。

$C\cap\partial=\emptyset$と仮定する。§E2.43 系 7.4により、$C\subseteq W$かつ$W\cap\partial=\emptyset$を満たす$Z$の開かつ閉な部分集合$W$が存在する。$W\cap\partial=\emptyset$から$W\subseteq U$である。$W$は閉集合$Z$の閉集合であるから$X$の閉集合である。また、$W=O\cap Z$を満たす$X$の開集合$O$をとると、$W\subseteq U\subseteq Z$から$W=O\cap U$であり、$W$は$X$の開集合である。$\emptyset\neq C\subseteq W\subseteq U\neq X$であるから、§E2.43 命題 1.3により$X$の連結性と両立しない。ゆえに$C\cap\partial\neq\emptyset$である。▨

証明.$[0,1]$は§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.15 定理 3.2により Hausdorff であり、§E2.43 定理 2.2により連結である。$t\in(0,1)$ならば、$[0,t)$と$(t,1]$は部分空間$[0,1]\setminus\{t\}$の互いに素な空でない開集合であり、その和は$[0,1]\setminus\{t\}$であるから、$t$は切断点である。$[0,1]\setminus\{0\}=(0,1]$と$[0,1]\setminus\{1\}=[0,1)$は区間であるから、§E2.43 定理 2.2により連結であり、$0$と$1$は非切断点である。

$h\colon[0,1]\to A$を$h(0)=a$かつ$h(1)=b$を満たす同相写像とする。§E2.19 定理 4.2と§E2.43 定理 1.4により$A$はコンパクトかつ連結であり、$h$が同相写像であることから Hausdorff であるので、$A$は連続体である。$t\in[0,1]$について、$h$の制限は$[0,1]\setminus\{t\}$から$A\setminus\{h(t)\}$への同相写像であるから、§E2.43 定理 1.4により、$[0,1]\setminus\{t\}$が連結であることと$A\setminus\{h(t)\}$が連結であることは同値である。したがって$A$の非切断点は$h(0)=a$と$h(1)=b$だけであり、$h$の単射性から$a\neq b$である。▨

証明.$a\in X$を固定する。$X\setminus\{a\}$の点がすべて非切断点であれば、$X\setminus\{a\}$は空でないので結論が成り立つ。以下、$a$と異なる切断点が存在するとする。$a$と異なる各切断点$x$に対して、部分空間$X\setminus\{x\}$の分離$(U_x,V_x)$を$a\in U_x$となるように一つずつ選び、$K_x=V_x\cup\{x\}$とおく。$X$は Hausdorff であるから§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 であり、補題 1.3により$K_x$は$a$を含まない$X$の部分連続体であって、$K_x=X\setminus U_x$である。

$\mathcal K=\{K_x\mid x\text{ は }a\text{ と異なる }X\text{ の切断点}\}$に包含関係による順序を入れる。§E1.20 定理 3.1により、包含関係について極大な$\mathcal K$の鎖$\mathcal C$が存在する。$\mathcal K$は空でないので、その一つの元からなる集合は鎖であり、$\mathcal C$の極大性から$\mathcal C\neq\emptyset$である。$\mathcal C$の任意の二元は一方が他方に含まれるので、命題 1.4により$K_\infty=\bigcap\mathcal C$は$X$の部分連続体であり、とくに空でない。$\mathcal C$の各元は$a$を含まないので$a\notin K_\infty$である。$y\in K_\infty$をとる。$y$が$X$の非切断点ならば、$y$は$a$と異なる非切断点である。

$y$が$X$の切断点であるとする。$y\neq a$である。$\mathcal C$の元$K_x$をとると、$y\in K_x=V_x\cup\{x\}$である。$y=x$ならば$K_y=K_x$であり、$y\in V_x$ならば主張 2.3.1により$K_y\subsetneq K_x$である。したがって$K_y$は$\mathcal C$のすべての元に含まれ、$\mathcal C\cup\{K_y\}$は$\mathcal K$の鎖であるから、$\mathcal C$の極大性により$K_y\in\mathcal C$である。$V_y$は空でないので$z\in V_y$をとる。$z$が$X$の切断点であると仮定する。主張 2.3.1により$z\neq a$かつ$K_z\subseteq V_y\subsetneq K_y$であり、$K_y$は$\mathcal C$のすべての元に含まれるから、$K_z$も$\mathcal C$のすべての元に含まれる。$\mathcal C$の極大性により$K_z\in\mathcal C$であり、$K_\infty\subseteq K_z\subseteq V_y$となる。一方$y\in K_\infty$かつ$y\notin V_y$であるから、$K_\infty\subseteq V_y$と両立しない。ゆえに$z$は$X$の非切断点であり、$a\in U_y$から$z\neq a$である。

とくに、$X$の点$a$に対して$a$と異なる非切断点$z_1$をとり、$z_1$に対して$z_1$と異なる非切断点$z_2$をとると、$z_1$と$z_2$は相異なる二つの非切断点である。▨

証明.§E2.43 定理 9.2 (1)$\Rightarrow$(2)により、順序$<$は稠密かつ Dedekind 完備である。$D$を$X$で稠密な高々可算部分集合とし、$D_0=D\setminus\{m,M\}$とおく。$x<y$を満たす$x,y\in X$に対して、順序の稠密性により$(x,y)$は空でない基本開集合であり、$m$と$M$を含まないから、$(x,y)\cap D_0\neq\emptyset$である。$m<M$であるから、とくに$D_0\neq\emptyset$である。$D_0$は空でない高々可算集合であるから、全射$\N\to D_0$、$j\mapsto d_j$が存在する。

$(0,1)$に属する二進有理数$k/2^n$（$n\in\NN$、$0<k<2^n$）の全体を$R$とし、$n\in\N$について$R_n=\{k/2^n\mid 0\leq k\leq 2^n\}$とおく。$R\cup\{0,1\}=\bigcup_{n\in\N}R_n$である。写像$g\colon R\cup\{0,1\}\to X$を$n$についての再帰で次のように定める。$g(0)=m$、$g(1)=M$とする。$R_n$上で$g$が狭義単調増加に定まったとき、$0\leq k<2^n$に対して、$g(k/2^n)<d_j<g((k+1)/2^n)$を満たす$j\in\N$のうち最小のものを$j_{n,k}$とし、$g((2k+1)/2^{n+1})=d_{j_{n,k}}$と定める。$g(k/2^n)<g((k+1)/2^n)$であるから$(g(k/2^n),g((k+1)/2^n))\cap D_0\neq\emptyset$であり、$j_{n,k}$は存在し、$g$は$R_{n+1}$上で狭義単調増加である。$R\cup\{0,1\}$の任意の二点はある$R_n$に属するから、$g$は狭義単調増加であり、$g(R)\subseteq D_0$である。

$d\in D_0$をとり、$d=d_j$を満たす$j\in\N$をとる。$d\notin g(R)$と仮定する。各$n\in\N$について、$g(0)=m<d<M=g(1)$と$g$の単調性から、$g(k_n/2^n)<d<g((k_n+1)/2^n)$を満たす$0\leq k_n<2^n$がただ一つ存在する。$r_n=(2k_n+1)/2^{n+1}$とおくと$g(r_n)=d_{j_{n,k_n}}$であり、$d_j$は$j_{n,k_n}$を定める条件を満たすので$j_{n,k_n}\leq j$である。$g(r_n)\neq d=d_j$であるから$j_{n,k_n}<j$である。$r_n$は$R_{n+1}\setminus R_n$に属するので$n$ごとに相異なり、$g$の単射性から$g(r_n)$も相異なり、したがって$j_{n,k_n}$も相異なる。ゆえに$j$未満の相異なる自然数$j_{n,k_n}$が無限個存在することになり、$j$未満の自然数が$j$個しかないことと両立しない。ゆえに$g(R)=D_0$であり、$g$は$R$から$D_0$への順序同型である。

$x\in X$に対して$L(x)=\{r\in R\mid g(r)<x\}$、$H(x)=\sup(L(x)\cup\{0\})$と定める。$H(x)\in[0,1]$である。$x<y$とする。$(x,y)\cap D_0\neq\emptyset$から$x<d<y$を満たす$d\in D_0$が存在し、$(d,y)\cap D_0\neq\emptyset$から$d<d'<y$を満たす$d'\in D_0$が存在する。$r=g^{-1}(d)$と$r'=g^{-1}(d')$は$r<r'$を満たす。$s\in L(x)$ならば$g(s)<x<d=g(r)$から$s<r$であるので$H(x)\leq r$であり、$r'\in L(y)$から$H(y)\geq r'>r$である。ゆえに$H$は狭義単調増加である。

$g(R)=D_0$の元は$m$より大きく$M$より小さいから、$L(m)=\emptyset$、$L(M)=R$であり、$H(m)=0$、$H(M)=\sup R=1$である。$t\in(0,1)$をとる。$0\leq s<s'\leq1$ならば、§D1.4 命題 2.1により$2^{-n}<s'-s$を満たす$n\in\NN$が存在し、$s<k/2^n<s'$を満たす整数$k$が存在する。したがって$S=\{g(r)\mid r\in R,\ r<t\}$は空でなく、$M$を上界にもつので、Dedekind 完備性により上限$x\in X$をもつ。$r\in R$が$r<t$を満たすならば、$r<r'<t$を満たす$r'\in R$について$g(r)<g(r')\leq x$であるから$r\in L(x)$であり、$R$の点は$t$未満のところで$t$にいくらでも近づくので$H(x)\geq t$である。$r\in L(x)$ならば$g(r)<x$であり、$g(r)$は$S$の上界でないので、$g(r)<g(r')$かつ$r'<t$を満たす$r'\in R$が存在し、$r<r'<t$である。したがって$H(x)\leq t$であり、$H(x)=t$である。

$H$は狭義単調増加な全射であるから順序同型である。§E2.17 系 1.4により$H$は$X$から、制限順序の順序位相を入れた$[0,1]$への同相写像であり、§E2.17 補題 3.14と§E2.17 例 2.3によりこの位相は$[0,1]$の通常の位相に一致する。▨

証明. 演習とする（問題 5.3）。▨

証明.$x$は$X$の切断点であるから、$X\setminus\{x\}$の分離が存在する。$(U,V)$を$X\setminus\{x\}$の任意の分離とする。$X$は Hausdorff であるから§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 であり、補題 1.3により$U\cup\{x\}$は二点以上をもつ$X$の部分連続体である。定理 2.3により$U\cup\{x\}$は$x$と異なる非切断点$z$をもち、$z\in U$である。補題 1.3により$V\cup\{x\}$は連結であり、$(U\cup\{x\})\setminus\{z\}$も連結であって、両者は$x$を共有するので、§E2.43 命題 1.7により$X\setminus\{z\}=((U\cup\{x\})\setminus\{z\})\cup(V\cup\{x\})$は連結である。ゆえに$z$は$X$の非切断点であり、$z\in\{a,b\}$である。すなわち$U$は$a$または$b$を含み、$U$と$V$の役割を入れ替えた同じ議論により、$V$も$a$または$b$を含む。したがって、$X\setminus\{x\}$の任意の分離の二つの開集合は、いずれも$a$または$b$を含む。

$X\setminus\{x\}$の分離$(U,V)$を一つとる。$U$と$V$はいずれも$a$または$b$を含み、$U\cap V=\emptyset$であるから、必要ならば$U$と$V$を入れ替えて$a\in U$かつ$b\in V$とすることができる。$U$に分離$(P,Q)$が存在すると仮定し、必要ならば$P$と$Q$を入れ替えて$a\in P$とする。補題 1.3により$U$は$X$の開集合であるから、$P$と$Q$は$X$の開集合であり、$(Q,P\cup V)$は$X\setminus\{x\}$の分離である。$Q\subseteq U\setminus P$は$a$も$b$も含まないから、$X\setminus\{x\}$の任意の分離の二つの開集合がいずれも$a$または$b$を含むことと両立しない。ゆえに$U$は連結であり、同様に$V$も連結である。$U$は$a$を含む$X\setminus\{x\}$の連結部分集合であるから、§E2.43 定理 6.2 (1)により$U\subseteq L(x)$である。$L(x)\cap U$と$L(x)\cap V$は$L(x)$の互いに素な開集合でその和は$L(x)$であり、前者は$a$を含むので、$L(x)$の連結性から後者は空である。したがって$L(x)=U$であり、同様に$R(x)=V$である。$U$と$V$は補題 1.3により$X$の開集合である。▨

証明.$x\in X\setminus\{a,b\}$については補題 2.7の$L(x)$と$R(x)$をとり、$L(a)=\emptyset$、$R(a)=X\setminus\{a\}$、$L(b)=X\setminus\{b\}$、$R(b)=\emptyset$と定める。補題 2.7と§E2.15 命題 1.5により、すべての$x\in X$について、$X$は互いに素な三つの集合$L(x)$、$\{x\}$、$R(x)$の和であり、$L(x)$と$R(x)$は$X$の開集合であり、$a\notin R(x)$かつ$b\notin L(x)$である。さらに$L(x)\cup\{x\}$は$a$を含む連結集合であり、$R(x)\cup\{x\}$は$b$を含む連結集合である。実際、$x\notin\{a,b\}$ならば補題 1.3により$L(x)\cup\{x\}$と$R(x)\cup\{x\}$は連結であり、$x\in\{a,b\}$ならば一方は一点集合で他方は$X$である。

$x,y\in X$について、$y\in R(x)$であるとき$x<y$と定める。$x\notin R(x)$であるから$x<x$ではない。$x<y$かつ$y<z$ならば、主張 2.8.1により$z\in R(y)\subseteq R(x)$であるから$x<z$である。$x\neq y$ならば$y\in L(x)$または$y\in R(x)$であり、前者の場合は主張 2.8.1により$x\in R(y)$、すなわち$y<x$である。したがって$<$は$X$の全順序である。主張 2.8.1により、$y\in X$について$\{x\in X\mid x<y\}=L(y)$、$\{x\in X\mid y<x\}=R(y)$である。とくに$a$は最小元、$b$は最大元であり、$x<y$ならば$\{z\in X\mid x<z<y\}=R(x)\cap L(y)$である。

したがって、順序位相の基本開集合はいずれも$X$のもとの位相$\mathcal O$の開集合であり、§E2.17 定理 1.2により順序位相の開集合は基本開集合の和であるから$\mathcal O$の開集合である。ゆえに、$(X,\mathcal O)$から順序位相を入れた$X$への恒等写像は連続な全単射である。§E2.17 定理 1.8により順序位相は Hausdorff であり、$(X,\mathcal O)$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 6.8によりこの恒等写像は同相写像であり、二つの位相は一致する。

§E2.27 命題 1.7により$X$は可分である。定理 2.4により、$H(a)=0$かつ$H(b)=1$を満たす順序同型$H\colon X\to[0,1]$が存在し、$H$は同相写像である。$h=H^{-1}$が求める同相写像である。▨

証明.(1)を示す。§E2.12 例 8.13の連続全射$q\colon[0,1]\to S^1$、$q(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$により、$S^1$はコンパクトかつ連結であり、$\R^2$の部分空間であるから連続体である。$q^{-1}(\{(1,0)\})=\{0,1\}$であるから、$q((0,1))=S^1\setminus\{(1,0)\}$である。開区間$(0,1)$は連結であるので、§E2.43 定理 1.4により$S^1\setminus\{(1,0)\}$は連結である。

$p=(p_1,p_2)\in S^1$をとる。写像$R_p(x,y)=(p_1x-p_2y,p_2x+p_1y)$は$p_1^2+p_2^2=1$により$S^1$を保ち、連続な逆写像$R_{(p_1,-p_2)}$をもつから、$S^1$の同相写像である。$R_p(1,0)=p$であるから、$S^1\setminus\{p\}=R_p(S^1\setminus\{(1,0)\})$は連結である。したがって$p$は非切断点である。

(2)を示す。$T$は原点を共有する三つの閉線分の和である。各線分は閉区間の連続像であるからコンパクトかつ連結であり、§E2.19 補題 2.8と§E2.43 命題 1.7により$T$はコンパクトかつ連結である。$T$は$\R^2$の部分空間であるから連続体である。三端点のいずれかを除くと、一つの線分は片方の端点を除いた区間の連続像となり、残りの二線分と原点を共有する。したがって三端点はいずれも非切断点である。

原点を除いた$T$は、相対開集合$T\cap\{(x,y)\mid x<0\}$と$T\cap\{(x,y)\mid x>0\text{ または }y>0\}$に分離される。また$p=(r,0)$、$-1<r<1$、$r\neq0$ならば、$T\setminus\{p\}$は相対開集合$T\cap\{(x,y)\mid x<r\}$と$T\cap\{(x,y)\mid x>r\}$に分離される。$p=(0,r)$、$0<r<1$ならば、$T\setminus\{p\}$は相対開集合$T\cap\{(x,y)\mid y<r\}$と$T\cap\{(x,y)\mid y>r\}$に分離される。各場合の二集合は互いに素で空でなく、和が$T\setminus\{p\}$であるから、三端点以外の点はすべて切断点である。▨