§E2.49Jordan の曲線定理

証明. 弧の定義により、同相写像$h\colon[0,1]\to A$が存在する。

(1)を示す。§E2.48 補題 2.1 (1)により$[0,1]$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 4.2により$A=h([0,1])$はコンパクトである。§E2.15 定理 3.2 (1)により$X$は Hausdorff 空間であるから、§E2.19 命題 6.4により$A$は$X$の閉集合である。

(2)を示す。§E2.15 定理 3.2 (2)により$X$は T4 空間であり、とくに正規空間である。$A$は閉集合であり、$h^{-1}\colon A\to[0,1]$は連続であるから、§E2.18 系 4.2により、連続写像$F\colon X\to[0,1]$で$A$の上で$h^{-1}$に一致するものが存在する。$\rho=h\circ F\colon X\to A$は連続であり、$y\in A$について$\rho(y)=h(h^{-1}(y))=y$である。よって$\rho$はレトラクションであり、$A$は$X$のレトラクトである。▨

証明.$G=\R^2\setminus K$とおく。$K$は閉集合であるから、$G$は$\R^2$の開集合である。

(1)を示す。§E2.43 例 8.7により$G$は局所弧状連結である。$C$を$G$の連結成分とし、$x\in C$をとると、$C$は$x$の連結成分$C(x)$である。§E2.43 定理 8.4 (3)により$C(x)$は$x$の弧状連結成分$P(x)$に等しいので、§E2.43 定理 6.6 (2)により$C$は弧状連結であり、§E2.43 定理 8.4 (2)により$C$は$G$の開集合である。$G$は$\R^2$の開集合であるから、§E2.12 命題 5.16 (1)により$C$は$\R^2$の開集合である。

(2)を示す。$C$を$G$の連結成分とする。(1)と§E2.11 命題 2.5 (2)により$\tpint{C}=C$であるから、§E2.11 命題 2.8 (1)により$\partial C=\tpcl{C}\setminus C$である。$y\in\partial C$が$K$に属さないと仮定する。$y\in G$であるから、$y$を含む$G$の連結成分$C'$があり、(1)により$C'$は$y$を含む$\R^2$の開集合である。$y\in\tpcl{C}$であるから、§E2.11 命題 7.2 (2)により$C'\cap C\neq\emptyset$であり、§E2.43 定理 6.2 (3)により$C'=C$である。よって$y\in C$であり、これは$y\in\tpcl{C}\setminus C$と両立しない。したがって$\partial C\subseteq K$である。

(3)を示す。

とおくと、$\R^2\setminus R=H_1\cup H_2\cup H_3\cup H_4$である。各$H_i$の二点$y,z$について、$t\mapsto(1-t)y+tz$は$H_i$の中の$y$から$z$への道であるから、$H_i$は弧状連結であり、§E2.43 命題 4.2により連結である。$(a_1-1,b_2+1)\in H_1\cap H_2$、$(b_1+1,b_2+1)\in H_2\cap H_3$、$(b_1+1,a_2-1)\in H_3\cap H_4$であるから、§E2.43 命題 1.7により$H_1\cup H_2$、$H_1\cup H_2\cup H_3$、$\R^2\setminus R$はこの順に連結である。$K\subseteq R$であるから$\R^2\setminus R\subseteq G$である。$(b_1+1,b_2+1)$を含む$G$の連結成分を$O$とすると、§E2.43 定理 6.2 (1)により$\R^2\setminus R\subseteq O$である。§E2.43 定理 6.2 (3)により、$O$と異なる$G$の連結成分は$O$と交わらないので、$R$に含まれる。

§E2.48 補題 2.1 (1)と§E2.9 系 4.1により$R$は有界であるから、$R$に含まれる連結成分は有界である。$z\in\R^2$と実数$r>0$をとり、$y=(\max\{b_1,z_1\}+r+1,\,z_2)$とおくと、$y\in H_3\subseteq O$であり、$d_2(y,z)=\max\{b_1,z_1\}+r+1-z_1>r$である。よって$O$はどの開球$B(z,r)$にも含まれず、$O$は空でないから有界でない。▨

証明.$\rho\colon\R^2\to K$をレトラクションとし、$\R^2\setminus K$に有界な連結成分$C$が存在すると仮定する。$p\in C$をとる。$C$は有界で空でないから、$C\subseteq B(z,r)$を満たす$z\in\R^2$と実数$r>0$がある。$y\in C$について、§E2.1 公式 4.2により

であるから、$C$は$P=[p_1-2r,p_1+2r]\times[p_2-2r,p_2+2r]$に含まれる。§E2.48 補題 2.1 (1)と§E2.9 系 4.1により$P$は閉集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により$\tpcl{C}\subseteq P$である。$s=2r+1$とおき、$Q=[p_1-s,p_1+s]\times[p_2-s,p_2+s]$とする。§E2.48 補題 2.1 (3)により、$\partial Q$は$d_\infty(y,p)=s$を満たす$y\in Q$の全体であるから、$\tpcl{C}\subseteq P\subseteq Q\setminus\partial Q$である。

$K$は閉集合であるから、補題 1.2 (1)により$C$は$\R^2$の開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)、§E2.11 命題 2.8 (1)、および補題 1.2 (2)により$\tpcl{C}\setminus C=\partial C\subseteq K$である。$\tpcl{C}=\tpcl{C}\cap Q$と$Q\setminus C=(\R^2\setminus C)\cap Q$は、$\R^2$の閉集合と$Q$の共通部分であるから、§E2.12 命題 4.6により$Q$の閉集合である。二つの和は$Q$であり、共通部分$\tpcl{C}\setminus C$は$K$に含まれ、$K$の上で$\rho$は恒等写像である。よって§E2.12 系 4.11により、$\tpcl{C}$の上で$\rho$に一致し、$Q\setminus C$の上で恒等写像に一致する写像$g\colon Q\to\R^2$は連続である。$\rho(\tpcl{C})\subseteq K$であり、$p\in C$は$K$にも$Q\setminus C$にも属さないので、$g(Q)\subseteq\R^2\setminus\{p\}$である。

$y\in\R^2\setminus\{p\}$に対して

とおく。$d_\infty(y,p)=\max\{|y_1-p_1|,|y_2-p_2|\}>0$であるから、$\pi\colon\R^2\setminus\{p\}\to\R^2$は連続である。$d_\infty(\pi(y),p)=s$であるから$\pi(y)\in\partial Q$であり、$y\in\partial Q$ならば$d_\infty(y,p)=s$から$\pi(y)=y$である。$\sigma=\pi\circ g\colon Q\to\partial Q$は連続である。$y\in\partial Q$ならば、$y\notin\tpcl{C}$であるから$y\in Q\setminus C$であり、$\sigma(y)=\pi(y)=y$である。よって$\sigma$はレトラクションであり、$\partial Q$は$Q$のレトラクトである。これは§E2.48 系 3.2と両立しないので、$\R^2\setminus K$に有界な連結成分は存在しない。▨

証明.補題 1.1 (1)と補題 1.1 (2)により、$A$はコンパクトな閉集合であり、$\R^2$のレトラクトである。§E2.9 系 4.1により$A$は有界であり、$A$は空でないから、$A\subseteq B(z,r)$を満たす$z\in\R^2$と実数$r>0$がある。$y\in A$と$i=1,2$について、§E2.1 公式 4.2により$|y_i-z_i|\le d_2(y,z)<r$であるから、$A$は長方形$R=[z_1-r,z_1+r]\times[z_2-r,z_2+r]$に含まれる。補題 1.2 (3)により、$\R^2\setminus A$の連結成分$O$で、$O$以外の連結成分がすべて有界であるものが存在する。補題 1.3により$\R^2\setminus A$に有界な連結成分は存在しないので、$\R^2\setminus A$の連結成分は$O$だけである。§E2.43 定理 6.2 (3)により$\R^2\setminus A=O$であり、補題 1.2 (1)により$O$は弧状連結である。▨

証明. 同相写像$h\colon S^1\to J$をとり、$\theta\in\R$に対して$\gamma(\theta)=h(\cos\theta,\sin\theta)$とおく。余弦関数と正弦関数は連続であるから、$\gamma\colon\R\to\R^2$は連続である。§D1.24 定理 4.5 (2)と$h$の全射性により$\gamma(\R)=J$であり、§D1.24 定理 4.5 (3)と$h$の単射性により、$\theta,\theta'\in\R$について$\gamma(\theta)=\gamma(\theta')$であることは$\theta-\theta'\in2\pi\Z$であることと同値である。各$\alpha,\theta\in\R$に対して$\theta+2\pi k\in[\alpha,\alpha+2\pi)$を満たす整数$k$が存在するので、任意の$\alpha\in\R$について$\gamma([\alpha,\alpha+2\pi))=J$である。

(1)を示す。$\gamma([0,2\pi))=J$であるから$J=\gamma([0,2\pi])$である。§E2.48 補題 2.1 (1)により$[0,2\pi]$はコンパクトであるから、§E2.19 定理 4.2により$J$はコンパクトであり、§E2.15 定理 3.2 (1)と§E2.19 命題 6.4により$J$は$\R^2$の閉集合である。

(2)を示す。$a=\gamma(\alpha)$を満たす$\alpha\in\R$をとる。$\gamma([\alpha,\alpha+2\pi))=J$であるから、$b=\gamma(\beta)$を満たす$\beta\in[\alpha,\alpha+2\pi)$があり、$a\neq b$から$\beta\neq\alpha$である。$J_1=\gamma([\alpha,\beta])$、$J_2=\gamma([\beta,\alpha+2\pi])$とおく。$\beta-\alpha<2\pi$かつ$\alpha+2\pi-\beta<2\pi$であり、$\gamma(\alpha+2\pi)=a$であるから、主張 2.2.1により$J_1$と$J_2$はいずれも$a$と$b$を結ぶ弧である。$J_1\cup J_2=\gamma([\alpha,\alpha+2\pi])=J$である。$y\in J_1\cap J_2$とし、$y=\gamma(\theta)=\gamma(\theta')$を満たす$\theta\in[\alpha,\beta]$と$\theta'\in[\beta,\alpha+2\pi]$をとると、$\theta'-\theta\in[0,2\pi]\cap2\pi\Z=\{0,2\pi\}$である。$\theta'-\theta=0$ならば$\theta=\theta'=\beta$であり、$\theta'-\theta=2\pi$ならば$\theta=\alpha$である。よって$y\in\{a,b\}$であり、$a,b\in J_1\cap J_2$とあわせて$J_1\cap J_2=\{a,b\}$である。

(3)を示す。$q=\gamma(\alpha)$を満たす$\alpha\in\R$をとる。$\gamma^{-1}(W)$は$\alpha$を含む$\R$の開集合であるから、実数$0<\eta<\pi$で、$|\theta-\alpha|<\eta$ならば$\gamma(\theta)\in W$となるものが存在する。$A=\gamma([\alpha+\eta,\alpha+2\pi-\eta])$とおくと、$0<2\pi-2\eta<2\pi$であるから、主張 2.2.1により$A$は弧である。$y\in J\setminus W$とする。$\gamma([\alpha-\eta,\alpha-\eta+2\pi))=J$かつ$\gamma(\alpha-\eta)=\gamma(\alpha-\eta+2\pi)$であるから、$y=\gamma(\theta)$を満たす$\theta\in(\alpha-\eta,\alpha+2\pi-\eta]$がある。$\theta<\alpha+\eta$ならば$|\theta-\alpha|<\eta$から$y\in W$となるので、$\theta\ge\alpha+\eta$であり、$y\in A$である。$q\in A$であるとすると、$\gamma(\theta)=\gamma(\alpha)$を満たす$\theta\in[\alpha+\eta,\alpha+2\pi-\eta]$があり、$\theta-\alpha\in[\eta,2\pi-\eta]\cap2\pi\Z$となるが、この共通部分は空である。よって$q\notin A$である。▨

証明.$F\colon[0,1]^2\to\R^2$を$F(s,t)=\bigl(h_1(s)-v_1(t),\,v_2(t)-h_2(s)\bigr)$で定める。§E2.14 例 1.16と§E2.14 定理 1.6により$h_1,h_2,v_1,v_2$は連続であり、同じ二つにより$F$は連続である。$v$は$R$に値をとるから、$s=0$ならば$F$の第 1 成分は$a_1-v_1(t)\le0$であり、$s=1$ならば$b_1-v_1(t)\ge0$である。$h$は$R$に値をとるから、$t=0$ならば$F$の第 2 成分は$a_2-h_2(s)\le0$であり、$t=1$ならば$b_2-h_2(s)\ge0$である。§E2.48 定理 3.1を直方体$[0,1]^2$と$F$に適用すると、$F(s,t)=0$を満たす$(s,t)\in[0,1]^2$が存在し、$h(s)=v(t)$である。▨

証明.補題 2.2 (1)により$J$は閉集合であるから、補題 1.2 (1)と補題 1.2 (2)により、$C$は$\R^2$の開集合であり、$\partial C\subseteq J$である。$q\in J\setminus\partial C$が存在すると仮定する。§E2.11 命題 2.8 (3)により$\partial C$は閉集合であるから、$W=\R^2\setminus\partial C$は$q$を含む開集合である。補題 2.2 (3)により、弧$A\subseteq J$で$J\setminus W\subseteq A$かつ$q\notin A$を満たすものがある。$\partial C\subseteq J$であるから$\partial C=J\setminus W\subseteq A$である。

$Y=\R^2\setminus A$とおく。定理 1.4と§E2.43 命題 4.2により$Y$は連結である。$C\cap J=\emptyset$かつ$A\subseteq J$であるから$C\subseteq Y$であり、$C$は$\R^2$の開集合であるから$Y$の開集合である。§E2.11 命題 2.8 (4)により$\tpcl{C}=C\cup\partial C$であり、$\partial C\subseteq A$であるから$\tpcl{C}\cap Y=C$である。§E2.12 命題 4.6により$C$は$Y$の閉集合であり、$Y\setminus C$は$Y$の開集合である。$C$は空でなく、$q\notin A$と$q\in J$から$q\in Y\setminus C$である。よって$(C,Y\setminus C)$は$Y$の分離であり、$Y$が連結であることと両立しない。したがって$J\subseteq\partial C$であり、$\partial C=J$である。▨

証明.補題 2.2 (1)により$J$は閉集合であり、$J\subseteq R$であるから、補題 1.2 (3)により、$\R^2\setminus J$の連結成分$O$で、$\R^2\setminus R\subseteq O$を満たし、$O$以外の連結成分がすべて$R$に含まれて有界であり、$O$は有界でないものが存在する。補題 1.2 (1)により$\R^2\setminus J$の各連結成分は弧状連結である。§E2.48 補題 2.1 (3)により、$\partial R$は$y_1\in\{-1,1\}$または$y_2\in\{-2,2\}$を満たす$y\in R$の全体である。よって$\partial R$の点$y$で$y_2=0$を満たすものは$a$と$b$だけであり、$y_2\neq0$を満たす$\partial R$の点は$J$に属さない。また、$J$の点$y$は$-2<y_2<2$を満たす。

$y,z\in\R^2$に対して$[y,z]=\{(1-t)y+tz\mid0\le t\le1\}$と書く。$t\mapsto(1-t)y+tz$は$[y,z]$の中の$y$から$z$への道であり、§E2.48 補題 2.1 (1)と§E2.19 定理 4.2により$[y,z]$はコンパクトである。$c=(0,2)$、$d=(0,-2)$、$L=[d,c]$とおく。

補題 2.2 (2)により、$a$と$b$を結ぶ弧$J_1,J_2$で$J=J_1\cup J_2$かつ$J_1\cap J_2=\{a,b\}$を満たすものがある。$i=1,2$について、同相写像$h_i\colon[0,1]\to J_i$で$h_i(0)=a$かつ$h_i(1)=b$を満たすものをとる。$h_i$は$R$に値をとる$a$から$b$への道であり、$t\mapsto(0,-2+4t)$は$R$に値をとる$d$から$c$への道であるから、補題 2.3により$J_i\cap L\neq\emptyset$である。補題 1.1 (1)により$J_1$と$J_2$は閉集合である。

$L\cap J$は空でない有界な閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、§E2.19 定理 4.4により、第 2 成分が$L\cap J$の上で最大となる点$m$がある。$m$の第 1 成分は$0$であるから$m\notin\{a,b\}=J_1\cap J_2$であり、$m$は$J_1$と$J_2$のちょうど一方に属する。$m$を含む方を$J_c$、他方を$J_d$とし、対応する$h_i$をそれぞれ$h_c$、$h_d$と書く。$L\cap J_c$も空でないコンパクト集合であるから、第 2 成分が$L\cap J_c$の上で最小となる点$l$がある。$l\notin\{a,b\}$であるから$l\notin J_d$であり、$l_2\le m_2$である。$c\in\partial R$かつ$c_2\neq0$であるから$c\notin J$であり、$m_2<2$である。$m$と$l$の選び方から、次が成り立つ。

$m=h_c(s_m)$、$l=h_c(s_l)$とする。$m,l\notin\{a,b\}$であるから$s_m,s_l\in(0,1)$である。$s_m$と$s_l$を両端とする閉区間を$I_c$とし、$\Gamma_c=h_c(I_c)$とおく。$u\mapsto h_c((1-u)s_m+us_l)$は$\Gamma_c$の中の$m$から$l$への道である。$h_c$は単射であり$I_c\subseteq(0,1)$であるから、$a,b\notin\Gamma_c$であり、$J_c\cap J_d=\{a,b\}$から$\Gamma_c\cap J_d=\emptyset$である。

$[l,d]\cap J_d$は空でない有界な閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3と§E2.19 定理 4.4により、第 2 成分がその上で最大となる点$k$と最小となる点$j$がある。$k,j\notin\{a,b\}$であるから$k,j\notin J_c$であり、$l\notin J_d$から$j_2\le k_2<l_2$である。$k$と$j$の選び方から、次が成り立つ。

$k=h_d(s_k)$、$j=h_d(s_j)$とし、$s_k$と$s_j$を両端とする閉区間を$I_d$として$\Gamma_d=h_d(I_d)$とおく。$\Gamma_c$と同様に、$\Gamma_d$の中に$k$から$j$への道があり、$a,b\notin\Gamma_d$である。$x=(0,(k_2+l_2)/2)$とおく。(2)と(1)により$x\notin J_c\cup J_d=J$である。$x$を含む$\R^2\setminus J$の連結成分を$U$とする。