§E2.42離散位相の無限直積

証明.$k\in\{0,1\}$に対して

と置く。これは閉集合である。実際、点$x\not\in A_k$をとれば、$x(i) = x(i')\neq k$となる$i,i'\in I$が存在するため、$\{(x(i), x(i'))\}\times \N^{I\setminus \{i,i'\}}$は$x$を含む$A_k$と交わらない開集合である。また、元$x\in A_0\cap A_1$はすべての$n\in\N$に対して$\lvert x^{-1}(\{n\})\rvert\le1$となるので単射$x\colon I\to \N$であるが、$I$の非可算性からこれはあり得ないので、$A_0\cap A_1 = \emptyset$であることがわかる。

もし$\N^I$が正規であれば、Urysohn の補題§E2.18 定理 3.1より、交わらない閉集合$A_0, A_1$を分離する連続関数$f\colon \N^I\to [0,1], f(A_0) = \{0\}, f(A_1) = \{1\}$が存在する。$\N$の有限直積は可分なので、§E2.14 系 5.3と§E2.41 補題 1.4により、そのすべての有限冪は pseudo-ℵ₁-compact であり、よって§E2.41 系 4.4より高々可算な$J\subseteq I$と連続写像$g\colon\N^J\to\R$が存在して$f=g\circ\pi_J$となる。ただしここで$\pi_J\colon \N^I\to \N^J$は標準射影である。特に$\pi_J(A_0)\cap \pi_J(A_1) = \emptyset$となる。しかしながら、いかなる単射$x_J\colon J\to \N$も$\pi_J(A_0)\cap \pi_J(A_1)$に属するため、$J$が可算集合であることからこれは矛盾である。▨

証明.$X$が可算コンパクトでないと仮定する。$X$は空ではない T1 空間なので、§E2.23 系 5.2 (2)より、可算コンパクトでないことは可算無限離散閉部分集合$D\subseteq X$の存在を意味する。このとき$D^\kappa\subset X^\kappa$は閉集合なので、$X^\kappa$の正規性から$D^\kappa$も正規である。一方、$D\cong \N$であるから、これは定理 1.1に反する。よって$X$は可算コンパクトである。▨

証明.(1)と(2)の証明は演習とする。

(3)は§E2.40 系 2.17を二点離散空間$2$に適用して得られる。▨

証明.(1)は明らかである。また、$2^I\cong 2^{\N\times I}$であるから補題 1.3 (1)より$2^I$は$\N^I$と同相な部分空間を持ち、よって§E2.15 命題 1.14と§E2.15 定義 1.10 (2)より(2)が従う。▨

証明. 演習とする。（問題 4.3）▨

証明.(1)は明らかである。§E2.13 補題 5.11により、$w(X)\leq\kappa$ならば、任意の開被覆から濃度が$\kappa$以下の部分被覆をとることができる。$X$の$\kappa$-コンパクト性を適用すると、(2)が従う。▨

証明. 証明は演習とする（問題 4.4参照）。▨

証明.$X=\emptyset$の場合は結論が成り立つので、$X\neq\emptyset$とする。$X^\kappa$は T1 かつ正規なので、§E2.18 系 3.3により T3½ 空間である。$X$は一つの座標以外を固定した部分空間として埋め込まれるので、$X$も T3½ 空間であり、特に Hausdorff 空間である。空でない$A\subseteq\kappa$に対し、$(X^A)^\kappa\cong X^{A\times\kappa}\cong X^\kappa$が成り立つので、定理 1.2より$X^A$は可算コンパクトである。$A=\emptyset$の場合も$X^A$は一点空間なので可算コンパクトである。補題 2.3により、$X$が$\kappa$-コンパクトであることを示すために、有限交差性を持つ$\kappa$個の閉部分集合族$(C_{\lambda})_{\lambda < \kappa}$を任意にとる。$\bigcap_{\lambda < \kappa}C_{\lambda} = \emptyset$と仮定して矛盾を導こう。このとき、閉部分集合$C:=\prod_{\lambda<\kappa}C_\lambda$と$\Delta:=\{(x)_{\lambda<\kappa}\mid x\in X\}$は交わらない。$X$は Hausdorff なので、$\Delta$は各二座標が等しいという閉条件の共通部分として閉集合である。したがって$X^\kappa$の正規性と Urysohn の補題§E2.18 定理 3.1より、連続関数$f\colon X^\kappa\to[0,1]$で$f(C)=\{0\}$、$f(\Delta)=\{1\}$となるものが存在する。ここで、任意の有限部分集合$A\subset \kappa$に対して$X^A$は可算コンパクトであるから、§E2.41 命題 1.2と§E2.41 系 4.4より、ある可算集合$I\subset \kappa$と連続写像$g\colon X^I\to [0,1]$が存在して、$f = g\circ \pr_I$が成り立つ。ただしここで$\pr_I\colon X^{\kappa}\to X^I$は$I\subset \kappa$成分への射影である。一方、定理 1.2より$X$自体も可算コンパクトなので、任意の可算部分集合$I\subset \kappa, \, |I| \leq \aleph_0$に対し、$\bigcap_{\lambda\in I}C_\lambda \neq \emptyset$である。これは$\pr_I(C) = \prod_{\lambda\in I}C_{\lambda}$と$\pr_I(\Delta) = \{(x)_{\lambda \in I} \mid x\in X\}\subset X^I$が交わることを意味し、$f(C) = \{0\}, f(\Delta) = \{1\}, f = g\circ \pr_I$に反する。以上で示された。▨

証明.定理 2.6と§E2.13 補題 5.11からただちに従う。▨

証明.$F\subset X\times K$を閉集合、$x\in X\setminus\pr_X(F)$とする。必要なら同じ近傍を繰り返すことにより、$x$の開近傍基を$(V_\lambda)_{\lambda<\kappa}$と表す。各$\lambda < \kappa$に対し、

と置く。任意の$a\in K$に対し、$(x,a)\notin F$なので、$a$の開近傍$U\subseteq K$と$\lambda<\kappa$で$(V_\lambda\times U)\cap F=\emptyset$となるものが存在する。したがって$a\in U\subseteq U_\lambda$であり、$(U_\lambda)_{\lambda<\kappa}$は$K$の開被覆である。$K$の$\kappa$-コンパクト性により、有限集合$E\subseteq\kappa$で$K=\bigcup_{\lambda\in E}U_\lambda$となるものが存在する。$V:=\bigcap_{\lambda\in E}V_\lambda$とおくと$(V\times K)\cap F=\emptyset$なので、$V\cap\pr_X(F)=\emptyset$である。よって$X\setminus\pr_X(F)$は開集合であり、$\pr_X(F)$は閉集合である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)と(1)$\Rightarrow$(3)は補題 2.9よりただちに従う。(3)$\Rightarrow$(2)は射影$[0,1]^\kappa\times X\to [0,1]^\kappa$を閉部分集合$2^\kappa\times X\subset [0,1]^\kappa\times X$へ制限すると$2^\kappa\subset [0,1]^\kappa$を経由することからただちに従う。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。有限部分被覆をもたない開被覆$(U_i)_{i\in I}$で$|I|\leq\kappa$を満たすものが存在すると仮定する。単射$I\to\kappa$に沿って添字を付け替え、残りの添字には空集合を置くことにより、$I=\kappa$としてよい。集合

は閉集合である。

有限集合$E\subseteq\kappa$に対し、$1_E\in2^\kappa$を$E$の特性関数とする。被覆は有限部分被覆をもたないので、$x_E\in X\setminus\bigcup_{i\in E}U_i$をとることができる。$(1_E,x_E)\in H$であるから$1_E\in\pr(H)$である。全座標で$1$をとる点$1_\kappa$の任意の基本近傍は有限個の座標だけを指定するので、その指定座標集合を$E$とすると$1_E$を含む。したがって$1_\kappa\in\tpcl{\pr(H)}$である。

一方、$(U_i)_{i<\kappa}$は$X$を覆うので、すべての$x\in X$に対して$(1_\kappa,x)\notin H$であり、$1_\kappa\notin\pr(H)$である。これは$\pr(H)$が閉集合であることに反する。ゆえに濃度が$\kappa$以下である任意の開被覆は有限部分被覆をもつ。▨

証明.§E2.17 命題 5.6により、2-進展開による連続全射を$p\colon 2^{\omega}\to[0,1]$とする。§E2.19 系 6.12と§E2.15 定理 4.3 (4)により位相的埋め込み$e\colon X\to[0,1]^{w(X)}$が存在する。§E2.19 定理 4.2により$e(X)$はコンパクトであり、§E2.15 定理 2.8 (3)により$[0,1]^{w(X)}$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$e(X)$は閉集合である。$p$を並べることで得られる連続全射$p^{w(X)}\colon 2^{\omega\times w(X)}\to [0,1]^{w(X)}$による$e(X)$の逆像を$F_0:=(p^{w(X)})^{-1}(e(X))\subset 2^{\omega \times w(X)}$とする。全単射$\omega\times w(X) \cong w(X)$を選ぶことで得られる同相写像$2^{\omega\times w(X)}\cong 2^{w(X)}$で$F_0$に対応する閉集合を$F\subset 2^{w(X)}$として、$2^{w(X)}\cong 2^{\omega\times w(X)}\xrightarrow{p^{w(X)}} [0,1]^{w(X)}$を$F$に制限することで得られる全射連続写像$F\to e(X)$と同相写像$X\xrightarrow{\sim} e(X)$の逆写像の合成を$g\colon F\to X$とすれば、これが求めるものである。▨

証明.$X$が無限ならば、T1 性から$w(X)\geq\aleph_0$であり、定理 3.1により$|X|\leq2^{w(X)}$である。$X$が有限ならば、Hausdorff 性から離散空間なので$w(X)=|X|$であり、やはり$|X|\leq2^{w(X)}$である。したがって(1)が成り立つ。距離化可能な場合は§E2.13 補題 5.10により$w(X)\leq\aleph_0$であるから、$|X|\leq2^{w(X)}\leq2^{\aleph_0}=\mathfrak c$であり、(2)が従う。▨

証明.(1)を示す。$I$が有限ならば、$F$の外の点を$F$の一つの点へ送り、$F$上では恒等写像とする。$2^I$は離散空間なので、この写像はレトラクションである。$I$が無限集合のときは、$I=\omega$としても一般性を失わない。$x\notin F$に対し、$N(x):=\{n\in\N\mid F\cap[x|_n]\neq\emptyset\}$とおく。$F$は空でない閉集合なので、$0\in N(x)$であり、$x$のある柱状近傍は$F$と交わらない。したがって$n(x):=\max N(x)$が存在する。$F\cap[x|_{n(x)}]$は空でない閉部分集合なので、§E2.17 補題 5.8により辞書式順序について最小元をもつ。

と定める。$x\notin F$では$[x|_{n(x)+1}]$のどの点も同じ$n(x)$と長さ$n(x)$の初期列をもつので、$r$はこの近傍上で定数である。$x\in F$と$n\in\N$をとる。$y\in[x|_n]\setminus F$ならば$x\in F\cap[y|_n]$なので$n(y)\geq n$であり、$r(y)\in[x|_n]$である。$y\in[x|_n]\cap F$についても$r(y)=y\in[x|_n]$であるから、$r([x|_n])\subseteq F\cap[x|_n]$が成り立つ。柱状集合は開基をなすので、$r$は$F$の各点でも連続である。よって$r$はレトラクションである。

(2)を示す。§E2.29 補題 2.1 (2)より、ある連続関数$f\colon 2^I\to [0,1]$が存在して$F=f^{-1}(0)$が成り立つ。よって§E2.41 系 4.4より、ある可算部分集合$E\subset I$と連続写像$f_E\colon 2^E\to [0,1]$が存在して、$f=f_E\circ \pi_E$が成り立つ。ただしここで$\pi_E\colon 2^I\to 2^E$は標準全射である。ゆえに$F = f^{-1}(0) = f_E^{-1}(0)\times 2^{I\setminus E}$であり、(1)より$f_E^{-1}(0)\subset 2^E$はレトラクトなので、よって$F\subset 2^I$もレトラクトである。

(3)を示す。 Zorn の補題により、$\tpint[2^I]{F}$に含まれる交わらない$2^I$の基本開集合の族のうち極大なもの$([s_A])_{A\in\mathcal{A}}$が存在する。ただしここで、各$A\in \mathcal{A}$に対して有限部分集合$I_A\subset I$が選ばれていて、$s_A$は$2^{I_A}$の元である。§E2.40 系 2.17と§E2.40 命題 2.6 (2)より$\tpint[2^I]{F}$は$\aleph_1$caliber を持つので、§E2.40 命題 3.2より$\tpint[2^I]{F}$は可算鎖条件を満たす。よって$\mathcal{A}$は可算集合でなければならず、$J:=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}I_A\subset I$は可算集合である。各$A\in \mathcal{A}$に対して$s_A\in 2^{I_A}$の定める$2^J$の基本開集合を$[s_A]_J$と表すことにすれば、自然な同相$2^I\cong 2^J\times 2^{I\setminus J}$のもとで$[s_A] \cong [s_A]_J\times 2^{I\setminus J}$となる。ここで、$\mathcal{A}$の極大性から

が成り立つ。(1)より$\tpcl[2^J]{\bigcup_{A\in \mathcal{A}}[s_A]_J}\subset 2^J$はレトラクトなので、よって$F\subset 2^I$もレトラクトである。▨

証明.(1)と(2)は定義よりただちに従う。(3)を示す。$X$を 2-進コンパクト空間とし、連続な全射$q\colon2^I\to X$をとる。§E2.40 系 2.17により$2^I$は caliber$\aleph_1$をもつので、§E2.40 命題 2.6 (1)により$X$も caliber$\aleph_1$をもつ。§E2.40 命題 3.2により$X$は可算鎖条件をもつ。(4)を示す。$X$を空でないコンパクト距離空間とする。§E2.13 補題 5.10と§E2.13 命題 5.8により$w(X)\leq\aleph_0$である。$X$が無限ならば、有限開基$\mathcal B$は存在しない。実際、$x\mapsto\{B\in\mathcal B\mid x\in B\}$は Hausdorff 性により$X$から有限集合$\mathcal P(\mathcal B)$への単射となるからである。したがって$w(X)=\aleph_0$であり、定理 3.1により、空でない閉部分集合$F\subseteq2^\omega$と連続な全射$g\colon F\to X$が存在する。補題 3.5 (1)によりレトラクション$r\colon2^\omega\to F$が存在し、$g\circ r$は$2^\omega$から$X$への連続な全射である。

$X$が有限の場合は離散空間である。$2^n\geq|X|$となる$n\in\N$と全射$\iota\colon2^n\to X$をとる。$2^n$は有限離散空間であるから$\iota$は連続である。最初の$n$座標への射影$\rho\colon2^\omega\to2^n$は連続な全射であり、$\iota\circ\rho$は$2^\omega$から$X$への連続な全射である。

(5)を示す。連続全射$q\colon2^I\to X$をとる。$F$が$G_\delta$閉集合ならば、$q^{-1}(F)$も空でない$G_\delta$閉集合なので、補題 3.5 (2)により$2^I$のレトラクトである。このレトラクションと$q$の合成は$F$への連続全射である。$F=\tpcl[X]{\tpint[X]{F}}$の場合は、$H:=\tpcl[2^I]{q^{-1}(\tpint[X]{F})}$とおく。$q$は閉な連続全射なので$q(H)=\tpcl[X]{\tpint[X]{F}}=F$である。$H$は空でない開集合の閉包なので、補題 3.5 (3)のレトラクションと$q$を合成すれば$F$への連続全射が得られる。問題 4.5も見よ。▨

証明.$x\in 2^A$と部分集合$A'\subset A$に対し、$x_{A'}:=\pi_{A'}(x)\in 2^{A'}$と置く。

と置く。$X$は Hausdorff なので対角集合$\Delta_X\subset X\times X$は閉であり、よって$R_f\subset 2^A\times 2^A$も閉である。

(1)を示す。$E$の構成から、もし$f$が射影$\pi_E$を経由して分解すれば、$E$が求める最小の部分集合である。$t,u\in 2^A$が$t_E = u_E$を満たしているとする。$f(t)\neq f(u)$と仮定すると$(t,u)\notin R_f$であるから、有限集合$P,Q\subset A$で$R_f\cap([t_P]\times[u_Q])=\emptyset$を満たすものが存在する。$v\in2^A$を、$Q$上では$u$と等しく、それ以外では$t$と等しい点とする。$v$と$t$が異なる座標は有限集合$Q\setminus E$に含まれる。$E$に属さない座標を一つ変更しても$f$の値は変わらないので、有限回の変更により$f(v)=f(t)$である。一方、$(t,v)\in[t_P]\times[u_Q]$であるから、$R_f\cap([t_P]\times[u_Q])=\emptyset$に反する。したがって$t_E=u_E$ならば$f(t)=f(u)$である。

$E$の外の座標をすべて$0$とする連続な切断$s_E\colon2^E\to2^A$をとり、$f_E=f\circ s_E$とおく。$s_E(\pi_E(t))$と$t$は$E$上で等しいので、$f=f_E\circ\pi_E$である。また、$f$が$B\subset A$上の射影を経由するならば、$B$の外の一座標だけが異なる二点の像は等しい。よって$E\subseteq B$であり、$E$は最小である。

$X$が無限集合であるとする。$X$は T1 空間なので、有限な開基をもてば位相が有限となり、相異なる点$x\in X$に対する開集合$X\setminus\{x\}$を区別することができない。したがって$w(X)\geq\aleph_0$である。$f_E$は全射なので$E$も無限であり、§E2.14 系 1.5と§E2.19 補題 6.9により$w(X)\leq|E|$である。

$X$は§E2.19 系 6.12により T3½ 空間なので、§E2.15 定理 4.3 (4)より位相的埋め込み$e\colon X\to [0,1]^{w(X)}$をとることができる。各$\lambda < w(X)$に対する標準射影を$p_\lambda\colon [0,1]^{w(X)}\to [0,1]$とする。このとき、§E2.41 系 4.4より、可算部分集合$E_\lambda \subset A$と$f_\lambda\colon 2^{E_\lambda}\to [0,1]$が存在して、$p_\lambda \circ e\circ f = f_\lambda\circ \pi_{E_\lambda}$が成り立つ。$E_1:=\bigcup_{\lambda<w(X)}E_\lambda$とおけば、$|E_1|\leq w(X)\cdot\aleph_0=w(X)$である。$t,u\in2^A$が$E_1$上で等しければ、すべての$\lambda<w(X)$について$p_\lambda(e(f(t)))=p_\lambda(e(f(u)))$であり、$e$の単射性から$f(t)=f(u)$である。したがって$E_1$の外を$0$とする切断$s_{E_1}$により$f=(f\circ s_{E_1})\circ\pi_{E_1}$となる。$E$の最小性から$E\subseteq E_1$であり、$|E|\leq w(X)$を得る。ゆえに$|E|=w(X)$である。

(2)を示す。(1)より$|E|=w(X)$であるから、$|E'|=\kappa$となる$E'\subseteq E$をとる。各$a\in E'$に対して、$E$の定義より、$t^a, u^a\in 2^A$を$t^a_{A\setminus \{a\}} = u^a_{A\setminus \{a\}}$かつ$f(t^a) \neq f(u^a)$となるように選ぶ。このとき、$t^a, u^a$は$a\in A$の座標でのみ異なる。すなわち、$t^a_a\neq u^a_a$である。また、$f(t^a)\neq f(u^a)$かつ$R_f$は閉なので、$a\in R_a$を満たす有限集合$R_a\subset A$で$R_f\cap([t^a_{R_a}]\times[u^a_{R_a}])=\emptyset$となるものが存在する。$s^a:=t^a_{R_a\setminus \{a\}} = u^a_{R_a\setminus \{a\}} \in 2^{R_a\setminus \{a\}}$と置く。

各$a\in E'$に対し、

とおく。各$V_a$は空でない開集合である。$\operatorname{cf}(\kappa)>\aleph_0$であるから、§E2.40 系 2.17を三点離散空間$3$に適用すると、$3^A$は caliber$\kappa$をもつ。したがって$|S|=\kappa$を満たす$S\subset E'$で、$\bigcap_{a\in S}V_a\neq\emptyset$となるものが存在する。点$p\in \bigcap_{a\in S}V_a$をとる。このとき、$a\in S$であれば$p_a=2$であり、さらに$p_{R_a\setminus \{a\}} = s^a$が成り立つ。$s^a$の各座標の値は$0$または$1$であるため、各$a\in S$に対し、$S\cap(R_a\setminus\{a\})=\emptyset$が成り立つ。

$2\mapsto 0$により引き起こされる連続写像$3^A\to 2^A$と射影$2^A\to 2^{A\setminus S}$の合成による$p\in 3^A$の像を$x_{A\setminus S}\in 2^{A\setminus S}$とする。任意の$a\in S$に対して$S\cap (R_a\setminus \{a\}) = \emptyset$が成り立つので、$p_{R_a\setminus \{a\}} = s^a$より、$[x_{A\setminus S}]\subset [s^a]$が成り立つ。また、$[x_{A\setminus S}]$の異なる点$y\neq z$を任意にとれば、ある$a\in S$で$y_a\neq z_a$となる。$y,z\in [s^a]$であることから、$y\in [t^a_{R_a}], z\in [u^a_{R_a}]$であるか、または$z\in [t^a_{R_a}], y\in [u^a_{R_a}]$のいずれかが成り立つ（$y_a\neq z_a$と$t^a_a\neq u^a_a$はどれも$0$か$1$であり、$R_a\setminus \{a\}$上ではどれも$s^a$に等しい）。いずれの場合も$(y,z)$または$(z,y)$が$[t^a_{R_a}]\times[u^a_{R_a}]$に属するので、$f(y)\neq f(z)$である。特に$f|_{[x_{A\setminus S}]}\colon [x_{A\setminus S}]\to X$は単射である。以上で示された。▨