§E2.22コンパクト化

証明.定義 1.1により$X$が$cX$から受ける部分空間位相はもとの位相に一致するから、$X$は$cX$のコンパクト部分集合である。$cX$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$X$は$cX$の閉集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)により$\tpcl[cX]{X}=X$である。定義 1.1により$\tpcl[cX]{X}=cX$であるから$cX=X$である。▨

証明.$X$を位相空間、$Y$を$X$のコンパクト化とする。$Y$はコンパクトかつ Hausdorff であるから、§E2.19 系 6.12により T3½ 空間である。$X$は$Y$の部分空間であるから、§E2.15 系 2.2により$X$は T3½ 空間である。▨

証明.(1)を示す。§E2.12 命題 4.7 (1)により$\tpcl[F]{A}=\tpcl[Y]{A}\cap F=F$であるから、$A$は$F$で稠密である。$A\subseteq F\subseteq Y$であるから、§E2.12 系 4.5により$A$が$F$から受ける部分空間位相は$Y$から受けるものに一致する。

(2)を示す。§E2.11 命題 2.5 (1)により$F$は$Y$の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1により$F$はコンパクトであり、§E2.15 定理 2.1 (3)により Hausdorff である。ゆえに(1)と定義 1.1により$F$は$A$のコンパクト化である。▨

証明.$h_1(z)\neq h_2(z)$を満たす$z\in Z$が存在すると仮定する。$W$は Hausdorff であるから、$h_1(z)\in V_1$、$h_2(z)\in V_2$、$V_1\cap V_2=\emptyset$を満たす$W$の開集合$V_1$、$V_2$が存在する。$h_1$と$h_2$は連続であるから$U=h_1^{-1}(V_1)\cap h_2^{-1}(V_2)$は$Z$の開集合であり、$z\in U$であるから$U$は空でない。$A$は$Z$で稠密であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$U\cap A\neq\emptyset$である。$a\in U\cap A$をとると$h_1(a)\in V_1$かつ$h_2(a)\in V_2$であり、仮定により$h_1(a)=h_2(a)$であるから、この点は$V_1\cap V_2$に属する。これは$V_1\cap V_2=\emptyset$に反する。ゆえにすべての$z\in Z$に対して$h_1(z)=h_2(z)$であり、$h_1=h_2$である。▨

証明.$[0,1]$は$\mathbb R$の有界な閉集合であるから、§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。したがって§E2.19 定理 8.2により$[0,1]^{C}$はコンパクトである。§E2.11 命題 2.5 (1)により$\beta X=\overline{e(X)}$は$[0,1]^{C}$の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1により$\beta X$はコンパクトである。$\beta X$は$[0,1]^{C}$の部分空間であり、§E2.12 補題 6.12により包含写像$\beta X\to[0,1]^{C}$は位相的埋め込みであるから、§E2.15 定理 4.3により$\beta X$は T3½ 空間であり、§E2.15 定理 1.11 (2)と§E2.15 定理 1.11 (3)により Hausdorff である。

$e(X)$の$\beta X$における閉包は、§E2.12 命題 4.7 (1)により$\overline{e(X)}\cap\beta X=\beta X$である。ゆえに§E2.11 定義 2.7により$e(X)$は$\beta X$で稠密である。

§E2.15 定理 4.3 (2)により$e\colon X\to[0,1]^{C}$は位相的埋め込みであり、とくに単射であって、終域を像へ制限した写像$X\to e(X)$は同相写像である。ここで$e(X)$には$[0,1]^{C}$からの部分空間位相を入れており、§E2.12 系 4.5により、この位相は$\beta X$から定まる部分空間位相と一致する。$e(X)\subseteq\beta X$であるから、§E2.12 定理 4.4 (3)により終域を$\beta X$へ制限した写像$X\to\beta X$は連続であり、その像は$e(X)$である。したがって§E2.12 定義 6.10により、この写像は位相的埋め込みである。▨

証明.定理 2.2により$\beta X$はコンパクト Hausdorff 空間であり、$e\colon X\to\beta X$は稠密な像をもつ位相的埋め込みであるから、$\beta X$は$X$のコンパクト化である。

位相空間$Z$がコンパクト化をもつならば、命題 1.3により$Z$は T3½ 空間である。逆に$Z$が T3½ 空間ならば、いま示したことにより$\beta Z$は$Z$のコンパクト化である。▨

証明.$C_X$、$C_Y$をそれぞれ$X$、$Y$から$[0,1]$への連続写像の全体とする。合成により写像

が定まり、写像

を得る。各$u\in C_Y$に対して$\Phi_f$の第$u$成分は積の射影$\pr_{u\circ f}$であるから、§E2.14 定理 1.6により$\Phi_f$は連続である。

$e_X$、$e_Y$をそれぞれ$X$、$Y$の評価写像による立方体への埋め込みとする。任意の$x\in X$に対して

であるから、$\Phi_f\circ e_X=e_Y\circ f$である。$\Phi_f$は連続であるから、§E2.12 命題 1.7 (2)により

となる。したがって、$\Phi_f$の制限として連続写像$\beta f\colon\beta X\to\beta Y$が定まり、埋め込みによる同一視のもとで$\beta f(x)=f(x)$が成り立つ。$X$は$\beta X$で稠密であり$\beta Y$は Hausdorff であるから、補題 2.1により延長は一意である。

(1)を示す。$\id_{\beta X}$は$\id_X$の連続な延長であるから、一意性により$\beta(\id_X)=\id_{\beta X}$である。

(2)を示す。$\beta g\circ\beta f$は$X$の上で$g\circ f$と一致する連続写像であるから、一意性により$\beta(g\circ f)=\beta g\circ\beta f$である。▨

証明.$K$はコンパクト Hausdorff 空間であるから、§E2.19 系 6.12により T3½ 空間である。系 2.4と命題 1.2により$\beta K=K$である。したがって命題 3.1の$\beta f\colon\beta X\to\beta K=K$が求める一意な延長である。$\tilde{f}$が固有閉写像であることは§E2.20 命題 1.2 (4)より従う。▨

証明.$\pi\colon\beta X\to cX$を系 3.5の写像とする。$\beta X$はコンパクト Hausdorff 空間であり、包含写像$X\to\beta X$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であるから、仮定により、すべての$x\in X$に対して$\sigma(x)=x$を満たす連続写像$\sigma\colon cX\to\beta X$が存在する。$\sigma\circ\pi\colon\beta X\to\beta X$は§E2.12 命題 1.10により連続であり、すべての$x\in X$に対して$\sigma(\pi(x))=x=\operatorname{id}_{\beta X}(x)$を満たす。$X$は$\beta X$で稠密であり$\beta X$は Hausdorff であるから、補題 2.1により$\sigma\circ\pi=\operatorname{id}_{\beta X}$であり、とくに$\pi$は単射である。系 3.5により$\pi$は全射であるから、$\pi$は連続な全単射である。$\beta X$はコンパクトであり$cX$は Hausdorff であるから、§E2.19 定理 6.8により$\pi$は同相写像である。$h=\pi$とおけばよい。

$h_1,h_2\colon\beta X\to cX$がともにすべての$x\in X$に対して$h_i(x)=x$を満たす連続写像であるとする。$X$は$\beta X$で稠密であり$cX$は Hausdorff であるから、補題 2.1により$h_1=h_2$である。▨

証明. 等距離写像であることは§E2.16 命題 3.1よりただちに従う。全射性がわかれば良いが、それは Stone–Čech のコンパクト化の普遍性よりただちに従う。▨

証明.$e_c\colon X\to cX$に定理 3.2を適用すると、$\pi_c\circ e_\beta=e_c$を満たす連続写像$\pi_c\colon\beta X\to cX$がただ一つ得られる。$\pi_c(\beta X)$は稠密集合$e_c(X)$を含むから、§E2.19 系 6.5により$\pi_c$は全射である。§E2.20 命題 1.2 (4)により$\pi_c$は完全写像であり、§E2.12 命題 8.3により商写像である。したがって$cX$は$\beta X$のファイバーが定める同値関係による商空間と同相である。▨

証明. 包含写像$X\subset Y$が引き起こす連続写像$\beta X\to \beta Y$と包含写像$Y\subset \beta X$が引き起こす連続写像$\beta Y\to \beta \beta X = \beta X$が定理 3.2の一意性により互いに逆を与える同相写像である。▨

証明.(1)を示す。§E1.22 定義 1.1と§E1.22 定義 5.1により$|2^\omega|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$である。§E2.17 命題 5.5の$\varphi$は$2^\omega$から$[0,1]$の部分集合への全単射であるから、$\mathfrak c\leq|[0,1]|$である。一方、包含写像$[0,1]\to\R$と§E1.22 定理 5.3により$|[0,1]|\leq|\R|=\mathfrak c$である。したがって§E1.11 定理 4.2により$|[0,1]|=\mathfrak c$である。

(2)を示す。離散空間からの写像はすべて連続であるから、集合として$C(X,[0,1])=[0,1]^X$である。(1)、§E1.22 命題 1.6および§E1.22 系 3.3により

である。$X=\N$の場合は$\kappa=\aleph_0$であるから、この値は$\mathfrak c$である。▨

証明. 離散空間$X$は T3½ 空間であるから、定理 2.2により$\beta X$は存在する。$C=C(X,[0,1])$とおく。補題 4.1 (2)により$|C|=2^\kappa$であり、評価写像による構成は$\beta X$を$[0,1]^C$の部分空間として与える。したがって補題 4.1 (1)、§E1.22 命題 1.6および§E1.22 系 3.3により

である。

二点離散空間$2=\{0,1\}$の直積$K=2^{\mathcal P(\kappa)}$をとる。§E2.19 定理 8.2と§E2.15 定理 2.8 (3)により、$K$はコンパクト Hausdorff 空間である。§E2.14 定理 5.2により、$K$は濃度が$\kappa$以下である稠密部分集合$D$をもつ。$K$は空でないので$D$も空でない。全射$X\to D$をとり、包含$D\subseteq K$と合成して$g\colon X\to K$とおく。$X$は離散空間であるから$g$は連続であり、定理 3.2により連続写像$\widetilde g\colon\beta X\to K$へ延長される。$\widetilde g(\beta X)$は稠密集合$D$を含むので稠密であり、§E2.19 系 6.5により$\widetilde g$は全射である。したがって

となり、上からの評価と合わせて$|\beta X|=2^{2^\kappa}$を得る。

$\lambda=|\beta X\setminus X|$とおく。分割$\beta X=X\sqcup(\beta X\setminus X)$により$2^{2^\kappa}=\kappa+\lambda$である。$\lambda\leq\kappa$と仮定すると、§E1.22 定理 3.2により$\kappa+\lambda\leq\kappa+\kappa=\kappa$となり、§E1.22 系 4.1による$\kappa<2^{2^\kappa}$に反する。したがって$\kappa<\lambda$であり、§E1.22 系 3.3により$2^{2^\kappa}=\kappa+\lambda=\lambda$である。▨

証明.定理 4.2を$X=\N$に適用する。$|\N|=\aleph_0$と$\mathfrak c=2^{\aleph_0}$により等式を得る。最後の不等式は§E1.22 系 4.1による。▨

証明.(1)を示す。$A\subseteq X$をとる。二点離散空間$2=\{0,1\}$はコンパクト Hausdorff 空間であるから、定理 3.2により特性関数$1_A\colon X\to2$は連続写像$\chi\colon\beta X\to2$へ延長される。$F=\chi^{-1}(\{1\})$は開かつ閉であり、$F\cap X=A$である。$F$が閉集合であることから$\tpcl[\beta X]{A}\subseteq F$である。他方、$p\in F$の任意の開近傍$U$について、$U\cap F$は空でない開集合であるから、$X$の稠密性により$U\cap F\cap X=U\cap A\ne\emptyset$である。したがって$F\subseteq\tpcl[\beta X]{A}$であり、$F=\tpcl[\beta X]{A}$である。同じ議論を$1-\chi$に適用すると$\chi^{-1}(\{0\})=\tpcl[\beta X]{X\setminus A}$となり、分割の等式を得る。一点集合は Hausdorff 空間$\beta X$で閉であるから、$\tpcl[\beta X]{\{x\}}=\{x\}$であり、いま示したことにより開でもある。ゆえに$X$は$\beta X$の開集合であり、剰余は閉集合である。

(2)を示す。$U$を$\beta X$の開集合、$p\in U$とする。§E2.19 系 6.12による完全正則性から、$h(p)=1$、$h|_{\beta X\setminus U}=0$を満たす連続写像$h\colon\beta X\to[0,1]$が存在する。$A=\{x\in X\mid h(x)>1/2\}$とおく。$p$の任意の開近傍$V$について、$V\cap h^{-1}((1/2,1])$は$p$を含む開集合であるから、$X$の稠密性により$V\cap A\ne\emptyset$である。したがって$p\in\tpcl[\beta X]{A}$である。閉集合$h^{-1}([1/2,1])$は$A$を含むので、

である。(1)によりこの閉包は開集合であるから、開基の条件を満たす。

(3)を示す。$B\subseteq X$を無限部分集合とし、$\tpcl[\beta X]{B}\subseteq X$と仮定する。(1)のトレースの等式により$\tpcl[\beta X]{B}=B$である。したがって$B$はコンパクト空間の閉部分集合としてコンパクトであるが、$B$は無限離散空間であるから§E2.19 例 2.9 (3)に反する。ゆえに閉包は剰余と交わる。

$q\in\tpcl[\beta X]{B}\setminus X$とし、$q$の近傍$W$が$B$と有限集合$H$でしか交わらないと仮定する。$H\subseteq X$であるから$q\notin H$であり、Hausdorff 空間$\beta X$の有限部分集合$H$は閉集合である。したがって$W\setminus H$は$q$の近傍であるが、$B$と交わらない。これは$q\in\tpcl[\beta X]{B}$に反する。ゆえに$q$の任意の近傍は$B$と無限個の点で交わる。▨

証明.$x\in X$に対して$\tilde f(x)=f(x)\in Y$であるから$X\subseteq\tilde f^{-1}(Y)$である。

$p\in\tilde f^{-1}(Y)$かつ$p\notin X$を満たす点$p$が存在すると仮定し、$y=\tilde f(p)\in Y$、$F=f^{-1}(\{y\})$とおく。$F$は$X$のコンパクト部分集合であるから、§E2.19 補題 2.7により$F$は$\alpha X$のコンパクト部分集合でもある。$\alpha X$は Hausdorff であるから、§E2.19 命題 6.4により$F$は$\alpha X$の閉集合であり、$F\subseteq X$かつ$p\notin X$であるから$p\notin F$である。$\alpha X$はコンパクトかつ Hausdorff であるから§E2.19 命題 6.10により正則であり、$p\in G$、$F\subseteq H$、$G\cap H=\emptyset$を満たす$\alpha X$の開集合$G$、$H$が存在する。

$V=H\cap X$とおくと、§E2.12 定義 4.1により$V$は$X$の開集合であり、$F\subseteq X$と$F\subseteq H$から$F\subseteq V$である。$f$は閉写像であるから、§E2.12 定理 5.10 (3)により、$y\in N$かつ$f^{-1}(N)\subseteq V$を満たす$Y$の開集合$N$が存在する。§E2.12 定義 4.1により$O\cap Y=N$を満たす$\gamma Y$の開集合$O$が存在する。

$U=\tilde f^{-1}(O)\cap G$とおく。$\tilde f$は連続であるから$U$は$\alpha X$の開集合であり、$\tilde f(p)=y\in N\subseteq O$かつ$p\in G$であるから$p\in U$であって$U$は空でない。$X$は$\alpha X$で稠密であるから、§E2.11 命題 2.9 (2)により$x\in U\cap X$が存在する。$f(x)=\tilde f(x)\in O$かつ$f(x)\in Y$であるから$f(x)\in O\cap Y=N$であり、$x\in f^{-1}(N)\subseteq V\subseteq H$である。一方$x\in U\subseteq G$であるから、$x$は$G\cap H$に属する。これは$G\cap H=\emptyset$に反する。

ゆえに$\tilde f^{-1}(Y)\subseteq X$であり、$\tilde f^{-1}(Y)=X$である。▨

証明.(2)$\Rightarrow$(1)は§E2.20 命題 1.5よりただちに従う。

(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$f$は連続であり、(1)により閉写像である。各$y\in Y$に対して$\{y\}$は有限であるから§E2.19 例 2.3により$Y$のコンパクト部分集合であり、$f$が固有であることから$f^{-1}(\{y\})$は$X$のコンパクト部分集合である。$\alpha X$、$\gamma Y$、$\tilde f$を(3)のとおりにとると、補題 5.1により$\tilde f^{-1}(Y)=X$である。

(3)$\Rightarrow$(2)を示す。系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化、$\beta Y$は$Y$のコンパクト化であり、命題 3.1により$\beta f$はすべての$x\in X$に対して$\beta f(x)=f(x)$を満たす連続写像である。この三つ組へ(3)を適用すると$(\beta f)^{-1}(Y)=X$を得る。

$f$が全射であるとする。§E2.20 定義 2.1により、$f$が完全写像であることは、$f$が全射であり、閉写像であり、かつ固有であることと同値である。$f$は全射であるから、この条件は(1)と同値であり、したがって三条件のいずれとも同値である。▨

証明.(1)は$\id_X\colon X\to X$が完全写像であることと定理 5.2から明らかであり、(2)は(1)、§E1.1 命題 4.10 (3)と$\pi$が完全写像である (特に全射である) ことから明らかである。▨

証明.$F$は$Y$の部分空間であるから、§E2.15 系 2.2により$F$は T3½ 空間である。包含写像$\iota\colon F\to Y$は§E2.12 定理 4.4 (1)により連続であり、$F$は$Y$の閉集合であるから、§E2.20 命題 1.2 (3)により$\iota$は固有であり、かつ閉写像である。ゆえに$\iota$は定理 5.2 (1)を満たすから、定理 5.2を$\iota$へ適用すると定理 5.2 (3)が成り立つ。すべての$x\in F$に対して$\tilde\iota(x)=x=\iota(x)$であるから、$\alpha F$、$\gamma Y$、$\tilde\iota$の組へこの条件を適用して$\tilde\iota^{-1}(Y)=F$を得る。▨

証明.$j$はグラフ写像$X\to X\times Y$と位相的埋め込み$X\times Y\subset cX\times Y$の合成であるから位相的埋め込みである。自然な写像$\beta X\to cX$は固有閉写像であるから、§E2.20 定理 5.3より、$\beta X\times Y \to cX\times Y$は閉写像である。よって、$j$の像が閉であることを示すためには、$cX = \beta X$であると仮定しても一般性を失わない。このとき、$j$の像は$\beta f$のグラフ$\Gamma_{\beta f}\subset \beta X\times \beta Y$の$\beta X\times Y$への制限であるため、これは閉である。

▨

証明.$\operatorname{id}_X\colon X\to X$は連続な閉写像であり、各$x\in X$に対して$\operatorname{id}_X^{-1}(\{x\})=\{x\}$は§E2.19 例 2.3により$X$のコンパクト部分集合である。系 2.4により$\beta X$は$X$のコンパクト化であり、$cX$は仮定により$X$のコンパクト化である。$\pi$はすべての$x\in X$に対して$\pi(x)=x$を満たす連続写像であるから、補題 5.1を$f=\operatorname{id}_X$、$\alpha X=\beta X$、$\gamma Y=cX$へ適用すると$\pi^{-1}(X)=X$を得る。

$p,q\in\beta X$が$p\neq q$かつ$\pi(p)=\pi(q)$を満たすとする。$\pi(p)\in X$であるとすると、$p,q\in\pi^{-1}(X)=X$であり、すべての$x\in X$に対して$\pi(x)=x$であることから$p=\pi(p)=\pi(q)=q$となって$p\neq q$に反する。ゆえに$\pi(p)\notin X$であり、$p$と$q$はともに$\pi^{-1}(X)=X$に属さないから$p,q\in\beta X\setminus X$である。▨