§E2.20固有写像

証明.(1),(2)は定義より明らかである。

(3)を示す。$\iota_A$が連続な閉写像であることは明らかである （§E2.12 定理 4.4,§E2.12 命題 5.16 (2)）。$K\subseteq X$をコンパクト部分集合とすると$\iota_A^{-1}(K)=A\cap K$であり、これはコンパクト空間$K$の閉集合なので$A$は$X$の閉集合であるから、§E2.19 命題 4.1よりこれはコンパクトである。

(4)を示す。§E2.19 命題 4.1と§E2.19 命題 6.4より$f\colon K\to X$は閉写像である。$K'\subset X$をコンパクト部分集合とすると、これは§E2.19 命題 6.4より閉であるため、$f^{-1}(K')\subset K$も閉であり、よって§E2.19 命題 4.1より$f^{-1}(K')$はコンパクトである。▨

証明.$f$と$g$は連続であるから、§E2.12 命題 1.10により$g\circ f$は連続である。$K\subseteq Z$をコンパクト部分集合とする。$g$が固有であるから$g^{-1}(K)$は$Y$のコンパクト部分集合であり、$f$が固有であるから$f^{-1}(g^{-1}(K))$は$X$のコンパクト部分集合である。§E1.1 命題 4.8により$(g\circ f)^{-1}(K)=f^{-1}(g^{-1}(K))$であるから、$(g\circ f)^{-1}(K)$は$X$のコンパクト部分集合である。▨

証明.$f$は連続であるから§E2.12 補題 5.6 (1)により$g$は連続であり、$f$は閉写像であるから§E2.12 補題 5.6 (3)により$g$は閉写像である。

$K\subseteq B$を部分空間$B$のコンパクト部分集合とすると、§E2.19 補題 2.7により$K$は$Y$のコンパクト部分集合であり、$f$は固有であるから$f^{-1}(K)$は$X$のコンパクト部分集合である。$K\subseteq B$から$f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}(B)=A$であり、$g^{-1}(K)=f^{-1}(K)$であるから、ふたたび§E2.19 補題 2.7により$g^{-1}(K)$は$A$のコンパクト部分集合である。ゆえに$g$は固有である。▨

証明.(1)を示す。$(U_i)_{i\in I}$を$Y$の開被覆とすると、$q\in U_{i_0}$を満たす$i_0\in I$が存在する。$q\notin D$であるから$U_{i_0}$は$D$に含まれず、$\mathcal O_Y$の定義により$U_{i_0}=Y$である。したがって有限部分集合$\{i_0\}\subseteq I$が定める部分族は$Y$の開被覆であり、§E2.19 定義 2.1により$Y$はコンパクトである。

(2)を示す。$\iota_D$は連続である（§E2.12 定理 4.4）。$D$の部分空間位相は$\{U\cap D\mid U\in\mathcal O_Y\}$であり、$U\subseteq D$に対して$U\cap D=U$、$Y\cap D=D$であるから、これは$D$のすべての部分集合からなる族、すなわち離散位相である。$D$は無限集合であるから、§E2.19 例 2.9により部分空間$D$はコンパクトでない。一方(1)により$Y$自身は$Y$のコンパクト部分集合であり、$\iota_D^{-1}(Y)=D$である。ゆえに$\iota_D$は固有でない。

(3)を示す。$T=\{a,b\}$に密着位相を入れ、写像$g\colon Y\to T$を、$y\in D$に対して$g(y)=a$、$g(q)=b$と定める。密着位相を終域にもつ写像は連続である（§E2.12 例 1.11）。$\{a\}$は有限であるから§E2.19 例 2.3により$T$のコンパクト部分集合であり、$g^{-1}(\{a\})=D$である。(2)で示したとおり、部分空間$D$はコンパクトでない。したがって$Y$はコンパクトであるにもかかわらず$g$は固有でない。▨

証明.$\{y\}\subset Y$はコンパクト部分集合なので主張は固有写像の定義よりただちに従う。▨

証明.$\R$の通常の距離は Euclid 距離の$n=1$の場合であるから、§E2.9 定理 4.3により、$\R$の部分集合がコンパクトであることと有界かつ閉であることは同値である。

$f$が固有であるとし、実数$M>0$をとる。$[-M,M]$は$\R$の有界な閉集合であるから§E2.9 定理 4.3によりコンパクトであり、$f$が固有であることから$L=f^{-1}([-M,M])$は$\R$のコンパクト部分集合である。ふたたび§E2.9 定理 4.3により$L$は有界であるから、$L\subseteq[-R,R]$を満たす実数$R>0$が存在する。$|x|>R$を満たす$x\in\R$は$L$に属さないから$|f(x)|>M$である。

逆に、判定の条件が成り立つとし、$K\subseteq\R$をコンパクト部分集合とする。§E2.9 定理 4.3により$K$は有界かつ閉であるから、$K\subseteq[-M,M]$を満たす実数$M>0$が存在する。条件が与える実数$R>0$をとると、$|x|>R$を満たす$x$について$|f(x)|>M$であり、このとき$f(x)\notin K$である。したがって$f^{-1}(K)\subseteq[-R,R]$であり、$f^{-1}(K)$は有界である。$K$は$\R$の閉集合であり$f$は連続であるから、§E2.12 命題 1.6により$f^{-1}(K)$は$\R$の閉集合である。ゆえに§E2.9 定理 4.3により$f^{-1}(K)$はコンパクトであり、$f$は固有である。▨

証明.(1)を示す。$\mathcal O_{\mathrm s}\subseteq\mathcal O_{\mathrm d}$であるから、§E2.12 命題 5.7 (1)により$\operatorname{id}_S$は連続である。恒等写像は全射である。$S$は有限集合であるから、$(S,\mathcal O_{\mathrm d})$と$(S,\mathcal O_{\mathrm s})$のすべての部分集合は有限であり、§E2.19 例 2.3によりコンパクトである。したがって任意のコンパクト部分集合の逆像はコンパクトであり、$\operatorname{id}_S$は固有である。$\{b\}\in\mathcal O_{\mathrm d}$であるが$\{b\}\notin\mathcal O_{\mathrm s}$であるから$\mathcal O_{\mathrm d}\subseteq\mathcal O_{\mathrm s}$は成り立たず、§E2.12 命題 5.7 (2)により$\operatorname{id}_S$は閉写像でない。

(2)を示す。$P$の位相は$\{\emptyset,P\}$であり、$c_X^{-1}(\emptyset)=\emptyset$と$c_X^{-1}(P)=X$はともに$X$の開集合であるから、$c_X$は連続である。$X$は空でないから$c_X$は全射である。$X$の閉集合$F$に対して$c_X(F)$は$F=\emptyset$ならば$\emptyset$、$F\neq\emptyset$ならば$P$であり、いずれも$P$の閉集合であるから$c_X$は閉写像である。$X$は無限な離散空間であるから§E2.19 例 2.9によりコンパクトでなく、命題 1.2 (2)により$c_X$は固有でない。

(3)を示す。離散位相では$A=\{a\}$は$S$の閉集合であるから、命題 1.2 (3)により$\iota_A$は固有かつ閉写像である。$b\notin\iota_A(A)=\{a\}$であるから$\iota_A$は全射でない。▨

証明.$f$と$g$は全射であるから、§E1.1 命題 3.5により$g\circ f$は全射である。$f$と$g$は閉写像であるから、§E2.12 命題 5.3により$g\circ f$は閉写像である。$f$と$g$は固有であるから、命題 1.4により$g\circ f$は固有であり、とくに連続である。▨

証明.$f$は連続であるから、§E2.12 補題 5.6 (1)により$g$は連続である。

$B\subset f(X)$であるから、§E1.1 命題 4.9により$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)=B$である。$g(A)=f(f^{-1}(B))$であるから$g(A)=B$であり、$g$は全射である。

$K\subseteq B$を部分空間$B$のコンパクト部分集合とする。§E2.19 補題 2.7により$K$は$Y$のコンパクト部分集合である。$f$は固有であるから$f^{-1}(K)$は$X$のコンパクト部分集合である。$K\subseteq B$から$f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}(B)=A$であり、§E2.19 補題 2.7により$f^{-1}(K)$は$A$のコンパクト部分集合である。$g^{-1}(K)=f^{-1}(K)$であるから、$g^{-1}(K)$は$A$のコンパクト部分集合である。

$f$は閉写像であるから、§E2.12 補題 5.6 (3)により$g$は閉写像である。以上により$g$は完全である。▨

証明.(1)を示す。$U_A=\bigcup_{i\in A}U_i$は開集合なので、$X\setminus U_A$は閉集合であり、$f$が閉写像であることから$f(X\setminus U_A)$は$Y$の閉集合である。よって$V_A = Y\setminus f(X\setminus U_A)$は開集合である。さらに$f(X\setminus U_A)\subset Y\setminus V_A$であるから、$X\setminus U_A\subset f^{-1}(Y\setminus V_A) = X\setminus f^{-1}(V_A)$であり、よって$f^{-1}(V_A)\subset U_A$が成り立つ。

(2)を示す。$y\in Y$を任意にとれば、$f$が固有写像であることから、$f^{-1}(y)\subset X$はコンパクト部分集合である。よってある$A_y\in [I]^{<\infty}$が存在して$f^{-1}(y)\subset U_{A_y}$が成り立つ。このとき$y\in V_{A_y}$である。これは$f(\mathcal{U})$が$Y$の被覆であることを意味している。

(3)を示す。点$y\in Y$と開近傍$y\in V\subset Y$を任意に取る。$\mathcal{U}$は開基なので、任意の点$x\in f^{-1}(y)$に対して$x\in U_{i_x}\subset f^{-1}(V)$となる$i_x\in I$が存在する。$f^{-1}(y)$はコンパクトなので、有限部分集合$A_y\subset \{i_x\mid x\in f^{-1}(y)\}\subset I$が存在して$f^{-1}(y)\subset \bigcup_{i\in A_y}U_i$が成り立つ。ここで$A_y$の取り方から、任意の$i\in A_y$に対して$U_i\subset f^{-1}(V)$が成り立つので、よって$f^{-1}(y)\subset U_A\subset f^{-1}(V)$となる。これは$y\in V_A\subset V$を示していて、よって$f(\mathcal{U})$は$Y$の開基である。▨

証明.§E2.13 定義 5.7により、$\lvert I\rvert=w(X)$を満たす添字集合$I$で添字づけた$X$の開基$\mathcal U=(U_i)_{i\in I}$をとる。補題 3.1 (3)により$f(\mathcal U)=(V_A)_{A\in[I]^{<\infty}}$は$Y$の開基である。$I$が有限ならば$[I]^{<\infty}$は有限であり、$I$が無限ならば§E1.22 補題 6.3により$\lvert[I]^{<\infty}\rvert=\lvert I\rvert$である。$A\mapsto V_A$は$[I]^{<\infty}$から開基$\{V_A\mid A\in[I]^{<\infty}\}$への全射であり、§E1.20 系 2.4 (2)が与える切断は単射であるから、この開基の濃度は$\max\{w(X),\aleph_0\}$以下である。ゆえに§E2.13 定義 5.7により$w(Y)\leq\max\{w(X),\aleph_0\}$である。後半は§E2.13 命題 5.8による。▨

証明.$C=\emptyset$のときは$U=\emptyset$、$V=Z$とおけばよい。以下では$C\neq\emptyset$とする。

とおく。$x\in C$をとると$(x,z)\in C\times\{z\}\subseteq N$である。§E2.14 補題 1.11と§E2.13 命題 1.2により、$x\in U'$、$z\in V'$、$U'\times V'\subseteq N$を満たす$X$の開集合$U'$と$Z$の開集合$V'$が存在する。したがって$U'\in\mathcal U$であり、$\mathcal U$は$C$を覆う。

$C$はコンパクトであるから、§E2.19 命題 2.6により、$C\subseteq U_1\cup\cdots\cup U_n$を満たす$U_1,\ldots,U_n\in\mathcal U$が存在する。$C\neq\emptyset$であるから$n\geq1$である。各$i$に対して$z\in V_i$と$U_i\times V_i\subseteq N$を満たす$Z$の開集合$V_i$を§E1.18 補題 2.6により同時にとり、

とおく。§E2.11 定義 1.1により$U$と$V$は開集合であり、$C\subseteq U$かつ$z\in V$である。$(x,w)\in U\times V$をとると、$x\in U_i$を満たす$i$が存在し、$w\in V\subseteq V_i$であるから$(x,w)\in U_i\times V_i\subseteq N$である。ゆえに$U\times V\subseteq N$である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。$Z$を位相空間、$A$を$X\times Z$の閉集合とし、$z\in Z\setminus\operatorname{pr}_Z(A)$をとる。任意の$x\in X$に対して$(x,z)\notin A$であるから、$N=(X\times Z)\setminus A$は$X\times\{z\}$を含む開集合である。$X$はコンパクトであるから、補題 4.1を$C=X$に適用して、$X\subseteq U$と$z\in V$を満たす開集合$U\subseteq X$、$V\subseteq Z$で$U\times V\subseteq N$を満たすものを得る。$U\subseteq X$とあわせて$U=X$であるから$(X\times V)\cap A=\emptyset$である。$w\in V\cap\operatorname{pr}_Z(A)$とすると$(x,w)\in A$を満たす$x\in X$が存在し、$(x,w)\in X\times V$となって$(X\times V)\cap A=\emptyset$に反する。したがって$V\subseteq Z\setminus\operatorname{pr}_Z(A)$である。$z$は任意であったから、§E2.11 補題 2.6により$Z\setminus\operatorname{pr}_Z(A)$は開集合であり、$\operatorname{pr}_Z(A)$は$Z$の閉集合である。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。$\Lambda$を空でない集合、$(F_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$を有限交差性をもつ$X$の閉集合の族とし、$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda=\emptyset$であると仮定する。

とおく。$\mathcal D$の各元は有限個の閉集合の共通部分であるから$X$の閉集合であり、有限交差性により空でない。$\Lambda\neq\emptyset$であるから$\mathcal D\neq\emptyset$であり、$\mathcal D$の二つの元の共通部分はふたたび$\mathcal D$の元である。また、添字を一つだけとる場合を含むことから$\bigcap_{D\in\mathcal D}D=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda=\emptyset$である。

$X$に属さない元$\infty$を一つとり、$Z=X\cup\{\infty\}$とおく。$Z$の部分集合の族を

と定める。$\infty\notin\emptyset$であるから$\emptyset\in\mathcal O_Z$であり、$\mathcal D$は空でなく、その元$D$は$D\subseteq Z$を満たすから$Z\in\mathcal O_Z$である。$\mathcal O_Z$の元からなる族の和集合が$\infty$を含むならば、$\infty$を含む元$W$があり、$D\subseteq W$を満たす$D\in\mathcal D$が和集合に含まれる。$\mathcal O_Z$の二つの元$W_1$、$W_2$の共通部分が$\infty$を含むならば、$D_1\subseteq W_1$と$D_2\subseteq W_2$を満たす$D_1,D_2\in\mathcal D$をとると$D_1\cap D_2\in\mathcal D$かつ$D_1\cap D_2\subseteq W_1\cap W_2$である。したがって§E2.11 定義 1.1により$\mathcal O_Z$は$Z$の位相である。とくに、各$D\in\mathcal D$に対して$\{\infty\}\cup D$は$\infty$を含む$Z$の開集合である。

$\Delta=\{(t,t)\mid t\in X\}\subseteq X\times Z$とおき、$A=\overline{\Delta}$とする。$x\in X$をとると、$\bigcap_{D\in\mathcal D}D=\emptyset$から$x\notin D$を満たす$D\in\mathcal D$が存在する。$D$は$X$の閉集合であるから$U=X\setminus D$は$X$の開集合であり$x\in U$である。$W=\{\infty\}\cup D$とおくと$U\times W$は$(x,\infty)$を含む$X\times Z$の開集合である（§E2.14 補題 1.11）。$(t,t)\in U\times W$を満たす$t\in X$があるとすると、$t\in W$と$t\neq\infty$から$t\in D$であり、$t\in U=X\setminus D$と両立しない。したがって$(U\times W)\cap\Delta=\emptyset$であり、§E2.11 命題 7.2 (2)により$(x,\infty)\notin A$である。

$x$は$X$の任意の元であったから$A\cap(X\times\{\infty\})=\emptyset$であり、$\operatorname{pr}_Z(A)\subseteq Z\setminus\{\infty\}=X$である。一方$\Delta\subseteq A$から$X=\operatorname{pr}_Z(\Delta)\subseteq\operatorname{pr}_Z(A)$である。ゆえに$\operatorname{pr}_Z(A)=X$である。$A$は$X\times Z$の閉集合であるから、仮定(2)により$X$は$Z$の閉集合である。他方$Z\setminus X=\{\infty\}$であり、$\mathcal D$の元はすべて空でない$X$の部分集合であるから$D\subseteq\{\infty\}$を満たす$D\in\mathcal D$は存在せず、$\{\infty\}$は$\mathcal O_Z$に属さない。したがって$X$は$Z$の閉集合でなく、これは$X$が$Z$の閉集合であることと両立しない。

ゆえに$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda\neq\emptyset$であり、§E2.19 定理 3.2により$X$はコンパクトである。▨

証明.§E2.12 命題 3.3 (1)を§E2.14 定義 1.9の始位相へ適用すると、$\operatorname{pr}_X$は連続である。

$\operatorname{pr}_X$が閉写像であることを示す。$A$を$X\times K$の閉集合とし、$x\in X\setminus\operatorname{pr}_X(A)$をとる。任意の$k\in K$に対して$(x,k)\notin A$であるから、$N=(X\times K)\setminus A$は$\{x\}\times K$を含む$X\times K$の開集合である。$K$はコンパクトであるから、§E2.19 補題 5.1により$x\in W$かつ$W\times K\subseteq N$を満たす$X$の開集合$W$が存在する。$w\in W\cap\operatorname{pr}_X(A)$とすると$(w,k)\in A$を満たす$k\in K$が存在し、$(w,k)\in W\times K\subseteq N$となって$N\cap A=\emptyset$と両立しない。ゆえに$W\subseteq X\setminus\operatorname{pr}_X(A)$であり、$x$は任意であったから、§E2.11 補題 2.6により$X\setminus\operatorname{pr}_X(A)$は開集合であって、$\operatorname{pr}_X(A)$は$X$の閉集合である。

$\operatorname{pr}_X$が固有であることを示す。$C\subseteq X$をコンパクト部分集合とすると$\operatorname{pr}_X^{-1}(C)=C\times K$である。§E2.14 補題 1.13により、$C\times K$が$X\times K$から受ける部分空間位相は、部分空間$C$と$K$の積位相に一致する。部分空間$C$と$K$はいずれもコンパクト空間であるから、§E2.19 定理 5.3によりこの積位相を入れた$C\times K$はコンパクトであり、§E2.19 定義 2.1により$C\times K$は$X\times K$のコンパクト部分集合である。ゆえに$\operatorname{pr}_X$は固有である。▨

証明.$f$は連続であるから、§E2.12 補題 5.6 (1)により$g$は連続である。

$Z$を位相空間とする。$(x,z)\in X\times Z$に対して$(f\times\operatorname{id}_Z)(x,z)=(f(x),z)\in B\times Z$であることと$f(x)\in B$であること、すなわち$x\in A$であることは同値であるから、

である。また$(a,z)\in A\times Z$に対して$(g\times\operatorname{id}_Z)(a,z)=(g(a),z)=(f(a),z)=(f\times\operatorname{id}_Z)(a,z)$であるから、$g\times\operatorname{id}_Z$は$f\times\operatorname{id}_Z$の値域と終域を上の全逆像と$B\times Z$へ制限した写像である。

§E2.14 補題 1.13により、$A\times Z$の積位相は$X\times Z$から定まる部分空間位相に一致し、$B\times Z$の積位相は$Y\times Z$から定まる部分空間位相に一致する。$f$は普遍閉であるから$f\times\operatorname{id}_Z$は閉写像であり、§E2.12 補題 5.6 (3)により$g\times\operatorname{id}_Z$は閉写像である。$Z$は任意であったから$g$は普遍閉である。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(3)を示す。$Z$を位相空間、$A$を$X\times Z$の閉集合とし、$(y,z)\in(Y\times Z)\setminus(f\times\operatorname{id}_Z)(A)$をとる。仮定により$C=f^{-1}(\{y\})$は$X$のコンパクト部分集合である。$x\in C$に対して$(x,z)\in A$であるとすると$(f\times\operatorname{id}_Z)(x,z)=(y,z)$となって$(y,z)$の取り方に反するから、$C\times\{z\}$は$N=(X\times Z)\setminus A$に含まれる。$N$は開集合であるから、補題 4.1により、$C\subseteq U$と$z\in V$を満たす開集合$U\subseteq X$、$V\subseteq Z$で$U\times V\subseteq N$、すなわち$(U\times V)\cap A=\emptyset$を満たすものが存在する。

$W=Y\setminus f(X\setminus U)$とおく。$f$が閉写像であることから$f(X\setminus U)$は$Y$の閉集合であり、$W$は$Y$の開集合である。$y\in f(X\setminus U)$とすると$f(x)=y$を満たす$x\in X\setminus U$が存在し、$x\in C\subseteq U$となって$x\notin U$と両立しないから、$y\in W$である。また$f(x)\in W$かつ$x\notin U$とすると$f(x)\in f(X\setminus U)$となって$f(x)\in W$と両立しないから、$f^{-1}(W)\subseteq U$である。

$(y',z')\in(W\times V)\cap(f\times\operatorname{id}_Z)(A)$とすると、$(x,z')\in A$かつ$f(x)=y'$を満たす$x\in X$が存在する。$y'\in W$から$x\in f^{-1}(W)\subseteq U$であり、$z'\in V$とあわせて$(x,z')\in U\times V$となる。これは$(U\times V)\cap A=\emptyset$と両立しない。$W$は$Y$の開集合、$V$は$Z$の開集合であるから、$W\times V$は$Y\times Z$の開集合である（§E2.14 補題 1.11）。したがって$W\times V$は$(f\times\operatorname{id}_Z)(A)$と交わらない$(y,z)$の開近傍である。$(y,z)$は任意であったから、§E2.11 補題 2.6により$(Y\times Z)\setminus(f\times\operatorname{id}_Z)(A)$は開集合であり、$(f\times\operatorname{id}_Z)(A)$は閉集合である。$Z$は任意であったから$f$は普遍閉である。