§E2.37継承的商写像と双商写像

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商写像は、終域の部分集合が開集合であることを逆像によって特徴づける、位相空間論において広く仮定される基本的な写像のクラスの一つである。しかし、商写像であることは、いくつかの標準的な操作で失われる。実数直線上で有理数の全体を一点につぶす写像は商写像であるが、終域のある部分集合の全逆像への制限は商写像でない。また、商写像と恒等写像の直積は商写像とは限らない。

継承的商写像は、終域の任意の部分集合について、その全逆像への制限がつねに商写像であることを課すことでこの不足を埋める条件であり、普遍商写像は、任意の空間との直積を取っても商写像であることが失われないことを課す条件である。二つの条件は、いずれも商写像であることが特定の操作で失われないという形をしており、写像そのものの形を直接には指定しない。双商写像は、点の全逆像を覆う開集合をただ一つ取る代わりに、開被覆から有限個を取り出せることを課す条件であり、これは写像そのものを見る条件である。終域が Hausdorff 空間であるとき、普遍商写像であることと双商写像であることは一致する。

これらの条件の違いは、恒等写像との直積を取っても商写像であることを保つために、直積の相手の空間へ課すべき条件を分ける。商写像については局所コンパクト性が、継承的商写像については各点が最小の開近傍をもつことがその条件であり、双商写像については条件が要らない。

本記事では、三つの定義を導入して相互の関係を調べ、開写像・完全写像・閉写像との関係、恒等写像との直積による保存、代表的な例、および合成と制限による保存について解説する。

1 継承的商写像と普遍商写像

定義 1.1. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、qqが 継承的商写像 (hereditarily quotient map) であるとは、任意の部分集合B⊆YB\subseteq Yに対して、q−1(B)q^{-1}(B)とBBに部分空間位相を入れたとき、値域と終域を制限した写像

qB ⁣:q−1(B)→B,qB(x)=q(x)q_B\colon q^{-1}(B)\to B,\qquad q_B(x)=q(x)

が商写像であることをいう。

注意 1.2.定義 1.1のqBq_Bは、§E2.12 補題 5.6 (1)により連続であり、qqが全射であることから§E1.1 命題 4.10 (3)によりqB(q−1(B))=q(q−1(B))=Bq_B(q^{-1}(B))=q(q^{-1}(B))=Bを満たすので全射である。したがって定義が課しているのは、qBq_Bによる逆像がq−1(B)q^{-1}(B)の開集合であるようなBBの部分集合がBBの開集合である、という残りの半分だけである。継承的商写像は英語の文献では pseudo-open map の名でも呼ばれる。閉包が点列で尽くされる空間を距離空間の継承的商像として特徴づける議論は「列型空間」が扱う。

定理 1.3. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yについて、次の三条件は同値である。内部はYYの位相に関してとり、閉包は各部分集合が属するXXまたはYYの位相に関してとる。

  1. qqは継承的商写像である。
  2. 任意のy∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uを満たすXXの任意の開集合UUに対してy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}が成り立つ。
  3. 任意のB⊆YB\subseteq Yに対してB‾=q(q−1(B)‾)\tpcl{B}=q\bigl(\tpcl{q^{-1}(B)}\bigr)が成り立つ。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。y∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uを満たすXXの開集合UUをとり、

B=(Y∖q(U))∪{y},A=q−1(B)B=(Y\setminus q(U))\cup\{y\},\qquad A=q^{-1}(B)

とおく。qqは全射であるからq−1({y})q^{-1}(\{y\})は空でなく、その元xxはUUに属するのでy=q(x)∈q(U)y=q(x)\in q(U)である。x′∈A∩Ux'\in A\cap Uとするとq(x′)∈q(U)q(x')\in q(U)かつq(x′)∈Bq(x')\in Bであるからq(x′)=yq(x')=yであり、x′∈q−1({y})x'\in q^{-1}(\{y\})である。逆にy∈By\in Bとq−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uからq−1({y})⊆A∩Uq^{-1}(\{y\})\subseteq A\cap Uである。ゆえにA∩U=q−1({y})A\cap U=q^{-1}(\{y\})であり、§E2.12 定義 4.1によりこれは部分空間AAの開集合である。

qB−1({y})=q−1({y})q_B^{-1}(\{y\})=q^{-1}(\{y\})であるから、qBq_Bが商写像であることにより{y}\{y\}は部分空間BBの開集合であり、§E2.12 定義 4.1によりV∩B={y}V\cap B=\{y\}を満たすYYの開集合VVが存在する。V∩(Y∖q(U))⊆V∩B={y}V\cap(Y\setminus q(U))\subseteq V\cap B=\{y\}であり、y∈q(U)y\in q(U)からy∉Y∖q(U)y\notin Y\setminus q(U)であるからV∩(Y∖q(U))=∅V\cap(Y\setminus q(U))=\emptysetであり、V⊆q(U)V\subseteq q(U)である。VVはq(U)q(U)に含まれる開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりV⊆int⁡(q(U))V\subseteq\tpint{q(U)}であり、y∈Vy\in Vとあわせてy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}が従う。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。B⊆YB\subseteq Yとし、A=q−1(B)A=q^{-1}(B)とおく。注意 1.2によりqBq_Bは連続な全射であるから、W⊆BW\subseteq BがBBの開集合ならばqB−1(W)q_B^{-1}(W)はAAの開集合である。

逆にqB−1(W)q_B^{-1}(W)がAAの開集合であるとし、y∈Wy\in Wをとる。§E2.12 定義 4.1によりqB−1(W)=U∩Aq_B^{-1}(W)=U\cap Aを満たすXXの開集合UUが存在する。W⊆BW\subseteq Bからq−1(W)⊆q−1(B)=Aq^{-1}(W)\subseteq q^{-1}(B)=Aでありq−1(W)=qB−1(W)q^{-1}(W)=q_B^{-1}(W)であるから、y∈Wy\in Wとあわせてq−1({y})⊆qB−1(W)⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq q_B^{-1}(W)\subseteq Uである。仮定によりy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}である。z∈q(U)∩Bz\in q(U)\cap Bとするとq(x)=zq(x)=zを満たすx∈Ux\in Uが存在し、z∈Bz\in Bからx∈q−1(B)=Ax\in q^{-1}(B)=Aであるのでx∈U∩A=qB−1(W)x\in U\cap A=q_B^{-1}(W)であり、z=q(x)∈Wz=q(x)\in Wである。ゆえに

int⁡(q(U))∩B⊆q(U)∩B⊆W\tpint{q(U)}\cap B\subseteq q(U)\cap B\subseteq W

である。int⁡(q(U))\tpint{q(U)}はYYの開集合であるから、§E2.12 定義 4.1によりint⁡(q(U))∩B\tpint{q(U)}\cap Bはyyを含むBBの開集合である。yyは任意であったから、§E2.11 補題 2.6によりWWはBBの開集合である。したがってqBq_Bは商写像であり、BBは任意であったからqqは継承的商写像である。

(2)を仮定し、B⊆YB\subseteq Yとする。qqは連続な全射であるから、§E2.12 命題 1.7 (2)により

q(q−1(B)‾)⊆q(q−1(B))‾=B‾q\bigl(\tpcl{q^{-1}(B)}\bigr)\subseteq\tpcl{q(q^{-1}(B))}=\tpcl{B}

である。y∈Y∖q(q−1(B)‾)y\in Y\setminus q\bigl(\tpcl{q^{-1}(B)}\bigr)とし、U=X∖q−1(B)‾U=X\setminus\tpcl{q^{-1}(B)}とおく。UUはq−1({y})q^{-1}(\{y\})を含む開集合であるから、仮定によりy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}である。U∩q−1(B)=∅U\cap q^{-1}(B)=\emptysetよりq(U)∩B=∅q(U)\cap B=\emptysetであり、yyはBBと交わらない開近傍をもつ。§E2.11 命題 7.2 (2)によりy∉B‾y\notin\tpcl{B}である。したがって逆の包含も成り立ち、(3)を得る。

(3)を仮定し、y∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uを満たすXXの開集合UUをとる。B=Y∖q(U)B=Y\setminus q(U)とおくとq−1(B)⊆X∖Uq^{-1}(B)\subseteq X\setminus Uであり、X∖UX\setminus Uは閉集合であるからq−1(B)‾⊆X∖U\tpcl{q^{-1}(B)}\subseteq X\setminus Uである。よってq−1(B)‾\tpcl{q^{-1}(B)}はq−1({y})q^{-1}(\{y\})と交わらず、仮定によりy∉q(q−1(B)‾)=B‾y\notin q\bigl(\tpcl{q^{-1}(B)}\bigr)=\tpcl{B}である。§E2.11 命題 2.5 (3)によりy∈Y∖B‾=int⁡(q(U))y\in Y\setminus\tpcl{B}=\tpint{q(U)}であり、(2)を得る。▨

定義 1.4 (普遍商写像). 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、qqが 普遍商写像 (universal quotient map) である、またはqqが普遍商であるとは、任意の位相空間ZZに対して

q×id⁡Z ⁣:X×Z→Y×Zq\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Z

が商写像であることをいう。ここでq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは§E2.20 定義 5.1で定めた写像であり、直積には積位相を入れる。

注意 1.5.定義 1.1と定義 1.4は、いずれも「qqが商写像であることが、ある操作によって失われない」という形の条件である。前者が課す操作は、終域の部分集合をとってその全逆像へ制限することであり、後者が課す操作は、任意の空間との直積をとることである。どちらの条件もqq自身の像や逆像の形を直接には指定せず、qqから作られる別の写像がふたたび商写像であることだけを要求する。

二つの要請は一般には互いに他を含意しない。例 2.4のqqは普遍商写像であって継承的商写像でなく、例 6.2のqqは例 6.2 (1)により継承的商写像であって、例 6.2 (4)により普遍商写像でない。終域が Hausdorff 空間である場合には、定理 2.3 (3)と命題 4.1 (1)により普遍商写像は継承的商写像である。

2 双商写像

定義 2.1. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、qqが 双商写像 (biquotient map) であるとは、任意のy∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆⋃i∈IUiq^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iを満たすXXの開集合の任意の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}に対して、有限部分集合I0⊆II_0\subseteq Iで

y∈int⁡(⋃i∈I0q(Ui))y\in\tpint{\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)}

を満たすものが存在することをいう。

注意 2.2.§E1.2 定理 4.2により、有限部分集合I0⊆II_0\subseteq Iに対して⋃i∈I0q(Ui)=q(⋃i∈I0Ui)\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)=q\bigl(\bigcup_{i\in I_0}U_i\bigr)が成り立つ。したがって定義 2.1が要求しているのは、q−1({y})q^{-1}(\{y\})を覆う開集合の族から有限部分族を選び、その合併UUについてy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}が成り立つようにできることである。一方定理 1.3 (2)が要求しているのは、q−1({y})q^{-1}(\{y\})を含む一つの開集合UUについて同じ結論が成り立つことであり、族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}が与えられたときにこれを適用して得られるのは合併⋃i∈IUi\bigcup_{i\in I}U_iについての結論だけである。二つの条件の違いは、被覆全体の合併しか使えないか、有限部分族の合併まで縮めることができるかというこの一点だけである。双商写像の条件は写像そのものの上で述べられており、定義 1.1や定義 1.4のように、qqから作られる別の写像へ条件を移していない。

定理 2.3. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yについて、次が成り立つ。

  1. qqが普遍商写像ならば、qqは商写像である。
  2. qqが双商写像ならば、qqは普遍商写像である。
  3. YYが Hausdorff 空間であり、qqが普遍商写像ならば、qqは双商写像である。

証明.(1)を示す。P={p}P=\{p\}を一点からなる位相空間とし、V⊆YV\subseteq Yについてq−1(V)q^{-1}(V)がXXの開集合であるとする。(q×id⁡P)−1(V×P)=q−1(V)×P(q\times\operatorname{id}_P)^{-1}(V\times P)=q^{-1}(V)\times Pであり、§E2.14 補題 1.11によりこれはX×PX\times Pの開集合である。仮定によりq×id⁡Pq\times\operatorname{id}_Pは商写像であるから、V×PV\times PはY×PY\times Pの開集合である。§E2.14 補題 1.14の写像sY ⁣:Y→Y×Ps_Y\colon Y\to Y\times P、sY(y)=(y,p)s_Y(y)=(y,p)は連続でありsY−1(V×P)=Vs_Y^{-1}(V\times P)=Vであるから、VVはYYの開集合である。qqは連続であるから逆向きの含意も成り立ち、qqは商写像である。

(2)を示す。qqを双商写像、ZZを位相空間とする。§E2.14 補題 1.20によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは連続な全射であるから、S⊆Y×ZS\subseteq Y\times ZについてA=(q×id⁡Z)−1(S)A=(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(S)がX×ZX\times Zの開集合であるときSSがY×ZY\times Zの開集合であることを示せばよい。

(y,z)∈S(y,z)\in Sをとる。x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})に対して(q×id⁡Z)(x,z)=(y,z)∈S(q\times\operatorname{id}_Z)(x,z)=(y,z)\in Sであるから(x,z)∈A(x,z)\in Aであり、AAは開集合であるから、§E2.14 補題 1.11によりx∈Uxx\in U_x、z∈Wxz\in W_x、Ux×Wx⊆AU_x\times W_x\subseteq Aを満たすXXの開集合UxU_xとZZの開集合WxW_xが存在する。族(Ux)x∈q−1({y})(U_x)_{x\in q^{-1}(\{y\})}はq−1({y})q^{-1}(\{y\})を覆うXXの開集合の族であるから、qqが双商写像であることにより、有限部分集合E⊆q−1({y})E\subseteq q^{-1}(\{y\})でy∈int⁡(⋃x∈Eq(Ux))y\in\tpint{\bigcup_{x\in E}q(U_x)}を満たすものが存在する。E=∅E=\emptysetとすると§E2.11 命題 2.5 (1)によりint⁡(∅)⊆∅\tpint{\emptyset}\subseteq\emptysetであってy∈int⁡(∅)y\in\tpint{\emptyset}は成り立たないから、E≠∅E\neq\emptysetである。V=int⁡(⋃x∈Eq(Ux))V=\tpint{\bigcup_{x\in E}q(U_x)}、W=⋂x∈EWxW=\bigcap_{x\in E}W_xとおくと、VVはyyを含むYYの開集合であり、WWは有限個の開集合の共通部分であるからzzを含むZZの開集合である。

V×W⊆SV\times W\subseteq Sを示す。(y′,z′)∈V×W(y',z')\in V\times Wをとる。§E2.11 命題 2.5 (1)によりV⊆⋃x∈Eq(Ux)V\subseteq\bigcup_{x\in E}q(U_x)であるから、y′∈q(Ux)y'\in q(U_x)を満たすx∈Ex\in Eが存在し、q(x′)=y′q(x')=y'を満たすx′∈Uxx'\in U_xが存在する。z′∈W⊆Wxz'\in W\subseteq W_xであるから(x′,z′)∈Ux×Wx⊆A(x',z')\in U_x\times W_x\subseteq Aであり、(y′,z′)=(q×id⁡Z)(x′,z′)∈S(y',z')=(q\times\operatorname{id}_Z)(x',z')\in Sである。V×WV\times Wは§E2.14 補題 1.11により(y,z)(y,z)を含むY×ZY\times Zの開集合であり、(y,z)(y,z)は任意であったから、§E2.11 補題 2.6によりSSは開集合である。ZZは任意であったからqqは普遍商写像である。

(3)を示す。YYを Hausdorff 空間、qqを普遍商写像とし、qqが双商写像でないと仮定して矛盾を導く。仮定により、y∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆⋃i∈IUiq^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iを満たすXXの開集合の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}であって、IIの任意の有限部分集合GGに対してy∉int⁡(q(UG))y\notin\tpint{q(U_G)}を満たすものが存在する。ここでUG=⋃i∈GUiU_G=\bigcup_{i\in G}U_iと書いた。

空間ZZを構成する。P\mathcal PをIIの有限部分集合の全体とし、

T={(G,y′)∈P×Y∣y′∉q(UG)}T=\{(G,y')\in\mathcal P\times Y\mid y'\notin q(U_G)\}

とおく。TTに属さない元∞\inftyを一つとり、Z=T∪{∞}Z=T\cup\{\infty\}とおく。F∈PF\in\mathcal Pと、yyを含まないYYの閉集合KKの組(F,K)(F,K)に対して

NF,K={∞}∪{(G,y′)∈T∣G⊇F, y′∉K}N_{F,K}=\{\infty\}\cup\{(G,y')\in T\mid G\supseteq F,\ y'\notin K\}

とおき、OZ\mathcal O_Zを、∞\inftyを含まないZZの部分集合の全体と、∞\inftyを含み、ある組(F,K)(F,K)についてNF,KN_{F,K}を含むZZの部分集合の全体との和集合とする。OZ\mathcal O_ZがZZの位相であることを確かめる。∅\emptysetは∞\inftyを含まないのでOZ\mathcal O_Zに属し、∅\emptysetはyyを含まない閉集合であるからZ=N∅,∅Z=N_{\emptyset,\emptyset}もOZ\mathcal O_Zに属する。OZ\mathcal O_Zの部分族の和集合は、どの元も∞\inftyを含まなければ∞\inftyを含まず、ある元が∞\inftyを含めばその元が含むNF,KN_{F,K}を含むので、いずれの場合にもOZ\mathcal O_Zに属する。W1,W2∈OZW_1,W_2\in\mathcal O_Zについて、一方が∞\inftyを含まなければW1∩W2W_1\cap W_2は∞\inftyを含まない。ともに∞\inftyを含む場合にはNF1,K1⊆W1N_{F_1,K_1}\subseteq W_1、NF2,K2⊆W2N_{F_2,K_2}\subseteq W_2をとると、F1∪F2F_1\cup F_2はIIの有限部分集合であり、K1∪K2K_1\cup K_2はyyを含まないYYの閉集合であって、G⊇F1∪F2G\supseteq F_1\cup F_2かつy′∉K1∪K2y'\notin K_1\cup K_2ならば(G,y′)(G,y')はNF1,K1N_{F_1,K_1}とNF2,K2N_{F_2,K_2}の両方に属するから、NF1∪F2,K1∪K2⊆W1∩W2N_{F_1\cup F_2,K_1\cup K_2}\subseteq W_1\cap W_2である。ゆえにOZ\mathcal O_ZはZZの位相である。この位相について、TTの各点ttに対して{t}\{t\}は開集合であり、各NF,KN_{F,K}は∞\inftyを含む開集合である。

S={(y′,(G,y′))∣(G,y′)∈T}⊆Y×ZS=\{(y',(G,y'))\mid (G,y')\in T\}\subseteq Y\times Z

とおき、(y,∞)(y,\infty)がSSの閉包に属することを示す。SSの各元の第二成分はTTに属するから(y,∞)∉S(y,\infty)\notin Sである。(y,∞)(y,\infty)を含むY×ZY\times Zの開集合RRをとる。§E2.14 補題 1.11により(y,∞)∈V×W⊆R(y,\infty)\in V\times W\subseteq Rを満たすYYの開集合VVとZZの開集合WWが存在し、WWは∞\inftyを含むからNF,K⊆WN_{F,K}\subseteq Wを満たす組(F,K)(F,K)をとることができる。V∩(Y∖K)V\cap(Y\setminus K)はyyを含むYYの開集合である。V∩(Y∖K)⊆q(UF)V\cap(Y\setminus K)\subseteq q(U_F)とすると、§E2.11 命題 2.5 (1)によりV∩(Y∖K)⊆int⁡(q(UF))V\cap(Y\setminus K)\subseteq\tpint{q(U_F)}となってy∉int⁡(q(UF))y\notin\tpint{q(U_F)}に反する。ゆえにy′∈V∩(Y∖K)y'\in V\cap(Y\setminus K)かつy′∉q(UF)y'\notin q(U_F)を満たすy′∈Yy'\in Yが存在する。このとき(F,y′)∈T(F,y')\in Tであり、F⊇FF\supseteq Fかつy′∉Ky'\notin Kから(F,y′)∈NF,K⊆W(F,y')\in N_{F,K}\subseteq Wであるので、(y′,(F,y′))∈S∩(V×W)⊆S∩R(y',(F,y'))\in S\cap(V\times W)\subseteq S\cap Rである。RRは任意であったから、(y,∞)(y,\infty)を含むY×ZY\times Zの開集合はいずれもSSと交わる。(y,∞)(y,\infty)の任意の近傍は(y,∞)(y,\infty)を含む開集合を含むから、§E2.11 命題 7.2 (2)により(y,∞)∈S‾(y,\infty)\in\overline{S}であり、(y,∞)∉S(y,\infty)\notin SとあわせてS‾≠S\overline S\neq Sである。ゆえに§E2.11 命題 2.5 (2)によりSSはY×ZY\times Zの閉集合でない。

A=(q×id⁡Z)−1(S)A=(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(S)がX×ZX\times Zの閉集合であることを示す。(x,z)∈X×Z(x,z)\in X\times Zについて、(x,z)∈A(x,z)\in Aであることと、z=(G,y′)∈Tz=(G,y')\in Tかつq(x)=y′q(x)=y'であることは同値である。(x,z)∈(X×Z)∖A(x,z)\in(X\times Z)\setminus Aをとり、(x,z)(x,z)を含みAAと交わらない開集合を三つの場合に分けて与える。

z=(G,y′)∈Tz=(G,y')\in Tの場合、q(x)≠y′q(x)\neq y'である。YYは Hausdorff 空間であるから§E2.15 定理 1.11 (4)により T1 空間であり、§E2.15 命題 1.5により{y′}\{y'\}はYYの閉集合である。qqは連続であるからU=X∖q−1({y′})U=X\setminus q^{-1}(\{y'\})はxxを含むXXの開集合であり、{z}\{z\}はZZの開集合であるから、§E2.14 補題 1.11によりU×{z}U\times\{z\}は(x,z)(x,z)を含む開集合である。(x′′,z)∈A(x'',z)\in Aならばq(x′′)=y′q(x'')=y'であるからx′′∉Ux''\notin Uであり、(U×{z})∩A=∅(U\times\{z\})\cap A=\emptysetである。

z=∞z=\inftyかつq(x)=yq(x)=yの場合、x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})であるからx∈Ui0x\in U_{i_0}を満たすi0∈Ii_0\in Iが存在する。∅\emptysetはyyを含まない閉集合であるからN{i0},∅N_{\{i_0\},\emptyset}は∞\inftyを含む開集合であり、Ui0×N{i0},∅U_{i_0}\times N_{\{i_0\},\emptyset}は(x,∞)(x,\infty)を含む開集合である。(x′′,(G,y′))∈A(x'',(G,y'))\in Aかつx′′∈Ui0x''\in U_{i_0}かつG⊇{i0}G\supseteq\{i_0\}とすると、y′=q(x′′)∈q(Ui0)⊆q(UG)y'=q(x'')\in q(U_{i_0})\subseteq q(U_G)となって(G,y′)∈T(G,y')\in Tに反する。∞\inftyを第二成分とする点はAAに属さないから、(Ui0×N{i0},∅)∩A=∅(U_{i_0}\times N_{\{i_0\},\emptyset})\cap A=\emptysetである。

z=∞z=\inftyかつq(x)≠yq(x)\neq yの場合、YYは Hausdorff 空間であるから、q(x)∈Oq(x)\in O、y∈V0y\in V_0、O∩V0=∅O\cap V_0=\emptysetを満たすYYの開集合OO、V0V_0が存在する。K=Y∖V0K=Y\setminus V_0はyyを含まないYYの閉集合でありO⊆KO\subseteq Kである。U=q−1(O)U=q^{-1}(O)はxxを含むXXの開集合であり、U×N∅,KU\times N_{\emptyset,K}は(x,∞)(x,\infty)を含む開集合である。(x′′,(G,y′))∈A(x'',(G,y'))\in Aかつx′′∈Ux''\in Uかつy′∉Ky'\notin Kとすると、y′=q(x′′)∈O⊆Ky'=q(x'')\in O\subseteq Kとなって矛盾する。ゆえに(U×N∅,K)∩A=∅(U\times N_{\emptyset,K})\cap A=\emptysetである。

以上により、§E2.11 補題 2.6を(X×Z)∖A(X\times Z)\setminus Aに適用するとAAはX×ZX\times Zの閉集合である。qqは普遍商写像であるからq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは商写像であり、§E1.1 命題 4.4により

(q×id⁡Z)−1((Y×Z)∖S)=(X×Z)∖A(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}\bigl((Y\times Z)\setminus S\bigr)=(X\times Z)\setminus A

はX×ZX\times Zの開集合であるから、(Y×Z)∖S(Y\times Z)\setminus SはY×ZY\times Zの開集合であり、SSは閉集合である。これは前段と両立しない。ゆえにqqは双商写像である。▨

例 2.4.X={1,2,3,4}X=\{1,2,3,4\}に位相{∅,{1,3},X}\{\emptyset,\{1,3\},X\}を入れ、Y={a,b,c}Y=\{a,b,c\}に密着位相を入れる。q ⁣:X→Yq\colon X\to Yを

q(1)=a,q(2)=b,q(3)=q(4)=cq(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=q(4)=c

で定めると、qqは普遍商写像であって、継承的商写像でも双商写像でもない。

証明.{1,3}\{1,3\}と∅\emptyset、XXの和集合と共通部分はこの三つの集合の中に留まるから、{∅,{1,3},X}\{\emptyset,\{1,3\},X\}はXXの位相である。V⊆YV\subseteq Yに対してq−1(V)q^{-1}(V)は{1}\{1\}、{2}\{2\}、{3,4}\{3,4\}のうちVVの元に対応するものの和集合であるから、33と44を同時に含むか同時に含まないかのいずれかである。{1,3}\{1,3\}はこの形でないから、q−1(V)q^{-1}(V)がXXの開集合であることとq−1(V)∈{∅,X}q^{-1}(V)\in\{\emptyset,X\}であることは同値であり、これはV∈{∅,Y}V\in\{\emptyset,Y\}であること、すなわちVVが密着位相の開集合であることと同値である。qqは全射であり、いま示したことにより連続であって商写像である。

qqが普遍商写像であることを示す。ZZを位相空間、S⊆Y×ZS\subseteq Y\times Zとし、A=(q×id⁡Z)−1(S)A=(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(S)がX×ZX\times Zの開集合であるとする。z∈Zz\in Zに対して

Sz={y′∈Y∣(y′,z)∈S},Az={x∈X∣(x,z)∈A}S_z=\{y'\in Y\mid(y',z)\in S\},\qquad A_z=\{x\in X\mid(x,z)\in A\}

とおくとAz=q−1(Sz)A_z=q^{-1}(S_z)である。写像σz ⁣:X→X×Z\sigma_z\colon X\to X\times Z、σz(x)=(x,z)\sigma_z(x)=(x,z)をとると、XXの開集合UUとZZの開集合OOに対してσz−1(U×O)\sigma_z^{-1}(U\times O)は、z∈Oz\in OのときUUであり、z∉Oz\notin Oのとき∅\emptysetであるから、いずれの場合にもXXの開集合である。§E2.14 補題 1.11と§E2.13 命題 2.5 (1)によりσz\sigma_zは連続であり、Az=σz−1(A)A_z=\sigma_z^{-1}(A)はXXの開集合である。前段によりSz∈{∅,Y}S_z\in\{\emptyset,Y\}である。

W={z∈Z∣Sz=Y}W=\{z\in Z\mid S_z=Y\}とおくとS=Y×WS=Y\times Wである。WWがZZの開集合であることを示す。z∈Wz\in Wとすると(1,z)∈A(1,z)\in Aであるから、§E2.14 補題 1.11により(1,z)∈U×O⊆A(1,z)\in U\times O\subseteq Aを満たすXXの開集合UUとZZの開集合OOが存在する。z′∈Oz'\in Oに対して(1,z′)∈A(1,z')\in AであるからAz′≠∅A_{z'}\neq\emptysetであり、Az′=q−1(Sz′)A_{z'}=q^{-1}(S_{z'})とSz′∈{∅,Y}S_{z'}\in\{\emptyset,Y\}からSz′=YS_{z'}=Y、すなわちz′∈Wz'\in Wである。ゆえにO⊆WO\subseteq Wであり、§E2.11 補題 2.6によりWWは開集合である。したがって§E2.14 補題 1.11によりS=Y×WS=Y\times WはY×ZY\times Zの開集合である。§E2.14 補題 1.20によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは連続な全射であるから商写像であり、ZZは任意であったからqqは普遍商写像である。

U={1,3}U=\{1,3\}はq−1({a})={1}q^{-1}(\{a\})=\{1\}を含むXXの開集合であり、q(U)={a,c}q(U)=\{a,c\}である。YYの開集合は∅\emptysetとYYだけであり{a,c}≠Y\{a,c\}\neq Yであるから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりint⁡(q(U))=∅\tpint{q(U)}=\emptysetでありa∉int⁡(q(U))a\notin\tpint{q(U)}である。ゆえに定理 1.3によりqqは継承的商写像でない。またI={0}I=\{0\}、U0=UU_0=Uとおくと(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}はq−1({a})q^{-1}(\{a\})を覆うXXの開集合の族であり、その有限部分集合I0I_0は∅\emptysetか{0}\{0\}であって、int⁡(∅)=∅\tpint{\emptyset}=\emptysetとint⁡(q(U))=∅\tpint{q(U)}=\emptysetのいずれもaaを含まないから、qqは双商写像でない。▨

3 開写像・完全写像・閉写像との関係

命題 3.1. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yが開写像ならば、qqは双商写像である。

証明.y∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆⋃i∈IUiq^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iを満たすXXの開集合の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をとる。qqは全射であるからq(x)=yq(x)=yを満たすx∈Xx\in Xが存在し、x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})であるからx∈Ui0x\in U_{i_0}を満たすi0∈Ii_0\in Iが存在する。qqは開写像であるからq(Ui0)q(U_{i_0})はYYの開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (2)によりint⁡(q(Ui0))=q(Ui0)\tpint{q(U_{i_0})}=q(U_{i_0})である。y=q(x)∈q(Ui0)y=q(x)\in q(U_{i_0})であるから、I0={i0}I_0=\{i_0\}が求める有限部分集合である。▨

定理 3.2. 位相空間XX、YYと完全写像q ⁣:X→Yq\colon X\to Yは双商写像である。

証明.qqは§E2.20 定義 2.1により連続であり、§E2.20 系 5.5 (3)により全射かつ閉写像であって、任意のy∈Yy\in Yに対してq−1({y})q^{-1}(\{y\})はXXのコンパクト部分集合である。

y∈Yy\in Yと、q−1({y})⊆⋃i∈IUiq^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iを満たすXXの開集合の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をとる。§E2.19 命題 2.6によりq−1({y})q^{-1}(\{y\})を覆う有限部分族が存在するので、その添字集合をI0⊆II_0\subseteq IとしU=⋃i∈I0UiU=\bigcup_{i\in I_0}U_iとおくと、UUはq−1({y})q^{-1}(\{y\})を含むXXの開集合である。§E2.12 系 5.12によりy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}であり、§E1.2 定理 4.2によりq(U)=⋃i∈I0q(Ui)q(U)=\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)である。▨

命題 3.3. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yが閉写像ならば、qqは継承的商写像である。

証明.§E2.12 系 5.12により、任意のy∈Yy\in Yとq−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uを満たすXXの任意の開集合UUに対してy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}が成り立つ。定理 1.3を適用するとqqは継承的商写像である。▨

注意 3.4.命題 3.1と定理 3.2を経由せずに、開写像と完全写像が普遍商写像であることを直接示すこともできる。位相空間XX、YY、ZZと連続写像q ⁣:X→Yq\colon X\to Yをとる。qqが連続な全射であって開写像であるとすると、id⁡Z\operatorname{id}_Zは§E2.12 命題 5.7 (2)により開写像であるから、§E2.14 系 1.19によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは開写像であり、§E2.14 補題 1.20により連続な全射であるから、§E2.12 命題 8.3により商写像である。qqが完全写像であるとすると、§E2.20 定義 2.1によりqqは全射であり、§E2.20 系 5.5 (2)により普遍閉であるから、§E2.20 定義 5.1によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは閉写像である。§E2.14 補題 1.20により連続な全射であるから、§E2.12 命題 8.3により商写像である。ZZは任意であったから、いずれの場合にもqqは普遍商写像である。

開写像であることは任意の空間との直積へ広げても失われない（§E2.14 系 1.19）。閉写像であることについては、対応する保存が成り立たない。XXを無限集合に離散位相を入れた空間、PPを一点からなる位相空間とすると、唯一の写像cX ⁣:X→Pc_X\colon X\to Pは閉写像であって固有でないから（§E2.20 例 2.2 (2)）、§E2.20 定理 5.3によりcXc_Xは普遍閉でない。連続写像が普遍閉であることは、閉写像であって各点の全逆像がコンパクトであることと同値であり（§E2.20 定理 5.3 (1)）、完全写像であることは全射かつ普遍閉であることと同値である（§E2.20 系 5.5）。定義 1.4は、この「全射かつ普遍閉」における閉写像を商写像に置き換えたものである。

4 区分の階層

命題 4.1. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yについて、次が成り立つ。

  1. qqが双商写像ならば、qqは継承的商写像である。
  2. qqが継承的商写像ならば、qqは商写像である。

証明.(1)を示す。y∈Yy\in Yとq−1({y})⊆Uq^{-1}(\{y\})\subseteq Uを満たすXXの開集合UUをとる。I={0}I=\{0\}、U0=UU_0=Uとおくと(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}はq−1({y})q^{-1}(\{y\})を覆うXXの開集合の族であるから、定義 2.1によりy∈int⁡(⋃i∈I0q(Ui))y\in\tpint{\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)}を満たす有限部分集合I0⊆{0}I_0\subseteq\{0\}が存在する。I0=∅I_0=\emptysetとすると⋃i∈I0q(Ui)=∅\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)=\emptysetであり、§E2.11 命題 2.5 (1)によりint⁡(∅)⊆∅\tpint{\emptyset}\subseteq\emptysetであるからy∈int⁡(∅)y\in\tpint{\emptyset}は成り立たない。ゆえにI0={0}I_0=\{0\}でありy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}である。定理 1.3を適用するとqqは継承的商写像である。

(2)を示す。qqは連続であるから、V⊆YV\subseteq YがYYの開集合ならばq−1(V)q^{-1}(V)はXXの開集合である。逆にq−1(V)q^{-1}(V)がXXの開集合であるとし、y∈Vy\in Vをとる。q−1({y})⊆q−1(V)q^{-1}(\{y\})\subseteq q^{-1}(V)であるから、定理 1.3によりy∈int⁡(q(q−1(V)))y\in\tpint{q(q^{-1}(V))}である。qqは全射であるから§E1.1 命題 4.10 (3)によりq(q−1(V))=Vq(q^{-1}(V))=Vであり、y∈int⁡(V)y\in\tpint{V}が成り立つ。yyは任意であったからV⊆int⁡(V)V\subseteq\tpint{V}であり、§E2.11 命題 2.5 (1)によりint⁡(V)⊆V\tpint{V}\subseteq VであるからV=int⁡(V)V=\tpint{V}はYYの開集合である。▨

5 積と商写像

補題 5.1.JJを集合、P\mathcal PをJJの有限部分集合の全体とし、P\mathcal Pに属さない元∞\inftyを一つとってP^=P∪{∞}\widehat{\mathcal P}=\mathcal P\cup\{\infty\}とおく。E∈PE\in\mathcal Pに対して

NE={∞}∪{G∈P∣G⊇E}N_E=\{\infty\}\cup\{G\in\mathcal P\mid G\supseteq E\}

とおき、OP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}を、∞\inftyを含まないP^\widehat{\mathcal P}の部分集合の全体と、∞\inftyを含み、あるE∈PE\in\mathcal PについてNEN_Eを含むP^\widehat{\mathcal P}の部分集合の全体との和集合とする。このときOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}はP^\widehat{\mathcal P}の位相であり、各G∈PG\in\mathcal Pに対して{G}\{G\}は開集合であり、{∞}\{\infty\}は閉集合であって開集合でなく、∞\inftyを含む開集合はいずれもあるE∈PE\in\mathcal PについてNEN_Eを含む。

証明.∅\emptysetは∞\inftyを含まないのでOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}に属し、P^=N∅\widehat{\mathcal P}=N_\emptysetもOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}に属する。OP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}の部分族の和集合は、どの元も∞\inftyを含まなければ∞\inftyを含まず、ある元が∞\inftyを含めばその元が含むNEN_Eを含むので、いずれの場合にもOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}に属する。W1,W2∈OP^W_1,W_2\in\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}について、一方が∞\inftyを含まなければW1∩W2W_1\cap W_2は∞\inftyを含まない。ともに∞\inftyを含む場合にはNE1⊆W1N_{E_1}\subseteq W_1、NE2⊆W2N_{E_2}\subseteq W_2をとると、E1∪E2E_1\cup E_2はJJの有限部分集合であり、G⊇E1∪E2G\supseteq E_1\cup E_2ならばGGはNE1N_{E_1}とNE2N_{E_2}の両方に属するから、NE1∪E2⊆W1∩W2N_{E_1\cup E_2}\subseteq W_1\cap W_2である。ゆえにOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}はP^\widehat{\mathcal P}の位相である。

G∈PG\in\mathcal Pに対して{G}\{G\}は∞\inftyを含まないので開集合である。P^∖{∞}=P\widehat{\mathcal P}\setminus\{\infty\}=\mathcal Pも∞\inftyを含まないので開集合であり、{∞}\{\infty\}は閉集合である。∞\inftyを含む開集合がNEN_Eを含むことはOP^\mathcal O_{\widehat{\mathcal P}}の定義そのものであり、E∈NEE\in N_EかつE≠∞E\neq\inftyであるから、∞\inftyを含む開集合は{∞}\{\infty\}に一致しない。ゆえに{∞}\{\infty\}は開集合でない。▨

定理 5.2.ZZを正則な位相空間とする。次の三条件は同値である。直積にはいずれも積位相を入れる。

  1. ZZは局所コンパクトである。
  2. 任意の位相空間XX、YYと任意の商写像q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、q×id⁡Z ⁣:X×Z→Y×Zq\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Zは商写像である。
  3. 任意の位相空間XX、YYと、閉写像である任意の連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、q×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは商写像である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。q ⁣:X→Yq\colon X\to Yを商写像とする。§E2.14 補題 1.20によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは連続な全射であるから、S⊆Y×ZS\subseteq Y\times ZについてA=(q×id⁡Z)−1(S)A=(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(S)が開集合であるときSSが開集合であることを示せばよい。(y,z)∈S(y,z)\in Sをとり、x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})を一つとる。(x,z)∈A(x,z)\in Aであるから、§E2.14 補題 1.11によりx∈U0x\in U_0、z∈W0z\in W_0、U0×W0⊆AU_0\times W_0\subseteq Aを満たすXXの開集合U0U_0とZZの開集合W0W_0が存在する。

ZZは局所コンパクトであるから、§E2.24 定義 1.1によりz∈UN⊆Nz\in U_N\subseteq Nを満たすZZの開集合UNU_Nとコンパクト部分集合NNが存在する。ZZは正則であるから、§E2.15 補題 2.6によりz∈V1z\in V_1かつV1‾⊆W0∩UN\overline{V_1}\subseteq W_0\cap U_Nを満たすZZの開集合V1V_1が存在する。K=V1‾K=\overline{V_1}とおくと、KKはZZの閉集合であってNNに含まれるから、§E2.12 命題 4.6により部分空間NNの閉集合であり、§E2.19 命題 4.1により部分空間NNのコンパクト部分集合である。§E2.12 系 4.5によりKKがNNから受ける部分空間位相とZZから受ける部分空間位相は一致するから、KKはZZのコンパクト部分集合である。z∈V1⊆K⊆W0z\in V_1\subseteq K\subseteq W_0である。

M={y′∈Y∣{y′}×K⊆S}M=\{y'\in Y\mid\{y'\}\times K\subseteq S\}とおく。(x′,z′)∈A(x',z')\in Aであることと(q(x′),z′)∈S(q(x'),z')\in Sであることは同値であるから、q−1(M)={x′∈X∣{x′}×K⊆A}q^{-1}(M)=\{x'\in X\mid\{x'\}\times K\subseteq A\}である。{x}×K⊆U0×W0⊆A\{x\}\times K\subseteq U_0\times W_0\subseteq Aであるからy=q(x)∈My=q(x)\in Mである。q−1(M)q^{-1}(M)がXXの開集合であることを示す。x′∈q−1(M)x'\in q^{-1}(M)をとる。§E2.14 命題 1.10が与える各座標を保つ同相写像によってX×KX\times KとX×ZX\times Zを添字集合{1,2}\{1,2\}上の直積と同一視し、XXが自分自身から受ける部分空間位相がもとの位相に一致することを用いて§E2.14 補題 1.8 (1)を適用すると、X×KX\times Kの積位相はX×ZX\times Zからの部分空間位相に一致する。ゆえに§E2.12 定義 4.1によりA∩(X×K)A\cap(X\times K)は{x′}×K\{x'\}\times Kを含むX×KX\times Kの開集合であり、KKはコンパクトであるから§E2.19 補題 5.1により、x′∈U′x'\in U'かつU′×K⊆A∩(X×K)U'\times K\subseteq A\cap(X\times K)を満たすXXの開集合U′U'が存在する。x′′∈U′x''\in U'ならば{x′′}×K⊆A\{x''\}\times K\subseteq AであるからU′⊆q−1(M)U'\subseteq q^{-1}(M)であり、§E2.11 補題 2.6によりq−1(M)q^{-1}(M)は開集合である。qqは商写像であるからMMはYYの開集合である。

M×V1M\times V_1は§E2.14 補題 1.11により(y,z)(y,z)を含むY×ZY\times Zの開集合であり、(y′,z′)∈M×V1(y',z')\in M\times V_1ならばz′∈V1⊆Kz'\in V_1\subseteq Kと{y′}×K⊆S\{y'\}\times K\subseteq Sから(y′,z′)∈S(y',z')\in Sである。(y,z)(y,z)は任意であったから、§E2.11 補題 2.6によりSSは開集合である。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。閉写像である連続な全射は§E2.12 命題 8.3により商写像であるから、(2)をそれへ適用すればよい。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。ZZが局所コンパクトでないと仮定し、コンパクト近傍をもたない点z0∈Zz_0\in Zをとる。N\mathcal Nを、ZZの閉集合であってz0z_0の近傍であるものの全体とする。ZZ自身はN\mathcal Nに属するからN≠∅\mathcal N\neq\emptysetである。F∈NF\in\mathcal Nがコンパクトならば、z0∈U⊆Fz_0\in U\subseteq Fを満たす開集合UUが存在することから§E2.24 定義 1.1によりz0z_0はコンパクト近傍をもつことになる。ゆえに各F∈NF\in\mathcal Nはコンパクトでなく、§E2.19 命題 2.6により、ZZの開集合からなる集合VF\mathcal V_FであってF⊆⋃V∈VFVF\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V_F}Vを満たし、かつVF\mathcal V_Fのどの有限部分集合W\mathcal WについてもF⊈⋃V∈WVF\not\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal W}Vであるものが存在する。各F∈NF\in\mathcal NについてこのようなVF\mathcal V_Fを一つ選ぶ。

JJをZZの開集合の全体とし、補題 5.1をJJへ適用して空間P^=P∪{∞}\widehat{\mathcal P}=\mathcal P\cup\{\infty\}を得る。P\mathcal Pの元はZZの開集合の有限集合である。N\mathcal Nに離散位相を入れ、X′=P^×NX'=\widehat{\mathcal P}\times\mathcal Nに積位相を入れ、C={∞}×NC=\{\infty\}\times\mathcal Nとおく。補題 5.1により{∞}\{\infty\}はP^\widehat{\mathcal P}の閉集合であるからP=P^∖{∞}\mathcal P=\widehat{\mathcal P}\setminus\{\infty\}は開集合であり、§E2.14 補題 1.11によりX′∖C=P×NX'\setminus C=\mathcal P\times\mathcal NはX′X'の開集合であって、CCはX′X'の閉集合である。§E2.12 補題 8.12をCCへ適用し、得られる商空間をYY、標準全射をq ⁣:X′→Yq\colon X'\to Y、∗=q(C)\ast=q(C)とおくと、qqは閉写像である連続な全射であり、p∈X′∖Cp\in X'\setminus Cに対してq−1({q(p)})={p}q^{-1}(\{q(p)\})=\{p\}である。

F∈NF\in\mathcal NとG∈PG\in\mathcal Pに対して

ΣF(G)=(Z∖F)∪⋃V∈G∩VFV\Sigma_F(G)=(Z\setminus F)\cup\bigcup_{V\in G\cap\mathcal V_F}V

とおく。FFは閉集合でありG∩VFG\cap\mathcal V_Fの元は開集合であるからΣF(G)\Sigma_F(G)はZZの開集合であり、G⊆G′G\subseteq G'ならばΣF(G)⊆ΣF(G′)\Sigma_F(G)\subseteq\Sigma_F(G')である。A⊆X′×ZA\subseteq X'\times Zを、((x,F),z)∈A((x,F),z)\in Aであることが、x=∞x=\inftyであるか、またはx=G∈Px=G\in\mathcal Pかつz∈ΣF(G)z\in\Sigma_F(G)であることと同値であるように定める。

AAがX′×ZX'\times Zの開集合であることを示す。§E2.14 補題 7.2により、各F∈NF\in\mathcal Nについて切片AF={(x,z)∈P^×Z∣((x,F),z)∈A}A_F=\{(x,z)\in\widehat{\mathcal P}\times Z\mid((x,F),z)\in A\}がP^×Z\widehat{\mathcal P}\times Zの開集合であることを示せばよい。(x,z)∈AF(x,z)\in A_Fをとる。x=G∈Px=G\in\mathcal Pの場合、補題 5.1により{G}\{G\}はP^\widehat{\mathcal P}の開集合でありz∈ΣF(G)z\in\Sigma_F(G)であるから、{G}×ΣF(G)\{G\}\times\Sigma_F(G)は(x,z)(x,z)を含みAFA_Fに含まれる開集合である。x=∞x=\inftyかつz∉Fz\notin Fの場合、P^×(Z∖F)\widehat{\mathcal P}\times(Z\setminus F)は(∞,z)(\infty,z)を含む開集合であり、その元(x′,z′)(x',z')は、x′=∞x'=\inftyならばAFA_Fに属し、x′=G′∈Px'=G'\in\mathcal Pならばz′∈Z∖F⊆ΣF(G′)z'\in Z\setminus F\subseteq\Sigma_F(G')からAFA_Fに属する。x=∞x=\inftyかつz∈Fz\in Fの場合、F⊆⋃V∈VFVF\subseteq\bigcup_{V\in\mathcal V_F}Vであるからz∈Vz\in Vを満たすV∈VFV\in\mathcal V_Fが存在する。E={V}∈PE=\{V\}\in\mathcal Pとおくと、NE×VN_E\times Vは(∞,z)(\infty,z)を含む開集合であり、その元(x′,z′)(x',z')は、x′=∞x'=\inftyならばAFA_Fに属し、x′=G′⊇Ex'=G'\supseteq EならばV∈G′∩VFV\in G'\cap\mathcal V_Fからz′∈V⊆ΣF(G′)z'\in V\subseteq\Sigma_F(G')となってAFA_Fに属する。いずれの場合にも§E2.14 補題 1.11により当該の集合は開集合であるから、§E2.11 補題 2.6によりAFA_Fは開集合である。

(q×id⁡Z)−1((q×id⁡Z)(A))=A(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}\bigl((q\times\operatorname{id}_Z)(A)\bigr)=Aを示す。左辺の元(p,z)(p,z)をとると、(p′,z)∈A(p',z)\in Aかつq(p′)=q(p)q(p')=q(p)を満たすp′∈X′p'\in X'が存在する。p∉Cp\notin Cならばq−1({q(p)})={p}q^{-1}(\{q(p)\})=\{p\}からp′=pp'=pであり(p,z)∈A(p,z)\in Aである。p∈Cp\in Cならばp=(∞,F)p=(\infty,F)の形であるから、AAの定め方により(p,z)∈A(p,z)\in Aである。逆の包含は成り立つから、二つの集合は一致する。S=(q×id⁡Z)(A)S=(q\times\operatorname{id}_Z)(A)とおくと(q×id⁡Z)−1(S)=A(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(S)=Aは開集合である。

SSが開集合でないことを示す。F∈NF\in\mathcal Nを一つとると((∞,F),z0)∈A((\infty,F),z_0)\in Aであるから(∗,z0)∈S(\ast,z_0)\in Sである。SSが開集合であると仮定すると、§E2.14 補題 1.11により(∗,z0)∈V′×O′′⊆S(\ast,z_0)\in V'\times O''\subseteq Sを満たすYYの開集合V′V'とZZの開集合O′′O''が存在する。ZZは正則であるから、§E2.15 補題 2.6によりz0∈V1z_0\in V_1かつV1‾⊆O′′\overline{V_1}\subseteq O''を満たす開集合V1V_1が存在し、F1=V1‾F_1=\overline{V_1}とおくとF1F_1はz0z_0の近傍である閉集合であるからF1∈NF_1\in\mathcal Nであり、F1⊆O′′F_1\subseteq O''である。§E2.14 補題 7.1と§E2.12 命題 3.9 (1)により写像P^→X′\widehat{\mathcal P}\to X'、x↦(x,F1)x\mapsto(x,F_1)は連続であり、q−1(V′)q^{-1}(V')は(∞,F1)(\infty,F_1)を含むX′X'の開集合であるから、{x∈P^∣(x,F1)∈q−1(V′)}\{x\in\widehat{\mathcal P}\mid(x,F_1)\in q^{-1}(V')\}は∞\inftyを含むP^\widehat{\mathcal P}の開集合であり、補題 5.1によりあるE∈PE\in\mathcal PについてNEN_Eを含む。E∈NEE\in N_Eであるからp=(E,F1)∈q−1(V′)p=(E,F_1)\in q^{-1}(V')であり、p∉Cp\notin Cである。

E∩VF1E\cap\mathcal V_{F_1}はVF1\mathcal V_{F_1}の有限部分集合であるからF1⊈⋃V∈E∩VF1VF_1\not\subseteq\bigcup_{V\in E\cap\mathcal V_{F_1}}Vであり、z∈F1z\in F_1かつz∉⋃V∈E∩VF1Vz\notin\bigcup_{V\in E\cap\mathcal V_{F_1}}Vを満たすzzをとることができる。z∈F1z\in F_1からz∉Z∖F1z\notin Z\setminus F_1であるのでz∉ΣF1(E)z\notin\Sigma_{F_1}(E)であり、(p,z)∉A(p,z)\notin Aである。一方z∈F1⊆O′′z\in F_1\subseteq O''かつq(p)∈V′q(p)\in V'であるから(q(p),z)∈V′×O′′⊆S(q(p),z)\in V'\times O''\subseteq Sであり、(p′,z′)∈A(p',z')\in Aかつ(q(p′),z′)=(q(p),z)(q(p'),z')=(q(p),z)を満たす(p′,z′)(p',z')が存在する。z′=zz'=zであり、p∉Cp\notin Cからp′=pp'=pであるので(p,z)∈A(p,z)\in Aとなって矛盾する。ゆえにSSは開集合でない。

したがってq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは商写像でなく、これは(3)に反する。ゆえにZZは局所コンパクトである。▨

定理 5.3.ZZを位相空間とする。次の三条件は同値である。直積にはいずれも積位相を入れる。

  1. ZZの任意の点zzに対して、zzを含む開集合OzO_zであって、zzを含むZZの任意の開集合に含まれるものが存在する。
  2. 任意の位相空間XX、YYと任意の継承的商写像q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、q×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは継承的商写像である。
  3. 任意の位相空間XX、YYと、閉写像である任意の連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、q×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは継承的商写像である。

証明.(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。q ⁣:X→Yq\colon X\to Yを継承的商写像とする。§E2.14 補題 1.20によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは連続な全射であるから、定理 1.3により、任意の(y,z)∈Y×Z(y,z)\in Y\times Zと、(q×id⁡Z)−1({(y,z)})=q−1({y})×{z}(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(\{(y,z)\})=q^{-1}(\{y\})\times\{z\}を含むX×ZX\times Zの任意の開集合UUに対して(y,z)∈int⁡((q×id⁡Z)(U))(y,z)\in\tpint{(q\times\operatorname{id}_Z)(U)}を示せばよい。zzについて(1)の開集合OzO_zをとる。各x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})に対して(x,z)∈U(x,z)\in Uであるから、§E2.14 補題 1.11によりx∈Uxx\in U_x、z∈Wxz\in W_x、Ux×Wx⊆UU_x\times W_x\subseteq Uを満たすXXの開集合UxU_xとZZの開集合WxW_xが存在し、OzO_zの取り方によりOz⊆WxO_z\subseteq W_xである。U′=⋃x∈q−1({y})UxU'=\bigcup_{x\in q^{-1}(\{y\})}U_xとおくと、U′U'はq−1({y})q^{-1}(\{y\})を含むXXの開集合であり、

U′×Oz⊆⋃x∈q−1({y})(Ux×Wx)⊆UU'\times O_z\subseteq\bigcup_{x\in q^{-1}(\{y\})}(U_x\times W_x)\subseteq U

である。qqは継承的商写像であるから定理 1.3によりy∈int⁡(q(U′))y\in\tpint{q(U')}である。int⁡(q(U′))×Oz\tpint{q(U')}\times O_zは§E2.14 補題 1.11により(y,z)(y,z)を含む開集合であり、§E2.11 命題 2.5 (1)により

int⁡(q(U′))×Oz⊆q(U′)×Oz=(q×id⁡Z)(U′×Oz)⊆(q×id⁡Z)(U)\tpint{q(U')}\times O_z\subseteq q(U')\times O_z=(q\times\operatorname{id}_Z)(U'\times O_z)\subseteq(q\times\operatorname{id}_Z)(U)

である。ゆえに§E2.11 命題 2.5 (1)により(y,z)∈int⁡((q×id⁡Z)(U))(y,z)\in\tpint{(q\times\operatorname{id}_Z)(U)}である。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。閉写像である連続な全射は命題 3.3により継承的商写像であるから、(2)をそれへ適用すればよい。

(3)⇒\Rightarrow(1)を示す。あるz0∈Zz_0\in Zが(1)の開集合をもたないと仮定する。すなわち、z0z_0を含む任意の開集合OOに対して、z0z_0を含む開集合O′O'でO⊈O′O\not\subseteq O'を満たすものが存在するとする。S\mathcal Sをz0z_0を含むZZの開集合の全体とし、各O∈SO\in\mathcal SについてこのようなO′O'を一つ選んでOO′O'_Oと書き、zO∈O∖OO′z_O\in O\setminus O'_Oを一つ選ぶ。

JJをZZの開集合の全体とし、補題 5.1の空間P^=P∪{∞}\widehat{\mathcal P}=\mathcal P\cup\{\infty\}をとる。S\mathcal Sに離散位相を入れ、X′=P^×SX'=\widehat{\mathcal P}\times\mathcal Sに積位相を入れ、C={∞}×SC=\{\infty\}\times\mathcal Sとおく。補題 5.1により{∞}\{\infty\}はP^\widehat{\mathcal P}の閉集合であるからP\mathcal Pは開集合であり、§E2.14 補題 1.11によりX′∖C=P×SX'\setminus C=\mathcal P\times\mathcal Sは開集合であって、CCはX′X'の閉集合である。§E2.12 補題 8.12をCCへ適用し、得られる商空間をYY、標準全射をq ⁣:X′→Yq\colon X'\to Y、∗=q(C)\ast=q(C)とおくと、qqは閉写像である連続な全射であり、p∈X′∖Cp\in X'\setminus Cに対してq−1({q(p)})={p}q^{-1}(\{q(p)\})=\{p\}である。仮定(3)によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは継承的商写像である。

U=⋃O∈S((P^×{O})×OO′)⊆X′×ZU=\bigcup_{O\in\mathcal S}\bigl((\widehat{\mathcal P}\times\{O\})\times O'_O\bigr)\subseteq X'\times Z

とおく。{O}\{O\}は離散空間S\mathcal Sの開集合であるから§E2.14 補題 1.11によりP^×{O}\widehat{\mathcal P}\times\{O\}はX′X'の開集合であり、ふたたび§E2.14 補題 1.11によりUUはX′×ZX'\times Zの開集合である。各O∈SO\in\mathcal Sについてz0∈OO′z_0\in O'_Oであるから

(q×id⁡Z)−1({(∗,z0)})=C×{z0}⊆U(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(\{(\ast,z_0)\})=C\times\{z_0\}\subseteq U

である。定理 1.3により(∗,z0)∈int⁡((q×id⁡Z)(U))(\ast,z_0)\in\tpint{(q\times\operatorname{id}_Z)(U)}であるから、§E2.14 補題 1.11により(∗,z0)∈V′×O′′⊆(q×id⁡Z)(U)(\ast,z_0)\in V'\times O''\subseteq(q\times\operatorname{id}_Z)(U)を満たすYYの開集合V′V'とZZの開集合O′′O''が存在する。z0∈O′′z_0\in O''であるからO′′∈SO''\in\mathcal Sである。§E2.14 補題 7.1と§E2.12 命題 3.9 (1)により写像P^→X′\widehat{\mathcal P}\to X'、x↦(x,O′′)x\mapsto(x,O'')は連続であり、q−1(V′)q^{-1}(V')は(∞,O′′)(\infty,O'')を含むX′X'の開集合であるから、{x∈P^∣(x,O′′)∈q−1(V′)}\{x\in\widehat{\mathcal P}\mid(x,O'')\in q^{-1}(V')\}は∞\inftyを含むP^\widehat{\mathcal P}の開集合であり、補題 5.1によりあるE∈PE\in\mathcal PについてNEN_Eを含む。p=(E,O′′)p=(E,O'')とおくとp∈q−1(V′)p\in q^{-1}(V')かつp∉Cp\notin Cである。

z=zO′′∈O′′z=z_{O''}\in O''をとると(q(p),z)∈V′×O′′⊆(q×id⁡Z)(U)(q(p),z)\in V'\times O''\subseteq(q\times\operatorname{id}_Z)(U)であるから、(p′,z′)∈U(p',z')\in Uかつ(q(p′),z′)=(q(p),z)(q(p'),z')=(q(p),z)を満たす(p′,z′)(p',z')が存在する。z′=zz'=zであり、p∉Cp\notin Cからp′=pp'=pである。(p,z)∈U(p,z)\in Uであるから、p∈P^×{O}p\in\widehat{\mathcal P}\times\{O\}かつz∈OO′z\in O'_Oを満たすO∈SO\in\mathcal Sが存在し、p=(E,O′′)p=(E,O'')からO=O′′O=O''である。ゆえにzO′′∈OO′′′z_{O''}\in O'_{O''}となり、zO′′z_{O''}の取り方に反する。したがってZZの各点は(1)の開集合をもつ。▨

系 5.4. T1 空間ZZについて、ZZが定理 5.3 (1)を満たすことと、ZZの位相が離散位相であることは同値である。

証明.ZZの位相が離散位相ならば、各z∈Zz\in Zに対してOz={z}O_z=\{z\}が定理 5.3 (1)の開集合である。

逆にZZが T1 空間であり、各z∈Zz\in Zが定理 5.3 (1)の開集合OzO_zをもつとする。z′∈Ozz'\in O_zかつz′≠zz'\neq zとすると、§E2.15 定義 1.1 (2)によりzzを含みz′z'を含まない開集合WWが存在し、Oz⊆WO_z\subseteq Wからz′∉Ozz'\notin O_zとなって矛盾する。ゆえにOz={z}O_z=\{z\}であり、ZZの任意の部分集合は一点集合の和集合であるから開集合である。▨

定理 5.5. 位相空間XX、YY、ZZと双商写像q ⁣:X→Yq\colon X\to Yに対して、q×id⁡Z ⁣:X×Z→Y×Zq\times\operatorname{id}_Z\colon X\times Z\to Y\times Zは双商写像である。直積にはいずれも積位相を入れる。

証明.§E2.14 補題 1.20によりq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは連続な全射である。(y,z)∈Y×Z(y,z)\in Y\times Zと、

(q×id⁡Z)−1({(y,z)})=q−1({y})×{z}⊆⋃i∈IUi(q\times\operatorname{id}_Z)^{-1}(\{(y,z)\})=q^{-1}(\{y\})\times\{z\}\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i

を満たすX×ZX\times Zの開集合の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をとる。各x∈q−1({y})x\in q^{-1}(\{y\})に対して(x,z)∈Ui(x)(x,z)\in U_{i(x)}を満たすi(x)∈Ii(x)\in Iを選び、§E2.14 補題 1.11によりx∈Ux′x\in U'_x、z∈Wxz\in W_x、Ux′×Wx⊆Ui(x)U'_x\times W_x\subseteq U_{i(x)}を満たすXXの開集合Ux′U'_xとZZの開集合WxW_xを選ぶ。族(Ux′)x∈q−1({y})(U'_x)_{x\in q^{-1}(\{y\})}はq−1({y})q^{-1}(\{y\})を覆うから、qqが双商写像であることにより、有限部分集合E⊆q−1({y})E\subseteq q^{-1}(\{y\})でy∈int⁡(⋃x∈Eq(Ux′))y\in\tpint{\bigcup_{x\in E}q(U'_x)}を満たすものが存在する。E=∅E=\emptysetとすると§E2.11 命題 2.5 (1)によりint⁡(∅)⊆∅\tpint{\emptyset}\subseteq\emptysetであってy∈int⁡(∅)y\in\tpint{\emptyset}は成り立たないから、E≠∅E\neq\emptysetである。W=⋂x∈EWxW=\bigcap_{x\in E}W_xはzzを含むZZの開集合である。I0={i(x)∣x∈E}I_0=\{i(x)\mid x\in E\}はIIの有限部分集合である。

(y′,z′)∈int⁡(⋃x∈Eq(Ux′))×W(y',z')\in\tpint{\bigcup_{x\in E}q(U'_x)}\times Wをとると、§E2.11 命題 2.5 (1)によりy′∈q(Ux′)y'\in q(U'_x)を満たすx∈Ex\in Eが存在し、q(x′)=y′q(x')=y'を満たすx′∈Ux′x'\in U'_xが存在する。z′∈W⊆Wxz'\in W\subseteq W_xであるから(x′,z′)∈Ux′×Wx⊆Ui(x)(x',z')\in U'_x\times W_x\subseteq U_{i(x)}であり、(y′,z′)=(q×id⁡Z)(x′,z′)∈(q×id⁡Z)(Ui(x))(y',z')=(q\times\operatorname{id}_Z)(x',z')\in(q\times\operatorname{id}_Z)(U_{i(x)})である。ゆえに

int⁡(⋃x∈Eq(Ux′))×W⊆⋃i∈I0(q×id⁡Z)(Ui)\tpint{\textstyle\bigcup_{x\in E}q(U'_x)}\times W\subseteq\bigcup_{i\in I_0}(q\times\operatorname{id}_Z)(U_i)

であり、左辺は§E2.14 補題 1.11により(y,z)(y,z)を含む開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により

(y,z)∈int⁡(⋃i∈I0(q×id⁡Z)(Ui))(y,z)\in\tpint{\bigcup_{i\in I_0}(q\times\operatorname{id}_Z)(U_i)}

である。したがってq×id⁡Zq\times\operatorname{id}_Zは双商写像である。▨

注意 5.6. 恒等写像との直積で保たれるために相手の空間ZZへ課すべき条件は、区分ごとに異なる。商写像については、ZZが正則である範囲で、局所コンパクト性がその条件である（定理 5.2）。継承的商写像については、各点が最小の開近傍をもつことがその条件であり（定理 5.3）、T1 空間ではこれは離散性に一致する（系 5.4）。双商写像については条件が要らない（定理 5.5）。三つの条件の違いは、注意 2.2が述べた「点の全逆像を覆う開集合を一つ取るか、有限個取るか」の違いをZZの側へ写したものである。すなわち、点zzの近傍を一つに縮めることができるか（最小の開近傍）、コンパクト近傍によって有限個に縮めることができるか（局所コンパクト性）、縮める必要がないかの違いである。

6 逆が成り立たない例

例 6.1.R\Rに通常の位相を入れ、x∼x′x\sim x'を、x=x′x=x'であるか、またはxxとx′x'がともにQ\Qに属することと定める。これはR\R上の同値関係である。Y=R/∼Y=\R/{\sim}に標準全射q ⁣:R→Yq\colon\R\to Yによる商位相を入れると、qqは商写像であって継承的商写像でない。

証明.§E2.12 定義 8.7によりqqは商写像であり、とくに連続な全射である。∗=q(0)\ast=q(0)とおくとq−1({∗})=Qq^{-1}(\{\ast\})=\Qであり、R∖Q\R\setminus\Qの点ttに対してはq−1({q(t)})={t}q^{-1}(\{q(t)\})=\{t\}である。

§D1.4 補題 2.3により0<x<10<x<1を満たす無理数xxをとり、U=(x−1,x+1)U=(x-1,x+1)とおく。UUは§E2.2 補題 1.2によりR\Rの開集合であり、q−1({q(x)})={x}⊆Uq^{-1}(\{q(x)\})=\{x\}\subseteq Uである。§D1.4 系 2.2によりx<r1<x+1x<r_1<x+1を満たす有理数r1r_1が存在するのでU∩Q≠∅U\cap\Q\neq\emptysetであり、したがって∗∈q(U)\ast\in q(U)であってq−1(q(U))=U∪Qq^{-1}(q(U))=U\cup\Qである。

q(x)∈int⁡(q(U))q(x)\in\tpint{q(U)}であると仮定する。§E2.11 命題 2.5 (1)によりq(x)∈V⊆q(U)q(x)\in V\subseteq q(U)を満たすYYの開集合VVが存在し、W=q−1(V)W=q^{-1}(V)はxxを含むR\Rの開集合であってW⊆q−1(q(U))=U∪QW\subseteq q^{-1}(q(U))=U\cup\Qを満たす。§E2.2 定義 1.1により(x−δ,x+δ)⊆W(x-\delta,x+\delta)\subseteq Wを満たすδ>0\delta>0が存在し、§D1.4 系 2.2によりx<r0<x+δx<r_0<x+\deltaを満たす有理数r0r_0が存在する。r0∈Wr_0\in Wでありq(r0)=∗q(r_0)=\astであるから∗∈V\ast\in Vであり、Q=q−1({∗})⊆W\Q=q^{-1}(\{\ast\})\subseteq Wである。

2∈Q⊆W2\in\Q\subseteq WでありWWは開集合であるから、§E2.2 定義 1.1により(2−ε,2+ε)⊆W(2-\varepsilon,2+\varepsilon)\subseteq Wを満たすε>0\varepsilon>0が存在する。§D1.4 補題 2.3により2<t<2+ε2<t<2+\varepsilonを満たす無理数ttが存在する。t∈W⊆U∪Qt\in W\subseteq U\cup\Qかつt∉Qt\notin\Qであるからt∈U=(x−1,x+1)t\in U=(x-1,x+1)であり、0<x<10<x<1からx+1<2<tx+1<2<tであるので、これは両立しない。

ゆえにq(x)∉int⁡(q(U))q(x)\notin\tpint{q(U)}であり、定理 1.3によりqqは継承的商写像でない。▨

例 6.2.R\Rに通常の位相を入れ、x∼x′x\sim x'を、x=x′x=x'であるか、またはxxとx′x'がともにZ\Zに属することと定める。Y=R/∼Y=\R/{\sim}に標準全射q ⁣:R→Yq\colon\R\to Yによる商位相を入れ、∗=q(0)\ast=q(0)とおく。

  1. qqは閉写像である連続な全射であり、したがって継承的商写像である。
  2. qqは双商写像でない。
  3. R\Rに通常の位相を入れると、q×id⁡Rq\times\operatorname{id}_{\R}は継承的商写像でない。
  4. Q\QにR\Rからの部分空間位相を入れると、q×id⁡Qq\times\operatorname{id}_{\Q}は商写像でない。したがってqqは普遍商写像でない。

証明.R∖Z=⋃n∈Z(n,n+1)\R\setminus\Z=\bigcup_{n\in\Z}(n,n+1)は開区間の和集合であるから§E2.2 補題 1.2によりR\Rの開集合であり、Z\ZはR\Rの閉集合である。ゆえに§E2.12 補題 8.12をC=ZC=\Zへ適用することができ、qqは閉写像である連続な全射であって、q−1({∗})=Zq^{-1}(\{\ast\})=\Zであり、x∈R∖Zx\in\R\setminus\Zに対してq−1({q(x)})={x}q^{-1}(\{q(x)\})=\{x\}である。命題 3.3によりqqは継承的商写像であり、(1)が従う。

(2)を示す。n∈Zn\in\Zに対してUn=(n−12,n+12)U_n=(n-\tfrac12,n+\tfrac12)とおくと、§E2.2 補題 1.2により各UnU_nは開集合であり、(Un)n∈Z(U_n)_{n\in\Z}はZ\Zを覆う。qqが双商写像であると仮定すると、Z\Zの有限部分集合GGで∗∈int⁡(⋃n∈Gq(Un))\ast\in\tpint{\bigcup_{n\in G}q(U_n)}を満たすものが存在する。§E1.2 定理 4.2により⋃n∈Gq(Un)=q(UG)\bigcup_{n\in G}q(U_n)=q(U_G)である。ここでUG=⋃n∈GUnU_G=\bigcup_{n\in G}U_nと書いた。§E2.11 命題 2.5 (1)により∗∈q(UG)\ast\in q(U_G)であるからG≠∅G\neq\emptysetかつUG∩Z≠∅U_G\cap\Z\neq\emptysetであり、q−1(q(UG))=UG∪Zq^{-1}(q(U_G))=U_G\cup\Zである。ふたたび§E2.11 命題 2.5 (1)により∗∈V⊆q(UG)\ast\in V\subseteq q(U_G)を満たすYYの開集合VVが存在し、W=q−1(V)W=q^{-1}(V)はZ\Zを含むR\Rの開集合であってW⊆UG∪ZW\subseteq U_G\cup\Zを満たす。GGは有限であるからm∈Z∖Gm\in\Z\setminus Gをとることができる。m∈Wm\in Wであるから、§E2.2 定義 1.1により(m−δ,m+δ)⊆W(m-\delta,m+\delta)\subseteq Wを満たすδ>0\delta>0が存在し、δ≤12\delta\leq\tfrac12としてよい。t=m+δ/2t=m+\delta/2とおくとt∈Wt\in Wかつt∉Zt\notin\Zであるからt∈UGt\in U_Gであり、∣t−n∣<12|t-n|<\tfrac12を満たすn∈Gn\in Gが存在する。一方n≠mn\neq mから∣t−n∣≥∣m−n∣−∣t−m∣≥1−14>12|t-n|\geq|m-n|-|t-m|\geq1-\tfrac14>\tfrac12である。この二つは両立しない。ゆえにqqは双商写像でない。

(3)と(4)のために、各n∈Zn\in\Zについて§D1.4 補題 2.3により0<cn<1/(∣n∣+1)0<c_n<1/(|n|+1)を満たす無理数cnc_nを一つ選び、

U=⋃n∈Z{(x,t)∈R×R ∣ ∣x−n∣<min⁡(12,∣t−cn∣)}U=\bigcup_{n\in\Z}\Bigl\{(x,t)\in\R\times\R\ \Bigm|\ |x-n|<\min\bigl(\tfrac12,|t-c_n|\bigr)\Bigr\}

とおく。n∈Zn\in\Zに対して(x,t)↦∣x−n∣−min⁡(12,∣t−cn∣)(x,t)\mapsto|x-n|-\min\bigl(\tfrac12,|t-c_n|\bigr)は、§E2.14 命題 1.2 (1)の射影と定数写像から、§E2.16 補題 1.2 (1)の和と差、§E2.16 補題 1.1 (3)の絶対値、および§E2.16 補題 1.2 (2)の最小によって合成されるからR×R\R\times\R上の連続関数であり、(−∞,0)(-\infty,0)は§E2.13 例 2.7の準開基に属するから§E2.13 定理 2.2によりR\Rの開集合である。ゆえに§E2.12 定義 1.1によりUUを作る各集合はR×R\R\times\Rの開集合であり、UUも開集合である。cn>0c_n>0であるから∣n−n∣=0<min⁡(12,∣0−cn∣)|n-n|=0<\min\bigl(\tfrac12,|0-c_n|\bigr)であり、(n,0)∈U(n,0)\in Uである。

(3)を示す。r=q×id⁡Rr=q\times\operatorname{id}_{\R}とおくと、§E2.14 補題 1.20によりrrは連続な全射であり、r−1({(∗,0)})=Z×{0}⊆Ur^{-1}(\{(\ast,0)\})=\Z\times\{0\}\subseteq Uである。rrが継承的商写像であると仮定すると、定理 1.3により(∗,0)∈int⁡(r(U))(\ast,0)\in\tpint{r(U)}であり、§E2.11 命題 2.5 (1)と§E2.14 補題 1.11により(∗,0)∈V×J⊆r(U)(\ast,0)\in V\times J\subseteq r(U)を満たすYYの開集合VVとR\Rの開集合JJが存在する。W=q−1(V)W=q^{-1}(V)はZ\Zを含むR\Rの開集合であり、§E2.2 定義 1.1により(−η,η)⊆J(-\eta,\eta)\subseteq Jを満たすη>0\eta>0が存在する。§D1.4 系 2.2により1/(n+1)<η1/(n+1)<\etaを満たす正の整数nnをとるとcn<ηc_n<\etaである。n∈Z⊆Wn\in\Z\subseteq Wであるから、§E2.2 定義 1.1により(n−δ,n+δ)⊆W(n-\delta,n+\delta)\subseteq Wを満たすδ>0\delta>0が存在し、δ≤12\delta\leq\tfrac12としてよい。x=n+δ/2x=n+\delta/2、t=cnt=c_nとおくと、x∈Wx\in W、x∉Zx\notin\Z、0<t<η0<t<\etaであるから(q(x),t)∈V×J⊆r(U)(q(x),t)\in V\times J\subseteq r(U)であり、(x′,t′)∈U(x',t')\in Uかつr(x′,t′)=(q(x),t)r(x',t')=(q(x),t)を満たす(x′,t′)(x',t')が存在する。t′=tt'=tであり、x∉Zx\notin\Zからx′=xx'=xである。(x,cn)∈U(x,c_n)\in Uであるから∣x−n′∣<min⁡(12,∣cn−cn′∣)|x-n'|<\min\bigl(\tfrac12,|c_n-c_{n'}|\bigr)を満たすn′∈Zn'\in\Zが存在する。n′=nn'=nならば∣x−n∣=δ/2<∣cn−cn∣=0|x-n|=\delta/2<|c_n-c_n|=0となって矛盾し、n′≠nn'\neq nならば∣x−n′∣≥∣n−n′∣−∣x−n∣≥1−14>12|x-n'|\geq|n-n'|-|x-n|\geq1-\tfrac14>\tfrac12となって矛盾する。ゆえにrrは継承的商写像でない。

(4)を示す。rQ=q×id⁡Qr_{\Q}=q\times\operatorname{id}_{\Q}とおき、UQ=U∩(R×Q)U_{\Q}=U\cap(\R\times\Q)とおく。§E2.14 命題 1.10が与える各座標を保つ同相写像によってR×Q\R\times\QとR×R\R\times\Rを添字集合{1,2}\{1,2\}上の直積と同一視し、R\Rが自分自身から受ける部分空間位相がもとの位相に一致することを用いて§E2.14 補題 1.8 (1)を適用すると、R×Q\R\times\Qの積位相はR×R\R\times\Rからの部分空間位相に一致する。ゆえに§E2.12 定義 4.1によりUQU_{\Q}はR×Q\R\times\Qの開集合である。cnc_nは無理数であるから、t∈Qt\in\Qならば∣t−cn∣>0|t-c_n|>0であり、すべてのn∈Zn\in\Zとt∈Qt\in\Qについて(n,t)∈UQ(n,t)\in U_{\Q}である。ゆえにZ×Q⊆UQ\Z\times\Q\subseteq U_{\Q}であり、UQU_{\Q}のZ×Q\Z\times\Qに属さない点のrQr_{\Q}による全逆像は一点であるから、rQ−1(rQ(UQ))=UQr_{\Q}^{-1}(r_{\Q}(U_{\Q}))=U_{\Q}である。

S=rQ(UQ)S=r_{\Q}(U_{\Q})とおくとrQ−1(S)=UQr_{\Q}^{-1}(S)=U_{\Q}は開集合である。SSがY×QY\times\Qの開集合であると仮定する。(0,0)∈UQ(0,0)\in U_{\Q}であるから(∗,0)∈S(\ast,0)\in Sであり、§E2.14 補題 1.11により(∗,0)∈V×J⊆S(\ast,0)\in V\times J\subseteq Sを満たすYYの開集合VVとQ\Qの開集合JJが存在する。§E2.12 定義 4.1と§E2.2 定義 1.1により(−η,η)∩Q⊆J(-\eta,\eta)\cap\Q\subseteq Jを満たすη>0\eta>0が存在する。§D1.4 系 2.2により1/(n+1)<η1/(n+1)<\etaを満たす正の整数nnをとるとcn<ηc_n<\etaであり、q−1(V)q^{-1}(V)はZ\Zを含むR\Rの開集合であるから、§E2.2 定義 1.1により(n−δ,n+δ)⊆q−1(V)(n-\delta,n+\delta)\subseteq q^{-1}(V)を満たすδ>0\delta>0が存在し、δ≤12\delta\leq\tfrac12としてよい。§D1.4 系 2.2によりcn<t<min⁡(cn+δ/4,η)c_n<t<\min(c_n+\delta/4,\eta)を満たす有理数ttが存在する。x=n+δ/2x=n+\delta/2とおくと、∣x−n∣=δ/2|x-n|=\delta/2かつ∣t−cn∣<δ/4|t-c_n|<\delta/4であるから∣x−n∣>min⁡(12,∣t−cn∣)|x-n|>\min\bigl(\tfrac12,|t-c_n|\bigr)であり、n′≠nn'\neq nについては∣x−n′∣≥∣n−n′∣−∣x−n∣≥1−14>12|x-n'|\geq|n-n'|-|x-n|\geq1-\tfrac14>\tfrac12であるから、(x,t)∉U(x,t)\notin Uであり、とくに(x,t)∉UQ(x,t)\notin U_{\Q}である。一方、x∈q−1(V)x\in q^{-1}(V)かつ0<t<η0<t<\etaであるから(q(x),t)∈V×J⊆S(q(x),t)\in V\times J\subseteq Sであり、(x′,t′)∈UQ(x',t')\in U_{\Q}かつrQ(x′,t′)=(q(x),t)r_{\Q}(x',t')=(q(x),t)を満たす(x′,t′)(x',t')が存在する。t′=tt'=tであり、x∉Zx\notin\Zからx′=xx'=xであるので(x,t)∈UQ(x,t)\in U_{\Q}となって矛盾する。ゆえにSSは開集合でなく、rQr_{\Q}は商写像でない。定義 1.4によりqqは普遍商写像でない。▨

例 6.3.§E2.12 例 8.13の同値関係をとり、[0,1][0,1]にR\Rからの部分空間位相を入れ、標準全射π ⁣:[0,1]→[0,1]/∼\pi\colon[0,1]\to[0,1]/{\sim}による商位相を[0,1]/∼[0,1]/{\sim}に入れる。

  1. π\piは完全写像である。
  2. π\piは双商写像であって開写像でない。

証明.(1)の証明は演習とする（問題 8.1）。

(2)を示す。(1)と定理 3.2によりπ\piは双商写像である。π\piが開写像でないことは§E2.12 例 8.16が与える。▨

例 6.4.X1=X2=RX_1=X_2=\Rに通常の位相を入れ、§E1.2 命題 5.4によって台集合の直積をR2\R^2と同一視する。射影π1 ⁣:R2→R\pi_1\colon\R^2\to\Rは双商写像であって完全写像でない。

証明.§E2.14 命題 1.2 (1)によりπ1\pi_1は連続である。a∈Ra\in\Rに対してπ1((a,0))=a\pi_1((a,0))=aであるからπ1\pi_1は全射である。§E2.14 注意 1.17によりπ1\pi_1は開写像であるから、命題 3.1により双商写像である。§E2.14 例 1.18によりπ1\pi_1は閉写像でないから、§E2.20 定義 2.1により完全写像でない。▨

注意 6.5.例 6.1は命題 4.1 (2)の逆が成り立たないことを示し、例 6.2は命題 4.1 (1)の逆が成り立たないことを示す。例 2.4は定理 2.3 (2)の逆が成り立たないことを示し、例 6.2 (4)は定理 2.3 (1)の逆が成り立たないことを示す。例 6.3は命題 3.1の逆が、例 6.4は定理 3.2の逆が成り立たないことを示す。例 6.4のπ1\pi_1は閉写像でない継承的商写像でもあるから、命題 3.3の逆も成り立たない。例 6.2のqqは閉写像であって双商写像でなく、例 6.2 (4)により普遍商写像でもないから、閉写像は双商写像とも普遍商写像とも限らない。§E2.20 系 5.5 (3)により、完全写像であることは全射な閉写像であって各点の全逆像がコンパクトであることと同値であるから、定理 3.2の仮定からこのコンパクト性を落とすことはできない。

7 合成と全逆像への制限

定理 7.1. 位相空間XX、YY、ZZと連続な全射p ⁣:X→Yp\colon X\to Y、q ⁣:Y→Zq\colon Y\to Zに対して、合成q∘p ⁣:X→Zq\circ p\colon X\to Zについて次が成り立つ。

  1. ppとqqがともに継承的商写像ならば、q∘pq\circ pは継承的商写像である。
  2. ppとqqがともに双商写像ならば、q∘pq\circ pは双商写像である。
  3. ppとqqがともに普遍商写像ならば、q∘pq\circ pは普遍商写像である。

証明.ppとqqは連続であるから§E2.12 命題 1.10によりq∘pq\circ pは連続であり、ともに全射であるから§E1.1 命題 3.5 (2)によりq∘pq\circ pは全射である。

(1)を示す。B⊆ZB\subseteq Zとし、B′=q−1(B)B'=q^{-1}(B)とおく。§E1.1 命題 4.8により(q∘p)−1(B)=p−1(B′)(q\circ p)^{-1}(B)=p^{-1}(B')である。x∈p−1(B′)x\in p^{-1}(B')に対してqB(pB′(x))=q(p(x))=(q∘p)B(x)q_B(p_{B'}(x))=q(p(x))=(q\circ p)_B(x)であるから、p−1(B′)p^{-1}(B')、B′B'、BBに部分空間位相を入れたとき(q∘p)B=qB∘pB′(q\circ p)_B=q_B\circ p_{B'}である。ppは継承的商写像であるからpB′p_{B'}は商写像であり、qqは継承的商写像であるからqBq_Bは商写像である。ゆえに§E2.12 命題 8.4により(q∘p)B(q\circ p)_Bは商写像である。BBは任意であったからq∘pq\circ pは継承的商写像である。

(2)を示す。z∈Zz\in Zと、(q∘p)−1({z})⊆⋃i∈IUi(q\circ p)^{-1}(\{z\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iを満たすXXの開集合の族(Ui)i∈I(U_i)_{i\in I}をとる。§E1.1 命題 4.8により(q∘p)−1({z})=p−1(q−1({z}))(q\circ p)^{-1}(\{z\})=p^{-1}(q^{-1}(\{z\}))である。y∈q−1({z})y\in q^{-1}(\{z\})に対してp−1({y})⊆p−1(q−1({z}))⊆⋃i∈IUip^{-1}(\{y\})\subseteq p^{-1}(q^{-1}(\{z\}))\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iであるから、ppが双商写像であることによりy∈int⁡(⋃i∈Fp(Ui))y\in\tpint{\bigcup_{i\in F}p(U_i)}を満たす有限部分集合F⊆IF\subseteq Iが存在する。各y∈q−1({z})y\in q^{-1}(\{z\})についてこのようなFFを一つとってFyF_yと書き、Vy=int⁡(⋃i∈Fyp(Ui))V_y=\tpint{\bigcup_{i\in F_y}p(U_i)}とおく。VyV_yはyyを含むYYの開集合であるからq−1({z})⊆⋃y∈q−1({z})Vyq^{-1}(\{z\})\subseteq\bigcup_{y\in q^{-1}(\{z\})}V_yであり、qqが双商写像であることによりz∈int⁡(⋃y∈Eq(Vy))z\in\tpint{\bigcup_{y\in E}q(V_y)}を満たす有限部分集合E⊆q−1({z})E\subseteq q^{-1}(\{z\})が存在する。

I0=⋃y∈EFyI_0=\bigcup_{y\in E}F_yとおくとI0I_0はIIの有限部分集合である。x∈Uix\in U_iに対して(q∘p)(x)=q(p(x))(q\circ p)(x)=q(p(x))であるから(q∘p)(Ui)=q(p(Ui))(q\circ p)(U_i)=q(p(U_i))である。y∈Ey\in Eに対して§E2.11 命題 2.5 (1)によりVy⊆⋃i∈Fyp(Ui)V_y\subseteq\bigcup_{i\in F_y}p(U_i)であるから、§E1.1 命題 4.5 (2)と§E1.2 定理 4.2により

q(Vy)⊆q(⋃i∈Fyp(Ui))=⋃i∈Fyq(p(Ui))⊆⋃i∈I0(q∘p)(Ui)q(V_y)\subseteq q\Bigl(\bigcup_{i\in F_y}p(U_i)\Bigr)=\bigcup_{i\in F_y}q(p(U_i))\subseteq\bigcup_{i\in I_0}(q\circ p)(U_i)

である。ゆえに⋃y∈Eq(Vy)⊆⋃i∈I0(q∘p)(Ui)\bigcup_{y\in E}q(V_y)\subseteq\bigcup_{i\in I_0}(q\circ p)(U_i)である。int⁡(⋃y∈Eq(Vy))\tpint{\bigcup_{y\in E}q(V_y)}は⋃i∈I0(q∘p)(Ui)\bigcup_{i\in I_0}(q\circ p)(U_i)に含まれる開集合であるから、§E2.11 命題 2.5 (1)により

z∈int⁡(⋃y∈Eq(Vy))⊆int⁡(⋃i∈I0(q∘p)(Ui))z\in\tpint{\bigcup_{y\in E}q(V_y)}\subseteq\tpint{\bigcup_{i\in I_0}(q\circ p)(U_i)}

である。

(3)を示す。WWを位相空間とする。(x,w)∈X×W(x,w)\in X\times Wに対して

((q∘p)×id⁡W)(x,w)=(q(p(x)),w)=(q×id⁡W)((p×id⁡W)(x,w))\bigl((q\circ p)\times\operatorname{id}_W\bigr)(x,w)=(q(p(x)),w)=(q\times\operatorname{id}_W)\bigl((p\times\operatorname{id}_W)(x,w)\bigr)

であるから(q∘p)×id⁡W=(q×id⁡W)∘(p×id⁡W)(q\circ p)\times\operatorname{id}_W=(q\times\operatorname{id}_W)\circ(p\times\operatorname{id}_W)である。二つの因子はともに商写像であるから、§E2.12 命題 8.4により合成は商写像である。WWは任意であったからq∘pq\circ pは普遍商写像である。▨

注意 7.2. 商写像の合成が商写像であることは§E2.12 命題 8.4が与える。したがって四つの区分はいずれも合成で保たれる。

定理 7.3. 位相空間XX、YYと連続な全射q ⁣:X→Yq\colon X\to Y、部分集合B⊆YB\subseteq Yに対してA=q−1(B)A=q^{-1}(B)とおき、値域と終域を制限した写像をqB ⁣:A→Bq_B\colon A\to B、qB(x)=q(x)q_B(x)=q(x)とする。

  1. qqが継承的商写像ならばqBq_Bは継承的商写像である。
  2. qqが双商写像ならばqBq_Bは双商写像である。

証明.注意 1.2によりqBq_Bは連続な全射である。

(1)を示す。C⊆BC\subseteq BとするとqB−1(C)=q−1(C)q_B^{-1}(C)=q^{-1}(C)である。§E2.12 系 4.5により、q−1(C)q^{-1}(C)がAAから受ける部分空間位相とXXから受ける部分空間位相は一致し、CCがBBから受ける部分空間位相とYYから受ける部分空間位相は一致する。qBq_Bの値域と終域をqB−1(C)q_B^{-1}(C)とCCへ制限した写像は、qqの値域と終域をq−1(C)q^{-1}(C)とCCへ制限した写像に等しく、qqが継承的商写像であることによりこれは商写像である。CCは任意であったからqBq_Bは継承的商写像である。

(2)を示す。y∈By\in Bと、qB−1({y})⊆⋃i∈IWiq_B^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}W_iを満たす部分空間AAの開集合の族(Wi)i∈I(W_i)_{i\in I}をとる。§E2.12 定義 4.1により、各i∈Ii\in Iに対してWi=Ui∩AW_i=U_i\cap Aを満たすXXの開集合UiU_iをとる。qB−1({y})=q−1({y})q_B^{-1}(\{y\})=q^{-1}(\{y\})でありWi⊆UiW_i\subseteq U_iであるからq−1({y})⊆⋃i∈IUiq^{-1}(\{y\})\subseteq\bigcup_{i\in I}U_iであり、qqが双商写像であることによりy∈int⁡Y(⋃i∈I0q(Ui))y\in\tpint[Y]{\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)}を満たす有限部分集合I0⊆II_0\subseteq Iが存在する。

各i∈Ii\in Iに対して、§E2.12 補題 5.5をS=UiS=U_iへ適用するとqB(Wi)=qB(A∩Ui)=B∩q(Ui)q_B(W_i)=q_B(A\cap U_i)=B\cap q(U_i)である。

G=int⁡Y(⋃i∈I0q(Ui))G=\tpint[Y]{\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)}とおくと、GGはYYの開集合であるから§E2.12 定義 4.1によりG∩BG\cap BはBBの開集合であり、

G∩B⊆(⋃i∈I0q(Ui))∩B=⋃i∈I0(q(Ui)∩B)=⋃i∈I0qB(Wi)G\cap B\subseteq\Bigl(\bigcup_{i\in I_0}q(U_i)\Bigr)\cap B=\bigcup_{i\in I_0}\bigl(q(U_i)\cap B\bigr)=\bigcup_{i\in I_0}q_B(W_i)

である。G∩BG\cap Bは⋃i∈I0qB(Wi)\bigcup_{i\in I_0}q_B(W_i)に含まれるBBの開集合であってyyを含むから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりy∈int⁡B(⋃i∈I0qB(Wi))y\in\tpint[B]{\bigcup_{i\in I_0}q_B(W_i)}である。▨

注意 7.4. 商写像であることは全逆像への制限で保たれない。例 6.1のqqは商写像であって継承的商写像でないから、定義 1.1により、qBq_Bが商写像でないような部分集合BBが存在する。継承的商写像の定義は、商写像であることが失われるこの操作について、失われないことをそのまま要請したものである。

8 演習

問題 8.1.例 6.3 (1)の証明を完成させよ。

解答.

§E2.12 例 8.13の同値関係は、[0,1][0,1]の閉集合{0,1}\{0,1\}を一点につぶす同値関係である。実際、(0,1)=B(1/2,1/2)(0,1)=B(1/2,1/2)は§E2.2 補題 1.2によりR\Rの開集合であるから、§E2.12 定義 4.1により(0,1)(0,1)は[0,1][0,1]の開集合であり、{0,1}=[0,1]∖(0,1)\{0,1\}=[0,1]\setminus(0,1)は[0,1][0,1]の閉集合である。ゆえに§E2.12 補題 8.12によりπ\piは閉写像である連続な全射である。

c∈[0,1]/∼c\in[0,1]/{\sim}に対してπ−1({c})\pi^{-1}(\{c\})は{0,1}\{0,1\}であるか一点集合であり、いずれも有限であるから、§E2.19 例 2.3により[0,1][0,1]のコンパクト部分集合である。ゆえに§E2.20 系 5.5 (3)によりπ\piは完全写像である。▨

問題 8.2.例 6.1の記号のもとで、制限qBq_Bが商写像でないような部分集合B⊆YB\subseteq Yを明示的に与え、そのことを示せ。

解答.

例 6.1の証明のとおりに無理数xxとU=(x−1,x+1)U=(x-1,x+1)をとり、y=q(x)y=q(x)、B=(Y∖q(U))∪{y}B=(Y\setminus q(U))\cup\{y\}、A=q−1(B)A=q^{-1}(B)とおく。

x∈Ux\in Uかつy∈By\in Bであるからx∈A∩Ux\in A\cap Uである。x′∈A∩Ux'\in A\cap Uとするとq(x′)∈q(U)q(x')\in q(U)かつq(x′)∈Bq(x')\in Bであるからq(x′)=yq(x')=yであり、q−1({y})={x}q^{-1}(\{y\})=\{x\}からx′=xx'=xである。ゆえにA∩U={x}A\cap U=\{x\}であり、§E2.12 定義 4.1により{x}\{x\}は部分空間AAの開集合である。qB−1({y})=q−1({y})={x}q_B^{-1}(\{y\})=q^{-1}(\{y\})=\{x\}である。

{y}\{y\}が部分空間BBの開集合であると仮定する。§E2.12 定義 4.1によりV∩B={y}V\cap B=\{y\}を満たすYYの開集合VVが存在する。V∩(Y∖q(U))⊆V∩B={y}V\cap(Y\setminus q(U))\subseteq V\cap B=\{y\}であり、y=q(x)∈q(U)y=q(x)\in q(U)からy∉Y∖q(U)y\notin Y\setminus q(U)であるからV∩(Y∖q(U))=∅V\cap(Y\setminus q(U))=\emptysetであり、V⊆q(U)V\subseteq q(U)である。VVはq(U)q(U)に含まれる開集合であってyyを含むから、§E2.11 命題 2.5 (1)によりy∈int⁡(q(U))y\in\tpint{q(U)}である。これは例 6.1の証明が示したy∉int⁡(q(U))y\notin\tpint{q(U)}と両立しない。

したがって{y}\{y\}はBBの開集合でない。qB−1({y})q_B^{-1}(\{y\})はAAの開集合であるから、qBq_Bは商写像でない。▨

問題 8.3. 双商写像であって、開写像でも完全写像でもないものの例を挙げ、そのことを示せ。

解答.

[0,1][0,1]にR\Rからの部分空間位相を入れ、P=[0,1]×RP=[0,1]\times\Rに積位相を入れる。射影をpr⁡1 ⁣:P→[0,1]\operatorname{pr}_1\colon P\to[0,1]とし、例 6.3のπ ⁣:[0,1]→[0,1]/∼\pi\colon[0,1]\to[0,1]/{\sim}をとってr=π∘pr⁡1r=\pi\circ\operatorname{pr}_1とおく。

[0,1][0,1]の開集合UUに対してpr⁡1−1(U)=U×R\operatorname{pr}_1^{-1}(U)=U\times\Rは§E2.14 補題 1.11によりPPの開集合であるからpr⁡1\operatorname{pr}_1は連続であり、t∈[0,1]t\in[0,1]に対してpr⁡1((t,0))=t\operatorname{pr}_1((t,0))=tであるから全射である。WWをPPの開集合とすると、§E2.14 補題 1.11と§E2.13 定義 1.1によりWWはU×VU\times Vの形の集合からなる族の合併であり、§E1.2 定理 4.2によりpr⁡1(W)\operatorname{pr}_1(W)はそれらの像の合併である。pr⁡1(U×V)\operatorname{pr}_1(U\times V)はV=∅V=\emptysetのとき∅\emptysetであり、V≠∅V\neq\emptysetのときUUであるから、いずれも[0,1][0,1]の開集合である。ゆえにpr⁡1\operatorname{pr}_1は開写像であり、命題 3.1により双商写像である。例 6.3 (2)によりπ\piは双商写像であるから、定理 7.1 (2)によりrrは双商写像である。

U0=[0,1/2)U_0=[0,1/2)は§E2.12 例 8.16により[0,1][0,1]の開集合であり、π(U0)\pi(U_0)は[0,1]/∼[0,1]/{\sim}の開集合でない。U0×RU_0\times\Rは§E2.14 補題 1.11によりPPの開集合であってr(U0×R)=π(U0)r(U_0\times\R)=\pi(U_0)であるから、rrは開写像でない。

c=π(1/2)c=\pi(1/2)とおくとr−1({c})={1/2}×Rr^{-1}(\{c\})=\{1/2\}\times\Rである。n∈Z≥1n\in\mathbb Z_{\ge1}に対して[0,1]×(−n,n)[0,1]\times(-n,n)は§E2.14 補題 1.11によりPPの開集合であり、§D1.4 命題 2.1により任意のb∈Rb\in\Rに対して∣b∣<n|b|<nを満たすnnが存在するから、この族は{1/2}×R\{1/2\}\times\Rを覆う。空の部分族は{1/2}×R\{1/2\}\times\Rを覆わない。空でない有限部分族の添字をn1,…,nkn_1,\ldots,n_kとしN=max⁡{n1,…,nk}N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}とおくと、(1/2,N)∈{1/2}×R(1/2,N)\in\{1/2\}\times\Rはどの[0,1]×(−nj,nj)[0,1]\times(-n_j,n_j)にも属さない。ゆえに§E2.19 命題 2.6により{1/2}×R\{1/2\}\times\Rはコンパクトでない。{c}\{c\}は§E2.19 例 2.3によりコンパクトであるからrrは固有でなく、§E2.20 定義 2.1により完全写像でない。▨

参考文献

  1. Ryszard Engelking, General Topology, revised and completed ed., Sigma Series in Pure Mathematics 6, Heldermann Verlag, Berlin, 1989.継承的商写像と双商写像の定義、点の全逆像を含む開集合による特徴づけ、および三つの区分の階層を参考にした。
  2. Ernest Michael, Bi-quotient maps and Cartesian products of quotient maps, Annales de l'Institut Fourier 18 (1968), 287–302.双商写像の定義、開写像および完全写像が双商写像であること、双商写像が恒等写像との直積で保たれること、終域が Hausdorff 空間であるときに普遍商写像が双商写像であること、および商写像を保つ空間の局所コンパクト性による特徴づけを参考にした。
  3. J. H. C. Whitehead, Note on a theorem due to Borsuk, Bulletin of the American Mathematical Society 54 (1948), no. 12, 1125–1132.局所コンパクト空間との直積が商写像を保つことを参考にした。
  4. Stephen Willard, General Topology, Dover Publications, 2004, originally published 1970.商写像の代表的な例と、商写像が制限で保たれないことを示す構成を参考にした。

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