連続関数環の極大イデアル | 環論入門

1 点で消える関数のイデアル

命題 1.1. $X$ を位相空間、 $x\in X$ とする。

M_x:=\{f\in C(X,\R)\mid f(x)=0\}

は $C(X,\R)$ の極大イデアルであり、評価写像 $\ev_x$ は環同型

C(X,\R)/M_x\longrightarrow\R, \qquad f+M_x\longmapsto f(x)

を誘導する。

証明.§E2.34 補題 1.1 (1)により $\ev_x\colon C(X,\R)\to\R$ は環準同型であり、その核は $M_x$ である。各 $c\in\R$ に対し、値 $c$ の定数関数の評価は $c$ であるから、 $\ev_x$ は全射である。したがって、§E6.3 命題 6.1と§E6.3 定理 6.2により $M_x$ はイデアルであり、表示した写像は環同型である。 $\R$ は体なので、§E6.4 命題 3.2 (2)により $M_x$ は極大イデアルである。▨

命題 1.2. $X$ をコンパクト空間、 $I\subsetneq C(X,\R)$ を真のイデアルとする。このとき、 $I$ に属するすべての関数が零になる点が存在する。すなわち、

\bigcap_{f\in I}Z(f)\ne\emptyset

である。

証明. $X=\emptyset$ ならば $C(X,\R)$ は空写像だけからなる零環であり、真のイデアルをもたない。したがって、仮定から $X\ne\emptyset$ である。

$n\in\NN$ と $f_1,\ldots,f_n\in I$ をとり、 $g=\sum_{j=1}^n f_j^2$ とおく。イデアルの性質により $g\in I$ であり、実数の平方は非負であるから

Z(g)=\bigcap_{j=1}^nZ(f_j)

である。この共通部分が空ならば、§E2.16 命題 5.1 (2)により $1/g\in C(X,\R)$ である。すると $1=g(1/g)\in I$ となり、 $I=C(X,\R)$ を得るが、これは $I$ が真のイデアルであることに反する。よって、閉集合族 $(Z(f))_{f\in I}$ は有限交差性をもつ。

$0\in I$ なので添字集合 $I$ は空でなく、§E2.16 命題 4.3 (1)により各 $Z(f)$ は閉集合である。 $X$ のコンパクト性と§E2.19 定理 3.2により、 $\bigcap_{f\in I}Z(f)\ne\emptyset$ である。▨

定理 1.3. $X$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。

$C(X,\R)$ の任意の極大イデアル $M$ に対して、 $M=M_x$ を満たす $x\in X$ が存在する。
写像 $x\mapsto M_x$ は、 $X$ から $C(X,\R)$ の極大イデアル全体への全単射である。

証明.(1)を示す。 $M$ は真のイデアルなので、命題 1.2により $x\in\bigcap_{f\in M}Z(f)$ をとることができる。このとき $M\subseteq M_x$ であり、命題 1.1により $M_x$ は真のイデアルである。 $M$ の極大性から $M=M_x$ である。

(2)を示す。命題 1.1と(1)により、 $x\mapsto M_x$ は極大イデアル全体への全射である。相異なる $x,x'\in X$ をとる。§E2.19 系 6.12により $X$ は T3½ 空間であり、§E2.15 命題 1.5により $\{x'\}$ は閉集合である。§E2.15 定義 1.7 (2)により、 $f(x)=0$ 、 $f(x')=1$ を満たす連続関数 $f\colon X\to[0,1]$ が存在する。 $f$ を実数値関数とみなすと、 $f\in M_x$ かつ $f\notin M_{x'}$ である。したがって $M_x\ne M_{x'}$ であり、写像は単射でもある。▨

2 実極大イデアル

定義 2.1 (実極大イデアル). $X$ を位相空間とする。ある環準同型 $\varphi\colon C(X,\R)\to\R$ の核として表されるイデアルを、 $C(X,\R)$ の実極大イデアル (real maximal ideal) という。

命題 2.2. $X$ を位相空間とする。任意の環準同型 $\varphi\colon C(X,\R)\to\R$ の核は極大イデアルであり、 $\varphi$ はその核から一意に定まる。また、 $C(X,\R)$ のイデアル $M$ が実極大イデアルであることと、商環 $C(X,\R)/M$ が環として $\R$ に同型であることは同値である。

証明.§E2.34 系 1.5により、任意の $c\in\R$ に対して $\varphi(c)=c$ であるから、 $\varphi$ は全射である。§E6.3 定理 6.2により $C(X,\R)/\ker\varphi\cong\R$ であり、§E6.4 命題 3.2 (2)により $\ker\varphi$ は極大イデアルである。

$\psi\colon C(X,\R)\to\R$ を $\ker\psi=\ker\varphi$ を満たす環準同型とする。任意の $f\in C(X,\R)$ に対して、定数関数 $\varphi(f)$ を引けば $f-\varphi(f)\in\ker\varphi=\ker\psi$ である。 $\psi$ も実定数を固定するから、

0=\psi(f-\varphi(f))=\psi(f)-\varphi(f)

である。よって $\psi=\varphi$ である。

$M$ が実極大イデアルならば、 $M=\ker\varphi$ となる $\varphi$ に対して既に示した同型を用いれば $C(X,\R)/M\cong\R$ を得る。逆に、環同型 $\alpha\colon C(X,\R)/M\to\R$ が存在するとする。§E6.3 命題 5.1の商準同型を $q\colon C(X,\R)\to C(X,\R)/M$ とすれば、 $\alpha\circ q$ は環準同型であり、 $\alpha$ の単射性から $\ker(\alpha\circ q)=\ker q=M$ である。したがって $M$ は実極大イデアルである。▨

定理 2.3. $X$ を実コンパクト空間とする。写像 $x\mapsto M_x$ は、 $X$ から $C(X,\R)$ の実極大イデアル全体への全単射である。

証明. 各 $x\in X$ に対して $M_x=\ker\ev_x$ であるから、 $M_x$ は実極大イデアルである。逆に、実極大イデアル $M$ をとり、 $M=\ker\varphi$ となる環準同型 $\varphi\colon C(X,\R)\to\R$ をとる。実コンパクト性の定義§E2.34 定義 1.2により、 $\varphi=\ev_x$ となる $x\in X$ が存在する。したがって $M=M_x$ であり、写像 $x\mapsto M_x$ は全射である。

$M_x=M_{x'}$ とすると、命題 2.2により $\ev_x=\ev_{x'}$ である。 $X$ は T3½ 空間なので、 $x\ne x'$ ならば§E2.15 命題 1.5と§E2.15 定義 1.7 (2)により、 $f(x)=0$ 、 $f(x')=1$ を満たす実数値連続関数 $f$ が存在する。これは $\ev_x=\ev_{x'}$ に反するから $x=x'$ であり、写像は単射である。▨

系 2.4. $X$ をコンパクト Hausdorff 空間とする。 $C(X,\R)$ のすべての極大イデアルは実極大イデアルである。

証明.定理 1.3 (1)により、任意の極大イデアルは、ある $x\in X$ に対して $M_x=\ker\ev_x$ と表される。▨

例 2.5. $D$ を可算無限集合に離散位相を入れた空間とする。有限台関数の集合

I:=\{f\in C(D,\R)\mid \{d\in D\mid f(d)\ne0\}\text{ は有限集合である}\}

は、共通零点をもたない真のイデアルである。

実際、零関数は $I$ に属する。 $f,g\in I$ に対して $f-g$ が零でない点は $f$ または $g$ が零でない点に限られ、その集合は有限であるから $f-g\in I$ である。 $h\in C(D,\R)$ と $f\in I$ に対して $hf$ が零でない点は $f$ が零でない点に限られるから $hf\in I$ である。よって $I$ はイデアルである。定数関数 $1$ の台は無限集合 $D$ なので $1\notin I$ であり、 $I$ は真のイデアルである。

各 $d\in D$ に対して、 $d$ で値 $1$ をとり、他の点で値 $0$ をとる関数 $\delta_d$ は連続である。実際、任意の開集合の逆像は $D$ の部分集合であり、離散位相では開集合である。 $\delta_d\in I$ かつ $\delta_d(d)=1$ なので、 $d$ は $I$ の共通零点ではない。したがって $\bigcap_{f\in I}Z(f)=\emptyset$ である。

注意 2.6.§E2.34 例 2.4 (2)により、可算無限離散空間は実コンパクトである。したがって例 2.5は、実コンパクト性だけでは真のイデアルの共通零点の存在が保証されないことを示す。さらに、この例の有限台関数のイデアル $I$ を含む実極大イデアルは存在しない。実際、定理 2.3により実極大イデアルはある $d\in D$ に対して $M_d$ と表されるが、 $I\subseteq M_d$ ならば $d$ は $I$ の共通零点となり、共通零点の不存在に反する。実コンパクト性によって点と対応するのは実極大イデアルであり、すべての極大イデアルではない。

一般の T3½ 空間 $X$ については、 $C(X,\R)$ の全極大イデアルは Stone–Čech のコンパクト化 $\beta X$ の点と一対一に対応し、実極大イデアルは Hewitt の実コンパクト化 $vX$ の点と一対一に対応する。どちらの対応でも、 $x\in X$ に対応するイデアルは $M_x$ である。 $\beta X\setminus X$ の点に対応する極大イデアルは、どの $M_x$ にも含まれない。これらの対応の証明は後に譲る。

3 環同型と極大イデアルの対応

命題 3.1. $A$ 、 $B$ を可換環、 $\Phi\colon A\to B$ を環同型とする。 $B$ の任意の極大イデアル $N$ に対して、 $\Phi^{-1}(N)$ は $A$ の極大イデアルである。

証明. 商準同型 $q\colon B\to B/N$ と $\Phi$ の合成 $q\circ\Phi$ は全射であり、その核は $\Phi^{-1}(N)$ である。§E6.3 命題 6.1と§E6.3 定理 6.2により、 $\Phi^{-1}(N)$ はイデアルであり、

A/\Phi^{-1}(N)\cong B/N

である。 $N$ の極大性と§E6.4 命題 3.2 (2)により $B/N$ は体なので、同じ特徴づけにより $\Phi^{-1}(N)$ は極大イデアルである。▨

命題 3.2. $X$ 、 $Y$ をコンパクト Hausdorff 空間、 $\Phi\colon C(X,\R)\to C(Y,\R)$ を環同型とする。このとき、任意の $f\in C(X,\R)$ に対して

\Phi(f)=f\circ\tau

を満たす同相写像 $\tau\colon Y\to X$ が一意に存在する。この写像は、各 $y\in Y$ について

\Phi^{-1}(M_y)=M_{\tau(y)}

という極大イデアルの対応によって定まる。

証明. 演習とする（問題 4.1）。▨

4 演習

問題 4.1.命題 3.2を、極大イデアルの分類から証明せよ。 $\Phi$ と逆同型に対応する写像を構成し、関数の値の一致と点と閉集合の分離を用いて、両写像が互いに逆の連続写像であることを示せ。

解答.

$C(\emptyset,\R)$ は零環であり、空でない空間上では定数関数 $0$ と $1$ が異なる。したがって、 $X$ と $Y$ の一方だけが空の場合には環同型 $\Phi$ は存在しない。両方が空の場合は、一意の空写像 $Y\to X$ が要求を満たす同相写像である。以下、 $X$ と $Y$ は空でないとする。

各 $y\in Y$ について、命題 1.1と命題 3.1により、 $\Phi^{-1}(M_y)$ は $C(X,\R)$ の極大イデアルである。定理 1.3 (2)により

\Phi^{-1}(M_y)=M_{\tau(y)}

となる点 $\tau(y)\in X$ が一意に存在し、写像 $\tau\colon Y\to X$ が定まる。同じ分類を逆同型 $\Psi:=\Phi^{-1}\colon C(Y,\R)\to C(X,\R)$ へ適用して、

\Psi^{-1}(M_x)=M_{\sigma(x)}\qquad(x\in X)

により写像 $\sigma\colon X\to Y$ を定める。逆像の合成により

M_{\tau(\sigma(x))} =\Phi^{-1}(\Psi^{-1}(M_x))=M_x, \qquad M_{\sigma(\tau(y))} =\Psi^{-1}(\Phi^{-1}(M_y))=M_y

である。定理 1.3 (2)の単射性から $\tau\circ\sigma=\id_X$ かつ $\sigma\circ\tau=\id_Y$ であり、 $\tau$ と $\sigma$ は互いに逆の全単射である。

$y\in Y$ に対し、 $\ev_y\circ\Phi$ は環準同型 $C(X,\R)\to\R$ である。§E2.34 系 1.5により、任意の $c\in\R$ に対して $\Phi(c)(y)=c$ である。任意の $f\in C(X,\R)$ について $f-f(\tau(y))\in M_{\tau(y)}=\Phi^{-1}(M_y)$ なので、

0=\Phi\bigl(f-f(\tau(y))\bigr)(y) =\Phi(f)(y)-f(\tau(y))

である。したがって $\Phi(f)=f\circ\tau$ である。 $\Psi$ と $\sigma$ に対してもこの計算を適用すると、任意の $g\in C(Y,\R)$ に対して $\Psi(g)=g\circ\sigma$ を得る。

$U\subseteq X$ を開集合、 $y\in\tau^{-1}(U)$ とする。§E2.19 系 6.12と§E2.15 定義 1.7 (2)により、 $a(\tau(y))=0$ であり、 $X\setminus U$ 上で値 $1$ をとる連続関数 $a\colon X\to[0,1]$ が存在する。 $a$ を実数値関数とみなすと $a\circ\tau=\Phi(a)$ は連続であるから、

V=(a\circ\tau)^{-1}\bigl((-1/2,1/2)\bigr)

は $y$ を含む開集合である。 $z\in V$ ならば $a(\tau(z))\ne1$ なので $\tau(z)\in U$ であり、 $V\subseteq\tau^{-1}(U)$ である。したがって $\tau^{-1}(U)$ の各点はその集合に含まれる開近傍をもち、 $\tau^{-1}(U)$ は開集合である。よって $\tau$ は連続である。 $Y$ もコンパクト Hausdorff 空間であり、すべての $g\in C(Y,\R)$ に対して $g\circ\sigma=\Psi(g)$ は連続なので、 $X$ と $Y$ 、 $\tau$ と $\sigma$ を入れ替えた同じ議論により $\sigma$ も連続である。ゆえに $\tau$ は同相写像である。

$\tau'\colon Y\to X$ も $\Phi(f)=f\circ\tau'$ を満たすとする。各 $y\in Y$ について、

\Phi^{-1}(M_y) =\{f\in C(X,\R)\mid f(\tau'(y))=0\} =M_{\tau'(y)}

である。 $\Phi^{-1}(M_y)=M_{\tau(y)}$ と定理 1.3 (2)の単射性から $\tau'(y)=\tau(y)$ を得る。したがって $\tau'=\tau$ である。

逆に、同相写像 $\tau\colon Y\to X$ が与えられれば、§E2.12 命題 1.10により $f\mapsto f\circ\tau$ と $g\mapsto g\circ\tau^{-1}$ は連続関数環の間の写像を定める。各点ごとの和、積、単位元を保ち、互いに逆であるから、両写像は環同型である。▨

§E6.5連続関数環の極大イデアル

1 点で消える関数のイデアル

2 実極大イデアル

3 環同型と極大イデアルの対応

4 演習

前提記事