本質拡大と入射包絡 | 環論入門

1 本質的部分加群

定義 1.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群、 $N\subseteq M$ を部分加群とする。任意の非零部分加群 $L\subseteq M$ に対して $L\cap N\ne0$ が成り立つとき、 $N$ は $M$ の本質的部分加群 (essential submodule) であるという。

左 $R$ -加群の単射 $i\colon N\to M$ の像が $M$ の本質的部分加群であるとき、 $i$ を本質拡大 (essential extension) という。さらに $i$ が全射でないとき、 $i$ を真の本質拡大という。

命題 1.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群、 $N\subseteq M$ を部分加群とする。次の三条件は同値である。

$N$ は $M$ の本質的部分加群である。
任意の $x\in M\setminus\{0\}$ に対して、 $rx\in N\setminus\{0\}$ となる $r\in R$ が存在する。
任意の左 $R$ -加群 $X$ と $R$ -線形写像 $f\colon M\to X$ に対して、制限 $f|_N$ が単射ならば $f$ も単射である。

証明.条件 (a) $\Rightarrow$ (b)を示す。 $x\in M\setminus\{0\}$ に対して部分加群 $Rx$ は非零なので、 $Rx\cap N$ の非零元を取ればよい。

条件 (b) $\Rightarrow$ (a)を示す。非零部分加群 $L\subseteq M$ の非零元 $x$ を取り、 $rx\in N\setminus\{0\}$ となる $r\in R$ を選ぶ。 $rx\in L\cap N$ なので $L\cap N\ne0$ である。

条件 (a) $\Rightarrow$ (c)を示す。 $f|_N$ が単射ならば $\ker f\cap N=0$ である。 $N$ の本質性から $\ker f=0$ となるので、 $f$ は単射である。

条件 (c) $\Rightarrow$ (a)を示す。 $L\subseteq M$ が $L\cap N=0$ を満たす部分加群ならば、商写像 $q\colon M\to M/L$ の $N$ への制限は単射である。仮定から $q$ は単射なので、 $L=\ker q=0$ である。▨

命題 1.3. $R$ を単位元をもつ結合環とする。

左 $R$ -加群の部分加群列 $A\subseteq B\subseteq M$ において、 $A$ が $B$ で本質的であり、 $B$ が $M$ で本質的であるならば、 $A$ は $M$ で本質的である。
左 $R$ -加群 $M$ の本質的部分加群の有限族 $(N_i)_{i\in I}$ に対して、 $\bigcap_{i\in I}N_i$ は $M$ で本質的である。空の共通部分は $M$ とする。
左 $R$ -加群の線形写像 $f\colon M\to X$ と $X$ の本質的部分加群 $N$ に対して、 $f^{-1}(N)$ は $M$ で本質的である。
有限集合 $I$ で添字づけられた左 $R$ -加群の族 $(M_i)_{i\in I}$ と本質的部分加群 $N_i\subseteq M_i$ に対して、 $\bigoplus_{i\in I}N_i$ は $\bigoplus_{i\in I}M_i$ で本質的である。

証明.(1)を示す。非零部分加群 $L\subseteq M$ に対して $L\cap B\ne0$ であり、 $A$ の本質性から $(L\cap B)\cap A\ne0$ となる。 $A\subseteq B$ なので $L\cap A\ne0$ である。

(2)を示す。 $N_1,N_2\subseteq M$ が本質的であり、 $L\subseteq M$ が非零部分加群ならば、 $L\cap N_1\ne0$ である。 $N_2$ の本質性から $(L\cap N_1)\cap N_2\ne0$ となるので、 $N_1\cap N_2$ は本質的である。有限族については帰納法で従う。空の共通部分 $M$ も $M$ で本質的である。

(3)を示す。非零部分加群 $L\subseteq M$ を取る。 $f(L)=0$ ならば $L\subseteq f^{-1}(N)$ である。 $f(L)\ne0$ ならば、 $f(L)\cap N$ の非零元 $y$ と、 $f(x)=y$ を満たす $x\in L$ を取る。 $x$ は $L\cap f^{-1}(N)$ の非零元である。したがって、どちらの場合も $L\cap f^{-1}(N)\ne0$ となる。

(4)を示す。座標射影を $\pi_i\colon\bigoplus_{j\in I}M_j\to M_i$ とする。(3)により各 $\pi_i^{-1}(N_i)$ は本質的であり、有限族について

\bigoplus_{i\in I}N_i=\bigcap_{i\in I}\pi_i^{-1}(N_i)

が成り立つ。(2)によって結論を得る。 $I=\varnothing$ の場合にも両辺は零加群である。▨

例 1.4. 各 $n\ge1$ に対して、 $2^n\Z$ は $\Z$ の本質的部分加群である。実際、 $\Z$ の任意の非零部分加群はある非零整数 $m$ によって $m\Z$ と書け、

\operatorname{lcm}(|m|,2^n)\Z\subseteq m\Z\cap2^n\Z

の左辺は非零である。

一方、すべての $2^n$ で割り切れる整数は零だけなので、

\bigcap_{n\ge1}2^n\Z=0

である。零部分加群と非零部分加群 $\Z$ の共通部分は零であるため、零部分加群は $\Z$ で本質的ではない。したがって、命題 1.3 (2)の有限性を除くことはできない。

補題 1.5. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群、 $A\subseteq M$ を部分加群とする。 $A\cap C=0$ を満たす部分加群 $C\subseteq M$ の集合には、包含関係について極大な元が存在する。そのような任意の極大元 $C$ に対して、内部直和 $A\oplus C$ は $M$ の本質的部分加群である。

証明. $\mathcal C=\{C\subseteq M:C\text{ は部分加群であり }A\cap C=0\}$ と置く。 $0\in\mathcal C$ であり、 $\mathcal C$ の空でない鎖の和集合は部分加群である。この和集合と $A$ の共通部分の元は、鎖の一つの元と $A$ の共通部分に属するので零である。したがって和集合は $\mathcal C$ に属する。空の鎖には $0$ が上界となるので、Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)により極大元 $C$ が存在する。

$L\subseteq M$ が $L\cap(A+C)=0$ を満たす部分加群であるとする。 $a=c+\ell\in A\cap(C+L)$ ならば、 $\ell=a-c\in L\cap(A+C)$ なので $\ell=0$ であり、 $a=c\in A\cap C=0$ となる。よって $C+L\in\mathcal C$ である。 $C$ の極大性から $C+L=C$ 、したがって $L\subseteq C$ となる。 $L\cap(A+C)=0$ と合わせると $L=0$ である。したがって $A+C=A\oplus C$ は $M$ で本質的である。▨

2 入射性と本質拡大

命題 2.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。次の二条件は同値である。

$M$ は入射加群である。
$M$ からの任意の本質拡大 $i\colon M\to X$ は同型である。

証明.条件 (a) $\Rightarrow$ (b)を示す。本質拡大 $i\colon M\to X$ を取る。§E6.17 命題 1.2 条件 (d)により、 $X=i(M)\oplus C$ となる部分加群 $C$ が存在する。 $C\cap i(M)=0$ と $i(M)$ の本質性から $C=0$ である。したがって $i$ は同型である。

条件 (b) $\Rightarrow$ (a)を示す。 $M$ を部分加群として含む左 $R$ -加群 $X$ を取る。補題 1.5によって $M\cap C=0$ を満たす極大な部分加群 $C\subseteq X$ を取り、商写像を $q\colon X\to X/C$ とする。 $q|_M$ は単射である。

$L\subseteq X/C$ が $L\cap q(M)=0$ を満たす部分加群であるとする。 $D=q^{-1}(L)$ と置くと $C\subseteq D$ である。 $m\in D\cap M$ ならば $q(m)\in L\cap q(M)=0$ であり、 $m\in C\cap M=0$ となる。 $C$ の極大性から $D=C$ となり、 $L=q(D)=0$ を得る。したがって $q(M)$ は $X/C$ で本質的である。

仮定から $q|_M\colon M\to X/C$ は同型である。任意の $x\in X$ に対して $q(x)=q(m)$ となる $m\in M$ が存在するので $X=M+C$ である。 $M\cap C=0$ だから $X=M\oplus C$ となる。 $X$ は任意なので、§E6.17 命題 1.2 条件 (d)によって $M$ は入射的である。▨

補題 2.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $I$ を入射左 $R$ -加群、 $M\subseteq I$ を部分加群とする。 $M\subseteq H\subseteq I$ であって $M$ が $H$ で本質的となる部分加群の集合において、 $H$ が包含関係について極大ならば、 $H$ は入射加群である。

証明. $H\subseteq X$ を本質拡大とする。 $I$ の入射性によって包含写像 $H\to I$ を $f\colon X\to I$ へ延長する。 $f|_H$ は単射なので、命題 1.2 条件 (c)により $f$ は単射である。命題 1.3 (1)によって $M$ は $X$ で本質的であり、 $f$ が $M$ 上恒等であることから $M$ は $f(X)$ で本質的である。 $H\subseteq f(X)\subseteq I$ と $H$ の極大性から $f(X)=H$ となる。

$x\in X$ に対して $f(x)\in H$ であり、 $f$ は $H$ 上恒等なので $f(f(x))=f(x)$ である。 $f$ の単射性から $x=f(x)\in H$ となり、 $X=H$ を得る。したがって $H$ は真の本質拡大を持たず、命題 2.1により入射的である。▨

3 入射包絡

定義 3.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。入射左 $R$ -加群 $E$ への本質拡大 $i\colon M\to E$ を $M$ の入射包絡 (injective hull) という。入射包絡の終域を $E(M)$ と書くことがある。

定理 3.2. $R$ を単位元をもつ結合環とする。任意の左 $R$ -加群は入射包絡を持つ。

証明. 左 $R$ -加群 $M$ を取り、§E6.17 定理 5.4によって入射加群への単射 $M\to I$ を取る。 $M$ をその像と同定し、

\mathcal E=\{H\subseteq I:H\text{ は部分加群であり、}M\subseteq H\text{ は本質拡大である}\}

と置く。 $M\in\mathcal E$ である。 $\mathcal E$ の空でない鎖の和集合 $U$ は $I$ の部分加群である。 $x\in U\setminus\{0\}$ はある $H\in\mathcal E$ に属し、命題 1.2 条件 (b)により $rx\in M\setminus\{0\}$ となる $r\in R$ が存在する。よって $M$ は $U$ で本質的であり、 $U\in\mathcal E$ となる。空の鎖には $M$ が上界となる。Zorn の補題§E1.20 定理 2.1 (3)による極大元 $H\in\mathcal E$ は補題 2.2によって入射的なので、 $M\to H$ は入射包絡である。▨

定理 3.3. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とし、 $i\colon M\to E$ と $i'\colon M\to E'$ を入射包絡とする。このとき、 $f\circ i=i'$ を満たす左 $R$ -加群の同型 $f\colon E\to E'$ が存在する。

証明. $E'$ の入射性によって $i'$ を $i$ に沿って $f\colon E\to E'$ へ延長する。 $f$ の $i(M)$ への制限は単射なので、命題 1.2 条件 (c)により $f$ は単射である。 $E$ は入射的であるから、§E6.17 命題 1.2 条件 (d)により $E'=f(E)\oplus C$ となる部分加群 $C$ が存在する。 $i'(M)\subseteq f(E)$ なので $C\cap i'(M)=0$ であり、 $i'(M)$ の本質性から $C=0$ となる。よって $f$ は同型である。▨

命題 3.4. $R$ を単位元をもつ結合環、 $E$ を左 $R$ -加群、 $M\subseteq E$ を部分加群とする。次の三条件は同値である。

$E$ は入射的であり、 $M$ は $E$ で本質的である。
$E$ は入射的であり、 $M\subseteq J\subseteq E$ を満たす入射部分加群 $J$ は $E$ に限られる。
$M$ は $E$ で本質的であり、任意の左 $R$ -加群 $X$ と単射 $j\colon E\to X$ に対して、 $j(M)$ が $X$ で本質的ならば $j$ は同型である。

証明.条件 (a) $\Rightarrow$ (b)を示す。 $M\subseteq J\subseteq E$ を満たす入射部分加群 $J$ を取る。§E6.17 命題 1.2 条件 (d)により $E=J\oplus C$ と書くと、 $C\cap M=0$ である。 $M$ の本質性から $C=0$ となり、 $J=E$ を得る。

条件 (b) $\Rightarrow$ (a)を示す。定理 3.2によって入射包絡 $i\colon M\to H$ を取り、 $E$ の入射性によって包含写像 $M\to E$ を $f\colon H\to E$ へ延長する。命題 1.2 条件 (c)により $f$ は単射なので、 $f(H)$ は $M$ を含む入射部分加群である。仮定から $f(H)=E$ となる。 $i(M)$ は $H$ で本質的なので、同型 $f$ によって $M$ は $E$ で本質的である。

条件 (a) $\Rightarrow$ (c)を示す。単射 $j\colon E\to X$ に対して $j(M)$ が $X$ で本質的であるとする。 $j(M)\subseteq j(E)$ なので $j(E)$ も $X$ で本質的であり、 $j$ は本質拡大である。 $E$ の入射性と命題 2.1から $j$ は同型である。

条件 (c) $\Rightarrow$ (a)を示す。本質拡大 $j\colon E\to X$ を取る。命題 1.3 (1)により $j(M)$ は $X$ で本質的なので、仮定から $j$ は同型である。命題 2.1によって $E$ は入射的である。▨

4 入射包絡の例

例 4.1. $R$ を整域、 $K$ をその分数体とする。包含写像 $R\to K$ は入射包絡である。実際、 $K$ は§E6.17 命題 3.6によって入射 $R$ -加群である。非零元 $a/b\in K$ に対して $b(a/b)=a\in R\setminus\{0\}$ なので、命題 1.2 条件 (b)により $R$ は $K$ で本質的である。

例 4.2. 整数環 $\Z$ に例 4.1を適用すると、包含写像 $\Z\to\Q$ は入射包絡である。したがって $E(\Z)=\Q$ と取ることができる。

例 4.3. $p$ を素数、 $n\ge1$ を整数とする。Prüfer $p$ -群 $\Z(p^\infty)=\Z[1/p]/\Z$ に対する写像

i_n\colon\Z/p^n\Z\longrightarrow\Z(p^\infty), \qquad a+p^n\Z\longmapsto a/p^n+\Z

は入射包絡である。

加法群準同型 $\Z\to\Z(p^\infty)$ 、 $a\mapsto a/p^n+\Z$ の核は $p^n\Z$ なので、商への因子化§E6.2 命題 4.3によって $i_n$ は単射準同型として定まる。像は $(\frac1{p^n}\Z)/\Z$ である。 $\Z(p^\infty)$ の任意の非零元を $x=a/p^k+\Z$ 、 $k\ge1$ 、 $p\nmid a$ と書くと、 $p^{k-1}x=a/p+\Z$ は非零であり、 $i_n$ の像に属する。命題 1.2 条件 (b)により $i_n$ は本質拡大である。 $\Z(p^\infty)$ は§E6.17 例 3.7によって入射的なので、 $i_n$ は入射包絡である。

例 4.4.例 4.3と同じ素数 $p$ と整数 $n\ge1$ を取り、 $\Z$ -加群準同型

u\colon\Z(p^\infty)\longrightarrow\Z(p^\infty), \qquad x\longmapsto(1+p^n)x

を考える。 $1+p^n$ は $p$ と互いに素である。 $\Z(p^\infty)$ の各元は位数が $p$ の冪である有限巡回部分群に属し、Bézout の等式により $1+p^n$ 倍写像はその部分群上で全単射である。したがって $u$ は自己同型である。

任意の $a+p^n\Z\in\Z/p^n\Z$ に対して

u\bigl(i_n(a+p^n\Z)\bigr)-i_n(a+p^n\Z) =p^n(a/p^n+\Z)=a+\Z=0

なので、 $u\circ i_n=i_n$ である。一方、

u(1/p^{n+1}+\Z)-(1/p^{n+1}+\Z)=1/p+\Z\ne0

であるから、 $u$ は恒等写像ではない。恒等写像と $u$ はいずれも $i_n$ と両立する。したがって、定理 3.3はもとの加群上で恒等となる同型の存在を述べるが、そのような同型写像の一意性は述べない。

5 極小入射分解と射影被覆

定義 5.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。左 $R$ -加群の完全列

0\longrightarrow M\xrightarrow{d^{-1}}I^0\xrightarrow{d^0}I^1 \xrightarrow{d^1}I^2\longrightarrow\cdots

で各 $I^n$ が入射加群であるものを、 $M$ の入射分解 (injective resolution) という。 $d^{-1}\colon M\to I^0$ と、各 $n\ge0$ において $d^n$ が誘導する単射

\overline d^{\,n}\colon I^n/\im d^{n-1}\longrightarrow I^{n+1}

がすべて入射包絡であるとき、この入射分解を極小入射分解 (minimal injective resolution) という。

定理 3.2により $M$ の入射包絡を取り、各段で余核の入射包絡を取って商写像と合成すれば、合成の核が直前の像に等しいので、任意の $M$ は極小入射分解を持つ。

定義 5.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P$ を左 $R$ -加群とする。部分加群 $K\subseteq P$ が小部分加群 (small submodule) であるとは、任意の部分加群 $L\subseteq P$ に対して、 $K+L=P$ ならば $L=P$ となることをいう。射影左 $R$ -加群 $P$ から左 $R$ -加群 $M$ への全射 $\pi\colon P\to M$ であって $\ker\pi$ が小部分加群であるものを、 $M$ の射影被覆 (projective cover) という。

注意 5.3. $\Z/2\Z$ は $\Z$ -加群として射影被覆を持たない。射影被覆 $\pi\colon P\to\Z/2\Z$ が存在すると仮定し、 $K=\ker\pi$ と置く。§E6.16 命題 1.2 (3)により $P$ は自由 $\Z$ -加群の直和因子である。自由 $\Z$ -加群では非零整数倍が各座標で単射なので、 $P$ においても非零整数倍は単射である。

$\pi(x)=1+2\Z$ となる $x\in P$ を取る。任意の $y\in P$ に対して $\pi(y)=a\pi(x)$ となる整数 $a$ が存在し、 $y-ax\in K$ となるので、 $P=K+\Z x$ である。 $K$ が小部分加群であることから $P=\Z x$ を得る。 $x\ne0$ であり非零整数倍は単射なので、 $a\mapsto ax$ は $\Z\cong P$ を与える。この同型によって $K$ は $2\Z$ に対応する。しかし $2\Z+3\Z=\Z$ かつ $3\Z\ne\Z$ であるから、 $K$ が小部分加群であることに反する。

6 演習

問題 6.1. 写像

j\colon\Z/6\Z\longrightarrow\Z(2^\infty)\oplus\Z(3^\infty), \qquad a+6\Z\longmapsto(a/2+\Z,a/3+\Z)

が入射包絡であることを示せ。

解答.

準同型 $a\mapsto(a/2+\Z,a/3+\Z)$ が零となることは $2\mid a$ かつ $3\mid a$ と同値であり、さらに $6\mid a$ と同値である。したがって商への因子化によって $j$ は単射準同型として定まる。

$A=(\frac12\Z)/\Z$ 、 $B=(\frac13\Z)/\Z$ と置くと $j(\Z/6\Z)\subseteq A\oplus B$ である。任意の整数 $u,v$ に対して $a=3u+4v$ は $a\equiv u\pmod2$ 、 $a\equiv v\pmod3$ を満たすので、 $j(a+6\Z)=(u/2+\Z,v/3+\Z)$ である。よって $j(\Z/6\Z)=A\oplus B$ となる。

例 4.3により $A$ は $\Z(2^\infty)$ で本質的であり、 $B$ は $\Z(3^\infty)$ で本質的である。命題 1.3 (4)によって $A\oplus B$ は $\Z(2^\infty)\oplus\Z(3^\infty)$ で本質的である。二つの Prüfer 群は入射的であり、有限直和は直積に等しいので、§E6.17 命題 1.3 (1)により終域も入射的である。したがって $j$ は入射包絡である。▨

§E6.19本質拡大と入射包絡