§E6.3イデアル

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イデアルは、環の加法部分群のうち、環の元による乗法で閉じるものを表す。非可換環では、左からの乗法で閉じる条件と右からの乗法で閉じる条件が異なるため、左イデアル、右イデアルおよび両側イデアルを区別する。本記事を通じて、環は単位的結合環とし、環準同型は単位元を保つものとする。環の規約には§E6.1 定義 1.1を、左右加群の規約には§E6.2 定義 1.1を用いる。

1 左イデアル、右イデアルおよび両側イデアル

環RRは、左からの乗法によって左正則加群となり、右からの乗法によって右正則加群となる。片側イデアルは、これらの正則加群の部分加群である。

定義 1.1. 環RRの部分集合IIを考える。

  1. IIが左正則加群RR{}_RRの左部分加群であるとき、すなわちIIがRRの加法部分群であり、 r∈R,x∈I⟹rx∈Ir\in R,\quad x\in I\quad\Longrightarrow\quad rx\in I を満たすとき、IIを左イデアル (left ideal) という。
  2. IIが右正則加群RRR_Rの右部分加群であるとき、すなわちIIがRRの加法部分群であり、 x∈I,r∈R⟹xr∈Ix\in I,\quad r\in R\quad\Longrightarrow\quad xr\in I を満たすとき、IIを右イデアル (right ideal) という。
  3. IIが左イデアルかつ右イデアルであるとき、IIを両側イデアル (two-sided ideal) という。両側イデアルは、IIが加法部分群であり、任意のr,s∈Rr,s\in Rとx∈Ix\in Iに対してrxs∈Irxs\in Iを満たすことと同値である。

単にRRのイデアル (ideal) という場合には、両側イデアルを意味する。零部分群{0}\{0\}とRR自身は両側イデアルである。

両側イデアルに関する定義の同値性を確認する。IIが両側イデアルならば、rx∈Irx\in Iの右側からssを掛けることによってrxs∈Irxs\in Iを得る。逆にrxs∈Irxs\in Iがすべてのr,sr,sについて成り立つならば、s=1Rs=1_Rと置くとrx∈Irx\in I、r=1Rr=1_Rと置くとxs∈Ixs\in Iとなる。

行列環では、左イデアルと右イデアルの違いを具体的に見ることができる。

例 1.2 (行列環の片側イデアル).R=M2(Z)R=M_2(\mathbb Z)とし、

L:={(a0c0) | a,c∈Z},J:={(ab00) | a,b∈Z}L:=\left\{ \begin{pmatrix}a&0\\ c&0\end{pmatrix} \ \middle|\ a,c\in\mathbb Z \right\}, \qquad J:=\left\{ \begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b\in\mathbb Z \right\}

と置く。LLの元へ任意の行列を左から掛けても第2列は零のままであるから、LLは左イデアルである。しかし、行列単位を用いるとE11∈LE_{11}\in LかつE11E12=E12∉LE_{11}E_{12}=E_{12}\notin Lであるため、LLは右イデアルではない。

同様に、JJの元へ任意の行列を右から掛けても第2行は零のままであるから、JJは右イデアルである。一方、E11∈JE_{11}\in JかつE21E11=E21∉JE_{21}E_{11}=E_{21}\notin Jであるため、JJは左イデアルではない。

2 片側イデアルによる商加群

片側イデアルは正則加群の部分加群であるから、対応する側の商加群を定める。

命題 2.1.LLを環RRの左イデアルとする。商加法群R/LR/Lは

a(b+L):=ab+La(b+L):=ab+L

によって左RR加群になる。

JJを環RRの右イデアルとする。商加法群R/JR/Jは

(b+J)a:=ba+J(b+J)a:=ba+J

によって右RR加群になる。いずれの場合にも、自然な射影は対応する側の全射な加群準同型である。

証明.LLは左正則加群RR{}_RRの左部分加群であるため、§E6.2 定義 3.1によってR/LR/Lは左RR加群になる。作用の well-defined 性を直接確認すると、b+L=b′+Lb+L=b'+Lならばb−b′∈Lb-b'\in Lであり、任意のa∈Ra\in Rに対して

ab−ab′=a(b−b′)∈Lab-ab'=a(b-b')\in L

である。したがってab+L=ab′+Lab+L=ab'+Lである。加群公理と自然な射影の左線形性は§E6.2 命題 3.2から従う。

右イデアルJJについては、b+J=b′+Jb+J=b'+Jならば(b−b′)a∈J(b-b')a\in Jであるため、ba+J=b′a+Jba+J=b'a+Jとなる。右加群公理と自然な射影の右線形性も、右正則加群の商に§E6.2 命題 3.2を適用することによって得られる。▨

片側イデアルだけでは、剰余類の積は一般に定まらない。例えば例 1.2の左イデアルLLについて、E11+L=LE_{11}+L=Lは零元であるが、

E11E12=E12∉LE_{11}E_{12}=E_{12}\notin L

である。したがって、積を代表元の積で定めようとすると、(E11+L)(E12+L)(E_{11}+L)(E_{12}+L)と(0+L)(E12+L)(0+L)(E_{12}+L)が異なり、代表元の選択に依存する。

3 生成イデアル

環の部分集合を含む最小の片側イデアルまたは両側イデアルを、有限和によって具体的に構成する。

命題 3.1. 環RRの部分集合X⊆RX\subseteq Rに対して

RX:={∑k=1nrkxk | n≥0, rk∈R, xk∈X},RX:=\left\{ \sum_{k=1}^n r_kx_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k\in R,\ x_k\in X \right\},XR:={∑k=1nxkrk | n≥0, rk∈R, xk∈X},XR:=\left\{ \sum_{k=1}^n x_kr_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k\in R,\ x_k\in X \right\},RXR:={∑k=1nrkxksk | n≥0, rk,sk∈R, xk∈X}RXR:=\left\{ \sum_{k=1}^n r_kx_ks_k \ \middle|\ n\ge 0,\ r_k,s_k\in R,\ x_k\in X \right\}

と置く。n=0n=0の和は00と解釈する。このとき、RXRXはXXを含む最小の左イデアル、XRXRはXXを含む最小の右イデアル、RXRRXRはXXを含む最小の両側イデアルである。

X={x}X=\{x\}の場合には、それぞれRxRx、xRxR、RxRRxRと書く。RxRRxRは有限個のrxsrxsの和全体を表す。

証明.RXRXは有限和の加法と加法逆元について閉じる。a∈Ra\in Rに対して

a∑k=1nrkxk=∑k=1n(ark)xk∈RXa\sum_{k=1}^n r_kx_k=\sum_{k=1}^n (ar_k)x_k\in RX

であるから、RXRXは左イデアルである。x=1Rxx=1_RxよりX⊆RXX\subseteq RXである。XXを含む左イデアルLLは各rkxkr_kx_kを含み、加法で閉じるため、その有限和をすべて含む。したがってRX⊆LRX\subseteq Lであり、最小性が成り立つ。

XRXRについては、有限和へ右からaaを掛ける計算

(∑k=1nxkrk)a=∑k=1nxk(rka)\left(\sum_{k=1}^n x_kr_k\right)a =\sum_{k=1}^n x_k(r_ka)

を用いると、同じ証明によって右イデアル性と最小性を得る。

RXRRXRは加法部分群であり、a,b∈Ra,b\in Rに対して

a(∑k=1nrkxksk)b=∑k=1n(ark)xk(skb)∈RXRa\left(\sum_{k=1}^n r_kx_ks_k\right)b =\sum_{k=1}^n (ar_k)x_k(s_kb)\in RXR

であるから、両側イデアルである。x=1Rx1Rx=1_Rx1_RよりXXを含む。XXを含む両側イデアルは各rkxkskr_kx_ks_kとその有限和を含むため、RXRRXRは最小である。▨

4 イデアルの和、共通部分および積

同じ側のイデアルは、和と共通部分によって再び同じ側のイデアルを与える。積については、本記事では両側イデアルの積を扱う。

命題 4.1.(Iα)α∈A(I_\alpha)_{\alpha\in A}を、環RRの左イデアルだけ、右イデアルだけ、または両側イデアルだけからなる族とする。このとき

∑α∈AIα:={∑α∈Fxα | F⊆A は有限集合, xα∈Iα}\sum_{\alpha\in A}I_\alpha :=\left\{ \sum_{\alpha\in F}x_\alpha \ \middle|\ F\subseteq A\text{ は有限集合},\ x_\alpha\in I_\alpha \right\}

はすべてのIαI_\alphaを含む最小の同じ側のイデアルである。また、A≠∅A\ne\varnothingならば

⋂α∈AIα\bigcap_{\alpha\in A}I_\alpha

はすべてのIαI_\alphaに含まれる最大の同じ側のイデアルである。空族の共通部分はRRとする。

証明. 左イデアルと右イデアルの場合、和に関する主張は§E6.2 命題 6.1を正則加群へ適用すると得られる。両側イデアルの族については、その和が左イデアルかつ右イデアルであるため、両側イデアルになる。

共通部分は各IαI_\alphaの加法部分群の共通部分であるから、加法部分群である。左イデアルの族でx∈⋂αIαx\in\bigcap_\alpha I_\alphaとr∈Rr\in Rならば、すべてのα\alphaについてrx∈Iαrx\in I_\alphaであるため、rx∈⋂αIαrx\in\bigcap_\alpha I_\alphaである。右イデアルの場合もxrxrを用いる同じ議論が成り立ち、両側イデアルの場合には両方を適用する。和の最小性と共通部分の最大性は、それぞれ包含関係の定義から従う。空族の場合にはRR自身が対応する側のイデアルである。▨

命題 4.2.I,JI,Jを環RRの両側イデアルとする。集合

IJ:={∑k=1nxkyk | n≥0, xk∈I, yk∈J}IJ:=\left\{ \sum_{k=1}^n x_ky_k \ \middle|\ n\ge0,\ x_k\in I,\ y_k\in J \right\}

は両側イデアルであり、IJ⊆I∩JIJ\subseteq I\cap Jを満たす。両側イデアルI,J,KI,J,Kに対して

(IJ)K=I(JK)(IJ)K=I(JK)

が成り立つ。また、積は和に対して左右から分配する。

証明.IJIJが加法部分群であることは、有限和の表示から従う。a,b∈Ra,b\in Rとz=∑kxkyk∈IJz=\sum_kx_ky_k\in IJに対して

azb=∑k(axk)(ykb)azb=\sum_k(ax_k)(y_kb)

であり、axk∈Iax_k\in I、ykb∈Jy_kb\in Jであるから、azb∈IJazb\in IJである。よってIJIJは両側イデアルである。

各積xkykx_ky_kは、IIの右イデアル性からIIに属し、JJの左イデアル性からJJに属する。したがって有限和もI∩JI\cap Jに属し、IJ⊆I∩JIJ\subseteq I\cap Jである。

(IJ)K(IJ)Kの元は、有限和を展開すると(xkyk)zk(x_ky_k)z_kの有限和として表される。環の結合律により(xkyk)zk=xk(ykzk)(x_ky_k)z_k=x_k(y_kz_k)であるため、その元はI(JK)I(JK)に属する。逆向きも同じ等式を反対向きに用いると得られ、(IJ)K=I(JK)(IJ)K=I(JK)となる。

例えば(I+J)K(I+J)Kの元を展開すると、(x+y)z=xz+yz(x+y)z=xz+yzの有限和であるからIK+JKIK+JKに属する。逆にIKIKとJKJKはともに(I+J)K(I+J)Kに含まれるため、(I+J)K=IK+JK(I+J)K=IK+JKである。K(I+J)=KI+KJK(I+J)=KI+KJも同様である。▨

非可換環では、イデアル積の順序を交換することはできない。

例 4.3 (順序に依存するイデアル積).TTを整数係数の上三角行列環とし、行列単位を用いて

I:=ZE11+ZE12,J:=ZE12+ZE22I:=\mathbb ZE_{11}+\mathbb ZE_{12}, \qquad J:=\mathbb ZE_{12}+\mathbb ZE_{22}

と置く。A=aE11+bE12+cE22∈TA=aE_{11}+bE_{12}+cE_{22}\in Tに対して

AE11=aE11,AE12=aE12,E11A=aE11+bE12,E12A=cE12,AE_{11}=aE_{11},\quad AE_{12}=aE_{12},\quad E_{11}A=aE_{11}+bE_{12},\quad E_{12}A=cE_{12},AE22=bE12+cE22,E22A=cE22AE_{22}=bE_{12}+cE_{22},\qquad E_{22}A=cE_{22}

である。したがってIIとJJは左右からの乗法で閉じている。さらに、行列単位の積を計算すると

IJ=ZE12,JI={0}IJ=\mathbb ZE_{12},\qquad JI=\{0\}

となる。したがって、両側イデアルであってもIJ=JIIJ=JIとは限らない。

5 両側イデアルによる商環

両側イデアルでは左右両方の吸収性を用いることができるため、剰余類の積を代表元の積によって定めることができる。証明では、まず右吸収性と左吸収性を一度ずつ用いて積の well-defined 性を示す。次に環公理を代表元の計算へ帰着し、最後に自然な射影が環準同型であり、その核がもとの両側イデアルに一致することを確認する。

命題 5.1.IIを環RRの両側イデアルとする。商加法群R/IR/Iに

(a+I)(b+I):=ab+I(a+I)(b+I):=ab+I

で積を定めると、この積は代表元によらず、R/IR/Iは単位元1R+I1_R+Iをもつ環になる。自然な射影

q ⁣:R⟶R/I,q(a)=a+Iq\colon R\longrightarrow R/I,\qquad q(a)=a+I

は全射な環準同型であり、ker⁡q=I\ker q=Iである。

証明. まず積の well-defined 性を示す。a+I=a′+Ia+I=a'+Iかつb+I=b′+Ib+I=b'+Iとする。このときa−a′∈Ia-a'\in Iかつb−b′∈Ib-b'\in Iである。IIの右イデアル性と左イデアル性から

(a−a′)b∈I,a′(b−b′)∈I(a-a')b\in I, \qquad a'(b-b')\in I

である。したがって

ab−a′b′=(a−a′)b+a′(b−b′)∈Iab-a'b'=(a-a')b+a'(b-b')\in I

であり、ab+I=a′b′+Iab+I=a'b'+Iを得る。

加法についてR/IR/Iがアーベル群であることは商加法群の構成から従う。任意のa,b,c∈Ra,b,c\in Rに対して

((a+I)(b+I))(c+I)=(ab)c+I=a(bc)+I=(a+I)((b+I)(c+I))\bigl((a+I)(b+I)\bigr)(c+I) =(ab)c+I=a(bc)+I =(a+I)\bigl((b+I)(c+I)\bigr)

であるから、積は結合的である。また、

(a+I)((b+I)+(c+I))=a(b+c)+I=ab+ac+I(a+I)\bigl((b+I)+(c+I)\bigr) =a(b+c)+I=ab+ac+I

であり、右分配律も同様にRRの分配律から従う。さらに

(1R+I)(a+I)=a+I=(a+I)(1R+I)(1_R+I)(a+I)=a+I=(a+I)(1_R+I)

であるため、1R+I1_R+Iは単位元である。よってR/IR/Iは環になる。

qqが加法、乗法および単位元を保つことは、剰余類の演算の定義から従う。qqは各剰余類の代表元をその剰余類へ写すため全射である。また、

q(a)=I⟺a∈Iq(a)=I\quad\Longleftrightarrow\quad a\in I

であるから、ker⁡q=I\ker q=Iである。▨

6 環準同型の核と第一同型定理

環準同型の核は両側イデアルである。したがって、核による商は片側の商加群にとどまらず、商環になる。第一同型定理では、核による剰余類を像へ送る写像を構成し、well-defined 性、環準同型性、単射性および全射性の順に確認する。

命題 6.1. 環準同型φ ⁣:R→S\varphi\colon R\to Sに対して、ker⁡φ\ker\varphiはRRの両側イデアルであり、im⁡φ\operatorname{im}\varphiはSSの部分環である。

証明.φ\varphiは加法群の準同型であるため、ker⁡φ\ker\varphiはRRの加法部分群である。x∈ker⁡φx\in\ker\varphiとr∈Rr\in Rに対して

φ(rx)=φ(r)φ(x)=φ(r)0=0,\varphi(rx)=\varphi(r)\varphi(x)=\varphi(r)0=0,φ(xr)=φ(x)φ(r)=0φ(r)=0\varphi(xr)=\varphi(x)\varphi(r)=0\varphi(r)=0

である。したがってrx,xr∈ker⁡φrx,xr\in\ker\varphiであり、ker⁡φ\ker\varphiは両側イデアルである。

y=φ(a)y=\varphi(a)とz=φ(b)z=\varphi(b)を像の元とする。環準同型の性質から

y−z=φ(a−b),yz=φ(ab)y-z=\varphi(a-b),\qquad yz=\varphi(ab)

は像に属する。また、1S=φ(1R)1_S=\varphi(1_R)も像に属する。よってim⁡φ\operatorname{im}\varphiはSSの部分環である。▨

定理 6.2 (環の第一同型定理). 環準同型φ ⁣:R→S\varphi\colon R\to Sに対して、

R/ker⁡φ≅im⁡φR/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi

が成り立つ。

証明.K:=ker⁡φK:=\ker\varphiと置く。命題 6.1によりKKは両側イデアルであるから、命題 5.1によって商環R/KR/Kが定まる。写像

φ‾ ⁣:R/K⟶im⁡φ,φ‾(a+K):=φ(a)\overline\varphi\colon R/K\longrightarrow\operatorname{im}\varphi, \qquad \overline\varphi(a+K):=\varphi(a)

を考える。

a+K=a′+Ka+K=a'+Kならばa−a′∈Ka-a'\in Kであるため、φ(a)=φ(a′)\varphi(a)=\varphi(a')である。よってφ‾\overline\varphiは well-defined である。任意のa,b∈Ra,b\in Rに対して

φ‾((a+K)+(b+K))=φ(a+b)=φ(a)+φ(b),\overline\varphi\bigl((a+K)+(b+K)\bigr) =\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),φ‾((a+K)(b+K))=φ(ab)=φ(a)φ(b)\overline\varphi\bigl((a+K)(b+K)\bigr) =\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)

であり、φ‾(1R+K)=1S\overline\varphi(1_R+K)=1_Sである。したがってφ‾\overline\varphiは環準同型である。

φ‾(a+K)=0\overline\varphi(a+K)=0ならばa∈ker⁡φ=Ka\in\ker\varphi=Kであるため、a+K=Ka+K=Kは商環の零元である。よってφ‾\overline\varphiは単射である。像の任意の元はφ(a)=φ‾(a+K)\varphi(a)=\overline\varphi(a+K)の形であるから、φ‾\overline\varphiは全射である。したがってφ‾\overline\varphiは環同型である。▨

7 加群の零化イデアルとIMIM・MIMI

加群全体を零に写す環の元は、片側イデアルではなく両側イデアルをなす。

命題 7.1.MMを左RR加群とする。集合

Ann⁡R(M):={r∈R∣∀m∈M, rm=0}\operatorname{Ann}_R(M) :=\{r\in R\mid \forall m\in M,\ rm=0\}

はRRの両側イデアルである。

MMが右RR加群である場合には

Ann⁡R(M):={r∈R∣∀m∈M, mr=0}\operatorname{Ann}_R(M) :=\{r\in R\mid \forall m\in M,\ mr=0\}

と定める。この集合もRRの両側イデアルである。

証明. 左加群の場合を証明する。r,s∈Ann⁡R(M)r,s\in\operatorname{Ann}_R(M)とm∈Mm\in Mに対して

(r−s)m=rm−sm=0(r-s)m=rm-sm=0

であるため、Ann⁡R(M)\operatorname{Ann}_R(M)は加法部分群である。a∈Ra\in Rに対して

(ar)m=a(rm)=0(ar)m=a(rm)=0

であるから、ar∈Ann⁡R(M)ar\in\operatorname{Ann}_R(M)である。また、am∈Mam\in Mであるため

(ra)m=r(am)=0(ra)m=r(am)=0

であり、ra∈Ann⁡R(M)ra\in\operatorname{Ann}_R(M)である。したがって零化イデアルは両側イデアルである。

右加群の場合も加法部分群であることは同じ計算から従う。r∈Ann⁡R(M)r\in\operatorname{Ann}_R(M)、a∈Ra\in R、m∈Mm\in Mに対して

m(ar)=(ma)r=0,m(ra)=(mr)a=0m(ar)=(ma)r=0, \qquad m(ra)=(mr)a=0

であるため、ararとraraはともに零化イデアルに属する。▨

両側イデアルは、加群の内部に自然な部分加群を作る。

命題 7.2.IIを環RRの両側イデアル、MMを左RR加群とする。集合

IM:={∑k=1nikmk | n≥0, ik∈I, mk∈M}IM:=\left\{ \sum_{k=1}^n i_km_k \ \middle|\ n\ge0,\ i_k\in I,\ m_k\in M \right\}

はMMの左部分加群であり、すべてのimim（i∈Ii\in I、m∈Mm\in M）を含む最小の左部分加群である。

MMが右RR加群である場合、

MI:={∑k=1nmkik | n≥0, mk∈M, ik∈I}MI:=\left\{ \sum_{k=1}^n m_ki_k \ \middle|\ n\ge0,\ m_k\in M,\ i_k\in I \right\}

はMMの右部分加群であり、すべてのmimiを含む最小の右部分加群である。

証明.IMIMは有限和の定義から加法部分群である。r∈Rr\in Rとx=∑kikmk∈IMx=\sum_ki_km_k\in IMに対して

rx=∑k(rik)mkrx=\sum_k(ri_k)m_k

であり、IIの左イデアル性からrik∈Iri_k\in Iである。したがってrx∈IMrx\in IMであり、IMIMは左部分加群である。各imimは一項の和としてIMIMに属する。これらの元をすべて含む左部分加群は有限和も含むため、IMIMの最小性が従う。

MIMIも加法部分群である。x=∑kmkik∈MIx=\sum_km_ki_k\in MIとr∈Rr\in Rに対して

xr=∑kmk(ikr)xr=\sum_km_k(i_kr)

であり、IIの右イデアル性からikr∈Ii_kr\in Iである。よってMIMIは右部分加群であり、同じ有限和の議論から最小性を得る。▨

8 左右イデアル商

コロン記号で表すイデアル商は、商加群R/IR/Iとは異なり、積が指定したイデアルへ入る環の元を集めた片側イデアルである。非可換環では、部分集合を掛ける側を明示する必要がある。

命題 8.1.IIを環RRの左イデアル、X⊆RX\subseteq Rを部分集合とする。

(I:X)left:={r∈R∣∀x∈X, rx∈I}(I:X)_{\mathrm{left}} :=\{r\in R\mid \forall x\in X,\ rx\in I\}

は左イデアルである。すなわち、左イデアル商では候補rrの右側にxxを掛ける。

JJを環RRの右イデアル、X⊆RX\subseteq Rを部分集合とする。

(J:X)right:={r∈R∣∀x∈X, xr∈J}(J:X)_{\mathrm{right}} :=\{r\in R\mid \forall x\in X,\ xr\in J\}

は右イデアルである。すなわち、右イデアル商では候補rrの左側にxxを掛ける。X=∅X=\varnothingの場合、どちらの集合もRRである。

証明.r,s∈(I:X)leftr,s\in(I:X)_{\mathrm{left}}とx∈Xx\in Xに対して

(r−s)x=rx−sx∈I(r-s)x=rx-sx\in I

であるため、(I:X)left(I:X)_{\mathrm{left}}は加法部分群である。a∈Ra\in Rに対して

(ar)x=a(rx)∈I(ar)x=a(rx)\in I

であるから、ar∈(I:X)leftar\in(I:X)_{\mathrm{left}}である。よって(I:X)left(I:X)_{\mathrm{left}}は左イデアルである。

同様に、r,s∈(J:X)rightr,s\in(J:X)_{\mathrm{right}}とx∈Xx\in Xに対して

x(r−s)=xr−xs∈Jx(r-s)=xr-xs\in J

である。a∈Ra\in Rに対して

x(ra)=(xr)a∈Jx(ra)=(xr)a\in J

であるから、ra∈(J:X)rightra\in(J:X)_{\mathrm{right}}である。したがって(J:X)right(J:X)_{\mathrm{right}}は右イデアルである。XXが空集合ならば全称条件は任意のr∈Rr\in Rについて成り立つ。▨

RRが可換環でIIがイデアルである場合には、任意のr,x∈Rr,x\in Rに対してrx=xrrx=xrである。したがって

(I:X)left=(I:X)right={r∈R∣∀x∈X, rx∈I}(I:X)_{\mathrm{left}}=(I:X)_{\mathrm{right}} =\{r\in R\mid \forall x\in X,\ rx\in I\}

となる。この共通のイデアルを通常(I:X)(I:X)と書く。

9 Gauss 整数環の商表示

環の第一同型定理を、多項式の除法を用いずに適用する。

例 9.1 (Gauss 整数環の商表示).M2(Z)M_2(\mathbb Z)の単位行列をI2I_2とし、

J:=(0−110)J:= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}

と置く。このときJ2=−I2J^2=-I_2である。§E6.1 例 2.1の行列環の中に

Z[i]:={aI2+bJ∣a,b∈Z}⊆M2(Z)\mathbb Z[i] :=\{aI_2+bJ\mid a,b\in\mathbb Z\} \subseteq M_2(\mathbb Z)

を定める。右辺が部分環をなすことを最初に確認する。a,b,c,d∈Za,b,c,d\in\mathbb Zに対して

(aI2+bJ)+(cI2+dJ)=(a+c)I2+(b+d)J,−(aI2+bJ)=(−a)I2+(−b)J,(aI2+bJ)(cI2+dJ)=(ac−bd)I2+(ad+bc)J\begin{aligned} (aI_2+bJ)+(cI_2+dJ)&=(a+c)I_2+(b+d)J,\\ -(aI_2+bJ)&=(-a)I_2+(-b)J,\\ (aI_2+bJ)(cI_2+dJ)&=(ac-bd)I_2+(ad+bc)J \end{aligned}

である。また、零行列は0I2+0J0I_2+0J、M2(Z)M_2(\mathbb Z)の単位元はI2=1I2+0JI_2=1I_2+0Jである。したがってZ[i]\mathbb Z[i]は加法、加法逆元および乗法について閉じ、行列環と同じ単位元を含む部分環である。

さらに

aI2+bJ=(a−bba)aI_2+bJ= \begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}

であるから、aI2+bJ=0aI_2+bJ=0ならば行列成分の比較によってa=b=0a=b=0となる。したがってZ[i]\mathbb Z[i]の各元の表示aI2+bJaI_2+bJは一意である。

環準同型

ι ⁣:Z⟶Z[i],n⟼nI2\iota\colon\mathbb Z\longrightarrow\mathbb Z[i], \qquad n\longmapsto nI_2

の像はJJと可換である。したがって§E6.1 定理 7.3により、XXをJJへ写す環準同型

ev⁡J ⁣:Z[X]⟶Z[i],∑n≥0anXn⟼∑n≥0anJn\operatorname{ev}_J\colon\mathbb Z[X]\longrightarrow\mathbb Z[i], \qquad \sum_{n\ge0}a_nX^n\longmapsto\sum_{n\ge0}a_nJ^n

が一意に定まる。この写像はa+bXa+bXをaI2+bJaI_2+bJへ写すため全射である。また、

ker⁡(ev⁡J)=(X2+1)\ker(\operatorname{ev}_J)=(X^2+1)

である。

核の等式を直接示す。f(X)=∑n≥0anXnf(X)=\sum_{n\ge0}a_nX^nとし、有限和

A:=∑k≥0(−1)ka2k,B:=∑k≥0(−1)ka2k+1A:=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k}, \qquad B:=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k+1}

を考える。J2k=(−1)kI2J^{2k}=(-1)^kI_2およびJ2k+1=(−1)kJJ^{2k+1}=(-1)^kJであるから、ev⁡J(f)=AI2+BJ\operatorname{ev}_J(f)=AI_2+BJである。上で証明した表示の一意性により、ev⁡J(f)=0\operatorname{ev}_J(f)=0とA=B=0A=B=0は同値である。

k≥1k\ge1に対する恒等式

X2k−(−1)k=(X2+1)∑j=0k−1(−1)jX2(k−1−j)X^{2k}-(-1)^k =(X^2+1)\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^jX^{2(k-1-j)}

と、その両辺へXXを掛けた恒等式から、X2k−(−1)kX^{2k}-(-1)^kとX2k+1−(−1)kXX^{2k+1}-(-1)^kXはともにX2+1X^2+1の倍数である。したがって

f(X)−(A+BX)=∑k≥0a2k(X2k−(−1)k)+∑k≥0a2k+1(X2k+1−(−1)kX)\begin{aligned} f(X)-(A+BX) ={}&\sum_{k\ge0}a_{2k}\bigl(X^{2k}-(-1)^k\bigr)\\ &+\sum_{k\ge0}a_{2k+1}\bigl(X^{2k+1}-(-1)^kX\bigr) \end{aligned}

は(X2+1)(X^2+1)に属する。ev⁡J(f)=0\operatorname{ev}_J(f)=0ならばA=B=0A=B=0であるため、f∈(X2+1)f\in(X^2+1)となる。逆に、J2+I2=0J^2+I_2=0であるからev⁡J(X2+1)=0\operatorname{ev}_J(X^2+1)=0であり、(X2+1)⊆ker⁡(ev⁡J)(X^2+1)\subseteq\ker(\operatorname{ev}_J)となる。よって核の等式が成り立つ。

定理 6.2を適用すると、

Z[X]/(X2+1)≅Z[i]\mathbb Z[X]/(X^2+1)\cong\mathbb Z[i]

を得る。この証明は、多項式の除法や次数に依存しない。

10 演習

問題 10.1 (片側性と積の向きの確認). 次の各問に答えよ。

  1. 例 1.2の左イデアルLLについて、R/LR/Lの左作用が well-defined である一方、剰余類の積が well-defined でないことを、E11E_{11}とE12E_{12}を用いて説明せよ。
  2. 両側イデアルI,J,KI,J,Kに対してI(J+K)=IJ+IKI(J+K)=IJ+IKを、有限和の定義から証明せよ。
  3. 左イデアルIIと部分集合XXに対して、集合{r∈R∣∀x∈X, xr∈I}\{r\in R\mid \forall x\in X,\ xr\in I\}が一般には左イデアルになるとは限らないことを、例 1.2のLLと行列単位を用いて示せ。左イデアル商の正しい積の向きと比較せよ。
  4. MMを左RR加群、IIを両側イデアルとする。Ann⁡R(M)\operatorname{Ann}_R(M)の両側イデアル性とIMIMの左部分加群性を示す際に、積のどちら側の閉性を用いるかを式で示せ。
  5. f(X)=∑n≥0anXn∈Z[X]f(X)=\sum_{n\ge0}a_nX^n\in\mathbb Z[X]に対してA=∑k≥0(−1)ka2kA=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k}およびB=∑k≥0(−1)ka2k+1B=\sum_{k\ge0}(-1)^ka_{2k+1}と置く。f−(A+BX)∈(X2+1)f-(A+BX)\in(X^2+1)を示し、例 9.1で証明した表示の一意性を用いてker⁡(ev⁡J)=(X2+1)\ker(\operatorname{ev}_J)=(X^2+1)を導け。さらに、第一同型定理による同型でX+(X2+1)X+(X^2+1)が写る元を求めよ。
解答 (演習の解答).
  1. b+L=b′+Lb+L=b'+Lならばb−b′∈Lb-b'\in Lであり、任意のa∈Ra\in Rに対してa(b−b′)∈La(b-b')\in Lである。したがってa(b+L):=ab+La(b+L):=ab+Lは well-defined である。一方、E11+L=L=0+LE_{11}+L=L=0+Lであるが、E11E12=E12∉LE_{11}E_{12}=E_{12}\notin Lである。よって(E11+L)(E12+L)(E_{11}+L)(E_{12}+L)と(0+L)(E12+L)(0+L)(E_{12}+L)は一致せず、剰余類の積は well-defined でない。
  2. I(J+K)I(J+K)の生成項はi(j+k)=ij+iki(j+k)=ij+ikの形であるからIJ+IKIJ+IKに属する。有限和についても分配律を適用すると、I(J+K)⊆IJ+IKI(J+K)\subseteq IJ+IKを得る。逆にJ,K⊆J+KJ,K\subseteq J+Kであるため、IJ,IK⊆I(J+K)IJ,IK\subseteq I(J+K)である。したがってI(J+K)=IJ+IKI(J+K)=IJ+IKである。
  3. R=M2(Z)R=M_2(\mathbb Z)、I=LI=L、X={E11}X=\{E_{11}\}とする。候補集合をC={r∈R∣E11r∈L}C=\{r\in R\mid E_{11}r\in L\}と置くと、E11E22=0∈LE_{11}E_{22}=0\in LであるためE22∈CE_{22}\in Cである。しかし E12E22=E12,E11E12=E12∉LE_{12}E_{22}=E_{12},\qquad E_{11}E_{12}=E_{12}\notin L であるから、E12E22∉CE_{12}E_{22}\notin Cである。よってCCは左からの乗法で閉じず、左イデアルではない。一般にr∈Cr\in Cからar∈Car\in Cを示すにはx(ar)=(xa)r∈Ix(ar)=(xa)r\in Iが必要であるが、xaxaはXXに属するとは限らない。正しい左イデアル商はrx∈Irx\in Iを条件とし、(ar)x=a(rx)∈I(ar)x=a(rx)\in Iに左イデアル性を適用する。
  4. r,s∈Ann⁡R(M)r,s\in\operatorname{Ann}_R(M)に対して(r−s)m=0(r-s)m=0である。a∈Ra\in Rに対し、 (ar)m=a(rm)=0,(ra)m=r(am)=0(ar)m=a(rm)=0, \qquad (ra)m=r(am)=0 であるため、左閉性と右閉性の双方が得られる。x=∑kikmk∈IMx=\sum_ki_km_k\in IMに対して ax=∑k(aik)mk∈IMax=\sum_k(ai_k)m_k\in IM であり、ここではIIの左イデアル性aik∈Iai_k\in Iを用いる。したがってIMIMは左部分加群である。
  5. k≥1k\ge1に対する恒等式 X2k−(−1)k=(X2+1)∑j=0k−1(−1)jX2(k−1−j)X^{2k}-(-1)^k =(X^2+1)\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^jX^{2(k-1-j)} と、この恒等式へXXを掛けた式を各項へ適用すると、 f−(A+BX)=∑k≥0a2k(X2k−(−1)k)+∑k≥0a2k+1(X2k+1−(−1)kX)∈(X2+1)f-(A+BX) =\sum_{k\ge0}a_{2k}\bigl(X^{2k}-(-1)^k\bigr) +\sum_{k\ge0}a_{2k+1}\bigl(X^{2k+1}-(-1)^kX\bigr) \in(X^2+1) を得る。ev⁡J(f)=0\operatorname{ev}_J(f)=0ならばAI2+BJ=0AI_2+BJ=0であり、表示の一意性からA=B=0A=B=0となるため、f∈(X2+1)f\in(X^2+1)である。逆に、J2+I2=0J^2+I_2=0であるから(X2+1)⊆ker⁡(ev⁡J)(X^2+1)\subseteq\ker(\operatorname{ev}_J)である。したがって核は(X2+1)(X^2+1)に等しい。ev⁡J\operatorname{ev}_Jは全射なので、定理 6.2によりZ[X]/(X2+1)≅Z[i]\mathbb Z[X]/(X^2+1)\cong\mathbb Z[i]を得る。この同型はX+(X2+1)X+(X^2+1)をJJへ写す。

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11 後続記事との関係

本記事では、一般の単位的結合環について片側イデアルと両側イデアルを区別し、商加群、商環、生成イデアル、イデアル演算、零化イデアルおよび左右イデアル商を構成した。可換環に固有の素イデアルと極大イデアル、整域、体および被約環は次の記事が扱う。積閉集合による局所化と分数体は、その後の記事が扱う。

参考文献

  1. T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2001.非可換環の左イデアル、右イデアル、両側イデアルおよび商環の規約を参考にした。
  2. T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1999.正則加群、片側イデアルによる商加群、零化イデアルおよびイデアルと加群の積を参考にした。
  3. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.生成イデアル、商環および環の第一同型定理の標準的な構成を参考にした。

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