有限生成加群・有限表示加群 | 環論入門

1 有限生成加群

有限生成性は、有限階数自由加群によって全射的に覆われるという条件である。

定義 1.1. 左 $R$ 加群 $M$ が有限生成加群 (finitely generated left module) であるとは、ある非負整数 $n$ と全射左 $R$ 線形写像

\pi\colon R^n\longrightarrow M

が存在することをいう。

$n=0$ の場合、 $R^0=0$ である。したがって $R^0\to M$ が全射であることは $M=0$ と同値である。

命題 1.2. 左 $R$ 加群 $M$ について、次の二条件は同値である。

ある非負整数 $n$ と全射左 $R$ 線形写像 $\pi\colon R^n\longrightarrow M$ が存在する。
ある非負整数 $n$ と $x_1,\ldots,x_n\in M$ が存在し、 $M=Rx_1+\cdots+Rx_n$ となる。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。全射 $\pi\colon R^n\to M$ が存在するとする。任意の $x\in M$ に対して $v=\sum_i a_ie_i\in R^n$ で $\pi(v)=x$ となるものが存在する。線形性により

x=\sum_i a_i\pi(e_i)

となるため、 $\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)$ は $M$ を生成する。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。逆に、 $M$ が $x_1,\ldots,x_n$ によって生成されるとする。§E6.10 補題 1.4により、標準基底の像を

\pi(e_i):=x_i

と指定する $R$ 線形写像 $\pi\colon R^n\to M$ が一意に存在する。任意の $x\in M$ は $x=\sum_i a_ix_i$ と表されるため、

x=\pi\left(\sum_i a_ie_i\right)

となる。したがって $\pi$ は全射である。

$n=0$ の場合にも、 $0\to M$ が全射であること、空族の左一次結合が $M$ 全体になること、および $M=0$ は同値である。▨

右加群についても、自由加群からの全射を定義とし、有限個の右一次結合をその特徴づけとして得る。

定義 1.3. 右 $R$ 加群 $M$ が有限生成右加群 (finitely generated right module) であるとは、ある非負整数 $n$ と全射右 $R$ 線形写像

\pi\colon R^n\longrightarrow M

が存在することをいう。ここで $R^n$ は右正則加群 $R_R$ の $n$ 個の直和である。

命題 1.4. 右 $R$ 加群 $M$ について、有限生成右加群であることと、ある非負整数 $n$ と $x_1,\ldots,x_n\in M$ が存在して

M=x_1R+\cdots+x_nR

となることは同値である。

証明. 全射 $\pi\colon R^n\to M$ があれば、任意の $x\in M$ は

x=\pi\left(\sum_i e_i a_i\right)=\sum_i\pi(e_i)a_i

と表されるため、 $\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)$ が $M$ を右から生成する。逆に $x_1,\ldots,x_n$ が $M$ を右から生成するならば、右自由加群の普遍性により $e_i\mapsto x_i$ を指定する右 $R$ 線形写像 $R^n\to M$ が存在し、生成性から全射である。 $n=0$ の場合は左加群の場合と同じく $M=0$ と同値である。▨

命題 1.5. 次が成り立つ。

非零有限生成左 $R$ 加群は極大左部分加群をもつ。
非零有限生成右 $R$ 加群は極大右部分加群をもつ。

証明.(1)を示す。非零有限生成左 $R$ 加群 $M$ を取り、 $M$ の真の左部分加群全体を包含関係で順序付けた集合を $\mathcal P$ とする。 $M\ne0$ なので $0\in\mathcal P$ であり、 $\mathcal P$ は空でない。

$\mathcal C\subseteq\mathcal P$ を鎖とする。 $U:=\bigcup_{N\in\mathcal C}N$ は左部分加群である。実際、 $u,v\in U$ を取ると、ある $N,N'\in\mathcal C$ が $u\in N$ 、 $v\in N'$ を満たす。 $\mathcal C$ は鎖なので一方が他方を含み、 $u-v$ は大きい方の部分加群に属する。また $r\in R$ に対して $ru$ は $u$ を含む部分加群に属する。

$M$ の有限生成族を $x_1,\ldots,x_n$ とする。もし $U=M$ ならば、各 $i$ について $x_i\in N_i$ となる $N_i\in\mathcal C$ が存在する。有限個の $N_i$ は包含関係で全順序付けられているため、そのうち最大のもの $N_j$ がすべての $x_i$ を含む。すると $N_j=M$ となり、 $N_j\in\mathcal P$ に反する。よって $U$ は真の部分加群であり、 $\mathcal C$ の $\mathcal P$ における上界である。

§E1.20 定理 2.1の Zorn の補題により、 $\mathcal P$ は極大元をもつ。この極大元は $M$ の極大左部分加群である。

(2)を示す。右加群の場合は、§E6.1 定義 4.1の反対環を用いて右 $R$ 加群を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなし、(1)を適用すればよい。有限生成性と部分加群の包含はこの対応で保たれるため、得られる極大左 $R^{\mathrm{op}}$ 部分加群は極大右 $R$ 部分加群である。▨

2 有限表示加群と関係加群

有限個の生成元 $x_1,\ldots,x_n$ を選ぶと、係数の行 $(a_1,\ldots,a_n)$ が零を表すという条件は $R^n$ の部分加群を定める。

定義 2.1. 左 $R$ 加群 $M$ の元 $x_1,\ldots,x_n$ に対して、関係加群 (module of relations) を

\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n) :=\left\{(a_1,\ldots,a_n)\in R^n \ \middle|\ \sum_{i=1}^n a_ix_i=0\right\}

と定める。係数は $x_i$ の左に置く。

$M$ が有限表示加群 (finitely presented module) であるとは、ある非負整数 $m,n$ と $R$ 線形写像による完全列

R^m\xrightarrow{\ \alpha\ }R^n \xrightarrow{\ \pi\ }M\longrightarrow0

が存在することをいう。すなわち、 $\pi$ は全射であり、 $\operatorname{im}\alpha=\ker\pi$ である。この完全列を $M$ の有限表示 (finite presentation) という。

関係加群は、 $e_i\mapsto x_i$ によって定まる座標写像 $\pi_x\colon R^n\to M$ の核である。したがって、 $x_1,\ldots,x_n$ が $M$ を生成するとき、 $M$ は $R^n$ をすべての関係で割った商として得られる。

定理 2.2. 左 $R$ 加群 $M$ について、次の三条件は同値である。

$M$ は有限表示加群である。
ある非負整数 $n$ と全射 $\pi\colon R^n\to M$ が存在し、 $\ker\pi$ は有限生成加群である。
$M$ を生成する有限族 $x_1,\ldots,x_n$ が存在し、 $\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)$ は有限生成加群である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。(1)を仮定し、有限表示

R^m\xrightarrow{\alpha}R^n\xrightarrow{\pi}M\longrightarrow0

を取る。完全性により

\ker\pi=\operatorname{im}\alpha =R\alpha(e_1)+\cdots+R\alpha(e_m)

である。したがって $\ker\pi$ は有限生成であり、(2)を得る。 $m=0$ の場合には像と核はともに零である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。(2)を仮定する。 $\ker\pi$ の有限生成族を $z_1,\ldots,z_m$ とする。§E6.10 補題 1.4により、

\alpha\colon R^m\longrightarrow R^n, \qquad \alpha(e_j):=z_j

という $R$ 線形写像が存在する。その像は $z_1,\ldots,z_m$ が生成する部分加群、すなわち $\ker\pi$ である。よって

R^m\xrightarrow{\alpha}R^n\xrightarrow{\pi}M\longrightarrow0

は有限表示であり、(1)を得る。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)の全射 $\pi$ に対して $x_i:=\pi(e_i)$ と置く。命題 1.2の証明と同じく、 $x_1,\ldots,x_n$ は $M$ を生成する。また、

\pi(a_1,\ldots,a_n)=\sum_i a_ix_i

であるため、 $\ker\pi=\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)$ である。したがって(3)を得る。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。逆に、(3)の生成族から§E6.10 補題 1.4によって

\pi_x\colon R^n\longrightarrow M, \qquad \pi_x(e_i):=x_i

を定める。生成性により $\pi_x$ は全射であり、定義から

\ker\pi_x=\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)

である。(3)によりこの核は有限生成であるため、(2)を得る。▨

この特徴づけから、有限表示加群は有限生成加群である。逆は一般には成り立たない。逆が成り立たない具体例は後で構成する。

有限表示性の定義では、有限生成系を一つ選んで関係加群が有限生成であることを要求した。次の命題は、一つの有限生成系についてこの条件が成り立てば、ほかの任意の有限生成系についても成り立つことを示す。

命題 2.3. $M$ を有限表示加群とし、 $n$ を非負整数とする。任意の全射

\varphi\colon R^n\longrightarrow M

に対して、 $\ker\varphi$ は有限生成加群である。

証明.定理 2.2により、全射

p\colon R^q\longrightarrow M

で、その核 $K:=\ker p$ が有限生成となるものを取る。 $K$ の生成族を $k_1,\ldots,k_s$ とする。

$\varphi$ は全射であるため、各標準基底元 $e_i\in R^q$ について $u(e_i)\in R^n$ を

\varphi(u(e_i))=p(e_i)

となるように選ぶ。§E6.10 補題 1.4によって、この指定は $R$ 線形写像 $u\colon R^q\to R^n$ へ一意に延長される。標準基底上で等しいため、

\varphi u=p

である。同様に、 $p$ の全射性を用いて各標準基底元 $e_j\in R^n$ の像の持ち上げを選ぶと、 $R$ 線形写像 $v\colon R^n\to R^q$ で

pv=\varphi

を満たすものが得られる。

写像

d:=\operatorname{id}_{R^n}-uv

を考える。上の二等式から

\varphi d =\varphi-\varphi uv =\varphi-pv =0

であるため、 $d(R^n)\subseteq\ker\varphi$ である。また、各 $k_\ell\in K$ について

\varphi(u(k_\ell))=p(k_\ell)=0

であるため、 $u(k_\ell)\in\ker\varphi$ である。

$x\in\ker\varphi$ を任意に取る。 $p(v(x))=\varphi(x)=0$ であるため $v(x)\in K$ であり、ある $a_1,\ldots,a_s\in R$ によって

v(x)=\sum_{\ell=1}^s a_\ell k_\ell

と表される。一方、 $R^n$ の標準基底を用いると、 $d(x)$ は $d(e_1),\ldots,d(e_n)$ の左一次結合である。等式

x=uv(x)+d(x)

により、 $x$ は有限族

u(k_1),\ldots,u(k_s),d(e_1),\ldots,d(e_n)

の左一次結合になる。この族の各元は $\ker\varphi$ に属するため、この族は $\ker\varphi$ を生成する。 $q,n,s$ のいずれかが零の場合にも、対応する族を空族とすれば同じ証明が成り立つ。▨

3 左線形写像の行列表示

体上の線形代数で用いる行列積は一般の環上でも定義することができるが、非可換環上の左加群では、係数を掛ける順序を固定しなければならない。自由左加群の元を行ベクトルで書くと、左線形写像は行列を右から掛けることによって表される。

命題 3.1. $m,n$ を非負整数とし、 $A=(a_{ij})\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ とする。行ベクトル $x=(x_1,\ldots,x_m)\in R^m$ に対して、通常の行列積

(xA)_j:=\sum_{i=1}^m x_i a_{ij} \qquad(1\le j\le n)

によって定まる写像 $R^m\to R^n$ 、 $x\mapsto xA$ は左 $R$ 線形である。逆に、任意の左 $R$ 線形写像 $f\colon R^m\to R^n$ は、一意な $A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ によって $f(x)=xA$ と表される。

さらに、非負整数 $p$ 、 $B\in\operatorname{Mat}_{n\times p}(R)$ および任意の $x\in R^m$ に対して

(xA)B=x(AB)

であり、 $m$ 次単位行列 $I_m$ に対して $xI_m=x$ である。 $m=0$ または $n=0$ の場合にも、空の行列と空の和によって同じ主張が成り立つ。

証明. $x,y\in R^m$ と $r\in R$ に対して、各 $j$ 成分で

((x+y)A)_j =\sum_i(x_i+y_i)a_{ij} =\sum_i x_i a_{ij}+\sum_i y_i a_{ij}

となる。また、環の積の結合律と分配律により

((rx)A)_j =\sum_i(rx_i)a_{ij} =r\sum_i x_i a_{ij} =\bigl(r(xA)\bigr)_j

となる。係数の順序を交換していない。したがって写像 $x\mapsto xA$ は左 $R$ 線形である。

左 $R$ 線形写像 $f\colon R^m\to R^n$ を取る。 $f(e_i)$ の第 $j$ 成分を $a_{ij}$ とし、 $A:=(a_{ij})$ と置く。任意の $x=(x_1,\ldots,x_m)$ に対して

f(x) =f\left(\sum_i x_ie_i\right) =\sum_i x_i f(e_i)

であるため、その第 $j$ 成分は $\sum_i x_i a_{ij}$ である。よって $f(x)=xA$ である。 $f(x)=xC$ とも表されるならば、 $C$ の第 $i$ 行は $e_iC=f(e_i)$ であるため $C=A$ であり、一意性を得る。

合成について、 $x\in R^m$ の第 $k$ 成分を計算すると、有限和の結合順序を変更することにより

\begin{aligned} ((xA)B)_k &=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m x_i a_{ij}\right)b_{jk}\\ &=\sum_{i=1}^m x_i\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}\right)\\ &=(x(AB))_k \end{aligned}

となる。積 $a_{ij}b_{jk}$ の順序は変更していない。したがって $(xA)B=x(AB)$ である。単位行列については $(xI_m)_j=x_j$ となる。▨

例 3.2 (非可換環における左右の乗法). $k$ を体、 $R:=\operatorname{Mat}_{2\times2}(k)$ とし、

p:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, \qquad q:=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}

と置く。このとき

pq=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, \qquad qp=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}

であり、 $pq\ne qp$ である。

左正則加群 ${}_RR$ 上で、右乗法 $R\to R$ 、 $x\mapsto xq$ は左 $R$ 線形である。実際、 $r,x\in R$ に対して

(rx)q=r(xq)

となる。一方、写像 $x\mapsto qx$ は一般に左 $R$ 線形ではない。 $r=p$ 、 $x=1_R$ とすると

q(p1_R)=qp, \qquad p(q1_R)=pq

であり、両者は一致しない。この検算は、自由左加群の準同型を右からの行列積で表す必要があることを示す。

有限表示の写像を行列で表すと、行列の各行が一つの関係式を与える。

命題 3.3. $A=(a_{ij})\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ とし、

R^m\xrightarrow{\ x\mapsto xA\ }R^n \xrightarrow{\ \pi\ }M\longrightarrow0

を有限表示とする。 $x_j:=\pi(e_j)$ と置くと、 $x_1,\ldots,x_n$ は $M$ を生成し、第 $i$ 行は関係式

\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=0

を与える。さらに、 $x_1,\ldots,x_n$ のすべての関係は、 $A$ の各行の左一次結合として一意とは限らない仕方で表される。

証明. $\pi$ は全射であるため、 $x_1,\ldots,x_n$ は $M$ を生成する。 $A$ の第 $i$ 行は

e_iA

である。完全性により $e_iA\in\ker\pi$ であるため、

0=\pi(e_iA)=\sum_j a_{ij}\pi(e_j)=\sum_j a_{ij}x_j

となる。

逆に、関係 $(b_1,\ldots,b_n)\in\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)$ は $\ker\pi$ の元である。完全性により、ある $c=(c_1,\ldots,c_m)\in R^m$ が存在して

(b_1,\ldots,b_n)=cA

となる。行列積の定義から、 $cA$ は $A$ の第 $i$ 行に左係数 $c_i$ を掛けた行の和である。したがって各行が関係加群を生成する。写像 $x\mapsto xA$ が単射であるとは限らないため、この一次結合表示は一意とは限らない。▨

一般の環では $R^m\cong R^n$ から $m=n$ が従うとは限らない。本記事の有限表示性は、ある有限の $m,n$ が存在することだけを要求しており、生成元または関係式の個数の一意性を要求しない。したがって、この定義と行列規約は不変基底数をもたない環でも有効である。

4 商加群と有限直和

有限生成性は任意の商加群に受け継がれる。有限表示性を商加群に受け継がせるためには、割る部分加群が有限生成であることが必要になる。

命題 4.1. 次が成り立つ。

$M$ が有限生成加群で $N\subseteq M$ が部分加群ならば、 $M/N$ は有限生成加群である。
有限個の左 $R$ 加群 $M_1,\ldots,M_t$ に対して、 $\bigoplus_{j=1}^tM_j$ が有限生成であることと、各 $M_j$ が有限生成であることは同値である。

証明.(1)を示す。 $M$ を $x_1,\ldots,x_n$ が生成するとする。任意の $x+N\in M/N$ に対して $x=\sum_i a_ix_i$ と書けば、

x+N=\sum_i a_i(x_i+N)

となる。したがって $x_1+N,\ldots,x_n+N$ が $M/N$ を生成する。

(2)を示す。各 $M_j$ が有限族 $x_{j,1},\ldots,x_{j,n_j}$ によって生成されるとする。 $\iota_j\colon M_j\to\bigoplus_{\ell=1}^tM_\ell$ を標準包含とする。有限族

\bigl(\iota_j(x_{j,i})\bigr)_{ 1\le j\le t,\ 1\le i\le n_j}

は、各成分を生成するため直和全体を生成する。逆に、直和が有限生成ならば、各座標射影

\operatorname{pr}_j\colon\bigoplus_{\ell=1}^tM_\ell\longrightarrow M_j

は全射であるため、(1)により各 $M_j$ は有限生成である。 $t=0$ の場合、直和は零加群であり、主張は空の条件と整合する。▨

定理 4.2. 次が成り立つ。

$M$ が有限表示加群で $N\subseteq M$ が有限生成部分加群ならば、 $M/N$ は有限表示加群である。
有限個の左 $R$ 加群 $M_1,\ldots,M_t$ に対して、 $\bigoplus_{j=1}^tM_j$ が有限表示であることと、各 $M_j$ が有限表示であることは同値である。

証明.(1)を示す。定理 2.2により、全射

\pi\colon R^n\longrightarrow M

で $K:=\ker\pi$ が有限生成となるものを取る。 $N$ の生成族を $y_1,\ldots,y_s$ とし、 $\pi$ の全射性により各 $y_\ell$ の持ち上げ $\widetilde y_\ell\in R^n$ を

\pi(\widetilde y_\ell)=y_\ell

となるように選ぶ。商写像を $q\colon M\to M/N$ とすると、 $q\pi$ は全射である。

この全射の核は

\ker(q\pi) =K+R\widetilde y_1+\cdots+R\widetilde y_s

である。実際、右辺の元は $\pi$ によって $N$ の元へ写るため、右辺は $\ker(q\pi)$ に含まれる。逆に、 $z\in\ker(q\pi)$ ならば $\pi(z)\in N$ であるため、ある $a_1,\ldots,a_s\in R$ によって

\pi(z)=\sum_{\ell=1}^s a_\ell y_\ell =\pi\left(\sum_{\ell=1}^s a_\ell\widetilde y_\ell\right)

と書かれる。したがって

z-\sum_{\ell=1}^s a_\ell\widetilde y_\ell\in K

であり、逆包含も得られる。 $K$ と有限個の $\widetilde y_\ell$ が右辺を有限生成するため、定理 2.2により $M/N$ は有限表示である。 $N=0$ の場合には $s=0$ とすればよい。

(2)を示す。次に、各 $M_j$ が有限表示であるとする。各 $j$ について、全射

\pi_j\colon R^{n_j}\longrightarrow M_j

で $K_j:=\ker\pi_j$ が有限生成となるものを取る。有限直和を取った写像

\pi:=\bigoplus_{j=1}^t\pi_j\colon \bigoplus_{j=1}^tR^{n_j} \longrightarrow \bigoplus_{j=1}^tM_j

は全射であり、

\ker\pi=\bigoplus_{j=1}^tK_j

である。§E6.10 補題 1.11により、始域は有限個の標準基底を合わせた基底をもつ有限階数自由加群である。命題 4.1により、核は有限生成である。したがって直和は有限表示である。 $t=0$ の場合、零加群は $R^0\to0$ という全射と零核をもつため有限表示である。

逆に、 $F:=\bigoplus_{j=1}^tM_j$ が有限表示であるとする。有限表示加群は有限生成であるため、命題 4.1により各 $M_j$ は有限生成である。固定した $j$ に対して、座標射影 $F\to M_j$ の核は

N_j:=\bigoplus_{\substack{1\le\ell\le t\\\ell\ne j}}M_\ell

である。ほかの成分も有限生成であり、成分の個数は有限であるため、命題 4.1により $N_j$ は有限生成である。(1)を $F/N_j\cong M_j$ に適用すると、 $M_j$ は有限表示である。▨

5 有限生成であるが有限表示でない部分加群

有限表示加群の有限生成部分加群が有限表示であるとは限らない。以下では、無限次元ベクトル空間を平方零イデアルとして付け加えた環を用いて反例を構成する。

例 5.1 (有限表示でない一元生成イデアル). $k$ を体とし、

B:=\{x\}\sqcup\{y_1,y_2,\ldots\}

と置く。 $V:=k^{(B)}$ を $B$ 上の自由 $k$ 線形空間とし、その標準基底を

e_x,e_{y_1},e_{y_2},\ldots

と書く。加法群として $R:=k\oplus V$ と置き、積を

(a,u)(b,v):=(ab,av+bu) \qquad(a,b\in k,\ u,v\in V)

によって定める。

この積は $R$ を単位的可換環にする。分配律は $k$ の分配律と $V$ の $k$ 線形性から従う。結合律は、任意の $(a,u),(b,v),(c,w)\in R$ に対して、二通りの積がともに

\bigl(abc,ab w+ac v+bc u\bigr)

となることから従う。単位元は $(1,0)$ であり、積の表示が二つの因子について対称であるため可換である。部分集合

\mathfrak m:=0\oplus V

はイデアルである。実際、 $\mathfrak m$ は加法部分群であり、任意の $(a,u)\in R$ と $(0,v)\in\mathfrak m$ に対して

(a,u)(0,v)=(0,av)\in\mathfrak m

となる。また、

(0,u)(0,v)=(0,0)

であるため $\mathfrak m^2=0$ である。

$\xi:=(0,e_x)\in R$ とし、左正則加群 ${}_RR$ の部分加群

I:=R\xi

を考える。任意の $(a,u)\in R$ に対して

(a,u)\xi=(0,ae_x)

であるため、 $I=k\xi$ である。特に $I$ は一元 $\xi$ によって生成される。また、 $e_x\ne0$ であるため、

(a,u)\xi=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0

であり、

\operatorname{ann}_R(\xi) :=\{r\in R\mid r\xi=0\} =\mathfrak m

となる。

次に、 $\mathfrak m$ が左 $R$ 加群として有限生成でないことを示す。有限個の元 $(0,u_1),\ldots,(0,u_t)\in\mathfrak m$ を任意に取る。 $r=(a,v)\in R$ に対して

r(0,u_i)=(0,au_i)

であるため、これらの元が生成する $R$ 部分加群は、 $u_1,\ldots,u_t$ の $k$ 線形包に等しい。各 $u_i\in k^{(B)}$ の台は有限であるため、その有限個の台の和集合も有限である。したがって、ある $N\ge1$ が存在して $e_{y_N}$ はこの和集合に現れない。このとき $(0,e_{y_N})$ は $u_1,\ldots,u_t$ の $k$ 線形包に属さない。よって任意の有限族は $\mathfrak m$ を生成せず、 $\mathfrak m$ は有限生成でない。

左 $R$ 線形写像

\pi\colon R=R^1\longrightarrow I, \qquad r\longmapsto r\xi

は全射であり、その核は $\operatorname{ann}_R(\xi)=\mathfrak m$ である。仮に $I$ が有限表示ならば、命題 2.3をこの全射に適用することにより $\mathfrak m$ が有限生成となるが、 $\mathfrak m$ の有限生成性は上の結論に反する。したがって $I$ は有限生成であるが有限表示でない。

一方、左正則加群 ${}_RR$ は階数一の自由加群であり、

R^0\longrightarrow R^1 \xrightarrow{\ \operatorname{id}_R\ }R\longrightarrow0

が有限表示を与える。したがって $I$ は、有限表示加群 $R$ の有限生成部分加群であるにもかかわらず有限表示ではない。

注意 5.2 (退化する場合との整合性). 零加群は空族によって有限生成であり、

R^0\longrightarrow R^0\longrightarrow0\longrightarrow0

によって有限表示である。零環上では、単位的左加群 $M$ の任意の元 $x$ に対して $x=1_Rx=0x=0$ となるため、左加群は零加群だけである。したがって零環の場合にも本記事の定義と各保存命題は成り立つ。

有限表示で $m=0$ ならば $\ker\pi=0$ であり、 $M$ は有限階数自由加群 $R^n$ と同型である。 $n=0$ ならば $M=0$ であり、 $m=n=0$ ならば表示はすべて零対象からなる。不変基底数をもたない環では同じ自由加群に異なる $n$ を用いることがあり得るが、有限生成性と有限表示性はいずれも有限個数の存在だけを条件とするため、定義は矛盾しない。

6 演習

問題 6.1 (有限生成加群と有限表示加群の確認). 次の各問に答えよ。

左 $R$ 加群 $M$ が有限生成であるという定義から、有限族 $x_1,\ldots,x_n$ の左一次結合で $M$ 全体を表せることを導き、逆向きも証明せよ。 $n=0$ の場合も述べよ。
右 $R$ 加群について、有限階数自由右加群からの全射が存在することと、有限族 $x_1,\ldots,x_n$ によって $M=x_1R+\cdots+x_nR$ となることの同値を証明せよ。
非零有限生成左加群の真の部分加群全体に Zorn の補題を適用せよ。鎖の和が真であることを有限生成性から示し、右加群版を反対環から導け。
有限表示性について、有限完全列、有限階数自由加群からの全射の有限生成核、および有限生成系の有限生成関係加群という三条件が同値であることを証明せよ。
$M$ が有限表示であるとき、任意の全射 $\varphi\colon R^n\to M$ の核が有限生成であることを、二つの持ち上げ写像を構成して証明せよ。
$A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(R)$ に対して $(xA)_j=\sum_i x_i a_{ij}$ と定めた写像が左 $R$ 線形であることを示し、 $(xA)B=x(AB)$ を係数の順序を変えずに証明せよ。また、例 3.2で左乗法が左線形でないことを直接確認せよ。
有限表示 $R^m\xrightarrow{x\mapsto xA}R^n\to M\to0$ において、 $A$ の各行が関係式を与え、すべての関係がそれらの行の左一次結合になることを証明せよ。
有限生成加群の商が有限生成であることを証明せよ。また、有限直和が有限生成であることと各成分が有限生成であることの同値を証明せよ。
$M$ が有限表示で $N\subseteq M$ が有限生成であるとき、 $M/N$ が有限表示であることを証明せよ。特に、全射 $R^n\to M/N$ の核を具体的に記述せよ。
有限直和が有限表示であることと各成分が有限表示であることの同値を証明せよ。
例 5.1について、 $R$ の結合律と単位元、 $\mathfrak m^2=0$ 、 $\ker\pi=\mathfrak m$ 、 $\mathfrak m$ の非有限生成性、 $I$ の非有限表示性、および $R$ 自身の有限表示性を順に確認せよ。
$R^m\cong R^n$ から $m=n$ が従わない環が存在しても、本記事の有限生成性と有限表示性の定義が有効である理由を述べよ。

解答 (演習の解答).

定義から全射 $\pi\colon R^n\to M$ を取ると、 $\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)$ が $M$ を生成する。逆に $x_1,\ldots,x_n$ が $M$ を生成するならば、自由加群の普遍性により $e_i\mapsto x_i$ を線形に延長した写像 $R^n\to M$ は全射である。 $n=0$ のとき $R^0=0$ であり、 $0\to M$ が全射であることは $M=0$ と同値である。
全射 $\pi\colon R^n\to M$ があれば、 $\pi(e_1),\ldots,\pi(e_n)$ が $M$ を右から生成する。逆に右生成族 $x_i$ があれば、右自由加群の普遍性によって $e_i\mapsto x_i$ を指定する全射を得る。係数は常に生成元の右側に置く。
真の左部分加群全体は $0$ を含む。鎖の和 $U$ は部分加群である。もし $U=M$ ならば有限生成族の各元は鎖のある元に属し、それら有限個の部分加群の最大のものが生成族全体を含むため $M$ に等しくなる。鎖のある元が $M$ に等しいという結論は、鎖の各元が真の部分加群であることに反する。よって Zorn の補題から極大部分加群を得る。右加群を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群とみなせば右版が従う。
有限完全列 $R^m\xrightarrow{\alpha}R^n\xrightarrow{\pi}M\to0$ があれば、 $\ker\pi=\operatorname{im}\alpha$ は $\alpha(e_1),\ldots,\alpha(e_m)$ によって生成される。逆に、 $\ker\pi$ が $z_1,\ldots,z_m$ によって生成されるならば、 $e_j\mapsto z_j$ を線形に延長した写像の像は $\ker\pi$ であり、有限完全列を得る。生成族 $x_i$ の座標写像 $\pi_x$ について $\ker\pi_x=\operatorname{Rel}(x_1,\ldots,x_n)$ であるため、残る同値も従う。
有限生成核 $K$ をもつ全射 $p\colon R^q\to M$ を取る。標準基底の像を全射によって持ち上げ、 $\varphi u=p$ を満たす $u\colon R^q\to R^n$ と $pv=\varphi$ を満たす $v\colon R^n\to R^q$ を構成する。 $d=\operatorname{id}_{R^n}-uv$ と置くと $d(R^n)\subseteq\ker\varphi$ である。 $K$ が $k_1,\ldots,k_s$ によって生成されるならば、 $x\in\ker\varphi$ に対して $v(x)\in K$ かつ $x=uv(x)+d(x)$ である。したがって $\ker\varphi$ は $u(k_1),\ldots,u(k_s),d(e_1),\ldots,d(e_n)$ によって生成される。
各 $j$ について $((rx)A)_j=\sum_i(rx_i)a_{ij}=r\sum_ix_ia_{ij}$ であるため右乗法は左線形である。 $A=(a_{ij})$ 、 $B=(b_{jk})$ ならば、 $((xA)B)_k =\sum_j\left(\sum_i x_i a_{ij}\right)b_{jk} =\sum_i x_i\left(\sum_j a_{ij}b_{jk}\right) =(x(AB))_k$ であり、 $(xA)B=x(AB)$ となる。例の $p,q$ について、右乗法は $(rx)q=r(xq)$ を満たす。一方、左乗法では $qp$ と $p(q1_R)=pq$ が一致せず、 $qp\ne pq$ である。
第 $i$ 行は $e_iA$ であり、完全性から $e_iA\in\ker\pi$ である。したがって $\sum_j a_{ij}x_j=0$ となる。任意の関係 $b\in\ker\pi$ は $b=cA$ と書かれ、 $cA$ は $A$ の各行を左係数 $c_i$ で一次結合した行である。
$M$ の生成元 $x_i$ の像 $x_i+N$ が $M/N$ を生成する。各 $M_j$ の有限生成族を標準包含で直和へ移すと、その有限個の合併が直和を生成する。逆に、各 $M_j$ は直和からの座標射影による商であるため有限生成である。
有限生成核 $K$ をもつ全射 $\pi\colon R^n\to M$ を取り、 $N$ の生成元 $y_\ell$ を $\widetilde y_\ell\in R^n$ へ持ち上げる。商写像を $q\colon M\to M/N$ とすると、 $\ker(q\pi)=K+\sum_\ell R\widetilde y_\ell$ である。右辺が核に含まれることは直ちに従う。逆に $q\pi(z)=0$ ならば、 $\pi(z)=\sum_\ell a_\ell y_\ell$ と書くことができ、 $z-\sum_\ell a_\ell\widetilde y_\ell\in K$ となる。よって核は有限生成であり、 $M/N$ は有限表示である。
各成分について有限自由全射 $R^{n_j}\to M_j$ と有限生成核 $K_j$ を取る。有限直和を取ると、始域は有限階数自由加群、核は有限生成加群 $\bigoplus_jK_j$ になるため、直和は有限表示である。逆に直和 $F$ が有限表示ならば有限生成でもあり、各成分とほかの成分の有限直和は有限生成である。座標射影の核であるほかの成分の直和を $N_j$ とすると、商 $F/N_j\cong M_j$ は有限表示である。
三つの元の積をどちらから計算しても $(abc,ab w+ac v+bc u)$ となり、 $(1,0)$ が単位元である。 $(0,u)(0,v)=0$ であるため $\mathfrak m^2=0$ である。 $\pi(a,u)=(0,ae_x)$ なので $\ker\pi=0\oplus V=\mathfrak m$ となる。 $\mathfrak m$ の有限個の元が生成する部分加群は、それらの $V$ 成分の有限次元 $k$ 線形包であり、有限個の台の外にある $e_{y_N}$ を含まない。よって $\mathfrak m$ は有限生成でない。 $I$ が有限表示ならば全射 $R\to I$ の核は有限生成となるため矛盾する。一方、 $R$ は階数一の自由左加群であり、零核をもつ恒等写像 $R\to R$ が有限表示を与える。
いずれの定義も、有限の $n$ または有限の組 $(m,n)$ が存在することだけを要求し、その値の一意性や最小性を要求しない。したがって異なる有限階数の自由加群が同型になる場合にも定義は有効である。零環では左加群が零加群だけになり、 $R^0$ を用いた定義と整合する。

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7 後続記事との関係

本記事では、有限生成加群と有限表示加群を自由加群からの全射とその核によって区別し、有限表示を行列と有限個の関係式によって記述した。後続記事では、有限生成性を局所的な条件と結び付ける場合や、環または加群に追加の有限性条件を課した場合の部分加群の挙動を扱う。

§E6.11有限生成加群・有限表示加群