§E6.39Ext

証明. 鎖写像の等式$u_nd_{n+1}^P=d_{n+1}^Qu_{n+1}$より、

である。後合成についても$\delta^n(g\psi)=g\psi d_{n+1}^P=g\delta^n(\psi)$である。写像の合成の結合則は$g(\varphi u_n)=(g\varphi)u_n$を与え、恒等写像と合成に関する主張も同じ結合則から従う。

$u_n-v_n=d_{n+1}^Qh_n+h_{n-1}d_n^P$を満たす鎖ホモトピー$h$を取り、

と定める。このとき

であるため、$s$は$u^*$と$v^*$の余鎖ホモトピーである。アーベル群を左$\Z$-加群とみなし、§E6.37 命題 3.2を適用すれば、コホモロジーの誘導準同型は一致する。▨

証明.§E6.38 定理 2.2により$\id_M$を持ち上げる$u\colon P_\bullet\to Q_\bullet$と$v\colon Q_\bullet\to P_\bullet$を取る。同じ加群準同型を持ち上げる比較写像は鎖ホモトピックであるから、補題 1.2により誘導準同型は持上げの選択によらない。$vu$と$uv$はそれぞれの恒等写像と鎖ホモトピックであるため、$u^*$と$v^*$の誘導準同型は互いに逆である。三つの分解の間の比較写像の合成も$\id_M$を持ち上げるので、比較同型の合成則が成り立つ。

$M',M$の射影分解を$P'_\bullet,P_\bullet$とし、$f$を持ち上げる鎖写像$F\colon P'_\bullet\to P_\bullet$を取る。$f^*=H^n(F^*)$、$g_*=H^n(g_*)$と定める。前段と補題 1.2により、$f^*$は$F$の選択によらず、恒等写像、合成、二つの変数の可換性が成り立つ。

別の分解$\widetilde P'_\bullet,\widetilde P_\bullet$と$f$の持上げ$\widetilde F$を取る。恒等写像を持ち上げる比較写像$a\colon P'_\bullet\to\widetilde P'_\bullet$、$b\colon P_\bullet\to\widetilde P_\bullet$に対し、$bF$と$\widetilde F a$は同じ$f$を持ち上げるため鎖ホモトピックである。Hom とコホモロジーを取ると、$f^*$は比較同型と可換である。$g_*$は前合成と後合成の可換性により比較同型と可換である。

$f_1,f_2\colon M'\to M$の持上げを$F_1,F_2$とすると、$F_1+F_2$は$f_1+f_2$を持ち上げる。$\varphi(F_1+F_2)=\varphi F_1+\varphi F_2$により$(f_1+f_2)^*=f_1^*+f_2^*$である。後合成については$(g_1+g_2)\varphi=g_1\varphi+g_2\varphi$により加法性が従う。▨

証明. 完全列$P_1\xrightarrow{d_1^P}P_0\xrightarrow{\varepsilon_P}M\to0$に§E6.13 系 5.1を適用すると、$\varepsilon_P^*$は$\Hom_R(M,N)$を$\ker\delta^0$へ同型に写す。負次数の項が零であるため$H^0=\ker\delta^0$である。$f\colon M'\to M$の持上げ$F$は$\varepsilon_PF_0=f\varepsilon_{P'}$を満たすので、$\alpha\varepsilon_PF_0=\alpha f\varepsilon_{P'}$であり、第一変数の自然性が従う。第二変数の自然性は$g(\alpha\varepsilon_P)=(g\alpha)\varepsilon_P$による。恒等写像の持上げについての同じ等式は、分解の同一視との適合性を与える。

$M$が射影的ならば、次数$0$に$M$、正次数に零を置き、添加射を$\id_M$とする射影分解を取ることができる。その Hom 余鎖複体は正次数で零である。定理 1.4により、どの射影分解を用いても正次数の Ext は零である。▨

証明. 次数$-1$に$P_{-1}=A,E_{-1}=B,Q_{-1}=C$を置き、次数$0$の微分を添加射とする。下段にも同じ規約を用い、$j_{-1}=i,r_{-1}=p,j'_{-1}=i',r'_{-1}=p'$、$u_{-1}=a,v_{-1}=b,w_{-1}=c$とおく。

$n\ge0$とし、$v_{-1},\ldots,v_{n-1}$が微分および短完全列の射と両立しているとする。次数$n$の二つの分裂を選び、$E_n=P_n\oplus Q_n$、$E'_n=P'_n\oplus Q'_n$と同一視する。この同一視で$t_n=u_n\oplus w_n$とおけば、

である。微分との不一致を

とおく。既に構成した写像の可換性と$u,w$の鎖写像の条件により、

である。次数$n$と$n-1$の完全性により、ただ一つの左$R$-線形写像$z_n\colon Q_n\to P'_{n-1}$が存在して

となる。実際、第二の等式によって$D_n$は$j'_{n-1}$を経由し、第一の等式によってその因子写像は全射$r_n$を経由する。

$n\ge1$では、帰納法の仮定より

である。したがって$j'_{n-2}d_{n-1}^{P'}z_nr_n=0$であり、$j'_{n-2}$の単射性と$r_n$の全射性から$d_{n-1}^{P'}z_n=0$を得る。$P'_\bullet$の完全性と$Q_n$の射影性により、$d_n^{P'}h_n=z_n$を満たす$h_n\colon Q_n\to P'_n$を取ることができる。$n=0$の場合にも、添加射$d_0^{P'}\colon P'_0\to A'$の全射性と$Q_0$の射影性から同じ等式を満たす$h_0$が存在する。

と定めると、$r_nj_n=0$、$r'_nj'_n=0$により$v_nj_n=j'_nu_n$、$r'_nv_n=w_nr_n$であり、

となる。帰納法によって、所要の分解の射$v$が得られる。▨

証明.$M$の射影分解$P_\bullet$を取る。§E6.16 命題 1.2 (4)により、$\Hom_R(P_n,-)$は各次数で短完全列を保つ。後合成は微分と可換であるため、余鎖複体の短完全列

が得られる。アーベル群の余鎖複体に§E6.37 定理 3.3を適用し、連結準同型を$\partial^n$とする。負次数の項は零であり、零次は Hom に同定されるため、(1)の列が得られる。

短完全列の射は後合成によって上の余鎖複体の短完全列の射を与える。また、$f\colon M_1\to M$の任意の持上げ$F\colon P_{1,\bullet}\to P_\bullet$は、前合成によって三つの項すべてに写像を与え、前合成と後合成の可換性により短完全列の射を与える。余鎖長完全列の自然性から、両者とも連結準同型と可換である。特に$f=\id_M$として異なる二つの分解を比べると、比較同型は連結準同型と可換である。比較写像の選択によらずコホモロジーの誘導準同型は一致するため、連結準同型は分解の選択によらず、主張した自然性をもつ。

$A,C$の射影分解$P_\bullet,Q_\bullet$に§E6.38 定理 3.1を適用し、$B$の射影分解$E_\bullet$と次数ごとに分裂する短完全列

を取る。各次数での分裂より、反変 Hom を施した列は短完全列である。実際、$E_n=P_n\oplus Q_n$と同一視すると、$\Hom_R(E_n,N)\to\Hom_R(P_n,N)$は第一直和因子への制限であり、$\varphi\colon P_n\to N$を$(x,y)\mapsto\varphi(x)$へ延長することで全射性が従う。左側の完全性は§E6.13 命題 4.1 (2)による。したがって

は余鎖複体の短完全列である。§E6.37 定理 3.3によって連結準同型を定めると、$j,r$は$i,p$の持上げであるため、(2)の列を得る。

短完全列の射$(a,b,c)\colon(A,B,C)\to(A',B',C')$と、両短完全列に適合する上の形の射影分解を取る。比較定理によって$a,c$の持上げ$u,w$を取り、補題 2.1によって中央の持上げ$v$を取る。このとき$(u,v,w)$は分解の短完全列の射である。Hom を施すと向きが反転した余鎖複体の短完全列の射となるので、余鎖長完全列の自然性は

を与える。ここで両辺の始域は$\operatorname{Ext}_R^n(A',N)$、終域は$\operatorname{Ext}_R^{n+1}(C,N)$である。各持上げがコホモロジーに誘導する射は定理 1.4の$a^*,b^*,c^*$であり、持上げの選択によらない。

同じ短完全列の二つの馬蹄構成には、$(a,b,c)=(\id_A,\id_B,\id_C)$として直前の議論を適用することができる。したがって、両端と中央の射影分解、次数ごとの分裂、馬蹄構成で用いた持上げを変えても、比較同型の下で連結準同型は一致する。最後に、$g\colon N\to N_1$の後合成は三つの Hom 余鎖複体の短完全列の射を与えるため、$N$についての自然性も余鎖長完全列の自然性から従う。▨

証明.定理 2.2 (2)を与えられた短完全列に適用する。命題 1.5により$\operatorname{Ext}_R^n(P,N)=0$が$n\ge1$で成り立つため、各$n\ge1$の連結準同型の前後の項は零である。よって連結準同型は同型である。零次から始まる部分は主張の完全列となり、その右端から余核による同型を得る。自然性は長完全列の自然性を制限することで従う。▨

証明.系 3.1を$j=s-1,s-2,\ldots,0$の順に適用すると、

を得る。$K_0=M$であるから、合成が所要の同型である。▨

証明.命題 1.5により条件 (a)$\Rightarrow$(b)が成り立ち、$n=1$とすることで条件 (b)$\Rightarrow$(c)が成り立つ。

条件 (c)を仮定し、任意の短完全列$0\to N'\to N\xrightarrow{p}N''\to0$を取る。定理 2.2 (1)と$\operatorname{Ext}_R^1(M,N')=0$により、

は完全である。したがって$\Hom_R(M,-)$は完全であり、§E6.16 命題 1.2によって$M$は射影的である。これで条件 (c)$\Rightarrow$(a)は示された。▨

証明.条件 (a)を仮定し、左$R$-加群$M$の射影分解$P_\bullet\to M$を取る。$n\ge1$とし、$\varphi\colon P_n\to N$が$\varphi d_{n+1}^P=0$を満たすとする。$P_\bullet$の完全性から$\im d_{n+1}^P=\ker d_n^P$であるため、

が定まる。§E6.17 命題 1.2 条件 (b)を包含$\im d_n^P\hookrightarrow P_{n-1}$に適用すると、$\overline\varphi$を延長する写像$\psi\colon P_{n-1}\to N$が存在する。したがって$\varphi=\psi d_n^P$であり、$\Hom_R(P_\bullet,N)$は正次数で完全である。よって$\operatorname{Ext}_R^n(M,N)=0$であり、条件 (a)$\Rightarrow$(b)が成り立つ。

$n=1$とすることで条件 (b)$\Rightarrow$(c)が成り立つ。

条件 (c)を仮定する。部分加群$A\subseteq B$と$R$-線形写像$f\colon A\to N$を取る。短完全列$0\to A\to B\to B/A\to0$に定理 2.2 (2)を適用すると、完全列

を得る。右端は仮定によって零であるから、$f$はある$R$-線形写像$B\to N$へ延長する。したがって§E6.17 命題 1.2 条件 (a)が成り立ち、$N$は入射的である。これで条件 (c)$\Rightarrow$(a)は示された。▨

証明.定理 2.2 (1)を与えられた短完全列に適用する。定理 4.1により$\operatorname{Ext}_R^n(M,E)=0$が$n\ge1$で成り立つため、各$n\ge1$の連結準同型の前後の項は零である。したがって連結準同型は同型であり、零次から始まる部分は主張した完全列となる。自然性は長完全列の自然性を制限することで従う。▨