§E6.23加群の根基と socle

証明.$L$を$M$の極大部分加群とする。商加群$M/L$は単純であり、自然な全射

の核は$L$である。したがって、右辺に現れる核の族はすべての極大部分加群を含む。

逆に、単純加群$S$への非零写像$f\colon M\to S$を取る。像は$S$の非零部分加群であるから$S$に等しく、$f$は全射である。第一同型定理により$M/\ker f\cong S$なので、$\ker f$は極大部分加群である。零写像の核は$M$であり、共通部分を変えない。よって両辺で交わしている真の部分加群の族は一致する。極大部分加群が存在しない場合には非零写像も存在せず、両辺はそれぞれの空族の規約によって$M$になる。▨

証明.$\operatorname{soc}_R(M)$は$M$の単純部分加群全体の和である。単純加群は半単純であり、半単純部分加群の任意の和は§E6.22 命題 3.2によって半単純である。よって$\operatorname{soc}_R(M)$は半単純である。

$N\subseteq M$が半単純ならば、§E6.22 定理 2.3により$N$は自身の単純部分加群の和である。それらはすべて$M$の単純部分加群でもあるため、定義から$N\subseteq\operatorname{soc}_R(M)$となる。▨

証明.$S\subseteq M$を単純部分加群、$N\subseteq M$を本質的部分加群とする。本質性から$S\cap N\neq0$であり、$S$の単純性から$S\cap N=S$となる。したがって$S\subseteq N$である。すべての単純部分加群$S$の和と、すべての本質的部分加群$N$の共通部分を取ると、

を得る。

本質的部分加群全体の共通部分を$L$と置き、$A\subseteq L$を任意の部分加群とする。§E6.19 補題 1.5により、$A\cap C=0$であり、$A\oplus C$が$M$の本質的部分加群となる部分加群$C\subseteq M$が存在する。$L$の定義から$L\subseteq A\oplus C$である。任意の$x\in L$を$x=a+c$、$a\in A$、$c\in C$と書くと、$A\subseteq L$なので$c=x-a\in C\cap L$である。したがって

となる。$A$は任意であったから、§E6.22 定理 2.3 (3)により$L$は半単純である。定理 2.2によって

であり、逆の包含も得られる。▨

証明.$S\subseteq M$を単純部分加群とする。制限$f|_S$の像は零であるか、単純加群$S$の非零準同型像として単純である。したがって$f(S)\subseteq\operatorname{soc}_R(N)$であり、すべての$S$の和を取れば第一の包含を得る。

$f$が全射であるとする。任意の単純加群$T$と写像$g\colon N\to T$に対して、$g\circ f\colon M\to T$も左$R$線形である。定理 2.1により$\operatorname{rad}_R(M)\subseteq\ker(gf)$である。したがって

となる。再び同じ特徴づけを$N$へ適用すると第二の包含を得る。▨

証明.$M/N$の部分加群と$N$を含む$M$の部分加群の対応は包含関係を保つため、$M/N$の極大部分加群はちょうど$L/N$の形である。ただし$L$は$N$を含む$M$の極大部分加群を動く。したがって最初の等式を得る。

$\operatorname{rad}_R(M)$はすべての極大部分加群に含まれるため、$N$を含む極大部分加群の共通部分にも含まれる。これに$N$を加えて商を取ると最初の包含を得る。$N\subseteq\operatorname{rad}_R(M)$ならば$M$のすべての極大部分加群が$N$を含むため、共通部分の族は$\operatorname{rad}_R(M)$を定める族全体になり、等号が成り立つ。

自然な全射$q\colon M\to M/N$に命題 3.1の socle に関する主張を適用すると

を得る。▨

証明.$x=(x_i)\in\bigoplus_i\operatorname{rad}_R(M_i)$とし、単純加群$S$への写像$f\colon\bigoplus_iM_i\to S$を取る。各標準包含$\iota_i\colon M_i\to\bigoplus_iM_i$に対して、$f\iota_i$は$M_i$から単純加群への写像なので$(f\iota_i)(x_i)=0$である。$x$の台は有限であるから

となる。核による特徴づけから$x\in\operatorname{rad}_R(\bigoplus_iM_i)$である。

逆に$x=(x_i)\in\operatorname{rad}_R(\bigoplus_iM_i)$とする。各射影$p_i\colon\bigoplus_iM_i\to M_i$は全射なので、命題 3.1により

である。よって根基の等式を得る。

各$\operatorname{soc}_R(M_i)$の元を標準包含で移すと$\bigoplus_iM_i$の socle に入るため、右辺は左辺に含まれる。逆に$S\subseteq\bigoplus_iM_i$を単純部分加群とし、$0\neq s\in S$を取る。単純性から$S=Rs$であり、$s$の台を有限集合$F$とすると$S\subseteq\bigoplus_{i\in F}M_i$である。各$i$について$p_i(S)$は零または単純であるため、$p_i(S)\subseteq\operatorname{soc}_R(M_i)$となる。したがって$S\subseteq\bigoplus_i\operatorname{soc}_R(M_i)$であり、すべての$S$の和を取れば逆の包含を得る。▨

証明. 単純左$R$加群$S$と写像$f\colon M\to S$を取る。単純左加群による Jacobson 根基の特徴づけ§E6.7 定理 4.3により$JS=0$である。したがって

となり、$JM\subseteq\ker f$である。すべての$S$と$f$について核を交わし、定理 2.1を用いると主張を得る。▨

証明. 左正則加群${}_RR$の極大部分加群は$R$の極大左イデアルであるから、二つの定義より

である。定理 3.3を有限直和へ適用すると、任意の非負整数$n$について

となる。

$P$は有限生成なので、§E6.11 命題 1.2により、ある$n$と全射$\pi\colon R^n\twoheadrightarrow P$が存在する。$P$は射影的なので、射影性の特徴づけ§E6.16 命題 1.2により$\pi$は分裂する。したがって$Q:=\ker\pi$と置けば

となる。ここでは分裂による$P$の像を$P$と同一視した。直和公式と$J(R)$の作用の成分表示から

である。両者が等しいことと直和分解の第一成分を比較すると

を得る。▨

証明.$\overline M:=M/JM$と置く。$\overline M$への$R$の作用は$R/J$を通じて定まり、§E6.22 定理 4.2により$\overline M$は半単純$R/J$加群である。$R$部分加群と$R/J$部分加群は一致するため、$\overline M$は半単純$R$加群でもある。

半単純加群は単純加群の直和である。非零元を取れば、ある単純直和因子への射影がその元を零でない元へ写す。定理 2.1により

である。商加群に関する包含命題 3.2を$N=JM$へ適用すると

となるため、$\operatorname{rad}_R(M)\subseteq JM$である。逆の包含は定理 4.1で証明済みである。▨

証明. 最初の等式は逆像による定義と部分加群の対応から従う。右辺は定理 2.2により半単純であり、同じ定理により商加群の最大の半単純部分加群である。▨

証明.$N:=\operatorname{rad}_R^n(M)$と置く。Noether 加群の部分加群$N$も Noether であり、§E6.20 命題 1.2により有限生成である。$N\neq0$なので、§E6.11 命題 1.5により$N$は極大部分加群$L$をもつ。定義から

である。$\operatorname{rad}_R(N)=\operatorname{rad}_R^{n+1}(M)$なので主張を得る。▨

証明.$Q:=M/\operatorname{soc}_n(M)$と置く。$Q$は$M$の商加群なので、Artin 性の短完全列に沿った遺伝§E6.20 命題 3.2により Artin である。仮定から$Q\neq0$である。$Q$の非零部分加群全体へ Artin 性の極小元による特徴づけ§E6.20 命題 2.2を適用し、極小元$S$を取る。$S$は単純部分加群なので

である。命題 5.2により

したがって包含は真である。▨

証明. 極大左イデアルの有限個の共通部分全体を$\mathcal F$とし、空の共通部分$A$も$\mathcal F$に含める。$\mathcal F$は空でない左イデアルの族である。左正則加群${}_AA$は Artin なので、§E6.20 命題 2.2により$\mathcal F$は包含関係について極小元$I$をもつ。

$A$が極大左イデアルをもたない場合、定義から$J(A)=A$であり、空の共通部分を選べばよい。極大左イデアル$\mathfrak m$が存在する場合、$I\cap\mathfrak m\in\mathcal F$かつ$I\cap\mathfrak m\subseteq I$である。$I$の極小性から$I\cap\mathfrak m=I$となり、$I\subseteq\mathfrak m$である。これはすべての極大左イデアルについて成り立つから$I\subseteq J(A)$である。一方、$I$は有限個の極大左イデアルの共通部分なので$J(A)\subseteq I$である。よって$I=J(A)$となる。▨

証明.補題 6.1の極大左イデアル$\mathfrak m_1,\ldots,\mathfrak m_t$を取る。写像

は左$A$線形であり、その核は

である。したがって$\Delta$は単射

を誘導する。

各$A/\mathfrak m_i$は§E6.22 命題 1.1により単純左$A$加群であるから、右辺は半単純である。その部分加群である$A/J(A)$も§E6.22 命題 3.1により半単純左$A$加群である。$J(A)$は$A/J(A)$を零化するため、$A$部分加群と$A/J(A)$部分加群は一致し、半単純性も一致する。よって左正則$A/J(A)$加群は半単純であり、$A/J(A)$は左半単純環である。

$t=0$ならば$J(A)=A$であり、$A/J(A)=0$である。右辺を空直和$0$とすれば同じ証明が成り立つ。▨

証明.定理 6.2により$A/J(A)$は左半単純である。定理 4.4を適用すればよい。▨

証明. まず$n=1$の等式を任意の左$A$加群について示す。$S\subseteq M$を単純部分加群とすると、§E6.7 定理 4.3により$JS=0$である。したがって

である。

逆に$\operatorname{Ann}_M(J)$は$A/J$上の加群である。定理 6.2と§E6.22 定理 4.2により、これは半単純$A/J$加群であり、したがって半単純$A$加群でもある。socle の最大半単純性定理 2.2から

を得る。よって$\operatorname{soc}_A(M)=\operatorname{Ann}_M(J)$である。

$n=0$では

である。ある$n\geq0$について

が成り立つと仮定する。$x\in M$に対し、先ほど証明した$n=1$の等式を商加群$M/\operatorname{soc}_{A,n}(M)$へ適用すると、

となる。したがって帰納法により、すべての$n$について等式が成り立つ。▨

証明.§E6.1 定義 4.1により、右$R$加群は左$R^{\mathrm{op}}$加群である。極大部分加群、単純部分加群、商および直和は集合と加法群を変えないため、一般の公式は$R^{\mathrm{op}}$上の結果をそのまま読み替えればよい。

極大右イデアルによる Jacobson 根基の特徴づけ§E6.7 定理 5.1により

が集合として成り立つ。また、恒等写像が環同型

を誘導する。したがって左辺の左半単純性は$R/J(R)$の右半単純性を意味する。左$R^{\mathrm{op}}$加群に対する積$J(R^{\mathrm{op}})M$は右$R$加群の記法では$MJ(R)$である。有限生成性、射影性および Artin 性も反対環への読み替えでそれぞれ対応する。したがって定理 4.1、定理 4.3、定理 4.4、定理 6.2および定理 7.1を$R^{\mathrm{op}}$へ適用すると四つの主張を得る。▨