§E6.40Ext と加群の拡大

証明.$E_f$は射$E\oplus M'\to M$、$(e,m')\mapsto p(e)-f(m')$の核である。$p_f$の核は$\{(i(n),0)\mid n\in N\}$であり、$i_f$は単射である。任意の$m'\in M'$に対して$p(e)=f(m')$となる$e\in E$を取ると$(e,m')\in E_f$であるから、$p_f$は全射である。普遍性の射は$u(x)=(a(x),b(x))$であり、二つの射影との合成を指定すれば一意に定まる。

$E^g$の分母は射$N\to N'\oplus E$、$n\mapsto(g(n),-i(n))$の像なので部分加群である。$pi=0$により$p^g$は代表によらず定まり、$p$の全射性から全射である。$[n',0]=0$ならば$(n',0)=(g(n),-i(n))$となる$n$があり、$i$の単射性から$n=0$、従って$n'=0$である。また$p^g[n',e]=0$ならば$e=i(n)$と書くことができ、

である。よって$\ker p^g=\im i^g$となる。普遍性の射は

である。$ag=bi$により分母の元を零へ写すため定義され、$[n',e]=i^g(n')+s(e)$により一意である。▨

証明. 引戻しの右端三項と押出しの左端三項は命題 1.2によって完全である。それぞれ元の核と元の余核を保つので、残りの項との接続でも完全性が成り立つ。拡大の射の成分を$u_j\colon E_j\to E'_j$とすると、引戻しの変更項では$(e,m')\mapsto(u_0(e),m')$、押出しの変更項では$[n',e]\mapsto[n',u_{n-1}(e)]$を用いる。可換性により前者は引戻しに値を取り、後者は分母を分母へ写す。これらを変更されない項の$u_j$と合わせると拡大の射となる。

$n=1$とし、$u\colon E\to E'$を拡大の射とする。$u(e)=0$ならば$p(e)=p'u(e)=0$であるから$e=i(n)$と書くことができる。$0=ui(n)=i'(n)$より$n=0$、従って$e=0$である。任意の$e'\in E'$に対して$p(e)=p'(e')$となる$e\in E$を取ると、$e'-u(e)=i'(n)$と書くことができる。よって$e'=u(e+i(n))$であり、$u$は全射でもある。$u$の逆射も両端の射と可換であるため、有限個の射で結ばれた短完全列は同値である。▨

証明.$\varphi\colon P_n\to N$がコサイクルである条件は$\varphi d_{n+1}=0$である。分解の完全性により$\im d_{n+1}=\ker q_n$であるから、この条件は$\varphi=a q_n$を満たす一意な$a\colon K_n\to N$が存在することと同値である。さらにコバウンダリーは$b d_n=b j_nq_n$の形である。したがって、コサイクルの加法群と$\Hom_R(K_n,N)$の同型はコバウンダリーの部分群を制限写像の像へ写す。商を取れば主張の同型を得る。▨

証明. 非負次数の複体$T_\bullet$を

によって定め、$d_n^T=i$、それ以外の微分と添加射は拡大の射とする。拡大の完全性により$T_\bullet\to M$は分解である。特に次数$n$での完全性は$i$の単射性による。§E6.38 定理 2.2を射影分解$P_\bullet$から分解$T_\bullet$へ適用し、$\id_M$を持ち上げる射$u$を取る。

鎖写像の条件から$u_n d_{n+1}=d_{n+1}^T u_{n+1}=0$である。したがって一意な$a\colon K_n\to N$が存在して$u_n=a q_n$となる。さらに

であり、$q_n$の全射性から$ia=u_{n-1}j_n$を得る。

別の比較写像$v$と対応する射$a'$を取る。§E6.38 定理 2.2 (2)により、$u,v$の差を表す鎖ホモトピー$h_j\colon P_j\to T_{j+1}$が存在する。$T_{n+1}=0$なので次数$n$の式は

となる。$q_n$は全射であるから$a-a'=h_{n-1}j_n$であり、両者は制限商で同じ類を定める。

拡大の射$w\colon\mathcal E\to\mathcal E'$が与えられたとき、$w$は分解$T_\bullet\to T'_\bullet$の射を定め、その次数$n$の成分は$\id_N$である。$wu$を$\mathcal E'$への比較として取れば、回収する左端の射は同じ$a$である。各射で類が保たれるため、射の向きを問わない有限列でも類は保たれる。▨

証明. 押出しの左から二番目の項を

とする。命題 1.2 (2)と補題 2.2により、$\mathcal E(a)$は$n$拡大である。$a'=a+b j_n$のとき、

は定義される。実際、分母の元$(a(x),-j_n(x))$は$(a'(x),-j_n(x))$へ写る。$b$を$-b$に置き換えた写像が逆射であり、残りの項では恒等写像を用いることで拡大の同型を与える。よって制限商から同値類への写像が定まる。

$\mathcal E(a)$への比較として、次数$n-1$で$p\mapsto[0,p]$、それより低い次数で恒等写像、次数$n$で$a q_n$を取る。関係式$[0,j_n(x)]=[a(x),0]$により、これは比較写像である。回収される左端の射は$a$そのものなので、比較による写像と押出しによる写像の合成は制限商の恒等写像である。

逆に任意の拡大$\mathcal E$に対し、補題 2.4の$u_j,a$を取る。押出しの普遍性によって

が定まる。この写像、低次数の$u_j$、両端の恒等写像は$\mathcal E(a)\to\mathcal E$の射をなす。したがって$[\mathcal E(a)]=[\mathcal E]$であり、もう一方の合成も恒等写像である。▨

証明.補題 2.3と命題 2.5の全単射を合成し、射影分解を一つ固定した$\Phi_{M,N}^n$を得る。

$\mathcal E$への比較$u\colon P_\bullet\to T_\bullet$の次数$n$の写像を$\alpha\colon P_n\to N$とする。押出し$g_*\mathcal E$には、$u$と押出しへの射を合成した比較があり、その次数$n$の成分は$g\alpha$である。したがって押出しは Ext の後合成$g_*$に対応する。

$M'$の射影分解を$P'_\bullet$とし、$f$を持ち上げる比較写像$F\colon P'_\bullet\to P_\bullet$を取る。$f^*\mathcal E$への比較は、次数$0$で

とし、それより高い中間項で$u_jF_j$を用いて得られる。次数$n$では$\alpha F_n$である。よって引戻しは Ext の前合成$f^*$に対応する。$f=\id_M$として異なる射影分解を取ると、§E6.39 定理 1.4の比較同型の下で$\Phi$が一致することも従う。ここまでで分解によらない全単射と両変数の自然性が示された。

二つの拡大の比較から回収する射を$a,b\colon K_n\to N$とする。射影分解$P_\bullet\oplus P_\bullet$から直和拡大への比較は、左端で$a\oplus b\colon K_n\oplus K_n\to N\oplus N$を与える。$\Delta_M$は各次数の対角射によって持ち上がるため、引戻しから回収する射は$x\mapsto(a(x),b(x))$である。さらに$\nabla_N$による押出しから回収する射は$a+b$となる。したがって Baer 和は制限商の加法に対応する。

制限商はアーベル群であり、全単射が加法を保つので、Baer 和は結合則と交換則を満たす。制限商の零元は$a=0$により、$[a]$の逆元は$[-a]$により表される。前段の自然性で$g=-\id_N$とすれば、主張した逆元の公式を得る。引戻しと押出しの合成則および両者の可換性も、Ext の二変数関手性と全単射から従う。▨

証明.補題 2.2により次数$1$の二つの同値は一致するので、定理 3.2を$n=1$に適用する。零写像$K_1\to N$による押出しの中間項は

であり、単射と全射は標準包含と標準射影である。§E6.9 命題 3.2により、短完全列がこの拡大と同値であることは、分裂することと同値である。

Baer 和の引戻しの中間項を$B=\{(e,f)\mid p(e)=q(f)\}$と書く。$N\oplus N\to B$は$(x,y)\mapsto(i(x),j(y))$である。続く押出しは

であり、各類は$[0,e,f]$の形で表すことができる。実際、$[n,e,f]=[0,e+i(n),f]$である。射$B\to(\nabla_N)_*B$、$(e,f)\mapsto[0,e,f]$の核は、$x+y=0$を満たす分母の元から得られる$\{(i(x),-j(x))\mid x\in N\}$である。したがって主張の商表示を得る。単射と全射の公式もこの同一視に従う。▨

証明.$K_p=\im d_p^P$とし、$\alpha=a q_p$と因子化する。列

は$K_p$の射影分解である。§E6.38 定理 2.2によって$a\colon K_p\to N$を$Q_\bullet$への分解の射へ持ち上げると、所要の$A_j$を得る。

であるから$\beta A_q$はコサイクルである。

同じ$\alpha$の二つの持上げ$A,A'$は、同じ$a$を持ち上げる$K_p$の射影分解からの射である。比較定理の一意性から、$H_j\colon P_{p+j}\to Q_{j+1}$が存在して

となる。従って

はコバウンダリーである。$\beta$を$\beta+c d_q^Q$に変えると、積の代表の差は

であり、やはりコバウンダリーである。

$\alpha$を$\alpha+b d_p^P$に変える場合、$P_{p-1}$の射影性により$\varepsilon_Q B=b$を満たす$B\colon P_{p-1}\to Q_0$を取る。$b d_p^P$の持上げとして

を取ることができる。次数$1$の条件は$D_0d_{p+1}^P=0$であり、それより高い次数の条件も成り立つ。$\alpha+b d_p^P$に$A+D$を用いると、$q\ge1$により$\beta(A_q+D_q)=\beta A_q$である。したがって$\alpha$の代表にも依存しない。持上げの和はコサイクルの和を持ち上げるので$[\alpha]$について加法的であり、$\beta$についての加法性は合成の加法性による。

分解$P_\bullet$を$\widetilde P_\bullet$に変え、$\id_M$を持ち上げる$F\colon\widetilde P_\bullet\to P_\bullet$を取る。$\alpha F_p$の持上げには$A_jF_{p+j}$を取ることができ、積の代表は$\beta A_qF_{p+q}$となる。これは元の積の比較同型による像である。次に$Q_\bullet$を$\widetilde Q_\bullet$に変え、比較$U\colon Q_\bullet\to\widetilde Q_\bullet$を取る。$\widetilde Q$上のコサイクル$\widetilde\beta$と対応する$Q$上の代表を$\beta=\widetilde\beta U_q$とし、持上げに$U_jA_j$を取れば

である。既に示した代表と持上げの独立性、および§E6.39 定理 1.4により、分解の選択によらない積が得られる。

さらに左$R$-加群$V$と整数$r\ge1$を取り、$L$の射影分解を$S_\bullet$、コサイクルを$\gamma\colon S_r\to V$とする。$\beta$の持上げを$B_j\colon Q_{q+j}\to S_j$とすると、

は$\beta A_q$の持上げである。実際、$\varepsilon_SC_0=\beta A_q$であり、$j\ge1$では

である。従って$([\gamma][\beta])[\alpha]$と$[\gamma]([\beta][\alpha])$は、ともに$\gamma B_rA_{q+r}$の類となる。▨

証明.$\xi,\eta$に対応する拡大を$\mathcal E,\mathcal F$とする。射影分解$P_\bullet\to M$、$Q_\bullet\to N$からそれぞれの拡大への比較を取り、成分を

と書く。分類の逆写像の構成により$[\alpha]=\xi$、$[\beta]=\eta$である。$\alpha$の持上げ$A_j\colon P_{p+j}\to Q_j$を命題 4.1のように取る。

$P_\bullet$から接合拡大に付随する分解への写像$w$を、

によって定め、これより高い次数では零とする。$\mathcal E$の単射を$i\colon N\to E_{p-1}$、$\mathcal F$の全射を$v\colon F_0\to N$とすると、接合点では

が成り立つ。$1\le j<q$では

である。$\mathcal F$の単射を$k\colon L\to F_{q-1}$とすれば、左端でも

となる。さらに$\beta A_qd_{p+q+1}^P=0$である。従って$w$は$\id_M$を持ち上げる分解の射である。

接合拡大から回収されるコサイクルは$w_{p+q}=\beta A_q$であり、その類は$\eta\xi$である。分類の全単射により主張の等式を得る。命題 4.1の双加法性と結合性を群同型で移せば、Yoneda 積についても両性質が従う。▨