Euclid 整域・PID・UFD | 環論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 定義

定義 1.1. $R$ を整域とする。 $a,b\in R$ に対して、ある $c\in R$ が存在して

b=ac

となるとき、 $a$ は $b$ を割る (divides) といい、 $a\mid b$ と書く。

$a,b\in R$ に対して、ある単元 $u\in R^\times$ が存在して $a=ub$ となるとき、 $a$ と $b$ は同伴 (associates) であるという。

$a$ と $b$ が同伴ならば、 $a\mid b$ かつ $b\mid a$ である。逆に、整域において非零元 $a,b$ が互いに割り合うならば、 $a$ と $b$ は同伴である。実際、 $a=bc$ 、 $b=ad$ と書くと $a=acd$ であり、 $a\neq0$ を消去して $cd=1$ を得る。したがって $c$ と $d$ は単元である。零元についても $0$ と同伴な元は $0$ だけである。

定義 1.2. $R$ を整域とする。 $p\in R$ が次の三条件を満たすとき、 $p$ を既約元 (irreducible element) という。

$p\neq0$ である。
$p$ は単元でない。
$p=ab$ となる $a,b\in R$ に対して、 $a$ または $b$ は単元である。

$p\in R$ が次の三条件を満たすとき、 $p$ を素元 (prime element) という。

$p\neq0$ である。
$p$ は単元でない。
$p\mid ab$ となる $a,b\in R$ に対して、 $p\mid a$ または $p\mid b$ である。

命題 1.3. 整域 $R$ の素元は既約元である。

証明. 演習とする。▨

定義 1.4. $R$ を整域とする。 $a,b\in R$ に対して、 $d\in R$ が次の二条件を満たすとき、 $d$ を $a$ と $b$ の最大公約元 (greatest common divisor) という。

$d\mid a$ かつ $d\mid b$ である。
$c\mid a$ かつ $c\mid b$ となる任意の $c\in R$ に対して、 $c\mid d$ である。

$(a,b)=(0,0)$ の場合には、最大公約元を $0$ とする。

最後の規約は二条件からも強制される。実際、 $0$ は $0$ と $0$ の公約元であるため、最大公約元 $d$ は $0\mid d$ を満たす。したがって $d=0$ である。また、 $a\neq0$ のとき、 $a$ と $0$ の最大公約元は $a$ と同伴である。

命題 1.5. $R$ を整域とする。 $d$ と $e$ がともに $a,b\in R$ の最大公約元ならば、 $d$ と $e$ は同伴である。

証明. $d$ は $a,b$ の公約元であり、 $e$ は最大公約元であるから $d\mid e$ である。同様に $e\mid d$ である。

$a=b=0$ ならば、定義の規約から $d=e=0$ である。 $(a,b)\neq(0,0)$ ならば、最大公約元 $d$ と $e$ はいずれも非零である。実際、 $d=0$ ならば $0\mid a$ かつ $0\mid b$ から $a=b=0$ となる。したがって非零元 $d,e$ が互いに割り合うことから、 $d$ と $e$ は同伴である。▨

定義 1.6. 整域 $R$ に対して、写像

\delta\colon R\setminus\{0\}\longrightarrow\N

が存在し、任意の $a,b\in R$ 、 $b\neq0$ に対して、ある $q,r\in R$ が

a=bq+r, \qquad r=0\quad\text{または}\quad\delta(r)<\delta(b)

を満たすとき、 $R$ をEuclid 整域 (Euclidean domain) といい、 $\delta$ をEuclid 関数 (Euclidean function) という。商 $q$ と余り $r$ は一意である必要はない。

定義 1.7. 整域 $R$ の任意のイデアルが一つの元で生成されるとき、 $R$ を単項イデアル整域 (principal ideal domain) といい、PID と略記する。零イデアルも $(0)$ という単項イデアルに含める。

整域 $R$ が次の二条件を満たすとき、 $R$ を一意分解整域 (unique factorization domain) といい、UFD と略記する。

任意の非零非単元 $a\in R$ は、ある単元 $u\in R^\times$ 、整数 $n\geq1$ および既約元 $p_1,\ldots,p_n$ を用いて $a=up_1\cdots p_n$ と書くことができる。
非零非単元 $a\in R$ に二つの表示 $a=up_1\cdots p_n=vq_1\cdots q_m$ があり、 $n,m\geq1$ 、 $u,v$ が単元、 $p_i,q_j$ が既約元ならば、 $n=m$ であり、ある置換 $\sigma$ に対して各 $p_i$ は $q_{\sigma(i)}$ と同伴である。

零元と単元は、UFD における既約分解の存在条件と一意性条件の対象から除く。

2 Euclid 整域と PID

定理 2.1. 任意の Euclid 整域は単項イデアル整域である。

証明. 演習とする。▨

命題 2.2. $R$ を PID とし、 $a,b\in R$ とする。イデアル $(a,b)$ の生成元を $d$ とすると、 $d$ は $a,b$ の最大公約元であり、ある $x,y\in R$ が存在して

d=xa+yb

となる。特に、 $a,b$ の最大公約元が単元であることと $(a,b)=R$ であることは同値である。

証明. $R$ は PID であるため、ある $d\in R$ によって $(a,b)=(d)$ と書くことができる。 $a,b\in(d)$ であるから $d\mid a$ かつ $d\mid b$ である。 $c\mid a$ かつ $c\mid b$ とすると、 $c$ は $a,b$ の任意の線形結合を割る。 $d\in(a,b)$ であるため $c\mid d$ となり、 $d$ は最大公約元である。

$d\in(a,b)$ であることから、ある $x,y\in R$ が存在して $d=xa+yb$ となる。 $a=b=0$ の場合には $(a,b)=(0)$ であり、 $d=0$ と選べば $d=0a+0b$ である。

$d$ が単元ならば $(d)=R$ であるから $(a,b)=R$ である。逆に $(a,b)=R$ ならば $(d)=R$ であり、 $1\in(d)$ であるため $d$ は単元である。▨

定理 2.3 (Euclid アルゴリズムと Bézout 等式). $R$ を Euclid 関数 $\delta$ をもつ Euclid 整域とする。任意の $a,b\in R$ に対して、Euclid アルゴリズムは有限回で停止する。 $(a,b)\neq(0,0)$ のとき、最後に得られる非零元 $d$ は $a,b$ の最大公約元になる。ここで、 $b=0$ の場合には初期値 $a$ を $d$ とする。さらに、ある $x,y\in R$ が存在して

d=xa+yb

となる。 $(a,b)=(0,0)$ の場合には $d=0$ 、 $x=y=0$ とする。

証明. 最初に $a=b=0$ とする。この場合には最大公約元の規約から $d=0$ であり、

0=0a+0b

である。

次に $(a,b)\neq(0,0)$ とする。 $b=0$ ならば $d:=a$ と置く。 $a\neq0$ であり、 $a$ は $a$ と $0$ の最大公約元である。また、 $a=1a+0b$ である。

以下では $b\neq0$ とする。 $r_{-1}:=a$ 、 $r_0:=b$ と置く。 $r_i\neq0$ である限り Euclid 整域の除法を適用し、

r_{i-1}=q_{i+1}r_i+r_{i+1}, \qquad r_{i+1}=0\quad\text{または}\quad \delta(r_{i+1})<\delta(r_i)

となる $q_{i+1},r_{i+1}\in R$ を選ぶ。非零余りが続く間、

\delta(r_0)>\delta(r_1)>\delta(r_2)>\cdots

は非負整数の真の減少列である。そのような列は無限に続かないため、ある $n\geq0$ において $r_n\neq0$ かつ $r_{n+1}=0$ となる。

等式

r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i+1}r_i

から $r_{i+1}\in(r_{i-1},r_i)$ であるため、

(r_i,r_{i+1})\subseteq(r_{i-1},r_i)

となる。逆に

r_{i-1}=q_{i+1}r_i+r_{i+1}

から $r_{i-1}\in(r_i,r_{i+1})$ であるため、逆包含も成り立つ。よって

(r_{i-1},r_i)=(r_i,r_{i+1})

である。等式 $(r_{i-1},r_i)=(r_i,r_{i+1})$ を最後の段階まで繰り返すと、

(a,b)=(r_{-1},r_0)=(r_0,r_1)=\cdots =(r_n,r_{n+1})=(r_n)

を得る。

$d:=r_n$ と置く。定理 2.1により $R$ は PID であり、 $(a,b)=(d)$ と命題 2.2から、 $d$ は $a,b$ の最大公約元である。また、 $d=xa+yb$ を満たす $x,y\in R$ が存在する。

係数 $x,y$ は、最後の非零余り $r_n$ から順に

r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i+1}r_i

を代入し、 $r_{-1}=a$ と $r_0=b$ の線形結合へ戻すことによって求めることができる。商と余りの選択が一意でない場合でも、得られる最後の非零余りは常に $a,b$ の最大公約元であるから、異なる選択による結果は互いに同伴である。▨

補題 2.4. $R$ を PID とし、 $a,b,c\in R$ とする。 $a,b$ の最大公約元が単元であり、 $a\mid bc$ ならば、 $a\mid c$ である。

証明. 演習とする。▨

補題 2.5 (Euclid の補題). $R$ を PID とし、 $p\in R$ を既約元とする。 $p\mid ab$ となる $a,b\in R$ に対して、 $p\mid a$ または $p\mid b$ である。したがって、PID の既約元は素元である。

証明. $d$ を $p,a$ の最大公約元とする。 $d\mid p$ であるから $p=de$ となる $e\in R$ が存在する。 $p$ は既約元であるため、 $d$ または $e$ は単元である。

$e$ が単元ならば $d=e^{-1}p$ であり、 $d$ は $p$ と同伴である。さらに $d\mid a$ であるから $p\mid a$ である。

$d$ が単元ならば、 $p,a$ の最大公約元は単元である。仮定 $p\mid ab$ と補題 2.4を $p,a,b$ へ適用すると $p\mid b$ を得る。

いずれの場合にも $p\mid a$ または $p\mid b$ である。 $p$ は既約元であるから非零非単元でもあり、素元の定義を満たす。▨

命題 1.3と補題 2.5により、PID では素元と既約元が一致する。

3 PID における既約分解

命題 3.1. $R$ を PID とする。イデアルの任意の昇鎖

I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq\cdots

は停止する。すなわち、ある $N\geq1$ が存在して、すべての $n\geq N$ に対して $I_n=I_N$ となる。

証明. 左 $R$ 加群 ${}_RR$ の部分加群は $R$ のイデアルである。 $R$ は PID なので、各部分加群は一元生成であり、特に有限生成である。§E6.20 命題 1.2により ${}_RR$ は昇鎖条件を満たす。したがって、 $R$ のイデアルの任意の昇鎖は停止する。▨

命題 3.2. $R$ を PID とする。任意の非零非単元 $a\in R$ は、ある整数 $n\geq1$ と既約元 $p_1,\ldots,p_n\in R$ を用いて

a=p_1\cdots p_n

と書くことができる。したがって、先頭の単元として $1$ を取ることにより、UFD の存在条件も満たされる。

証明. 既約元の有限積に書くことができない非零非単元 $a_0\in R$ が存在すると仮定する。そのような元 $a_i$ は既約でないので、非単元 $b,c\in R$ を用いて $a_i=bc$ と書くことができる。 $a_i\neq0$ なので $b,c$ も非零である。 $b,c$ がともに既約元の有限積に書くことができれば、両方の分解を連結して $a_i$ の既約分解を得る。したがって、少なくとも一方は既約元の有限積に書くことができない。その因子を $a_{i+1}$ 、もう一方を $e_i$ と選ぶ。

この選択を反復すると、既約分解をもたない非零非単元 $a_i$ と非零非単元 $e_i$ が

a_i=a_{i+1}e_i

を満たす。この等式から $(a_i)\subseteq(a_{i+1})$ である。この包含が等号であると仮定すると、 $a_{i+1}=a_i t$ となる $t\in R$ が存在する。したがって

a_{i+1}=a_i t=a_{i+1}e_i t

となる。 $a_{i+1}\neq0$ を整域で消去すると $1=e_i t$ を得るため、 $e_i$ は単元になる。 $e_i$ が単元になる結論は、 $e_i$ の選び方に反する。よって

(a_0)\subsetneq(a_1)\subsetneq(a_2)\subsetneq\cdots

は主イデアルの真の昇鎖である。

この昇鎖は命題 3.1に反する。したがって、既約元の有限積に書くことができない非零非単元は存在しない。各非零非単元は少なくとも一個の既約元を含む有限積に書くことができる。▨

定理 3.3. $R$ を、すべての既約元が素元である整域とする。単元 $u,v\in R^\times$ と既約元 $p_1,\ldots,p_n,q_1,\ldots,q_m\in R$ に対して

up_1\cdots p_n=vq_1\cdots q_m

とする。ここで $n,m\geq0$ とし、因子がない積は $1$ とする。このとき $n=m$ であり、ある置換 $\sigma$ に対して、各 $p_i$ は $q_{\sigma(i)}$ と同伴である。 $p_i=\varepsilon_iq_{\sigma(i)}$ 、 $\varepsilon_i\in R^\times$ と書くと、 $u\varepsilon_1\cdots\varepsilon_n=v$ である。

証明. $n=0$ のとき、等式は

u=vq_1\cdots q_m

である。 $m\geq1$ ならば $q_1\mid u$ となる。しかし単元の約元は単元である。実際、 $u=q_1c$ ならば $q_1(cu^{-1})=1$ である。 $q_1$ が単元になる結論は、既約元 $q_1$ が非単元であることに反する。したがって $m=0$ であり、主張は成り立つ。

$n\geq1$ とし、 $n-1$ 個以下の因子に対する主張を仮定する。 $m=0$ ならば等式から $p_1\mid v$ となり、先ほどと同様に既約元 $p_1$ が単元であるという矛盾を得る。よって $m\geq1$ である。

$p_1$ は既約元であるため、仮定により素元である。表示された等式から

p_1\mid vq_1\cdots q_m

である。 $v$ は単元であるから $p_1\nmid v$ である。素元の条件を積へ繰り返し適用すると、ある $j$ に対して $p_1\mid q_j$ となる。因子の順序を入れ替え、 $j=1$ としてよい。

$q_1=p_1c$ となる $c\in R$ を取る。 $q_1$ は既約元であり $p_1$ は非単元であるため、 $c$ は単元である。したがって $p_1$ と $q_1$ は同伴である。元の等式を

up_1p_2\cdots p_n=vp_1c q_2\cdots q_m

と書き、非零元 $p_1$ を消去すると

up_2\cdots p_n=(vc)q_2\cdots q_m

を得る。 $vc$ は単元である。帰納法の仮定により $n-1=m-1$ であり、残りの因子も置換と同伴を除いて対応する。先に対応させた $p_1,q_1$ を加えると $n=m$ であり、すべての因子が対応する。

同伴単元についての等式の証明は演習とする。▨

命題 3.4. 任意の単項イデアル整域は一意分解整域である。

証明. $R$ を PID とする。命題 3.2により、任意の非零非単元は既約元の有限積に書くことができる。補題 2.5により、 $R$ のすべての既約元は素元である。したがって定理 3.3により、二つの既約分解は因子の順序と同伴を除いて一致する。既約分解の存在と一意性が定義 1.7の二条件を満たすため、 $R$ は UFD である。▨

以上の結果をまとめると、包含関係

\text{Euclid 整域}\Longrightarrow\text{PID}\Longrightarrow\text{UFD}

が得られる。第一の矢印は除法における最小の Euclid 値から、第二の矢印は主イデアルの昇鎖停止と Euclid の補題から従う。

4 例

例 4.1 (整数環の Euclid 関数と最大公約元). $\Z$ の単元は $1$ と $-1$ である。実際、 $uv=1$ となる整数 $u,v$ に絶対値を取ると $|u||v|=1$ であるため、 $|u|=1$ となる。逆に $1$ と $-1$ はそれぞれ自分自身を逆元にもつ。

非零整数 $n$ に対して

\delta(n):=|n|

と定める。 $a,b\in\Z$ 、 $b\neq0$ とする。正整数 $|b|$ による整数の除法から、ある $Q,r\in\Z$ が存在して

a=Q|b|+r, \qquad 0\leq r<|b|

となる。 $b>0$ ならば $q:=Q$ 、 $b<0$ ならば $q:=-Q$ と置くと、いずれの場合にも

a=bq+r

である。 $r=0$ であるか、 $r>0$ かつ

\delta(r)=r<|b|=\delta(b)

である。したがって $\delta$ は Euclid 関数であり、 $\Z$ は Euclid 整域である。よって $\Z$ は PID かつ UFD でもある。

$252$ と $198$ に Euclid アルゴリズムを適用すると、

\begin{aligned} 252&=1\cdot198+54,\\ 198&=3\cdot54+36,\\ 54&=1\cdot36+18,\\ 36&=2\cdot18 \end{aligned}

となる。最後の非零余りは $18$ である。逆代入によって

\begin{aligned} 18&=54-36\\ &=54-(198-3\cdot54)\\ &=4\cdot54-198\\ &=4(252-198)-198\\ &=4\cdot252-5\cdot198 \end{aligned}

を得る。したがって $18$ は両方を割り、両方を割る任意の整数は表示された線形結合 $18$ も割るため、 $18$ は $252,198$ の最大公約元である。 $-18$ も同伴な最大公約元である。

補題 4.2. 整数について次が成り立つ。

非負整数 $a,b$ が $\gcd(a,b)=1$ を満たすならば、 $ua+vb=1$ を満たす整数 $u,v$ が存在する。
正の整数 $n>1$ は素数の積に分解し、その素因数分解は素数の順序を除いて一意である。
$t\geq1$ とし、正整数 $n_1,\ldots,n_t$ は二つずつ互いに素であるとする。すべての $n_i$ が整数 $x$ を割るならば、積 $n_1\cdots n_t$ も $x$ を割る。

証明.例 4.1と定理 2.1により $\Z$ は PID であり、命題 3.4により UFD である。

(1)を示す。 $\gcd(a,b)=1$ なので、 $a,b$ の最大公約元は $1$ と同伴である。命題 2.2の Bézout 等式を単元倍して、 $ua+vb=1$ となる整数 $u,v$ を得る。この結論は $a,b$ が非負整数で一方が零の場合にも成り立つ。実際、 $a=0$ ならば $b=1$ なので $(u,v)=(0,1)$ を取り、 $b=0$ ならば $a=1$ なので $(u,v)=(1,0)$ を取ればよい。

(2)を示す。整数環の単元は $1,-1$ である。非零非単元 $r\in\Z$ が非単元の積 $ab$ に分解することと、 $|r|$ が $1$ より大きい二つの正整数 $|a|,|b|$ の積に分解することは同値である。したがって、 $r$ が既約元であることと $|r|$ が素数であることは同値である。 $\Z$ の一意分解性により、 $n>1$ を既約元の積に分解し、各因子を正の同伴元に取り替えると

n=\varepsilon p_1\cdots p_s,\qquad \varepsilon\in\{1,-1\},\qquad p_i>0

となる。各 $p_i$ は素数であり、 $n>0$ なので $\varepsilon=1$ である。同伴な正の素数は等しいから、既約分解の一意性により素数の順序以外の曖昧さはない。また、補題 2.5により、素数 $p$ と整数 $a,b$ に対して $p\mid ab$ ならば $p\mid a$ または $p\mid b$ である。

(3)を示す。 $t=1$ の場合は仮定そのものである。 $t\geq2$ とし、 $t-1$ 個の場合を仮定する。 $M=n_1\cdots n_{t-1}$ と置くと、帰納法の仮定から $x=My$ となる整数 $y$ が存在する。 $n_t$ と $M$ の公約数が $1$ より大きければ、(2)により、その公約数を割る素数 $p$ が存在する。Euclid の補題を積 $M$ に適用すると、 $p\mid n_i$ を満たす $i<t$ が存在する。 $p\mid n_t$ でもあるので、 $n_i,n_t$ が互いに素であることに反する。したがって $\gcd(n_t,M)=1$ である。 $n_t\mid My$ と補題 2.4から $n_t\mid y$ を得る。よって $Mn_t\mid x$ である。▨

例 4.3 (体は Euclid 整域である). $F$ を体とする。体は零環でなく、非零元の積が非零であるため整域である。非零元 $x\in F$ に対して

\delta(x):=0

と定める。 $a,b\in F$ 、 $b\neq0$ に対して

q:=ab^{-1}, \qquad r:=0

と置けば $a=bq+r$ である。余りが零であるため、Euclid 関数の不等式を確認する必要はない。よって $F$ は Euclid 整域である。

定理 2.1により $F$ は PID である。実際、非零イデアル $I\subseteq F$ には非零元 $a$ が存在する。 $a^{-1}a=1\in I$ であるため $I=F=(1)$ である。零イデアルは $(0)$ である。

さらに、 $F$ には非零非単元が存在しない。したがって UFD の既約分解の存在条件は空虚に成り立ち、一意性条件を適用する表示も存在しない。よって $F$ は UFD である。

例 4.4 ( $\Z[\sqrt{-5}]$ における既約元と素元). 複素数体の部分環

A=\Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in\Z\}

は整域である。 $A$ の元 $\alpha=a+b\sqrt{-5}$ に対して

N(\alpha):=\alpha\overline\alpha=a^2+5b^2

と置く。複素共役は積を保つので、 $\alpha,\beta\in A$ に対して

N(\alpha\beta)=\alpha\beta\overline\alpha\overline\beta =N(\alpha)N(\beta)

である。非零元のノルムは正整数である。 $\alpha\beta=1$ ならば $N(\alpha)N(\beta)=1$ なので $N(\alpha)=1$ である。方程式 $a^2+5b^2=1$ の整数解は $(a,b)=(\pm1,0)$ だけであり、 $1,-1$ は単元である。したがって $A^\times=\{1,-1\}$ である。

ノルムが $2$ または $3$ となる元は存在しない。実際、 $b\neq0$ ならば $a^2+5b^2\geq5$ であり、 $b=0$ ならばノルムは整数の平方である。 $2=\alpha\beta$ が非単元どうしの分解ならば、 $N(\alpha),N(\beta)>1$ かつ $N(\alpha)N(\beta)=4$ である。したがって両方のノルムは $2$ となり、ノルム $2$ の元が存在しないことに反する。よって $2$ は既約元である。

一方、

6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

である。 $2$ はこの積を割るが、 $1+\sqrt{-5}$ も $1-\sqrt{-5}$ も割らない。実際、 $1\pm\sqrt{-5}=2(a+b\sqrt{-5})$ ならば、実部を比較して $1=2a$ を得るが、整数 $a$ はこの等式を満たさない。したがって $2$ は素元でない。

さらに、 $3$ と $1\pm\sqrt{-5}$ も既約元である。 $N(3)=9$ の非単元二因子分解にはノルム $3$ の元が必要であり、 $N(1\pm\sqrt{-5})=6$ の非単元二因子分解にはノルム $2$ と $3$ の元が必要である。いずれも存在しない。同伴な元のノルムは等しいが、 $N(2)=4$ 、 $N(3)=9$ と $N(1\pm\sqrt{-5})=6$ は異なる。よって $6$ の二つの既約分解は、因子の順序と同伴を除いても一致しない。したがって $A$ は UFD でなく、命題 3.4により PID でもない。

5 演習

問題 5.1 (Euclid 整域・PID・UFD の確認). 次の各問に答えよ。

整域 $R$ における整除、同伴、既約元、素元および最大公約元を定義せよ。零元と単元が既約元・素元から除かれること、 $(0,0)$ の最大公約元、および UFD の存在条件から零元・単元が除かれることを明記せよ。また、 $\Z$ の Euclid 関数 $\delta(n)=|n|$ に対し、 $3=2\cdot1+1=2\cdot2-1$ の二つの除法が条件を満たすことを確かめ、商と余りの一意性が必要か答えよ。
定理 2.1の証明を完成させよ。さらに、Euclid アルゴリズムが有限回で停止する理由と、各段階で $(r_{i-1},r_i)=(r_i,r_{i+1})$ となる理由を証明せよ。最後の非零余りが最大公約元であり、Bézout 等式を満たすことを導け。PID 性の証明では、非零イデアルから Euclid 値が最小の元を選べ。
$252$ と $198$ に Euclid アルゴリズムを適用し、最大公約元を求めよ。さらに、その最大公約元を $252$ と $198$ の整数係数線形結合として表し、 $252x+198y=18$ を満たすすべての整数対 $(x,y)$ を求めよ。
命題 1.3と補題 2.4の証明を完成させよ。さらに、PID で既約元が素元であることを導け。
PID のイデアルの昇鎖の合併がイデアルであることを証明し、その昇鎖が停止することを示せ。既約分解をもたない非零非単元があると仮定して主イデアルの真の昇鎖を構成し、既約分解の存在を証明せよ。
定理 3.3の同伴単元についての等式の証明を完成させよ。さらに、すべての既約元が素元である整域で、二つの既約分解が順序と同伴を除いて一致することを証明せよ。因子が零個の場合を扱い、対応する同伴単元を先頭の単元へ吸収した後の等式も示せ。既約分解の存在、既約元の素元性および一意性から PID が UFD であることを導け。
例 4.4の環 $A$ について、 $N(\alpha)=4,6,9$ を満たす元 $\alpha$ をそれぞれすべて求めよ。得られた元の既約性と同伴関係を調べ、 $2$ が既約だが素でないことと、 $6$ の二つの既約分解が一致しないことを確かめよ。また、Euclid アルゴリズムの停止を保証する性質を述べ、整域の元の因数分解と加群の直和分解を区別せよ。

解答 (演習の解答).

$a\mid b$ とは $b=ac$ となる $c\in R$ が存在することであり、 $a,b$ が同伴であるとは $a=ub$ となる単元 $u$ が存在することである。既約元 $p$ は非零非単元で、 $p=ab$ ならば $a,b$ の一方が単元となる元である。素元 $p$ は非零非単元で、 $p\mid ab$ ならば $p\mid a$ または $p\mid b$ となる元である。 $d$ が $a,b$ の最大公約元であるとは、 $d$ が両方を割り、両方を割る任意の元が $d$ を割ることである。 $(0,0)$ の最大公約元は $0$ とする。零元と単元は既約元・素元に含めず、UFD の存在条件も非零非単元だけを対象にする。Euclid 整域では、 $a=bq+r$ と $r=0$ または $\delta(r)<\delta(b)$ を満たせばよく、 $q,r$ の一意性は要求しない。整数の二つの除法では、商と余りはそれぞれ $(q,r)=(1,1),(2,-1)$ であり、いずれも $|r|=1<2$ を満たす。
$R$ を Euclid 整域とする。非零余りが続く限り $\delta(r_{i+1})<\delta(r_i)$ であり、非負整数の真の減少列は無限に続かないため、アルゴリズムは停止する。等式 $r_{i+1}=r_{i-1}-q_{i+1}r_i$ は $(r_i,r_{i+1})\subseteq(r_{i-1},r_i)$ を与え、等式 $r_{i-1}=q_{i+1}r_i+r_{i+1}$ は逆包含を与える。したがって最後の非零余りを $d$ とすれば $(a,b)=(d)$ である。よって $d$ は $a,b$ を割り、任意の公約元は $d$ を割る。また $d\in(a,b)$ から $d=xa+yb$ を得る。Euclid 整域のイデアル $I$ について、 $I=0$ なら $(0)$ である。 $I\neq0$ なら $I$ の非零元のうち $\delta$ が最小の元 $d$ を選ぶ。 $a\in I$ を $a=dq+r$ と割ると $r=a-dq\in I$ であり、 $r\neq0$ は $d$ の最小性に反する。よって $r=0$ なので、任意の $a\in I$ は $(d)$ に属する。逆に $d\in I$ から $(d)\subseteq I$ であり、 $I=(d)$ となる。したがって $R$ は PID である。
除法列は
$252=198+54, \quad 198=3\cdot54+36, \quad 54=36+18, \quad 36=2\cdot18$
である。最後の非零余りは $18$ である。逆代入により
$18=54-36=4\cdot54-198 =4\cdot252-5\cdot198$
となる。したがって最大公約元として $18$ を選ぶことができる。

$252x+198y=18$ を $18$ で割ると $14x+11y=1$ である。特解 $(4,-5)$ との差を取れば
$14(x-4)=-11(y+5)$
となる。 $14$ と $11$ は互いに素なので、補題 2.4により $11\mid x-4$ である。 $x-4=11t$ 、 $t\in\Z$ と書いて代入すると $y+5=-14t$ を得る。逆に任意の $t\in\Z$ に対して、この整数対は元の等式を満たす。したがって解はちょうど
$(x,y)=(4+11t,-5-14t),\qquad t\in\Z$
である。
素元 $p$ を $p=ab$ と書くと、 $p\mid a$ または $p\mid b$ である。 $a=pc$ なら $p=pcb$ から非零元 $p$ を消去して $1=cb$ を得るため $b$ は単元である。 $b=pc$ ならば $p=apc$ から $1=ac$ を得るため $a$ は単元である。よって $p$ は既約である。PID で $a,b$ の最大公約元が単元なら、Bézout 等式を単元の逆元倍して $1=xa+yb$ と書くことができる。 $a\mid bc$ なら $c=xac+ybc$ の右辺を $a$ が割るため $a\mid c$ である。既約元 $p$ と元 $a$ の最大公約元 $d$ は $p$ を割る。既約性から $d$ が単元であるか、 $d$ が $p$ と同伴である。後者なら $p\mid a$ であり、前者なら $p\mid ab$ と互いに素な元に対する補題から $p\mid b$ である。よって $p$ は素元である。
PID $R$ の昇鎖 $I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots$ に対し、 $I=\bigcup_{n\geq1}I_n$ と置く。 $0\in I_1\subseteq I$ である。 $x\in I_i$ 、 $y\in I_j$ ならば、 $k=\max\{i,j\}$ に対して $x,y\in I_k$ なので $x-y\in I_k\subseteq I$ である。 $r\in R$ と $x\in I_i$ に対して $rx\in I_i\subseteq I$ でもある。よって $I$ はイデアルである。PID では $I=(a)$ と書くことができ、 $a\in I_N$ となる $N$ が存在するため $I=(a)\subseteq I_N\subseteq I$ であり、任意の $n\geq N$ に対して $I_N\subseteq I_n\subseteq I=I_N$ となり、鎖は $I_N$ で停止する。既約分解をもたない非零非単元 $a_0$ が存在すると仮定する。既約元の有限積として表されない非零非単元 $a_i$ は既約でないため、二つの非零非単元の積に分解される。両因子が既約元の有限積として表されるならば $a_i$ もそのように表されるため、少なくとも一方は表されない。その一方を $a_{i+1}$ 、他方を $e_i$ と置けば、 $a_i=a_{i+1}e_i$ である。すると $(a_i)\subsetneq(a_{i+1})$ である。等号なら $a_{i+1}=a_it=a_{i+1}e_it$ から $e_i$ が単元となるためである。この真の昇鎖は停止条件に反するので、すべての非零非単元は既約分解をもつ。
等式 $up_1\cdots p_n=vq_1\cdots q_m$ で、 $n=0$ なら左辺は単元である。 $m>0$ なら既約元 $q_1$ が単元を割って単元となる矛盾が生じるため $m=0$ である。 $n,m>0$ なら、素元 $p_1$ は右辺のある $q_j$ を割る。 $q_j$ の既約性から両者は同伴であり、順序を入れ替えて共通因子を消去する。因子数に関する帰納法によって $n=m$ かつ全因子が対応する。 $p_i=\varepsilon_iq_{\sigma(i)}$ 、 $\varepsilon_i\in R^\times$ と書き、元の等式へ代入すると
$u(\varepsilon_1\cdots\varepsilon_n)q_{\sigma(1)}\cdots q_{\sigma(n)} =vq_1\cdots q_n$
となる。置換は積を変えないので、非零積 $q_1\cdots q_n$ を消去して $u\varepsilon_1\cdots\varepsilon_n=v$ を得る。 $n=0$ ならば両方の積は $1$ であり、この等式は $u=v$ である。PID では既約分解が存在し、Euclid の補題により既約元が素元であるため、この一意性を適用して UFD の二条件を得る。
$\alpha=a+b\sqrt{-5}$ と置く。 $N(\alpha)=4$ ならば $5b^2\leq4$ なので $b=0$ 、 $a=\pm2$ であり、解は $\pm2$ である。 $N(\alpha)=6$ ならば $b=0,\pm1$ である。 $b=0$ では $a^2=6$ に解がなく、 $b=\pm1$ では $a=\pm1$ である。したがって解は $\pm(1+\sqrt{-5}),\pm(1-\sqrt{-5})$ である。 $N(\alpha)=9$ でも $b=0,\pm1$ であり、 $b=0$ ならば $a=\pm3$ 、 $b=\pm1$ ならば $a=\pm2$ である。解は $\pm3,\pm(2+\sqrt{-5}),\pm(2-\sqrt{-5})$ となる。ノルム $2,3$ の元は存在しないので、列挙したすべての元は既約である。単元は $\pm1$ だけなので、同伴関係は符号の違いだけである。異なるノルムの元は同伴でなく、同じノルムについても、列挙した組の間では符号を変えても一致しない。 $2$ は $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ を割るが、実係数が奇数である両因子を割らない。よって $2$ は素元でなく、 $2\cdot3$ と $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ は異なる既約分解である。

Euclid アルゴリズムの停止を保証するのは、非零余りの Euclid 値が非負整数の真の減少列になることである。尺度は一般の Euclid 関数である。体上の一変数多項式環における次数を尺度とする除法、既約判定、Eisenstein の判定法および既約多項式による商体は、後続の多項式環の範囲で扱う。主イデアルの元の分解と、PID 上加群の直和分解とは別の問題である。Smith 標準形と PID 上有限生成加群の構造定理は後続の加群構造論で扱う。

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§E6.27Euclid 整域・PID・UFD

1 定義

2 Euclid 整域と PID

3 PID における既約分解

4 例

5 演習

参考文献

前提記事