射影分解と比較定理 | 環論入門

定義 1.1 (分解). $R$ を単位元をもつ結合環、 $M$ を左 $R$ -加群とする。左 $R$ -加群の完全列

\cdots\longrightarrow P_2\xrightarrow{d_2^P}P_1 \xrightarrow{d_1^P}P_0\xrightarrow{\varepsilon_P}M\longrightarrow0

を $M$ の分解 (resolution) といい、写像 $\varepsilon_P$ を添加射 (augmentation) という。すべての $n\in\N$ に対して $P_n$ が射影加群である分解を射影分解 (projective resolution)、すべての $P_n$ が自由加群である分解を自由分解 (free resolution) という。

分解に付随する鎖複体 $P_\bullet$ は、非負次数に $P_n$ を置き、負次数の加群と次数 $0$ 以下の微分を零とした複体である。分解を $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ とも書く。

命題 1.2. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の分解とする。添加射は同型

H_0(P_\bullet)\longrightarrow M,\qquad [x]\longmapsto\varepsilon_P(x)

を誘導し、 $n\ne0$ では $H_n(P_\bullet)=0$ である。

証明. 分解の完全性より $\varepsilon_P$ は全射であり、 $\ker\varepsilon_P=\im d_1^P$ である。したがって商加群 $H_0(P_\bullet)=P_0/\im d_1^P$ から $M$ への誘導写像は全射であり、その核は零である。正次数では $\ker d_n^P=\im d_{n+1}^P$ であるためホモロジーは零であり、負次数では複体の項が零である。▨

定理 1.3. $R$ を単位元をもつ結合環とする。任意の左 $R$ -加群 $M$ は自由分解をもち、したがって射影分解をもつ。

証明. $K_{-1}=M$ とおく。§E6.16 系 1.3により、各 $n\in\N$ について自由左 $R$ -加群 $F_n$ からの全射 $q_n\colon F_n\to K_{n-1}$ を取り、 $K_n=\ker q_n$ とおくことを帰納的に繰り返す。 $j_n\colon K_n\hookrightarrow F_n$ を包含とし、

\varepsilon_F=q_0,\qquad d_n^F=j_{n-1}\circ q_n\quad(n\ge1)

と定める。

$q_n$ は全射、 $j_n$ は単射であるから、 $\im d_1^F=K_0=\ker\varepsilon_F$ であり、 $n\ge1$ に対して

\im d_{n+1}^F=j_n(K_n)=\ker q_n=\ker d_n^F

が成り立つ。ここでは $K_n$ を $F_n$ の部分加群とみなしている。よって得られた列は完全であり、各項が自由であるから自由分解である。§E6.16 系 1.3により各 $F_n$ は射影的でもある。▨

定義 2.1 (分解の射). $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ と $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}N$ を左 $R$ -加群の分解、 $f\colon M\to N$ を左 $R$ -線形写像とする。鎖写像 $\varphi\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ が

\varepsilon_Q\circ\varphi_0=f\circ\varepsilon_P

を満たすとき、 $\varphi$ を $f$ を持ち上げる分解の射 (morphism of resolutions) という。

定理 2.2 (比較定理). $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の射影分解、 $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}N$ を左 $R$ -加群 $N$ の分解とする。任意の左 $R$ -線形写像 $f\colon M\to N$ に対して、次が成り立つ。

$f$ を持ち上げる分解の射 $\varphi\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ が存在する。
$f$ を持ち上げる二つの分解の射 $\varphi,\psi$ は鎖ホモトピックである。すなわち左 $R$ -線形写像 $h_n\colon P_n\to Q_{n+1}$ が $n\in\N$ について存在し、 $\varphi_0-\psi_0=d_1^Q\circ h_0,$ $\varphi_n-\psi_n=d_{n+1}^Q\circ h_n+h_{n-1}\circ d_n^P \qquad(n\ge1)$ が成り立つ。

証明. 全射 $\varepsilon_Q\colon Q_0\to N$ に $P_0$ の射影性を適用し、 $\varepsilon_Q\varphi_0=f\varepsilon_P$ を満たす $\varphi_0\colon P_0\to Q_0$ を取る。証明中では $P_{-1}=M$ 、 $Q_{-1}=N$ 、 $d_0^P=\varepsilon_P$ 、 $d_0^Q=\varepsilon_Q$ 、 $\varphi_{-1}=f$ とおく。

$n\ge1$ とし、 $\varphi_0,\ldots,\varphi_{n-1}$ が構成され、 $0\le k<n$ で $d_k^Q\varphi_k=\varphi_{k-1}d_k^P$ が成り立つとする。このとき

d_{n-1}^Q\varphi_{n-1}d_n^P =\varphi_{n-2}d_{n-1}^Pd_n^P=0

である。したがって $\varphi_{n-1}d_n^P$ は $\ker d_{n-1}^Q$ に値を取る。 $Q$ の完全性より微分が誘導する写像 $Q_n\to\ker d_{n-1}^Q$ は全射である。 $P_n$ の射影性により、 $d_n^Q\varphi_n=\varphi_{n-1}d_n^P$ を満たす $\varphi_n$ が存在する。帰納法により、すべての非負次数で両立する写像が得られ、(1)が成り立つ。

$f$ を持ち上げる二つの分解の射 $\varphi,\psi$ を取り、 $\theta_n=\varphi_n-\psi_n$ とおく。 $\varepsilon_Q\theta_0=0$ であるから、 $\theta_0$ は $\ker\varepsilon_Q$ に値を取る。完全性から得られる全射 $Q_1\to\ker\varepsilon_Q$ に $P_0$ の射影性を適用すると、 $d_1^Qh_0=\theta_0$ を満たす $h_0\colon P_0\to Q_1$ が得られる。 $h_{-1}\colon M\to Q_0$ は零写像とする。

$n\ge1$ とし、 $h_0,\ldots,h_{n-1}$ が構成され、 $0\le k<n$ で $\theta_k=d_{k+1}^Qh_k+h_{k-1}d_k^P$ が成り立つとする。写像

t_n=\theta_n-h_{n-1}d_n^P\colon P_n\longrightarrow Q_n

について、鎖写像の条件と帰納法の仮定から

\begin{aligned} d_n^Qt_n &=\theta_{n-1}d_n^P-d_n^Qh_{n-1}d_n^P\\ &=(\theta_{n-1}-d_n^Qh_{n-1})d_n^P\\ &=h_{n-2}d_{n-1}^Pd_n^P=0 \end{aligned}

を得る。全射 $Q_{n+1}\to\ker d_n^Q$ に $P_n$ の射影性を適用し、 $d_{n+1}^Qh_n=t_n$ を満たす $h_n$ を取る。すべての $n\in\N$ について所要の等式が成り立ち、負次数に零写像を置けば $P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の鎖ホモトピーとなる。これで(2)は示された。▨

系 2.3. $R$ を単位元をもつ結合環、 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}M$ と $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}M$ を左 $R$ -加群 $M$ の射影分解とする。 $\id_M$ を持ち上げる分解の射 $u\colon P_\bullet\to Q_\bullet$ と $v\colon Q_\bullet\to P_\bullet$ が存在し、

v\circ u\simeq\id_{P_\bullet},\qquad u\circ v\simeq\id_{Q_\bullet}

が成り立つ。したがって二つの射影分解は鎖ホモトピー同値である。

証明.定理 2.2 (1)を両方向に適用して $u,v$ を取る。 $vu$ と $\id_{P_\bullet}$ はともに $\id_M$ を持ち上げるため、定理 2.2 (2)により鎖ホモトピックである。 $uv$ と $\id_{Q_\bullet}$ についても、同じ主張を $Q_\bullet$ から $Q_\bullet$ への射に適用して結論を得る。▨

例 2.4. 正整数 $m$ に対し、商写像 $\varepsilon_m\colon\Z\to\Z/m\Z$ を添加射とする列

0\longrightarrow\Z\xrightarrow{\times m}\Z \xrightarrow{\varepsilon_m}\Z/m\Z\longrightarrow0

は自由分解である。実際、 $m$ 倍写像は単射であり、その像 $m\Z$ は $\varepsilon_m$ の核に等しい。次数 $1,0$ の項を $\Z$ とし、ほかの項を零とした複体を $P(m)_\bullet$ と書く。

自然な全射 $f\colon\Z/6\Z\to\Z/2\Z$ の持上げとして、 $P(6)_\bullet\to P(2)_\bullet$ の射

\varphi_0=\times1,\quad\varphi_1=\times3, \qquad \psi_0=\times3,\quad\psi_1=\times9

がある。どちらも次数 $0$ で $f$ を誘導し、微分との可換性は $2\cdot3=1\cdot6$ と $2\cdot9=3\cdot6$ である。写像 $h_0\colon\Z\to\Z$ を $-1$ 倍写像とし、ほかの $h_n$ を零とすると、

\varphi_0-\psi_0=\times(-2)=d_1^{P(2)}h_0, \qquad \varphi_1-\psi_1=\times(-6)=h_0d_1^{P(6)}

となる。異なる二つの持上げは鎖ホモトピックである。

定理 3.1 (馬蹄補題). $R$ を単位元をもつ結合環とし、左 $R$ -加群の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

と射影分解 $P_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_P}A$ 、 $Q_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_Q}C$ を与える。このとき、 $B$ の射影分解 $E_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_E}B$ と、 $i,p$ をそれぞれ持ち上げる分解の射 $j\colon P_\bullet\to E_\bullet$ 、 $r\colon E_\bullet\to Q_\bullet$ が存在して、

0\longrightarrow P_\bullet\xrightarrow{j}E_\bullet \xrightarrow{r}Q_\bullet\longrightarrow0

は各次数で分裂する短完全列となる。さらに各 $n\in\N$ で

E_n=P_n\oplus Q_n,\qquad j_n(x)=(x,0),\qquad r_n(x,y)=y

とすることができる。

証明. $P_\bullet$ と $Q_\bullet$ の各微分を、その像である核への全射と包含の合成に分解する。すなわち $K_{-1}^A=A$ 、 $K_{-1}^C=C$ とおき、添加射を $a_0\colon P_0\to K_{-1}^A$ 、 $c_0\colon Q_0\to K_{-1}^C$ と書く。 $n\in\N$ に対し

K_n^A=\ker a_n,\quad K_n^C=\ker c_n, \qquad a_{n+1}\colon P_{n+1}\twoheadrightarrow K_n^A, \quad c_{n+1}\colon Q_{n+1}\twoheadrightarrow K_n^C

とし、後二つの写像は微分の終域を制限して得る。完全性により、これらは全射である。

主張 3.1.1. 左 $R$ -加群の短完全列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ 、全射 $a\colon P\to U$ 、 $c\colon Q\to W$ を与え、 $Q$ は射影的とする。このとき、次の二つの等式を満たす全射 $b\colon P\oplus Q\to V$ が存在する。

b(x,0)=\alpha a(x),\qquad \beta b(x,y)=c(y).

この $b$ に対して、標準包含と標準射影の制限による列

0\longrightarrow\ker a\longrightarrow\ker b \longrightarrow\ker c\longrightarrow0

は短完全列である。

証明. $Q$ の射影性により、 $\beta\ell=c$ を満たす $\ell\colon Q\to V$ を取る。 $b(x,y)=\alpha a(x)+\ell(y)$ と定めると、これは左 $R$ -線形写像であり、次の図式は可換である。

図 3.1.1

上段は標準包含と標準射影による短完全列である。§E6.9 命題 2.1を適用すると、 $\coker a=\coker c=0$ であるから

0\longrightarrow\ker a\longrightarrow\ker b\longrightarrow\ker c \longrightarrow0\longrightarrow\coker b\longrightarrow0

は完全である。よって $\coker b=0$ 、すなわち $b$ は全射であり、核の列も短完全列である。▨

$K_{-1}^B=B$ 、 $i_{-1}=i$ 、 $p_{-1}=p$ とおく。 $n\in\N$ とし、短完全列

0\longrightarrow K_{n-1}^A\xrightarrow{i_{n-1}}K_{n-1}^B \xrightarrow{p_{n-1}}K_{n-1}^C\longrightarrow0

が構成されているとする。主張 3.1.1を $a_n,c_n$ に適用して、 $E_n=P_n\oplus Q_n$ からの全射 $b_n\colon E_n\to K_{n-1}^B$ を取り、 $K_n^B=\ker b_n$ とおく。標準包含 $j_n\colon P_n\to E_n$ と標準射影 $r_n\colon E_n\to Q_n$ は核上の写像 $i_n,p_n$ を誘導し、

0\longrightarrow K_n^A\xrightarrow{i_n}K_n^B \xrightarrow{p_n}K_n^C\longrightarrow0

は短完全列となる。この操作を $n=0$ から繰り返す。

$k_n^A\colon K_n^A\hookrightarrow P_n$ 、 $k_n^B\colon K_n^B\hookrightarrow E_n$ 、 $k_n^C\colon K_n^C\hookrightarrow Q_n$ を包含とし、

\varepsilon_E=b_0,\qquad d_n^E=k_{n-1}^B b_n\quad(n\ge1)

と定める。 $b_n$ の全射性と $k_n^B$ の単射性より

\im d_1^E=\ker\varepsilon_E, \qquad \im d_{n+1}^E=K_n^B=\ker d_n^E\quad(n\ge1)

である。したがって $E_\bullet\xrightarrow{\varepsilon_E}B$ は分解である。§E6.16 命題 2.1 (1)により各 $E_n=P_n\oplus Q_n$ は射影的である。

構成により $b_nj_n=i_{n-1}a_n$ 、 $p_{n-1}b_n=c_nr_n$ であり、核への制限から

k_{n-1}^Bi_{n-1}=j_{n-1}k_{n-1}^A, \qquad r_{n-1}k_{n-1}^B=k_{n-1}^Cp_{n-1} \quad(n\ge1)

である。したがって

d_n^Ej_n=k_{n-1}^Bi_{n-1}a_n=j_{n-1}d_n^P, \qquad r_{n-1}d_n^E=k_{n-1}^Cp_{n-1}b_n=d_n^Qr_n

となり、 $j,r$ は鎖写像である。次数 $0$ の構成は $\varepsilon_Ej_0=i\varepsilon_P$ 、 $p\varepsilon_E=\varepsilon_Qr_0$ を与える。各次数の列は直和の標準的な短完全列であり、 $y\mapsto(0,y)$ が $r_n$ の切断となる。▨

例 3.2. 左 $\Z$ -加群の短完全列

0\longrightarrow\Z/2\Z\xrightarrow{i}\Z/4\Z \xrightarrow{p}\Z/2\Z\longrightarrow0, \qquad i(\bar x)=\overline{2x},\quad p(\bar y)=\bar y

に対し、両端の自由分解を $\Z\xrightarrow{\times2}\Z$ とする。中央の自由分解として、

0\longrightarrow\Z^2\xrightarrow{D}\Z^2 \xrightarrow{\varepsilon}\Z/4\Z\longrightarrow0, \qquad D(a,b)=(2a-b,2b),\quad \varepsilon(x,y)=\overline{2x+y}

を取ることができる。 $D$ は単射であり、 $\varepsilon$ は全射である。 $\varepsilon(x,y)=0$ ならば $y=2b$ と書くことができ、 $x+b$ は偶数である。 $a=(x+b)/2$ とおけば $(x,y)=D(a,b)$ となる。逆に $\varepsilon(D(a,b))=\overline{4a}=0$ であるから、列は完全である。

次数 $1,0$ のいずれでも $j(x)=(x,0)$ 、 $r(x,y)=y$ とすれば、 $Dj(a)=j(2a)$ 、 $rD(a,b)=2r(a,b)$ であり、添加射も $i,p$ と両立する。したがって分解の短完全列は次数ごとに分裂する。

一方、 $p$ は加群準同型としての切断をもたない。 $p(s(\bar1))=\bar1$ を満たす元 $s(\bar1)\in\Z/4\Z$ は奇数の剰余類であるため、 $2s(\bar1)=\bar2\ne0$ であるが、準同型ならば $2s(\bar1)=s(\bar0)=0$ でなければならない。分解の射 $r$ に鎖写像としての切断があれば、 $H_0$ を取ることで $p$ の切断が得られるため、そのような切断も存在しない。ここでは命題 1.2の同型と、ホモロジー誘導写像の合成則§E6.36 命題 2.4を用いた。

§E6.38射影分解と比較定理

1 分解の存在

2 比較定理

3 馬蹄補題

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