Artin–Wedderburn の定理 | 環論入門

1 Schur の補題

単純加群の間の準同型は、零写像でなければ同型である。この事実によって、単純加群の自己準同型環は斜体になる。

定理 1.1 (Schur の補題). $S,T$ を単純左 $R$ 加群とし、 $f\colon S\to T$ を左 $R$ 線形写像とする。 $f\neq0$ ならば $f$ は同型である。したがって、次が成り立つ。

$S\not\cong T$ ならば $\operatorname{Hom}_R(S,T)=0$ である。
$\operatorname{End}_R(S)$ は写像の合成について斜体である。

証明. $\ker f$ は $S$ の部分加群である。 $S$ の単純性により $\ker f=0$ または $\ker f=S$ であるが、後者ならば $f=0$ となる。よって $\ker f=0$ であり、 $f$ は単射である。

$\operatorname{im}f$ は $T$ の部分加群である。 $f\neq0$ であるから $\operatorname{im}f\neq0$ であり、 $T$ の単純性によって $\operatorname{im}f=T$ となる。したがって $f$ は全射でもあり、左 $R$ 加群の同型である。

(1)を示す。 $S\not\cong T$ のときに非零準同型が存在すれば、前段落によって $S\cong T$ となるため矛盾する。よって(1)が成り立つ。

(2)を示す。最後に $0\neq f\in\operatorname{End}_R(S)$ を取る。前段落によって $f$ は全単射である。逆写像 $f^{-1}$ は加法を保つ。また、 $s\in S$ と $r\in R$ に対し、 $s=f(t)$ となる $t\in S$ を取ると

f^{-1}(rs)=f^{-1}(rf(t)) =f^{-1}(f(rt))=rt=rf^{-1}(s)

であるから、 $f^{-1}$ も左 $R$ 線形である。したがって $f$ は $\operatorname{End}_R(S)$ の単元である。零でないすべての元が単元であるため、 $\operatorname{End}_R(S)$ は斜体である。▨

反対環を取っても斜体であることは変わらない。分類定理では

D_S:=\operatorname{End}_R(S)^{\mathrm{op}}

を用いる。この反対環は、左正則加群の自己準同型が右乗法で表されることから必然的に現れる。

2 正則加群と有限直和の自己準同型環

左正則加群の自己準同型は、単位元の像によって決まり、環の元による右乗法に一致する。二つの右乗法を合成すると環の積の順序が逆になる。

命題 2.1. 環 $R$ に対して

\rho\colon R^{\mathrm{op}} \longrightarrow\operatorname{End}_R({}_RR), \qquad r^{\mathrm{op}}\longmapsto\rho_r, \qquad \rho_r(x):=xr

は環同型である。したがって

R\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}

である。

証明. 右乗法 $\rho_r$ は加法を保ち、 $a,x\in R$ に対して

\rho_r(ax)=(ax)r=a(xr)=a\rho_r(x)

であるから、左 $R$ 線形である。 $r,s\in R$ に対して

(\rho_r\rho_s)(x) =\rho_r(\rho_s(x))=(xs)r=x(sr)=\rho_{sr}(x)

となる。 $R^{\mathrm{op}}$ では $r^{\mathrm{op}}s^{\mathrm{op}}=(sr)^{\mathrm{op}}$ であるため、 $\rho$ は積を保つ。また

\rho_{r+s}(x)=x(r+s)=xr+xs, \qquad \rho_{1_R}(x)=x

であるから、 $\rho$ は加法と単位元も保つ。

$\rho_r=0$ ならば $r=1_Rr=\rho_r(1_R)=0$ であるから、 $\rho$ は単射である。 $F\in\operatorname{End}_R({}_RR)$ に対して $r:=F(1_R)$ と置くと、任意の $x\in R$ について

F(x)=F(x1_R)=xF(1_R)=xr=\rho_r(x)

となる。よって $\rho$ は全射である。第一の同型の反対環を取ると第二の同型を得る。▨

次に、有限個の単純加群からなる直和の自己準同型環を計算する。同型でない単純加群の間の Hom は Schur の補題によって零になるため、自己準同型は同型類ごとのブロックに分かれる。

定理 2.2. $S_1,\ldots,S_t$ を互いに同型でない単純左 $R$ 加群とし、 $n_1,\ldots,n_t\geq1$ とする。

M:=\bigoplus_{i=1}^t S_i^{\oplus n_i}, \qquad E_i:=\operatorname{End}_R(S_i), \qquad D_i:=E_i^{\mathrm{op}}

と置く。このとき、環同型

\operatorname{End}_R(M) \cong\prod_{i=1}^t M_{n_i}(E_i)

および

\operatorname{End}_R(M)^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^t M_{n_i}(D_i)

が存在する。各 $D_i$ は斜体である。

証明. $M_i:=S_i^{\oplus n_i}$ と置く。 $F\in\operatorname{Hom}_R(M_j,M_i)$ に対し、 $S_j$ の各直和因子から $S_i$ の各直和因子への成分は $\operatorname{Hom}_R(S_j,S_i)$ に属する。 $i\neq j$ ならば、Schur の補題定理 1.1により各成分は零であるから、 $F=0$ である。したがって $M$ の自己準同型は各 $M_i$ を保ち、制限によって

\operatorname{End}_R(M) \longrightarrow\prod_{i=1}^t\operatorname{End}_R(M_i)

という環同型を得る。逆写像は、各 $M_i$ 上の自己準同型を直和して作る。

一つの単純加群 $S$ と正の整数 $n$ を固定し、 $E:=\operatorname{End}_R(S)$ と置く。 $S^{\oplus n}$ の第 $b$ 成分からの包含を $\iota_b$ 、第 $a$ 成分への射影を $p_a$ とする。写像

\Phi\colon\operatorname{End}_R(S^{\oplus n}) \longrightarrow M_n(E), \qquad F\longmapsto(p_aF\iota_b)_{a,b}

を考える。 $F,G\in\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})$ に対し、恒等写像を

\operatorname{id}_{S^{\oplus n}} =\sum_{k=1}^n\iota_kp_k

と書くと

p_a(FG)\iota_b =\sum_{k=1}^n(p_aF\iota_k)(p_kG\iota_b)

となる。右辺は $E$ の積を写像の合成とした行列積の $(a,b)$ 成分であるため、 $\Phi(FG)=\Phi(F)\Phi(G)$ である。

行列 $(\alpha_{ab})\in M_n(E)$ に対して

F(x_1,\ldots,x_n)_a :=\sum_{b=1}^n\alpha_{ab}(x_b)

と定めると、 $F$ は左 $R$ 線形であり、 $\Phi(F)=(\alpha_{ab})$ となる。この構成は $\Phi$ の逆写像である。よって

\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})\cong M_n(E)

である。各 $M_i$ へ適用すると第一の同型を得る。

任意の環 $E$ に対して、転置は環同型

\mathcal T\colon M_n(E)^{\mathrm{op}} \longrightarrow M_n(E^{\mathrm{op}}), \qquad (a_{ij})\longmapsto(a_{ji})

を与える。実際、左辺の積を $A\star B:=BA$ と書くと、右辺の $(i,j)$ 成分は

\mathcal T(A\star B)_{ij} =(BA)_{ji}=\sum_k b_{jk}a_{ki}

である。一方、 $E^{\mathrm{op}}$ の積を用いると

(\mathcal T(A)\mathcal T(B))_{ij} =\sum_k a_{ki}\mathbin{\star}b_{jk} =\sum_k b_{jk}a_{ki}

である。転置を二度施すと恒等写像になるため、 $\mathcal T$ は同型である。有限直積と反対環も成分ごとに可換する。第一の同型の反対環を取り、各因子へ転置同型を適用すると第二の同型を得る。最後に、Schur の補題により $E_i$ は斜体であるから、 $D_i=E_i^{\mathrm{op}}$ も斜体である。▨

3 行列環の列左イデアル

Artin–Wedderburn の定理の逆向きには、全行列環の左正則加群を列ごとに分解する。

命題 3.1. $D$ を斜体、 $n\geq1$ とし、 $A:=M_n(D)$ と置く。行列単位を $E_{ij}$ とし、

C_j:=AE_{jj} \qquad(1\leq j\leq n)

と置く。このとき、各 $C_j$ は単純左 $A$ 加群であり、

{}_AA=C_1\oplus\cdots\oplus C_n

である。したがって $M_n(D)$ は左半単純環である。

有限個の斜体 $D_1,\ldots,D_t$ と正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ に対して、有限直積

\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

も左半単純環である。

証明. $C_j$ は第 $j$ 列以外が零である行列全体であり、左イデアルである。 $0\neq X=(x_{ab})\in C_j$ を取ると、ある $p$ に対して $x_{pj}\neq0$ である。任意の $Y=(y_{ab})\in C_j$ に対し、行列 $B=(b_{ab})\in A$ を

b_{ap}:=y_{aj}x_{pj}^{-1} \quad(1\leq a\leq n), \qquad b_{ak}:=0\quad(k\neq p)

によって定める。 $X$ は第 $j$ 列以外が零であるため、成分計算から

BX=Y

となる。したがって、 $X$ を含む $C_j$ の左部分加群は $C_j$ 全体を含む。よって $C_j$ は単純である。

任意の行列は各列だけを残した行列の和として一意に表される。この表示は

A=AE_{11}\oplus\cdots\oplus AE_{nn}

という左加群の内部直和を与える。したがって $A$ は左半単純環である。

$P:=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)$ とする。第 $i$ 座標だけに値をもち、その座標では第 $j$ 列以外が零である元全体を $C_{ij}$ と書く。各 $C_{ij}$ は、他の座標が零であるため、左 $P$ 加群としても単純である。また

{}_PP=\bigoplus_{i=1}^t\bigoplus_{j=1}^{n_i}C_{ij}

である。よって $P$ は左半単純環である。▨

零個の環の直積は、一元集合からなる零環と約束する。この空積の左正則加群は零加群であり、空族の単純直和として半単純である。

4 角環と自己準同型環

定義 4.1. $R$ を環、 $e\in R$ を冪等元とする。集合

eRe:=\{ere\mid r\in R\}

を $e$ による角環 (corner ring) という。

$a=ere$ と $b=ese$ が $eRe$ に属するとき、

a-b=e(r-s)e, \qquad ab=erese=e(res)e

も $eRe$ に属する。 $R$ の結合律は $eRe$ の乗法にも引き継がれ、 $ea=ae=a$ であるから、 $eRe$ は $e$ を単位元とする環である。

角環は、主左イデアル $Re$ の自己準同型環の反対環になる。

命題 4.2. $R$ を環、 $e\in R$ を冪等元とする。写像

\Theta_e\colon eRe\longrightarrow \operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}, \qquad a\longmapsto\rho_a, \qquad \rho_a(x):=xa

は環同型である。

証明. $a\in eRe$ ならば $ea=ae=a$ である。 $x=re\in Re$ に対して

xa=rea=ra=(ra)e\in Re

であり、右乗法 $\rho_a$ は左 $R$ 線形である。 $a,b\in eRe$ に対して

(\rho_b\circ\rho_a)(x)=(xa)b=x(ab)=\rho_{ab}(x)

である。反対環 $\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ の積は合成の順序を逆にするため、

\Theta_e(ab)=\Theta_e(a)\Theta_e(b)

となる。加法と単位元 $e$ を保つことも右乗法の式から従う。

$\rho_a=0$ ならば $a=ea=\rho_a(e)=0$ であるから、 $\Theta_e$ は単射である。 $F\in\operatorname{End}_R(Re)$ を取って $a:=F(e)$ と置く。 $a\in Re$ であるから $ae=a$ であり、左線形性から

ea=F(e^2)=F(e)=a

でもある。よって $a\in eRe$ である。任意の $re\in Re$ に対して

F(re)=rF(e)=ra=(re)a=\rho_a(re)

であるから $F=\rho_a$ となり、 $\Theta_e$ は全射である。▨

5 Artin–Wedderburn の定理

半単純環の分類因子は、左正則加群に現れる単純加群の同型類と、その自己準同型斜体から定まる。

定理 5.1 (Artin–Wedderburn の定理). 単位元をもつ結合環 $R$ に対して、次の二条件は同値である。

$R$ は左半単純環である。
ある非負整数 $t$ 、斜体 $D_1,\ldots,D_t$ および正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ が存在して $R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)$ となる。

$t=0$ の場合、右辺は空積である零環を表す。 $R\neq0$ ならば $t\geq1$ である。

さらに、因子の個数、各行列次数および各斜体は、因子の順序を除いて一意である。すなわち

\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i) \cong \prod_{j=1}^uM_{m_j}(E_j)

ならば $t=u$ であり、ある置換 $\sigma$ が存在して

n_i=m_{\sigma(i)}, \qquad D_i\cong E_{\sigma(i)}

となる。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $R$ を左半単純環とする。§E6.22 系 4.3により、左正則加群 ${}_RR$ は有限長である。有限長半単純加群の分解型の一意性§E6.22 定理 5.1により、互いに同型でない単純左 $R$ 加群 $S_1,\ldots,S_t$ と正の整数 $n_1,\ldots,n_t$ を用いて

{}_RR\cong\bigoplus_{i=1}^tS_i^{\oplus n_i}

と書くことができる。 $R=0$ の場合には $t=0$ とし、右辺を空直和とする。

$R\neq0$ とする。各 $S_i$ に対して

D_i:=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}

と置くと、Schur の補題定理 1.1により $D_i$ は斜体である。命題命題 2.1と定理定理 2.2を順に用いると

\begin{aligned} R &\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}\\ &\cong \prod_{i=1}^tM_{n_i} \bigl(\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}\bigr)\\ &=\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i) \end{aligned}

を得る。 $R=0$ の場合にも、零環と空積の同型が所要の表示を与える。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $t\geq1$ ならば、命題命題 3.1により各行列環の有限直積は左半単純である。 $t=0$ ならば $R$ は零環であり、左正則加群が零加群であるため左半単純である。よって二条件は同値である。

一意性を証明する。 $R=0$ の場合、斜体上の全行列環は非零であるため、零環を表す有限直積は空積に限られる。したがって一意性は成り立つ。以下では $R\neq0$ とする。

分類データを左正則加群から復元する。 上で選んだ $S_1,\ldots,S_t$ は、単なる直和因子の一部ではなく、単純左 $R$ 加群のすべての同型類を代表する。実際、単純左 $R$ 加群 $S$ と $0\neq s\in S$ に対して、写像 $R\to S$ 、 $r\mapsto rs$ は全射である。 $R$ は半単純であるから、その核 $K$ には補左イデアル $T$ が存在して $R=K\oplus T$ となる。商写像の $T$ への制限は $T\cong R/K\cong S$ を与えるため、 $S$ は ${}_RR$ の単純直和因子と同型である。 $T$ から各 $S_i$ への成分射影の少なくとも一つは非零であり、Schur の補題によって $S\cong T\cong S_i$ となる。

各同型類 $[S_i]$ の重複度 $n_i$ は§E6.22 定理 5.1により ${}_RR$ だけから定まる。また

D_i=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}

も $S_i$ の同型類だけから同型を除いて定まる。したがって、組

([S_i],n_i,D_i)_{1\leq i\leq t}

は環 $R$ の左正則加群から復元される不変量である。

任意の直積表示から同じデータを得る。

P:=\prod_{j=1}^uM_{m_j}(E_j)

とし、第 $j$ 因子の第 $k$ 対角成分に $1_{E_j}$ をもち、他の成分と他の因子が零である冪等元を $e_{jk}$ とする。命題命題 3.1の分解は

{}_PP=\bigoplus_{j=1}^u\bigoplus_{k=1}^{m_j}Pe_{jk}

であり、各 $Pe_{jk}$ は単純である。

固定した $j$ に対して、右乗法

Pe_{jk}\longrightarrow Pe_{j\ell}, \qquad x\longmapsto xE_{k\ell}

は左 $P$ 線形同型であり、逆写像は $x\mapsto xE_{\ell k}$ である。ここで行列単位は第 $j$ 因子に置く。一方、 $j\neq h$ のとき、 $Pe_{jk}$ と $Pe_{h\ell}$ は同型でない。実際、第 $j$ 因子の単位元だけをもつ中心冪等元 $c_j$ は $Pe_{jk}$ 上で恒等的に作用し、 $Pe_{h\ell}$ 上で零として作用するため、両者の間に同型は存在しない。

したがって、左正則加群に現れる単純加群の同型類は因子ごとに一つであり、第 $j$ の同型類の重複度は $m_j$ である。さらに、命題命題 4.2によって

\operatorname{End}_P(Pe_{j1})^{\mathrm{op}} \cong e_{j1}Pe_{j1}\cong E_j

である。よって直積表示の組 $(m_j,E_j)$ は、左正則加群から復元した組 $(n_i,D_i)$ と順序を除いて一致する。二つの直積表示へ同じ議論を適用すると、因子数、行列次数および斜体の一意性が従う。▨

6 原始冪等元と極小左イデアル

冪等元が直交する二つの部分へ分解すると、対応する主左イデアルも直和へ分解する。非零な直交冪等元の和へ分解することができない冪等元が原始冪等元である。

定義 6.1. 環 $R$ の冪等元 $e$ が原始冪等元 (primitive idempotent) であるとは、 $e\neq0$ であり、

e=f+g, \qquad f^2=f, \qquad g^2=g, \qquad fg=gf=0

を満たす冪等元 $f,g\in R$ の少なくとも一方が零であることをいう。

半単純環では、すべての左イデアルが左正則加群の直和因子である。この直和射影を単位元へ適用すると、左イデアルを生成する冪等元を得る。

命題 6.2. $R$ を左半単純環とし、 $I$ を $R$ の左イデアルとする。このとき、ある冪等元 $e\in R$ が存在して

I=Re

となる。

証明.§E6.22 定理 4.2により、 $I$ は左正則加群 ${}_RR$ の直和因子である。したがって、ある左イデアル $J$ が存在して

R=I\oplus J

となる。 $I$ への左 $R$ 線形射影を $p\colon R\to I$ とし、

e:=p(1_R)

と置く。任意の $r\in R$ に対して、左線形性から

p(r)=p(r1_R)=rp(1_R)=re

である。よって $\operatorname{im}p=Re$ であり、 $I=Re$ となる。さらに $p^2=p$ であるから

e=p(1_R)=p^2(1_R)=p(e)=e^2

となり、 $e$ は冪等元である。▨

定理 6.3. $R$ を左半単純環とし、 $e\in R$ を冪等元とする。このとき、次の二条件は同値である。

$e$ は原始冪等元である。
$Re$ は極小左イデアルである。

さらに、 $R$ の任意の極小左イデアルは、ある原始冪等元 $e$ に対する $Re$ の形である。

証明.(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $Re$ が極小左イデアルであるとする。特に $Re\neq0$ であるから $e\neq0$ である。 $e=f+g$ が定義定義 6.1の直交分解であるとする。 $fe=f$ と $ge=g$ であるため、 $Rf,Rg\subseteq Re$ となる。また、任意の $r\in R$ に対して

re=rf+rg

であるから $Re=Rf+Rg$ である。 $x\in Rf\cap Rg$ ならば、ある $a,b\in R$ によって $x=af=bg$ と書くことができ、

x=xf=bgf=0

となる。したがって

Re=Rf\oplus Rg

である。 $Re$ の単純性により $Rf$ または $Rg$ は零であり、それぞれ $f=0$ または $g=0$ を意味する。よって $e$ は原始冪等元である。

(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。逆に $e$ を原始冪等元とする。 $Re$ は半単純加群の部分加群であるため、§E6.22 命題 3.1により半単純である。 $Re$ が単純でないと仮定すると、非零真部分加群 $I\subsetneq Re$ が存在する。半単純加群の同値条件§E6.22 定理 2.3により、ある非零部分加群 $J$ が存在して

Re=I\oplus J

となる。 $I,J$ への射影をそれぞれ $p,q$ とし、

f:=p(e), \qquad g:=q(e)

と置く。 $x=re\in Re$ に対して左線形性から

p(x)=rf, \qquad q(x)=rg

である。 $p$ は $I$ 上で恒等写像、 $J$ 上で零写像であるから

f^2=p(f)=f, \qquad g^2=q(g)=g, \qquad gf=p(g)=0, \qquad fg=q(f)=0

となる。また $e=f+g$ である。 $I,J$ が非零であるため、射影 $p,q$ も非零であり、表示式 $p(re)=rf$ と $q(re)=rg$ から $f,g$ はともに非零である。非零冪等元による分解 $e=f+g$ は $e$ の原始性に反する。したがって $Re$ は単純であり、§E6.22 命題 1.3によって極小左イデアルである。

最後に $L$ を極小左イデアルとする。命題命題 6.2により $L=Re$ となる冪等元 $e$ が存在する。既に証明した同値から $e$ は原始冪等元である。▨

系 6.4. $R$ を左半単純環、 $e\in R$ を原始冪等元とする。このとき、角環 $eRe$ は斜体である。

証明. 定理定理 6.3により $Re$ は単純である。Schur の補題定理 1.1により $\operatorname{End}_R(Re)$ は斜体であり、命題命題 4.2によってその反対環と同型な $eRe$ も斜体である。▨

7 左半単純性と右半単純性

定義 7.1. 右正則加群 $R_R$ が半単純右 $R$ 加群であるとき、 $R$ を右半単純環 (right semisimple ring) という。 $R$ が左半単純環かつ右半単純環であるとき、 $R$ を半単純環 (semisimple ring) という。

右 $R$ 加群を左 $R^{\mathrm{op}}$ 加群として読み替えると、 $R$ が右半単純であることは $R^{\mathrm{op}}$ が左半単純であることと同値である。

系 7.2. 環 $R$ に対して、次の四条件は同値である。

$R$ は左半単純環である。
$R$ は右半単純環である。
$R$ は半単純環である。
$R$ は斜体上の全行列環の有限直積に同型である。零環では空積を許す。

特に、左半単純性または右半単純性の一方を証明すれば、 $R$ は半単純環である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $R$ が左半単純であるとする。Artin–Wedderburn の定理定理 5.1により

R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

と書くことができる。定理定理 2.2の証明で確認した転置同型を用いると

R^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)^{\mathrm{op}} \cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i^{\mathrm{op}})

となる。各 $D_i^{\mathrm{op}}$ は斜体であるため、Artin–Wedderburn の定理の逆向きにより $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純である。よって $R$ は右半単純である。

(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $R$ が右半単純ならば $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純である。既に証明した向きを $R^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、 $R^{\mathrm{op}}$ は右半単純になる。右 $R^{\mathrm{op}}$ 加群は左 $R$ 加群であり、 $(R^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=R$ であるから、 $R$ は左半単純である。したがって両条件は同値である。

(1) $\Leftrightarrow$ (3)を示す。定義定義 7.1により、両条件は同値である。

(1) $\Leftrightarrow$ (4)を示す。この同値は Artin–Wedderburn の定理そのものである。▨

8 単純 Artin 環

単純 Artin 環を分類するため、加群に含まれる単純部分加群を一つに集める。

加群の socle には§E6.23 定義 1.2の定義を用いる。

左 Artin 環が非零ならば、左正則加群は極小左イデアルを含む。さらに、左正則加群の socle は右乗法でも閉じる。

補題 8.1. $R$ を非零の左 Artin 環とする。このとき

\operatorname{soc}_R({}_RR)

は $R$ の非零両側イデアルである。

$R$ が単純環でもあるならば

\operatorname{soc}_R({}_RR)=R

であり、 $R$ は左半単純環である。

証明. $R$ の非零左イデアル全体は空でない。 ${}_RR$ は Artin 加群であるため、Artin 性の極小元による特徴づけ§E6.20 命題 2.2により、この族は極小元 $L$ をもつ。 $L$ は非零であり、その中の非零左イデアルは $L$ 自身に限られるため、 $L$ は極小左イデアルである。命題§E6.22 命題 1.3により $L$ は単純左 $R$ 加群である。したがって

0\neq L\subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)

であり、socle は非零である。

$S\subseteq R$ を単純左イデアル、 $r\in R$ とする。右乗法

\rho_r|_S\colon S\longrightarrow R, \qquad x\longmapsto xr

は左 $R$ 線形である。その像 $Sr$ は零であるか、単純加群 $S$ の非零な準同型像である。後者の場合、核が零であり、 $Sr\cong S$ は $R$ の単純左イデアルになる。いずれの場合にも

Sr\subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)

である。socle の各元は有限個の単純左イデアルに属する元の和であるため、socle は任意の右乗法で閉じる。定義から左イデアルでもあるから、socle は両側イデアルである。

$R$ が単純ならば、非零両側イデアルである socle は $R$ に等しい。したがって ${}_RR$ は単純部分加群全体の和である。半単純加群の同値条件§E6.22 定理 2.3により ${}_RR$ は半単純であり、 $R$ は左半単純環である。▨

定理 8.2. 環 $R$ に対して、次の三条件は同値である。

$R$ は単純左 Artin 環である。
$R$ は単純右 Artin 環である。
ある斜体 $D$ と正の整数 $n$ が存在して $R\cong M_n(D)$ となる。

この表示の $n$ と $D$ は同型を除いて一意である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (3)を示す。(1)を仮定する。補題補題 8.1により $R$ は左半単純環である。Artin–Wedderburn の定理によって

R\cong\prod_{i=1}^tM_{n_i}(D_i)

と書くことができる。 $R$ は単純環であるから非零であり、 $t\geq1$ である。 $t\geq2$ ならば、一つの座標だけに値をもつ元全体が非零真の両側イデアルになるため、単純性に反する。よって $t=1$ であり、(3)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。(3)を仮定する。§E6.4 定理 5.2により $M_n(D)$ は単純環である。また命題命題 3.1により左半単純環である。§E6.22 系 4.3により左正則加群は有限長であり、特に Artin 加群である。したがって $R$ は単純左 Artin 環であり、(1)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。同じ行列環は系系 7.2により右半単純でもある。 $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純であるから、その左正則加群は有限長であり、左 Artin 加群である。右加群と反対環の対応§E6.20 命題 7.1により $R$ は右 Artin 環である。単純性は既に得られているため、(2)も成り立つ。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)を仮定する。 $R^{\mathrm{op}}$ の両側イデアルは $R$ の両側イデアルと同じ部分集合であるから、 $R^{\mathrm{op}}$ は単純環である。また§E6.20 命題 7.1により $R^{\mathrm{op}}$ は左 Artin 環である。既に証明した(1) $\Rightarrow$ (3)を $R^{\mathrm{op}}$ へ適用すると、ある斜体 $E$ と $n\geq1$ によって

R^{\mathrm{op}}\cong M_n(E)

となる。反対環と転置同型を用いると

R\cong M_n(E)^{\mathrm{op}} \cong M_n(E^{\mathrm{op}})

であり、 $E^{\mathrm{op}}$ は斜体である。よって(3)が成り立つ。

最後に、行列表示における $n$ と $D$ の一意性は Artin–Wedderburn の定理の一意性を一因子の場合へ適用すると得られる。▨

単純 Artin 環では、行列環の列加群がすべて同型であるため、単純左加群の同型類は一つに限られる。この事実と半単純性によって、有限長左加群も一つの非負整数で分類される。

系 8.3. $R$ を単純左 Artin 環とする。このとき、単純左 $R$ 加群の同型類はただ一つである。その同型類の代表を $S$ とすると、任意の有限長左 $R$ 加群 $M$ に対して、一意な非負整数 $q$ が存在して

M\cong S^{\oplus q}

となる。ここで $S^{\oplus0}:=0$ とする。この $q$ は $M$ の組成長に等しく、 $q=\ell_R(M)$ である。

証明. 定理定理 8.2により、ある斜体 $D$ 、正の整数 $n$ および環同型 $\varphi$ が存在して

\varphi\colon R\xrightarrow{\sim}A:=M_n(D)

となる。 $r\in R$ と $a\in A$ に対して $r\cdot a:=\varphi(r)a$ と定めて $A$ を左 $R$ 加群とみなす。このとき、 $\varphi$ は左正則加群 ${}_RR$ から $A$ への同型である。命題命題 3.1の列左イデアルを

C_j:=AE_{jj} \qquad(1\leq j\leq n)

と置くと、各 $C_j$ は単純左 $R$ 加群であり、

{}_RR\cong C_1\oplus\cdots\oplus C_n

となる。固定した $j$ に対する右乗法

C_1\longrightarrow C_j, \qquad x\longmapsto xE_{1j}

は左 $R$ 線形同型であり、逆写像は $y\mapsto yE_{j1}$ である。したがって、 $S:=C_1$ と置けば

{}_RR\cong S^{\oplus n}

となる。

$T$ を任意の単純左 $R$ 加群とする。 $0\neq t\in T$ を取り、

\pi\colon R\longrightarrow T, \qquad r\longmapsto rt

と定める。写像 $\pi$ は左 $R$ 線形であり、その像は $t$ を含む $T$ の非零部分加群であるため、 $\pi$ は全射である。合成 $\pi\circ\varphi^{-1}\colon A\to T$ は非零であるから、各 $C_j$ への制限がすべて零になることはない。したがって、ある $j$ が存在して、 $(\pi\circ\varphi^{-1})|_{C_j}\colon C_j\to T$ は非零である。この制限は単純左 $R$ 加群の間の非零準同型であるから、Schur の補題定理 1.1により同型である。 $C_j\cong S$ であるため $T\cong S$ であり、単純左 $R$ 加群の同型類はただ一つである。

定理定理 8.2によって $R$ は左半単純環でもある。左半単純環の同値条件§E6.22 定理 4.2により、すべての左 $R$ 加群は半単純である。したがって、有限長左 $R$ 加群 $M$ は半単純であり、有限長半単純加群の分解型の定理§E6.22 定理 5.1によって、有限個の単純左 $R$ 加群の直和に同型である。すべての単純直和因子は $S$ と同型であるから、ある非負整数 $q$ が存在して

M\cong S^{\oplus q}

となる。

$q=0$ ならば $M=0$ であり、 $\ell_R(M)=0$ である。以下では $q\geq1$ とする。 $S^{\oplus q}$ の先頭から $k$ 個の直和因子を取った部分加群を $M_k$ と書くと、

0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_q=S^{\oplus q}

の各商 $M_k/M_{k-1}$ は $S$ と同型である。この列は組成列であるから、有限長の特徴づけ§E6.20 定理 4.3により $\ell_R(M)=q$ である。また、有限長半単純加群の分解型の一意性§E6.22 定理 5.1により、 $M\cong S^{\oplus q'}$ となる別の非負整数 $q'$ が存在すれば $q=q'$ である。したがって $q$ は一意である。▨

9 演習

問題 9.1. 次の十項目を、本記事の定義と定理から証明する。

単純左 $R$ 加群 $S,T$ の間の非零準同型が同型であることを、核と像から証明せよ。また、 $\operatorname{End}_R(S)$ の非零元が逆元をもつことを示せ。
左正則加群の自己準同型 $F$ が $F(1_R)$ による右乗法であることを示し、 $R$ ではなく $R^{\mathrm{op}}$ から $\operatorname{End}_R({}_RR)$ への環同型が得られる理由を合成の順序から説明せよ。
$E=\operatorname{End}_R(S)$ とするとき、 $\operatorname{End}_R(S^{\oplus n})\cong M_n(E)$ を成分写像から構成せよ。また、 $M_n(E)^{\mathrm{op}}\cong M_n(E^{\mathrm{op}})$ に転置が必要であることを積の成分で確認せよ。
左半単純環 $R$ の任意の左イデアル $I$ に対し、 $I=Re$ を満たす冪等元 $e$ を直和射影から構成せよ。
左半単純環の冪等元 $e$ について、 $e$ が原始的であることと $Re$ が極小左イデアルであることの同値を証明せよ。また $eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ を示せ。
斜体 $D$ に対して $M_n(D)E_{jj}$ が単純左 $M_n(D)$ 加群であることを、非零列ベクトルを任意の列ベクトルへ送る行列から証明せよ。左正則加群の列分解も示せ。
左半単純環 $R$ の左正則加群を ${}_RR\cong\bigoplus_{i=1}^tS_i^{\oplus n_i}$ と分解し、 $R\cong\prod_iM_{n_i}(\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}})$ を導け。零環の場合も説明せよ。
直積 $P=\prod_jM_{m_j}(E_j)$ の左正則加群から、因子の個数、 $m_j$ および $E_j$ を復元し、Artin–Wedderburn 表示の一意性を説明せよ。
非零左 Artin 環 $R$ について、 $\operatorname{soc}_R({}_RR)$ が非零両側イデアルであることを証明せよ。 $R$ が単純ならば左半単純になることを導け。
左半単純性と右半単純性の同値を、行列環の有限直積表示と反対環から証明せよ。また、単純右 Artin 環も斜体上の全行列環になることを導け。

解答 (演習の解答).

$0\neq f\colon S\to T$ に対し、 $\ker f$ は $S$ の部分加群である。 $\ker f=S$ ならば $f=0$ となるため、単純性から $\ker f=0$ である。像は $T$ の非零部分加群であるから $\operatorname{im}f=T$ となる。よって $f$ は同型である。特に $0\neq f\in\operatorname{End}_R(S)$ は全単射である。 $s=f(t)$ と書くと
$f^{-1}(rs)=f^{-1}(rf(t))=f^{-1}(f(rt))=rt=rf^{-1}(s)$
であるから、逆写像も左 $R$ 線形である。したがって $\operatorname{End}_R(S)$ は斜体である。
$F\in\operatorname{End}_R({}_RR)$ と $r:=F(1_R)$ に対して
$F(x)=F(x1_R)=xF(1_R)=xr$
であるから $F=\rho_r$ である。右乗法の合成は
$(\rho_r\rho_s)(x)=\rho_r(xs)=(xs)r=x(sr)=\rho_{sr}(x)$
となる。 $r,s$ の順序が反転するため、 $r^{\mathrm{op}}\mapsto\rho_r$ が環準同型である。 $\rho_r=0$ ならば $r=\rho_r(1_R)=0$ であり、前半から全射性も得られるので、 $R^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_R({}_RR)$ である。
$S^{\oplus n}$ の包含と射影を $\iota_b,p_a$ とする。自己準同型 $F$ を
$\Phi(F):=(p_aF\iota_b)_{a,b}$
へ送る。 $\operatorname{id}=\sum_k\iota_kp_k$ から
$p_a(FG)\iota_b =\sum_k(p_aF\iota_k)(p_kG\iota_b)$
を得るため、 $\Phi$ は積を保つ。逆に $(\alpha_{ab})\in M_n(E)$ から
$F(x_1,\ldots,x_n)_a =\sum_b\alpha_{ab}(x_b)$
と定めると $\Phi(F)=(\alpha_{ab})$ となる。よって $\Phi$ は環同型である。 $M_n(E)^{\mathrm{op}}$ の積を $A\star B=BA$ とすると
$\mathcal T(A\star B)_{ij} =(BA)_{ji}=\sum_kb_{jk}a_{ki}$
である。 $E^{\mathrm{op}}$ の積では
$(\mathcal T(A)\mathcal T(B))_{ij} =\sum_ka_{ki}\mathbin{\star}b_{jk} =\sum_kb_{jk}a_{ki}$
となる。したがって転置が反対環の積と行列積の両方の順序を整合させる。
左半単純性により $R=I\oplus J$ となる左イデアル $J$ が存在する。 $I$ への左 $R$ 線形射影を $p$ とし、 $e=p(1_R)$ と置く。左線形性から $p(r)=re$ であるため、 $I=\operatorname{im}p=Re$ となる。また $p^2=p$ から
$e=p(1_R)=p^2(1_R)=p(e)=e^2$
であり、 $e$ は冪等元である。
$Re$ が極小で、 $e=f+g$ が非零直交冪等元への分解ならば
$Re=Rf\oplus Rg$
となる。実際、和の等式は $re=rf+rg$ から従い、 $x=af=bg$ ならば $x=xf=bgf=0$ である。極小性により一方の直和因子が零となるため、 $f=0$ または $g=0$ であり、 $e$ は原始的である。

逆に $e$ が原始的であるとする。 $R$ が左半単純環であるため、左正則加群 ${}_RR$ は半単純である。 $Re$ は ${}_RR$ の部分加群であるから、§E6.22 命題 3.1により $Re$ も半単純である。 $Re$ が単純でないならば、非零真部分加群 $I\subsetneq Re$ が存在する。半単純加群の同値条件§E6.22 定理 2.3により、ある部分加群 $J$ が存在して
$Re=I\oplus J$
となる。 $I$ が非零真部分加群であるため、 $J$ も非零である。 $I,J$ への射影を $p,q$ とし、 $f=p(e)$ 、 $g=q(e)$ と置く。 $p(re)=rf$ 、 $q(re)=rg$ であるから
$f^2=f, \quad g^2=g, \quad fg=gf=0, \quad e=f+g$
となり、 $I,J\neq0$ から $f,g\neq0$ である。原始性に反するため $Re$ は単純、すなわち極小左イデアルである。

$a\in eRe$ に右乗法 $\rho_a(x)=xa$ を対応させる。反対環の積では
$\rho_a\star\rho_b=\rho_b\circ\rho_a=\rho_{ab}$
である。 $F\in\operatorname{End}_R(Re)$ に対して $a=F(e)$ と置くと $ea=ae=a$ であり、 $F(re)=rF(e)=ra=(re)a$ となる。したがって $a\mapsto\rho_a$ は $eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}$ を与える。
$A=M_n(D)$ 、 $C_j=AE_{jj}$ とする。 $0\neq X\in C_j$ の $(p,j)$ 成分を $x_{pj}\neq0$ とし、任意の $Y\in C_j$ に対して、第 $p$ 列を
$b_{ap}=y_{aj}x_{pj}^{-1}$
とし他の列を零とした行列 $B$ を取ると $BX=Y$ となる。よって $X$ を含む部分加群は $C_j$ 全体であり、 $C_j$ は単純である。任意の行列は各列を一列ずつ残した行列の一意な和であるため
${}_AA=AE_{11}\oplus\cdots\oplus AE_{nn}$
となる。
左半単純環の左正則加群は有限長であるため、互いに同型でない単純加群 $S_i$ と $n_i\geq1$ を用いて
${}_RR\cong\bigoplus_iS_i^{\oplus n_i}$
と書くことができる。 $D_i=\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}$ は Schur の補題によって斜体である。正則加群と有限直和の自己準同型環の計算を合わせると
$\begin{aligned} R &\cong\operatorname{End}_R({}_RR)^{\mathrm{op}}\\ &\cong\prod_iM_{n_i} (\operatorname{End}_R(S_i)^{\mathrm{op}}) =\prod_iM_{n_i}(D_i) \end{aligned}$
となる。 $R=0$ では左正則加群の分解は空直和であり、環表示は零個の環の直積、すなわち零環である。
第 $j$ 因子の第 $k$ 対角行列単位を $e_{jk}$ とすると
${}_PP=\bigoplus_{j,k}Pe_{jk}$
である。固定した $j$ の $Pe_{jk}$ は右から行列単位を掛けることによって互いに同型であり、その重複度は $m_j$ である。異なる因子に属する列加群は、因子の中心冪等元が一方で恒等的、他方で零として作用するため同型でない。さらに
$\operatorname{End}_P(Pe_{j1})^{\mathrm{op}} \cong e_{j1}Pe_{j1}\cong E_j$
である。したがって、単純加群の同型類の個数が因子数、正則加群での重複度が $m_j$ 、自己準同型環の反対環が $E_j$ を復元する。有限長半単純加群の分解型の一意性により、別の直積表示でも同じデータが順序を除いて現れる。
非零左イデアル全体へ Artin 性の極小元条件を適用すると、極小左イデアル $L$ を得る。 $L$ は単純であるから $0\neq L\subseteq\operatorname{soc}_R({}_RR)$ である。単純左イデアル $S$ と $r\in R$ に対し、右乗法 $S\to R$ の像 $Sr$ は零であるか、単純加群の非零準同型像として単純である。よって $Sr$ は socle に含まれ、socle は右乗法で閉じる。左イデアルであることは定義から従うため、socle は非零両側イデアルである。 $R$ が単純ならば socle は $R$ に等しく、 ${}_RR$ は単純部分加群全体の和になる。半単純加群の同値条件によって $R$ は左半単純である。
$R$ が左半単純ならば
$R\cong\prod_iM_{n_i}(D_i)$
と書くことができる。反対環を取り、転置同型を用いると
$R^{\mathrm{op}} \cong\prod_iM_{n_i}(D_i^{\mathrm{op}})$
となるため、 $R^{\mathrm{op}}$ は左半単純であり、 $R$ は右半単純である。逆向きは $R^{\mathrm{op}}$ へ同じ議論を適用する。

$R$ が単純右 Artin ならば $R^{\mathrm{op}}$ は単純左 Artin である。左側の分類から $R^{\mathrm{op}}\cong M_n(E)$ となる斜体 $E$ が存在する。したがって
$R\cong M_n(E)^{\mathrm{op}} \cong M_n(E^{\mathrm{op}})$
であり、 $R$ も斜体上の全行列環である。

▨

10 範囲と後続記事への接続

本記事は、一般の単位的結合環について、左半単純性と右半単純性を斜体上の全行列環の有限直積表示によって特徴づけた。零環は空積として分類に含めた。単純 Artin 環については、正則加群の socle を用いて半単純性を導き、斜体上の一つの全行列環になることを証明した。

さらに、単純 Artin 環上の単純左加群が同型を除いて一つであることを示し、任意の有限長左加群が、その組成長を重複度とする同じ単純加群の有限直和に同型であることを証明した。この分類は基礎体を仮定していない。

原始冪等元と極小左イデアルの対応、および角環

eRe\cong\operatorname{End}_R(Re)^{\mathrm{op}}

は、分類表示の各斜体を加群から復元する局所的な形である。本記事は、原始冪等元を用いた射影加群の Morita 理論、Jacobson 根基をもつ一般の Artin 環、半単純商環および持ち上げ問題を扱わない。

後続記事「Skolem–Noether の定理」は、固定した基礎体上の中心単純代数と代数埋め込みを対象とする。本記事は基礎体、中心性および内部自己同型を導入せず、行列環表示を一般の環と加群の範囲で証明した。後続記事「Brauer 群の定義」は、中心単純代数のテンソル積、反対代数および自己準同型代数を同じ基礎体上で比較する。本記事はテンソル積による閉性、 $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ と自己準同型代数の同型および Brauer 同値を先取りしない。

§E6.25Artin–Wedderburn の定理

1 Schur の補題

2 正則加群と有限直和の自己準同型環

3 行列環の列左イデアル

4 角環と自己準同型環

5 Artin–Wedderburn の定理

6 原始冪等元と極小左イデアル

7 左半単純性と右半単純性

8 単純 Artin 環

9 演習

10 範囲と後続記事への接続

参考文献

前提記事