鎖ホモトピーと長完全列 | 環論入門

1 鎖ホモトピー

定義 1.1. $R$ を単位元をもつ結合環、 $C,D$ を左 $R$ -加群の鎖複体、 $f,g\colon C\to D$ を鎖写像とする。左 $R$ -線形写像の族

h_n\colon C_n\longrightarrow D_{n+1}\qquad(n\in\Z)

であって、すべての整数 $n$ に対して

f_n-g_n=d_{n+1}^D\circ h_n+h_{n-1}\circ d_n^C

を満たすものを、 $f$ から $g$ への鎖ホモトピー (chain homotopy) という。このような族が存在するとき、 $f$ と $g$ は鎖ホモトピック (chain homotopic) であるといい、 $f\simeq g$ と書く。

命題 1.2. 左 $R$ -加群の二つの鎖複体 $C,D$ に対し、鎖ホモトピックであるという関係は $C$ から $D$ への鎖写像全体の集合上の同値関係である。また、 $f,g\colon C\to D$ が $f\simeq g$ を満たし、 $u\colon E\to C$ と $v\colon D\to F$ が左 $R$ -加群の鎖写像であるならば、

v\circ f\circ u\simeq v\circ g\circ u

が成り立つ。

証明. 証明は演習とする（問題 4.1）。▨

命題 1.3. 左 $R$ -加群の鎖写像 $f,g\colon C\to D$ が鎖ホモトピックであれば、すべての整数 $n$ に対して

H_n(f)=H_n(g)\colon H_n(C)\longrightarrow H_n(D)

が成り立つ。

証明. $f$ から $g$ への鎖ホモトピー $h$ とサイクル $z\in Z_n(C)$ を取る。 $d_n^C(z)=0$ であるから

f_n(z)-g_n(z)=d_{n+1}^D(h_n(z))\in B_n(D)

である。したがって $[f_n(z)]=[g_n(z)]$ であり、§E6.36 命題 2.4の誘導写像の表示から $H_n(f)([z])=H_n(g)([z])$ を得る。すべてのホモロジー類はサイクルで代表されるため、 $H_n(f)=H_n(g)$ である。▨

定義 1.4. 左 $R$ -加群の鎖写像 $f\colon C\to D$ に対し、鎖写像 $g\colon D\to C$ であって

g\circ f\simeq\id_C,\qquad f\circ g\simeq\id_D

を満たすものが存在するとき、 $f$ を鎖ホモトピー同値 (chain homotopy equivalence)、 $g$ を $f$ のホモトピー逆という。鎖ホモトピー同値 $C\to D$ が存在するとき、 $C$ と $D$ は鎖ホモトピー同値であるという。

系 1.5. 左 $R$ -加群の鎖写像 $f\colon C\to D$ が鎖ホモトピー同値であれば、すべての整数 $n$ に対して $H_n(f)$ は同型である。 $g$ が $f$ のホモトピー逆であれば、 $H_n(g)$ は $H_n(f)$ の逆写像である。

証明.命題 1.3と§E6.36 命題 2.4により

H_n(g)H_n(f)=H_n(g\circ f)=H_n(\id_C)=\id_{H_n(C)},

H_n(f)H_n(g)=H_n(f\circ g)=H_n(\id_D)=\id_{H_n(D)}

である。▨

例 1.6. $M$ を左 $R$ -加群とする。 $D_1=D_0=M$ 、 $d_1^D=\id_M$ とし、ほかの次数の加群と微分を零とする鎖複体 $D$ を考える。 $h_0=\id_M\colon D_0\to D_1$ とし、ほかの $h_n$ を零とすれば、次数 $0$ では $d_1^Dh_0=\id_M$ 、次数 $1$ では $h_0d_1^D=\id_M$ である。ほかの次数ではすべての写像が零である。したがって $\id_D\simeq0$ である。

零複体はすべての次数の加群が零である複体である。零写像 $D\to0$ と $0\to D$ の合成は、 $D$ 上では $\id_D$ とホモトピックであり、零複体上では恒等写像に等しい。よって $D$ は零複体と鎖ホモトピー同値である。

命題 1.7. 正整数 $m$ に対して、左 $\Z$ -加群の鎖複体 $C(m)$ を、次数 $1$ と $0$ に置いた写像 $\Z\xrightarrow{\times m}\Z$ により定め、ほかの次数の加群と微分を零とする。整数 $a$ に対し、 $f^{(a)}\colon C(m)\to C(m)$ を次数 $1,0$ のいずれでも $a$ 倍写像とし、ほかの次数では零とする。これは鎖写像であり、任意の整数 $a,b$ について

f^{(a)}\simeq f^{(b)}\quad\Longleftrightarrow\quad a-b\in m\Z

が成り立つ。

証明. 証明は演習とする（問題 4.2）。▨

例 1.8. 左 $\Z$ -加群の鎖複体 $C$ を、次数 $1,0$ に置いた写像 $\Z\xrightarrow{\times2}\Z$ により定め、ほかの次数の加群と微分を零とする。 $D$ は次数 $0$ にだけ $\Z/2\Z$ を置き、すべての微分を零とする複体とする。商写像 $q_0\colon\Z\to\Z/2\Z$ と、ほかの次数の零写像によって $q\colon C\to D$ を定める。次数 $1$ の鎖写像の条件は $q_0\circ(\times2)=0$ であり、ほかの次数の条件も両辺が零であるため成り立つ。

$H_0(C)=\Z/2\Z=H_0(D)$ であり、 $H_0(q)$ は恒等写像である。次数 $0$ 以外の両複体のホモロジーは零であるから、すべての $H_n(q)$ は同型である。

一方、任意の鎖写像 $g\colon D\to C$ の成分 $g_0\colon\Z/2\Z\to\Z$ は零である。実際、任意の $x\in\Z/2\Z$ について $2g_0(x)=g_0(2x)=0$ であり、整数における二倍写像は単射である。したがって $H_0(g)=0$ であり、 $H_0(q)$ の逆写像にはならない。系 1.5により、 $q$ は鎖ホモトピー同値ではない。

2 複体の短完全列と連結準同型

定義 2.1. $A,B,C$ を同じ環 $R$ 上の左加群の鎖複体、 $i\colon A\to B$ と $p\colon B\to C$ を鎖写像とする。すべての整数 $n$ に対して

0\longrightarrow A_n\xrightarrow{i_n}B_n\xrightarrow{p_n}C_n\longrightarrow0

が左 $R$ -加群の短完全列であるとき、

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

を鎖複体の短完全列 (short exact sequence of chain complexes) という。

定理 2.2. 左 $R$ -加群の鎖複体の短完全列

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\longrightarrow0

に対して、各整数 $n$ に左 $R$ -線形写像

\partial_n\colon H_n(C)\longrightarrow H_{n-1}(A)

が定まり、列

\cdots\longrightarrow H_n(A)\xrightarrow{H_n(i)}H_n(B) \xrightarrow{H_n(p)}H_n(C)\xrightarrow{\partial_n} H_{n-1}(A)\xrightarrow{H_{n-1}(i)}H_{n-1}(B) \longrightarrow\cdots

は完全である。

写像 $\partial_n$ は次の公式を満たす。サイクル $c\in Z_n(C)$ に対して、 $p_n(b)=c$ を満たす $b\in B_n$ を取り、 $i_{n-1}(a)=d_n^B(b)$ を満たす $a\in A_{n-1}$ を取ると、 $a$ は一意に存在するサイクルであり、

\partial_n([c])=[a]

である。この写像を連結準同型という。

証明. 各整数 $k$ と $X=A,B,C$ に対して $Q_k(X):=X_k/B_k(X)$ とおき、整数 $n$ を固定する。 $d_n^X$ の像は $Z_{n-1}(X)$ に含まれ、 $d_n^X$ は $B_n(X)$ を零へ送る。§E6.2 命題 4.3により左 $R$ -線形写像

\bar d_n^X\colon Q_n(X)\longrightarrow Z_{n-1}(X),\qquad x+B_n(X)\longmapsto d_n^X(x)

が定まる。 $\bar d_n^X(x+B_n(X))=0$ であることと $x\in Z_n(X)$ であることは同値である。したがって、写像 $[z]\mapsto z+B_n(X)$ によって

\ker\bar d_n^X=H_n(X)

と同一視することができる。また $\im\bar d_n^X=B_{n-1}(X)$ であるから、

\coker\bar d_n^X=Z_{n-1}(X)/B_{n-1}(X)=H_{n-1}(X)

である。

鎖写像はサイクルと境界を保つ（§E6.36 補題 2.3）。したがって $i,p$ はサイクル加群間の制限写像 $Z_k(i),Z_k(p)$ と、境界で割った商加群間の誘導写像 $Q_k(i),Q_k(p)$ を与える。たとえば $Q_k(i)$ は $a+B_k(A)$ を $i_k(a)+B_k(B)$ へ送る。

各整数 $k$ に対して、微分と鎖写像の条件による可換図式

図 2.2.1

の両行は短完全である。 $k=n+1$ の図式の縦射の余核は $Q_n(A),Q_n(B),Q_n(C)$ である。§E6.9 補題 1.8 (2)と§E6.9 補題 1.8 (4)により、

Q_n(A)\xrightarrow{Q_n(i)}Q_n(B)\xrightarrow{Q_n(p)}Q_n(C)\longrightarrow0

は完全である。また $k=n-1$ の図式の縦射の核は $Z_{n-1}(A),Z_{n-1}(B),Z_{n-1}(C)$ である。§E6.9 補題 1.8 (1)と§E6.9 補題 1.8 (3)により、

0\longrightarrow Z_{n-1}(A)\xrightarrow{Z_{n-1}(i)}Z_{n-1}(B)\xrightarrow{Z_{n-1}(p)}Z_{n-1}(C)

は完全である。

鎖写像の等式は商への因子化後も成り立つため、次の図式は可換である。

図 2.2.2

この二つの完全列へ§E6.9 命題 2.1を適用し、その連結準同型を $\partial_n$ とする。縦射の核と余核をホモロジーに同一視すると、蛇の補題による横射は $[z]\mapsto[i_k(z)]$ または $[z]\mapsto[p_k(z)]$ である。§E6.36 命題 2.4により、これらはそれぞれ $H_k(i),H_k(p)$ である。よって六項列

H_n(A)\xrightarrow{H_n(i)}H_n(B)\xrightarrow{H_n(p)}H_n(C) \xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(A) \xrightarrow{H_{n-1}(i)}H_{n-1}(B) \xrightarrow{H_{n-1}(p)}H_{n-1}(C)

を得る。この列は中間の四つの項で完全である。すべての整数 $n$ について六項列を重ねると、すべての位置で完全な長完全列を得る。

サイクル $c\in Z_n(C)$ と $p_n(b)=c$ を満たす $b\in B_n$ を取る。 $p_{n-1}(d_n^B(b))=d_n^C(c)=0$ であるから、短完全性により $i_{n-1}(a)=d_n^B(b)$ を満たす $a\in A_{n-1}$ が一意に存在する。さらに

i_{n-2}(d_{n-1}^A(a))=d_{n-1}^B(i_{n-1}(a))=d_{n-1}^B(d_n^B(b))=0

と $i_{n-2}$ の単射性から、 $a\in Z_{n-1}(A)$ である。上の蛇の図式では $b+B_n(B)$ が $c+B_n(C)$ の持ち上げであり、その縦射による像は $i_{n-1}(a)$ である。蛇の連結準同型の表示（§E6.9 解答）を適用すると、 $\partial_n([c])=a+B_{n-1}(A)=[a]$ となる。▨

命題 2.3. 左 $R$ -加群の鎖複体の短完全列二つと、鎖写像 $\alpha\colon A\to A'$ 、 $\beta\colon B\to B'$ 、 $\gamma\colon C\to C'$ が可換図式

図 2.3.1

を与えるとする。両行の連結準同型を $\partial_n,\partial'_n$ とすれば、すべての整数 $n$ に対して

H_{n-1}(\alpha)\circ\partial_n =\partial'_n\circ H_n(\gamma)

が成り立つ。また $H_n(\alpha),H_n(\beta),H_n(\gamma)$ は、両行から得られる長完全列の間の射を与える。

証明. $c\in Z_n(C)$ を取り、 $p_n(b)=c$ 、 $i_{n-1}(a)=d_n^B(b)$ を満たす $b\in B_n$ 、 $a\in Z_{n-1}(A)$ を取る。可換性により

p'_n(\beta_n(b))=\gamma_n(c),

d_n^{B'}(\beta_n(b)) =\beta_{n-1}(d_n^B(b)) =i'_{n-1}(\alpha_{n-1}(a))

である。定理 2.2の公式により、 $\partial'_nH_n(\gamma)$ と $H_{n-1}(\alpha)\partial_n$ はともに $[c]$ を $[\alpha_{n-1}(a)]$ へ送る。ほかの正方形の可換性は、 $\beta i=i'\alpha$ 、 $p'\beta=\gamma p$ と§E6.36 命題 2.4の合成則から従う。▨

系 2.4. 左 $R$ -加群の鎖複体の短完全列 $0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ と整数 $n$ に対し、 $H_n(B)=H_{n-1}(B)=0$ ならば、 $\partial_n\colon H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ は同型である。

証明.定理 2.2により、列 $0\to H_n(C)\xrightarrow{\partial_n}H_{n-1}(A)\to0$ は完全である。したがって $\partial_n$ は単射かつ全射であり、左 $R$ -加群の同型である。▨

例 2.5. $u\colon M\to N$ を左 $R$ -加群の射とする。 $B_1=M$ 、 $B_0=N$ 、 $d_1^B=u$ とし、ほかの次数の加群と微分を零とする。 $A$ は次数 $0$ にだけ $N$ を置いた複体、 $C$ は次数 $1$ にだけ $M$ を置いた複体とし、両複体の微分をすべて零とする。 $i_0=\id_N$ 、 $p_1=\id_M$ とし、ほかの成分を零とすれば、 $i\colon A\to B$ と $p\colon B\to C$ は鎖写像である。実際、次数 $1$ の条件は $d_1^Bi_1=i_0d_1^A=0$ と $d_1^Cp_1=p_0d_1^B=0$ であり、ほかの次数でも両辺は零である。

各次数の列は、次数 $1$ では $0\to0\to M\xrightarrow{\id}M\to0$ 、次数 $0$ では $0\to N\xrightarrow{\id}N\to0\to0$ となる。ほかの次数では全項が零である。よって $0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ は、次数ごとに分裂する短完全列である。

$H_1(C)=M$ 、 $H_0(A)=N$ であり、任意の $c\in M$ の持ち上げは $b=c\in B_1$ である。 $d_1^B(b)=u(c)=i_0(u(c))$ であるから、定理 2.2により $\partial_1=u$ である。また $H_1(B)=\ker u$ 、 $H_0(B)=\coker u$ であり、それ以外のホモロジーは零である。長完全列の非零となりうる部分は

0\longrightarrow\ker u\longrightarrow M\xrightarrow{u}N \longrightarrow\coker u\longrightarrow0

となる。 $M=N=\Z$ 、 $u=\times2$ の場合、連結準同型は整数の二倍写像であり、この完全列は

0\longrightarrow0\longrightarrow\Z\xrightarrow{\times2}\Z \longrightarrow\Z/2\Z\longrightarrow0

である。したがって、次数ごとに短完全列が分裂していても、連結準同型が零になるとは限らない。

3 余鎖ホモトピーとコホモロジー長完全列

定義 3.1. $A,B$ を同じ環 $R$ 上の左加群の余鎖複体、 $f,g\colon A\to B$ を余鎖写像とする。左 $R$ -線形写像の族 $h^n\colon A^n\to B^{n-1}$ であって、すべての整数 $n$ に対して

f^n-g^n=\delta_B^{n-1}\circ h^n+h^{n+1}\circ\delta_A^n

を満たすものを余鎖ホモトピー (cochain homotopy) という。このような族が存在するとき $f\simeq g$ と書く。余鎖写像 $f\colon A\to B$ が余鎖ホモトピー同値 (cochain homotopy equivalence) であるとは、余鎖写像 $g\colon B\to A$ が存在して $gf\simeq\id_A$ と $fg\simeq\id_B$ を満たすことをいう。

余鎖写像 $i\colon A\to B$ と $p\colon B\to C$ に対し、すべての整数 $n$ で $0\to A^n\xrightarrow{i^n}B^n\xrightarrow{p^n}C^n\to0$ が短完全列であるとき、 $0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ を余鎖複体の短完全列という。

命題 3.2. 左 $R$ -加群の余鎖複体について、余鎖ホモトピックであるという関係は、同じ二複体間の余鎖写像全体の集合上の同値関係であり、余鎖写像との前後の合成で保たれる。余鎖写像 $f,g\colon A\to B$ が $f\simeq g$ を満たせば、各整数 $n$ で $H^n(f)=H^n(g)$ である。余鎖写像 $f$ が余鎖ホモトピー同値であれば、各 $H^n(f)$ は同型である。

証明.§E6.36 命題 3.2により、 $C_k=A^{-k}$ 、 $D_k=B^{-k}$ 、 $d_k^C=\delta_A^{-k}$ 、 $d_k^D=\delta_B^{-k}$ とおくと鎖複体を得る。 $F_k=f^{-k}$ 、 $G_k=g^{-k}$ 、 $s_k=h^{-k}$ とおけば、 $s_k\colon C_k\to D_{k+1}$ であり、余鎖ホモトピーの等式は

F_k-G_k=d_{k+1}^D s_k+s_{k-1}d_k^C

となる。この対応は逆に $h^n=s_{-n}$ とおくことで戻り、恒等写像と合成を保つ。したがって命題 1.2、命題 1.3、系 1.5を適用し、 $H_k(C)=H^{-k}(A)$ と同一視すれば、すべての主張が従う。▨

定理 3.3. 左 $R$ -加群の余鎖複体の短完全列 $0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ に対して、各整数 $n$ に連結準同型 $\partial^n\colon H^n(C)\to H^{n+1}(A)$ が定まり、列

\cdots\longrightarrow H^n(A)\xrightarrow{H^n(i)}H^n(B) \xrightarrow{H^n(p)}H^n(C)\xrightarrow{\partial^n} H^{n+1}(A)\xrightarrow{H^{n+1}(i)}H^{n+1}(B)\longrightarrow\cdots

は完全である。 $c\in Z^n(C)$ 、 $p^n(b)=c$ 、 $i^{n+1}(a)=\delta_B^n(b)$ ならば、 $a\in Z^{n+1}(A)$ であり、

\partial^n([c])=[a]

である。

さらに、別の余鎖複体の短完全列 $0\to A'\xrightarrow{i'}B'\xrightarrow{p'}C'\to0$ と余鎖写像 $\alpha\colon A\to A'$ 、 $\beta\colon B\to B'$ 、 $\gamma\colon C\to C'$ が $\beta i=i'\alpha$ 、 $p'\beta=\gamma p$ を満たすとする。このとき、各次数の誘導写像は長完全列の間の射を与え、

H^{n+1}(\alpha)\circ\partial^n =\partial'{}^n\circ H^n(\gamma)

が成り立つ。

証明. $\widetilde X_k:=X^{-k}$ 、 $d_k^{\widetilde X}:=\delta_X^{-k}$ を $X=A,B,C$ に対して定め、 $\widetilde i_k=i^{-k}$ 、 $\widetilde p_k=p^{-k}$ とおく。§E6.36 命題 3.2により $\widetilde X$ は鎖複体であり、各次数の加群の列を変えていないため $0\to\widetilde A\xrightarrow{\widetilde i}\widetilde B\xrightarrow{\widetilde p}\widetilde C\to0$ は短完全列である。

定理 2.2の次数 $-n$ の連結準同型を $\partial^n$ とおくと、その始域は $H_{-n}(\widetilde C)=H^n(C)$ 、終域は $H_{-n-1}(\widetilde A)=H^{n+1}(A)$ である。鎖版の長完全列をこの同一視で書き換えると、主張の列を得る。持ち上げの等式は $\widetilde p_{-n}(b)=c$ 、 $\widetilde i_{-n-1}(a)=d_{-n}^{\widetilde B}(b)$ であり、元の余鎖複体では $p^n(b)=c$ 、 $i^{n+1}(a)=\delta_B^n(b)$ となる。よって鎖版の公式から $\partial^n([c])=[a]$ を得る。

$\alpha,\beta,\gamma$ の次数を反転すると鎖複体の短完全列の射になる。命題 2.3を次数 $-n$ に適用すれば、主張の自然性が従う。▨

4 演習

問題 4.1.命題 1.2の証明を完成させよ。

解答.

鎖写像 $f\colon C\to D$ に対し、すべての次数で $h_n=0$ とおけば $f_n-f_n=d_{n+1}^Dh_n+h_{n-1}d_n^C=0$ であるため、 $f\simeq f$ である。 $h$ が $f$ から $g$ へのホモトピーならば、

g_n-f_n=d_{n+1}^D(-h_n)+(-h_{n-1})d_n^C

であり、 $-h$ は $g$ から $f$ へのホモトピーである。 $h$ が $f$ から $g$ へ、 $s$ が $g$ から $\ell$ へのホモトピーならば、両等式を加えて

f_n-\ell_n=d_{n+1}^D(h_n+s_n)+(h_{n-1}+s_{n-1})d_n^C

を得る。準同型の零写像、符号反転、和はいずれも左 $R$ -線形であるため、反射性・対称性・推移性が成り立つ。

鎖写像 $u\colon E\to C$ 、 $v\colon D\to F$ に対し、 $t_n:=v_{n+1}h_nu_n\colon E_n\to F_{n+1}$ とおく。合成 $t_n$ は左 $R$ -線形であり、鎖写像の等式から

\begin{aligned} d_{n+1}^Ft_n+t_{n-1}d_n^E &=v_n d_{n+1}^Dh_nu_n+v_nh_{n-1}u_{n-1}d_n^E\\ &=v_n(d_{n+1}^Dh_n+h_{n-1}d_n^C)u_n\\ &=v_n(f_n-g_n)u_n \end{aligned}

である。よって $vfu\simeq vgu$ である。▨

問題 4.2.命題 1.7の証明を完成させよ。また、 $m=2$ 、 $a=3$ 、 $b=1$ の場合のホモトピーを具体的に与えよ。

解答.

整数倍写像は $\Z$ -線形であり、 $ma=am$ であるから、次数 $1$ における鎖写像の条件は成り立つ。ほかの次数では両辺が零であるため、 $f^{(a)}$ は鎖写像である。

族 $h_n\colon C(m)_n\to C(m)_{n+1}$ のうち、非零となりうる成分は $h_0\colon\Z\to\Z$ だけである。 $t:=h_0(1)$ とおけば、 $\Z$ -線形性から $h_0(x)=tx$ である。ホモトピーの等式は、次数 $0$ では $a-b=mt$ 、次数 $1$ では $a-b=tm$ となる。したがってホモトピーが存在するならば $a-b\in m\Z$ である。

逆に $a-b=mt$ を満たす整数 $t$ が存在するならば、 $h_0=\times t$ 、 $h_n=0$ （ $n\ne0$ ）とおく。次数 $0,1$ で上記の等式が成り立ち、ほかの次数では両辺が零であるため、 $h$ はホモトピーである。 $m=2$ 、 $a=3$ 、 $b=1$ では $t=1$ であり、 $h_0=\id_{\Z}$ と取ることができる。▨

問題 4.3. 各整数 $n$ に対して $P_n=\Z/4\Z$ 、 $d_n^P=\times2$ とする。 $P$ が鎖複体であり、すべての $H_n(P)$ が零であることを示せ。また、 $\id_P$ と零写像が鎖ホモトピックではないことを示せ。

解答.

微分は $\Z$ -線形であり、連続する二つの微分の合成は $\Z/4\Z$ 上の四倍写像、すなわち零写像である。したがって $P$ は鎖複体である。任意の整数 $n$ について

Z_n(P)=\{0+4\Z,2+4\Z\}=B_n(P)

であり、 $H_n(P)=0$ である。

$\id_P\simeq0$ と仮定し、そのホモトピーを $h$ とする。各 $h_n$ は $1+4\Z$ の像によって決まり、ある整数 $t_n$ による乗法である。したがって

(d_{n+1}^Ph_n+h_{n-1}d_n^P)(1+4\Z) =2(t_n+t_{n-1})+4\Z

は $0+4\Z$ または $2+4\Z$ であり、 $\id_{P_n}(1+4\Z)=1+4\Z$ に等しくない。ホモトピーの等式に反するため、 $\id_P\not\simeq0$ である。▨

問題 4.4. $A,B$ をともに、次数 $1,0$ に置いた $\Z\xrightarrow{\times3}\Z$ と、ほかの次数の零加群からなる鎖複体とする。 $C_1=C_0=\Z/3\Z$ 、 $C_n=0$ （ $n\ne0,1$ ）とし、 $C$ の微分をすべて零とする。 $i\colon A\to B$ は次数 $1,0$ の三倍写像、 $p\colon B\to C$ は次数 $1,0$ の商写像とし、ほかの成分を零とする。

$0\to A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{p}C\to0$ が鎖複体の短完全列であることを示し、その長完全列の非零となりうる部分とすべての写像を求めよ。さらに、 $\widetilde X^n=X_{-n}$ 、 $\delta_{\widetilde X}^n=d_{-n}^X$ （ $X=A,B,C$ ）による余鎖複体の短完全列について、連結準同型の始域、終域、値を求めよ。

解答.

$i$ の鎖写像の条件は次数 $1$ で $3(3x)=3(3x)$ となり、 $p$ の条件は $p_0(3x)=0$ となる。ほかの次数では両辺が零である。次数 $1,0$ の列は $0\to\Z\xrightarrow{\times3}\Z\to\Z/3\Z\to0$ であり、三倍写像の単射性と商写像の核が $3\Z$ であることから短完全である。ほかの次数では全項が零である。

$A,B$ の三倍写像は単射であるから、 $H_1(A)=H_1(B)=0$ 、 $H_0(A)=H_0(B)=\Z/3\Z$ である。 $C$ の微分は零であるから $H_1(C)=H_0(C)=\Z/3\Z$ である。三つの複体とも、ほかの次数のホモロジーは零である。

$c=x+3\Z\in C_1$ の持ち上げとして $b=x\in B_1$ を取ると、 $d_1^B(b)=3x=i_0(x)$ である。したがって定理 2.2により

\partial_1(x+3\Z)=x+3\Z

であり、連結準同型は恒等写像である。特に $1+3\Z$ の像は $1+3\Z$ であり、負の恒等写像による像 $2+3\Z$ とは異なる。

$H_0(i)$ は三倍写像の誘導射であるから零写像であり、 $H_0(p)$ は恒等写像である。よって長完全列の非零となりうる部分は

0\longrightarrow\Z/3\Z\xrightarrow{\id}\Z/3\Z \xrightarrow{0}\Z/3\Z\xrightarrow{\id}\Z/3\Z\longrightarrow0

である。左から順に $H_1(C),H_0(A),H_0(B),H_0(C)$ が並ぶ。恒等写像の像は次の零写像の核に等しく、零写像の像は次の恒等写像の核に等しいため、完全性を直接確認することができる。

余鎖複体では非零の項が次数 $-1,0$ にあり、 $\partial^{-1}\colon H^{-1}(\widetilde C)\to H^0(\widetilde A)$ の始域と終域はともに $\Z/3\Z$ である。微分と持ち上げの写像は変わらないため、定理 3.3により $\partial^{-1}(x+3\Z)=x+3\Z$ である。ほかの連結準同型は始域または終域が零であるため零写像である。▨

§E6.37鎖ホモトピーと長完全列

1 鎖ホモトピー

2 複体の短完全列と連結準同型

3 余鎖ホモトピーとコホモロジー長完全列

4 演習

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