§D3.1行列の演算

証明. いずれの等式でも、両辺は$m \times n$行列である。したがって定義 1.1により、すべての$i$と$j$について両辺の$(i, j)$成分が一致することを示せばよい。

(1)の左辺の$(i, j)$成分は$(a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij}$、右辺の$(i, j)$成分は$a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij})$であり、実数の和の結合法則により一致する。(2)は実数の和の交換法則、(3)は$a_{ij} + 0 = a_{ij}$と$a_{ij} + (-1)a_{ij} = 0$、(4)は実数の分配法則と積の結合法則から、同じように成分ごとに従う。▨

証明.(1)を示す。$1 \le k \le \ell$とする。定義 3.1により、$1 \le i \le m$に対して$AB$の$(i, k)$成分は$\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$である。$B_{(k)}$は$(j, 1)$成分が$b_{jk}$である$n \times 1$行列であるから、同じく定義 3.1により$A B_{(k)}$の$(i, 1)$成分も$\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$である。$(AB)_{(k)}$の$(i, 1)$成分は$AB$の$(i, k)$成分であるから、$i$が$1$から$m$の任意であったことより、$(AB)_{(k)}$と$A B_{(k)}$はともに$m \times 1$行列としてすべての成分が一致し、$(AB)_{(k)} = A B_{(k)}$である。

(2)を示す。$1 \le i \le m$とする。$A^{(i)}$は$(1, j)$成分が$a_{ij}$である$1 \times n$行列であるから、定義 3.1により、$1 \le k \le \ell$に対して$A^{(i)} B$の$(1, k)$成分は$\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$である。これは$AB$の$(i, k)$成分に等しく、$(AB)^{(i)}$の$(1, k)$成分でもあるから、$k$が$1$から$\ell$の任意であったことより$(AB)^{(i)} = A^{(i)} B$である。$A^{(i)} B$の$(1, k)$成分$\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$は、$B$の第$j$行の第$k$成分に係数$a_{ij}$を掛けて$j$について加えた和であるから、$A^{(i)} B$は$B$の第$1$行から第$n$行までを係数$a_{i1}, \dots, a_{in}$とする一次結合に等しい。ゆえに$(AB)^{(i)}$もこの一次結合に等しい。▨

証明.$I_m A$は$m \times n$行列であり、その$(i, j)$成分は定義 3.1により$\sum_{k=1}^{m} \delta_{ik} a_{kj}$である。この和で$0$でない項は$k = i$の項だけであり、その値は$a_{ij}$である。よって$I_m A = A$が成り立つ。$A I_n$の$(i, j)$成分は$\sum_{k=1}^{n} a_{ik} \delta_{kj}$であり、同じ理由で$a_{ij}$に等しい。▨

証明. まず型を確かめる。$AB$は$m \times p$行列であり、$C$は$p \times q$行列であるから、$(AB)C$は$m \times q$行列として定まる。$BC$は$n \times q$行列であり、$A$は$m \times n$行列であるから、$A(BC)$も$m \times q$行列として定まる。よって定義 1.1により、すべての$i \in \{1, \dots, m\}$と$r \in \{1, \dots, q\}$について両辺の$(i, r)$成分が一致することを示せばよい。

定義 3.1を二回用いると、左辺の$(i, r)$成分は

である。ここで、実数の分配法則により$c_{kr}$を内側の和の各項へ配った。同じように、右辺の$(i, r)$成分は

である。二つの式は、$np$個の実数$a_{ij} b_{jk} c_{kr}$（$1 \le j \le n$、$1 \le k \le p$）を足す順序だけが異なる。有限個の実数の和は、和の交換法則と結合法則により足す順序によらないので、両者は等しい。よって$(AB)C = A(BC)$が成り立つ。▨

証明.(1)について。$B + C$は$n \times p$行列であるから両辺はともに$m \times p$行列である。左辺の$(i, k)$成分は

であり、最後の式は右辺の$(i, k)$成分に等しい。一つ目の等号で実数の分配法則を用い、二つ目の等号で有限和を項ごとに分けた。

(2)について。両辺はともに$m \times p$行列である。左辺の$(i, k)$成分は$\sum_{j=1}^{n} (a_{ij} + b_{ij}) c_{jk}$であり、(1)と同じ二つの操作により$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} c_{jk} + \sum_{j=1}^{n} b_{ij} c_{jk}$に等しい。これは右辺の$(i, k)$成分である。

(3)について。三つの行列はいずれも$m \times p$行列である。$\lambda(AB)$の$(i, k)$成分は$\lambda \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}$であり、実数の分配法則により$\sum_{j=1}^{n} \lambda\, a_{ij} b_{jk}$に等しい。実数の積の結合法則と交換法則により、この式は$\sum_{j=1}^{n} (\lambda a_{ij}) b_{jk}$とも$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (\lambda b_{jk})$とも書くことができ、それぞれ$(\lambda A)B$と$A(\lambda B)$の$(i, k)$成分である。▨

証明.(1)について。$(A^\top)^\top$は$m \times n$行列であり、その$(i, j)$成分は$A^\top$の$(j, i)$成分、すなわち$a_{ij}$である。

(2)について。両辺はともに$n \times m$行列である。$(A + B)^\top$の$(i, j)$成分は$A + B$の$(j, i)$成分$a_{ji} + b_{ji}$であり、これは$A^\top$の$(i, j)$成分と$B^\top$の$(i, j)$成分の和である。実数倍についても同様に、$(\lambda A)^\top$の$(i, j)$成分は$\lambda a_{ji}$であり、$\lambda A^\top$の$(i, j)$成分に等しい。

(3)について。$AB$は$m \times p$行列であるから$(AB)^\top$は$p \times m$行列である。$B^\top$は$p \times n$行列、$A^\top$は$n \times m$行列であるから、積$B^\top A^\top$が定まり、その型も$p \times m$である。$(AB)^\top$の$(k, i)$成分は$AB$の$(i, k)$成分$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}$である。一方、$B^\top A^\top$の$(k, i)$成分は

である。実数の積の交換法則により各項が一致するので、両者は等しい。▨