線形写像と表現行列 | 線形代数 I

定義 1.1 (写像と単射・全射・全単射). $X,Y$ を集合とする。 $X$ の各元 $x$ に対して $Y$ の元をただ一つ対応させる規則 $f$ を、 $X$ から $Y$ への写像 (map) といい、 $f:X\to Y$ と書く。対応する元を $f(x)$ と書く。

写像 $f:X\to Y$ が、任意の $x,x'\in X$ について

f(x)=f(x')\ \Longrightarrow\ x=x'

を満たすとき、 $f$ を単射 (injective map) という。任意の $y\in Y$ に対して $f(x)=y$ を満たす $x\in X$ が存在するとき、 $f$ を全射 (surjective map) という。単射かつ全射である写像を全単射 (bijective map) という。

$f:X\to Y$ と $g:Y\to Z$ に対し、 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ で定まる写像 $g\circ f:X\to Z$ を $g$ と $f$ の合成 (composition) という。

定義 1.2 (線形写像). $V,W$ を同じ体 $K$ 上のベクトル空間とする。写像 $f:V\to W$ が、すべての $\vec x, \vec y \in V$ と $c\in K$ について $f(\vec x + \vec y) = f(\vec x) + f(\vec y), \qquad f(c\vec x) = c\,f(\vec x)$ を満たすとき、 $f$ を線形写像 (linear map) という。

命題 1.3. $f:V\to W$ を線形写像とすると、 $f(\vec 0)=\vec 0$ である。

証明. $\vec x\in V$ を一つ取ると、 $f(\vec 0) = f(0\cdot\vec x) = 0\cdot f(\vec x) = \vec 0$ である。▨

例 1.4. 写像 $f:\R\to\R$ を $f(x)=x+1$ で定める。この写像は $f(0)=1\ne0$ であるから、命題 1.3により線形写像ではない。定数項をもつ写像は、一般には線形写像ではない。

命題 1.5. $U,V,W$ を同じ体 $K$ 上のベクトル空間とする。線形写像 $f:U\to V$ と $g:V\to W$ の合成 $g\circ f:U\to W$ は線形写像である。

証明. 任意の $\vec x,\vec y\in U$ と $c\in K$ に対して、 $f$ と $g$ の線形性から

\begin{aligned} (g\circ f)(\vec x+\vec y)&=g(f(\vec x)+f(\vec y))=(g\circ f)(\vec x)+(g\circ f)(\vec y),\\ (g\circ f)(c\vec x)&=g(c f(\vec x))=c(g\circ f)(\vec x) \end{aligned}

が成り立つ。▨

定義 2.1 (座標ベクトル). $V$ を有限次元ベクトル空間、 $\mathcal B=(\vec e_1,\ldots,\vec e_n)$ を $V$ の順序を定めた基底とする。 $\vec x=\sum_{j=1}^n x_j\vec e_j$ を満たす一意な係数を列に並べた

[\vec x]_{\mathcal B}=(x_1,\ldots,x_n)^\top

を、 $\mathcal B$ に関する $\vec x$ の座標ベクトル (coordinate vector) という。

定理 2.2 (表現行列). $V,W$ を体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間、 $\mathcal B=(\vec e_1,\ldots,\vec e_n)$ を $V$ の基底、 $\mathcal C=(\vec u_1,\ldots,\vec u_m)$ を $W$ の基底とする。線形写像 $f:V\to W$ に対して、

[f(\vec x)]_{\mathcal C}=A[\vec x]_{\mathcal B}\qquad(\vec x\in V)

を満たす行列 $A\in K^{m\times n}$ がただ一つ存在する。その第 $j$ 列は $[f(\vec e_j)]_{\mathcal C}$ である。この行列を $\mathcal B,\mathcal C$ に関する $f$ の表現行列といい、 $[f]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}$ と書く。また、 $f$ は基底の像 $f(\vec e_1),\ldots,f(\vec e_n)$ によって一意に定まる。

証明.§D3.8 命題 2.3により、各 $f(\vec e_j)$ の $\mathcal C$ に関する座標ベクトルがただ一つ定まる。それらを第 $j$ 列に並べた行列を $A$ とする。任意の $\vec x\in V$ を $\vec x=\sum_{j=1}^n x_j\vec e_j$ と表すと、線形性から

f(\vec x)=\sum_{j=1}^n x_j f(\vec e_j)

となる。したがって $\mathcal C$ に関する座標を取れば

[f(\vec x)]_{\mathcal C} =\sum_{j=1}^n x_j[f(\vec e_j)]_{\mathcal C} =A[\vec x]_{\mathcal B}

である。とくに、基底の像が定まればこの式によりすべての $\vec x$ における $f(\vec x)$ が定まる。

別の行列 $A'$ も同じ等式を満たすとする。 $\vec x=\vec e_j$ を代入すると、 $A'$ の第 $j$ 列は $[f(\vec e_j)]_{\mathcal C}$ に等しくなる。すべての列が $A$ と一致するので $A'=A$ である。▨

命題 2.3. $U,V,W$ を体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間とし、それぞれの基底を $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ とする。線形写像 $f:U\to V$ と $g:V\to W$ に対して

[g\circ f]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal A} =[g]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[f]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal A}

が成り立つ。

証明. 任意の $\vec x\in U$ に対して定理 2.2を二度用いると

[(g\circ f)(\vec x)]_{\mathcal C} =[g]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[f(\vec x)]_{\mathcal B} =[g]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[f]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal A}[\vec x]_{\mathcal A}

となる。表現行列の一意性により主張の等式が従う。▨

定理 2.4. $V,W$ を体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間、 $\mathcal B,\mathcal B'$ を $V$ の基底、 $\mathcal C,\mathcal C'$ を $W$ の基底とする。線形写像 $f:V\to W$ に対して

P=[\id_V]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B'},\qquad Q=[\id_W]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal C'}

とおくと、 $P,Q$ には両側逆行列が存在し、

[f]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'} =Q^{-1}[f]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}P

が成り立つ。とくに $V=W$ 、 $\mathcal C=\mathcal B$ 、 $\mathcal C'=\mathcal B'$ のとき

[f]_{\mathcal B'\leftarrow\mathcal B'} =P^{-1}[f]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B}P

である。

証明. 恒等写像は和とスカラー倍を保つので線形写像である。同じ基底を定義域と終域に用いた恒等写像の表現行列は、定理 2.2の列の記述から単位行列である。したがって命題 2.3を恒等写像の合成に用いると

[\id_V]_{\mathcal B'\leftarrow\mathcal B}P=I, \qquad P[\id_V]_{\mathcal B'\leftarrow\mathcal B}=I

となるので、 $P$ は正則で $P^{-1}=[\id_V]_{\mathcal B'\leftarrow\mathcal B}$ である。同様に $Q^{-1}=[\id_W]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal C}$ である。

定義域では $\mathcal B'$ から $\mathcal B$ へ、終域では $\mathcal C$ から $\mathcal C'$ へ座標を取り替えて命題 2.3を用いると

[f]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'} =[\id_W]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal C} [f]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} [\id_V]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B'} =Q^{-1}[f]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}P

を得る。 $V=W$ 、 $\mathcal C=\mathcal B$ 、 $\mathcal C'=\mathcal B'$ なら $Q=P$ なので、最後の式は主張した相似変換の式になる。▨

注意 2.5. 基底を定めると、線形写像の合成は行列の積として計算でき、基底の取り替えは可逆な行列による変換として記述できる。

例 2.6 (表現行列と基底変更の計算). $T : \R^2 \to \R^2$ を $T(x, y) = (x + y,\ x - y)$ で定める。定義域と終域の標準基底を $\mathcal B=\mathcal C=((1,0),(0,1))$ とすると、基底の像は $T(1,0)=(1,1)$ 、 $T(0,1)=(1,-1)$ である。したがって

[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} =\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.

基底を

\mathcal B'=((1,1),(1,0)),\qquad \mathcal C'=((1,0),(1,1))

に変更する。このとき

P=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}

であるから、定理 2.4により

[T]_{\mathcal C'\leftarrow\mathcal B'} =Q^{-1}[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}P =\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}.

実際、 $T(1,1)=(2,0)=2(1,0)+0(1,1)$ および $T(1,0)=(1,1)=0(1,0)+1(1,1)$ であり、二つの列を直接計算しても同じ表現行列を得る。

§D3.9線形写像と表現行列

1 写像と線形性

2 表現行列

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