§D3.12固有値と固有ベクトル

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行列AAの固有ベクトルとは、AAで写しても向きが変わらない（定数倍になるだけの）0⃗\vec 0でないベクトルのことです。 その定数が固有値です。

一次変換AAの作用の中で、方向が保たれる特別な軸が固有ベクトル、その軸上での伸縮率が固有値λ\lambda。複雑に見える変換も、この特別な方向を見つければ「各軸でλ\lambda倍するだけ」に分解できます（次項の対角化）。

下の図でv⃗\vec vの向きを回すと、像Av⃗A\vec vが動きます。v⃗\vec vが固有ベクトルの向きに来たとき、Av⃗A\vec vはv⃗\vec vと同じ直線上に乗ります。

1 定義と固有方程式

定義 1.1 (固有値・固有ベクトル).K∈{R,C}K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}、n≥1n\ge1、A∈Mn(K)A\in M_n(K)とする。λ∈K\lambda\in Kとx⃗∈Kn∖{0⃗}\vec x\in K^n\setminus\{\vec 0\}がAx⃗=λx⃗A\vec x=\lambda\vec xを満たすとき、x⃗\vec xをλ\lambdaに属する固有ベクトル、λ\lambdaをAAの固有値という。

定理 1.2 (固有方程式).λ\lambdaがAAの固有値である  ⟺  \iffdet⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0。

証明.Ax⃗=λx⃗A\vec x = \lambda\vec xを移項すると(A−λI)x⃗=0⃗(A - \lambda I)\vec x = \vec 0。これがx⃗≠0⃗\vec x \ne \vec 0の解をもつのは、A−λIA - \lambda Iが正則でないとき、すなわちdet⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0のときである（§D3.4 定理 10.1）。▨

det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I)はλ\lambdaのnn次多項式（固有多項式）で、その根が固有値です。各固有値λ\lambdaに対し(A−λI)x⃗=0⃗(A - \lambda I)\vec x = \vec 0を掃き出しで解けば固有ベクトルが求まります。

実数を成分とする行列でも、固有多項式が実数の範囲に根をもつとは限りません。原点まわりの90∘90^\circ回転(0−110)\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}の固有多項式はλ2+1\lambda^2 + 1で、実数の根をもちません。実行列A∈Mn(R)A\in M_n(\mathbb{R})の複素固有値を扱うときは、同じ成分をもつA∈Mn(C)A\in M_n(\mathbb{C})がCn\mathbb{C}^nに作用するとみなす。これはA ⁣:Rn→RnA\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^nの複素化であり、この場合のλ\lambdaと固有ベクトルはそれぞれC\mathbb{C}とCn\mathbb{C}^nに属する。係数をこのように複素数まで広げれば、根はつねに存在します。

定理 1.3 (認めて用いる事実：代数学の基本定理). 複素数を係数とする11次以上の多項式は、複素数の範囲に根をもつ。したがってnn次の固有多項式は、複素数の範囲に、重複度を込めてちょうどnn個の根をもつ。

注意 1.4. この主張を代数学の基本定理という。本単元は、この主張を証明せずに認めて用いる。多項式の代数的な性質だけからは従わず、実数の連続性にあたる性質を用いる議論を必要とするためである。

証明は「位相空間論 I」が受け持ち、コンパクト集合の上で連続関数が最小値をとることから導く。「複素解析」は、リウヴィルの定理と偏角の原理から、同じ結論を二通りに再導出する。「式と計算」でも、同じ形で認めて用いた。

命題 1.5 (固有空間). 固有値λ\lambdaに対しEλ=Ker⁡(A−λI)={x⃗:Ax⃗=λx⃗}E_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I) = \{\vec x : A\vec x = \lambda\vec x\}は部分空間（固有空間）である。

証明.Ker⁡(A−λI)\operatorname{Ker}(A - \lambda I)は線形写像A−λIA - \lambda Iの核ゆえ部分空間（前々項§D3.10 命題 1.2）。▨

例 1.6 (固有空間が 1 次元しかない行列).A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}の固有多項式はdet⁡(A−λI)=(2−λ)2\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2なので、固有値は22のみです。固有空間は

E2=Ker⁡(A−2I)=Ker⁡(0100)=span⁡{(1,0)⊤}E_2 = \operatorname{Ker}(A - 2I) = \operatorname{Ker}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \operatorname{span}\{(1, 0)^\top\}

で、1 次元しかありません。固有値が重複していても、固有空間の次元がその重複度に届くとは限りません。この食い違いが、次項で対角化できるかどうかを分ける鍵になります。

2 異なる固有値の固有ベクトルは一次独立

異なる固有値に属する固有ベクトルは、互いに重なり合いません。次項の対角化は、この事実の上に立ちます。

定理 2.1 (異なる固有値の固有ベクトルの一次独立性).λ1,…,λk\lambda_1, \dots, \lambda_kをAAの相異なる固有値とし、v⃗i\vec v_iをλi\lambda_iに属する固有ベクトルとする。このときv⃗1,…,v⃗k\vec v_1, \dots, \vec v_kは一次独立である（§D3.8 定義 1.1）。

証明.kkについての帰納法で示す。k=1k = 1のとき、固有ベクトルは0⃗\vec 0でないからc1v⃗1=0⃗c_1\vec v_1 = \vec 0はc1=0c_1 = 0を導く。

k≥2k \ge 2とし、k−1k - 1個の場合に主張が成り立つと仮定する。

c1v⃗1+⋯+ckv⃗k=0⃗(∗)c_1\vec v_1 + \cdots + c_k\vec v_k = \vec 0 \tag{$*$}

とする。両辺にA−λkIA - \lambda_k Iを掛ける。Av⃗i=λiv⃗iA\vec v_i = \lambda_i\vec v_iより(A−λkI)v⃗i=(λi−λk)v⃗i(A - \lambda_k I)\vec v_i = (\lambda_i - \lambda_k)\vec v_iであり、i=ki = kの項は消えるので

∑i=1k−1ci(λi−λk)v⃗i=0⃗\sum_{i=1}^{k-1} c_i(\lambda_i - \lambda_k)\vec v_i = \vec 0

を得る。帰納法の仮定によりv⃗1,…,v⃗k−1\vec v_1, \dots, \vec v_{k-1}は一次独立だから、i=1,…,k−1i = 1, \dots, k-1についてci(λi−λk)=0c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0である。固有値は相異なるのでλi−λk≠0\lambda_i - \lambda_k \ne 0、したがってci=0c_i = 0である。これを(∗)(*)へ戻すとckv⃗k=0⃗c_k\vec v_k = \vec 0となり、v⃗k≠0⃗\vec v_k \ne \vec 0からck=0c_k = 0を得る。よってv⃗1,…,v⃗k\vec v_1, \dots, \vec v_kは一次独立である。▨

nn次の行列が相異なるnn個の固有値をもつときに固有ベクトルからなる基底が取れることは、この定理から従います。次項の対角化で確かめます。

閑話休題：フィボナッチ数列と固有値F0=0F_0=0、F1=1F_1=1、Fr+2=Fr+1+FrF_{r+2}=F_{r+1}+F_rとする。r≥0r\ge0に対して、この漸化式は

(Fr+1Fr)=Ar(10),A=(1110)\begin{pmatrix}F_{r+1}\\F_r\end{pmatrix} =A^r\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}

と書ける。AAの固有値はφ=(1+5)/2\varphi=(1+\sqrt5)/2とψ=(1−5)/2\psi=(1-\sqrt5)/2であり、対応する固有ベクトルをv⃗φ=(φ,1)⊤\vec v_\varphi=(\varphi,1)^\top、v⃗ψ=(ψ,1)⊤\vec v_\psi=(\psi,1)^\topと取ることができる。二つの固有値は異なるので、定理 2.1によりv⃗φ,v⃗ψ\vec v_\varphi,\vec v_\psiは一次独立である。また

(10)=15(v⃗φ−v⃗ψ)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt5}(\vec v_\varphi-\vec v_\psi)

である。固有ベクトルの定義からArv⃗φ=φrv⃗φA^r\vec v_\varphi=\varphi^r\vec v_\varphiとArv⃗ψ=ψrv⃗ψA^r\vec v_\psi=\psi^r\vec v_\psiが帰納的に従うため、第2成分を比較するとFr=(φr−ψr)/5F_r=(\varphi^r-\psi^r)/\sqrt5を得る。

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