§D3.13対角化

証明.$P = [\vec v_1\ \cdots\ \vec v_n]$、$D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$とおくと、$AP = [A\vec v_1\ \cdots\ A\vec v_n]$、$PD = [\lambda_1\vec v_1\ \cdots\ \lambda_n\vec v_n]$。ゆえ$AP = PD \iff A\vec v_i = \lambda_i\vec v_i$（各$\vec v_i$が固有ベクトル）。$P$が正則$\iff$$\vec v_i$が一次独立（基底）。両者を合わせて主張を得る。▨

証明. 各固有値に属する固有ベクトルを1本ずつ取ると、前項の§D3.12 定理 2.1により、この$n$本は一次独立である。よって定理 1.2の右辺が満たされ、$A$は対角化可能である。▨

証明.§D3.12 命題 1.5と§D3.8 命題 3.5により、各$E_\lambda$の基底$B_\lambda$を取ることができます。異なる$\lambda$に対する$B_\lambda$をすべて合わせた組は一次独立です。実際、その組の一次関係を固有値ごとにまとめ、$E_\lambda$に属する和を$\vec u_\lambda$とおきます。$0$でない$\vec u_\lambda$があれば、それらは相異なる固有値に属する固有ベクトルであるから、§D3.12 定理 2.1により一次独立です。したがって$\sum_\lambda\vec u_\lambda=\vec 0$から各$\vec u_\lambda=\vec 0$となり、各$B_\lambda$の一次独立性からもとの係数はすべて$0$です。よって§D3.8 補題 3.1により

です。

等号が成り立つなら、すべての$B_\lambda$を合わせた組は$n$本の一次独立な固有ベクトルからなるので、定理 1.2により$A$は対角化可能です。逆に$A$が対角化可能なら、同じ定理により$n$本の固有ベクトルからなる基底が存在します。この基底を固有値ごとに分けると、$E_\lambda$に属する部分は$E_\lambda$内で一次独立です。その本数は$\dim E_\lambda$以下であるから、全固有値について足すと$n\leq\sum_{\lambda\in\Lambda}\dim E_\lambda$となります。上の逆向きの不等式と合わせて等号を得ます。

(1)を示します。$A$が対角化可能なら、ある正則行列$P$と固有値を対角成分にもつ対角行列$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$によって$A=PDP^{-1}$と書くことができます。したがって、$t$を不定元とすると、行列式の積公式により

となり、固有多項式は$K$上で一次式の積に分解します。対偶を取ると(1)を得ます。固有多項式が一次式の積に分解する場合には、すでに示した必要十分条件と和が$n$以下であることから(2)が従います。▨