§D3.15直交行列と実対称行列の対角化

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内積を備えたベクトル空間では、「長さ」と「角度」が測れます。この計量と両立する変換・行列を扱い、実対称行列は必ず直交行列で対角化できるという、応用上も理論上も重要な結果に到達します。

1 内積と直交行列

定義 1.1 (直交行列).P⊤P=IP^\top P = I（同値にP−1=P⊤P^{-1} = P^\top）を満たす正方行列PPを直交行列という。

命題 1.2.PPが直交行列  ⟺  \iffPPの列が正規直交基底をなす（§D3.14 定義 1.6）  ⟺  \iffPPは長さを保つ（∥Px⃗∥=∥x⃗∥\|P\vec x\| = \|\vec x\|）。またdet⁡P=±1\det P = \pm1。

証明.P⊤PP^\top Pの(i,j)(i, j)成分は第ii列p⃗i\vec p_iと第jj列p⃗j\vec p_jの内積だから、P⊤P=IP^\top P = Iは列が正規直交であることと同値である。正規直交なnn本の組は一次独立である。実際、∑icip⃗i=0⃗\sum_i c_i\vec p_i = \vec 0とp⃗j\vec p_jの内積を取るとcj=0c_j = 0を得る。Rn\mathbb{R}^nの一次独立なnn本の組は基底なので、この組は正規直交基底である。

P⊤P=IP^\top P = Iならば

∥Px⃗∥2=(Px⃗)⊤(Px⃗)=x⃗⊤P⊤Px⃗=x⃗⊤x⃗=∥x⃗∥2\|P\vec x\|^2 = (P\vec x)^\top(P\vec x) = \vec x^\top P^\top P\vec x = \vec x^\top\vec x = \|\vec x\|^2

であり、PPは長さを保つ。逆にPPが長さを保つとする。S=P⊤P−IS = P^\top P - IとおくとS⊤=SS^\top = Sであり、任意のx⃗\vec xについて

x⃗⊤Sx⃗=∥Px⃗∥2−∥x⃗∥2=0\vec x^\top S\vec x = \|P\vec x\|^2 - \|\vec x\|^2 = 0

である。これをx⃗+y⃗\vec x + \vec yへ適用して展開すると、SSの対称性から

0=(x⃗+y⃗)⊤S(x⃗+y⃗)=x⃗⊤Sx⃗+2 x⃗⊤Sy⃗+y⃗⊤Sy⃗=2 x⃗⊤Sy⃗0 = (\vec x + \vec y)^\top S(\vec x + \vec y) = \vec x^\top S\vec x + 2\,\vec x^\top S\vec y + \vec y^\top S\vec y = 2\,\vec x^\top S\vec y

となる。任意のx⃗,y⃗\vec x, \vec yでx⃗⊤Sy⃗=0\vec x^\top S\vec y = 0だから、x⃗=e⃗i\vec x = \vec e_i、y⃗=e⃗j\vec y = \vec e_jと取ればSSの(i,j)(i, j)成分がすべて00、すなわちS=OS = Oである。よってP⊤P=IP^\top P = Iである。

行列式は、積の行列式（§D3.4 定理 9.1）と転置の行列式（§D3.4 命題 6.1）からdet⁡(P⊤P)=det⁡(P⊤)det⁡P=(det⁡P)2=det⁡I=1\det(P^\top P) = \det(P^\top)\det P = (\det P)^2 = \det I = 1となりdet⁡P=±1\det P = \pm1。▨

直交行列による変換は長さと角度を保ち、回転（det⁡=+1\det = +1）や鏡映（det⁡=−1\det = -1）がこれにあたります。

例 1.3 (回転行列が直交行列であることを確かめる).Q=(0−110)Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}（原点まわりの90∘90^\circ回転）について、

Q⊤Q=(01−10)(0−110)=(1001)=IQ^\top Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

が成り立つので、QQは直交行列です。したがって命題 1.2よりQQは内積と長さを保ちます。det⁡Q=1\det Q = 1なので、鏡映ではなく回転にあたることも読み取れます。

2 スペクトル定理の準備

命題 2.1 (固有値の実性・固有ベクトルの直交性).AAを実対称行列とする。

  1. λ∈C\lambda \in \mathbb{C}とv⃗∈Cn\vec v \in \mathbb{C}^n、v⃗≠0⃗\vec v \ne \vec 0がAv⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec vを満たすなら、λ\lambdaは実数である。
  2. 異なる実の固有値λ≠μ\lambda \ne \muに属する実の固有ベクトルv⃗,w⃗∈Rn\vec v, \vec w \in \mathbb{R}^nは直交する。

証明. 1を示す。Cn\mathbb{C}^nの上で⟨x⃗,y⃗⟩=∑ixiyi‾\langle \vec x, \vec y\rangle = \sum_i x_i \overline{y_i}と定める。これは第1変数について線形、第2変数について共役線形である。AAは実行列なのでA‾=A\overline{A} = Aであり、さらにA⊤=AA^\top = Aであるから、任意のx⃗,y⃗∈Cn\vec x, \vec y \in \mathbb{C}^nについて

⟨Ax⃗,y⃗⟩=(Ax⃗)⊤y⃗‾=x⃗⊤A⊤y⃗‾=x⃗⊤Ay⃗‾=x⃗⊤A‾ y⃗‾=x⃗⊤Ay⃗‾=⟨x⃗,Ay⃗⟩\langle A\vec x, \vec y\rangle = (A\vec x)^\top \overline{\vec y} = \vec x^\top A^\top \overline{\vec y} = \vec x^\top A \overline{\vec y} = \vec x^\top \overline{A}\,\overline{\vec y} = \vec x^\top \overline{A\vec y} = \langle \vec x, A\vec y\rangle

が成り立つ。3つめの等号でA⊤=AA^\top = Aを、4つめの等号でA‾=A\overline{A} = Aを用いた。Av⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec v、v⃗≠0⃗\vec v \ne \vec 0とすると

λ⟨v⃗,v⃗⟩=⟨Av⃗,v⃗⟩=⟨v⃗,Av⃗⟩=λ‾⟨v⃗,v⃗⟩\lambda\langle \vec v, \vec v\rangle = \langle A\vec v, \vec v\rangle = \langle \vec v, A\vec v\rangle = \overline{\lambda}\langle \vec v, \vec v\rangle

であり、⟨v⃗,v⃗⟩=∑i∣vi∣2>0\langle \vec v, \vec v\rangle = \sum_i |v_i|^2 > 0だからλ=λ‾\lambda = \overline{\lambda}、すなわちλ\lambdaは実数である。

2を示す。Av⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec v、Aw⃗=μw⃗A\vec w = \mu\vec wとすると、A⊤=AA^\top = Aから

λ⟨v⃗,w⃗⟩=⟨Av⃗,w⃗⟩=⟨v⃗,Aw⃗⟩=μ⟨v⃗,w⃗⟩\lambda\langle \vec v, \vec w\rangle = \langle A\vec v, \vec w\rangle = \langle \vec v, A\vec w\rangle = \mu\langle \vec v, \vec w\rangle

であり、(λ−μ)⟨v⃗,w⃗⟩=0(\lambda - \mu)\langle \vec v, \vec w\rangle = 0とλ≠μ\lambda \ne \muから⟨v⃗,w⃗⟩=0\langle \vec v, \vec w\rangle = 0を得る。▨

補題 2.2 (実対称行列は実の固有ベクトルをもつ).n≥1n \ge 1とし、AAをnn次実対称行列とする。このとき、実数λ\lambdaとv⃗∈Rn\vec v \in \mathbb{R}^n、v⃗≠0⃗\vec v \ne \vec 0が存在してAv⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec vとなる。v⃗\vec vは長さ11に取ることができる。

証明. 固有多項式φ(λ)=det⁡(A−λI)\varphi(\lambda) = \det(A - \lambda I)は実数を係数とするnn次多項式である。§D3.12 定理 1.3により、φ\varphiは複素数の範囲に根λ0\lambda_0をもつ。

det⁡(A−λ0I)=0\det(A - \lambda_0 I) = 0である。§D3.4 定理 10.1の証明は成分の四則演算だけを用い、実数の大小を用いないので、成分を複素数とする行列についてもそのまま通用する。したがって(A−λ0I)z⃗=0⃗(A - \lambda_0 I)\vec z = \vec 0はz⃗≠0⃗\vec z \ne \vec 0となる複素数の解をもち、λ0\lambda_0はAAの固有値である。よって命題 2.1によりλ0\lambda_0は実数である。

λ=λ0\lambda = \lambda_0とおくとA−λIA - \lambda Iは実行列でdet⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0であるから、§D3.4 定理 10.1を実数の範囲で適用して、(A−λI)x⃗=0⃗(A - \lambda I)\vec x = \vec 0はx⃗≠0⃗\vec x \ne \vec 0となる実数の解をもつ。これを∥x⃗∥\|\vec x\|で割れば長さ11に取ることができる。▨

次の補題が、次数を1つ下げる操作を与えます。与えられた単位ベクトルを第1の座標軸へ移す直交行列を、鏡映として具体的に作ります。

補題 2.3 (単位ベクトルを座標軸へ移す鏡映).v⃗∈Rn\vec v \in \mathbb{R}^nを長さ11のベクトルとする。このとき、H⊤=HH^\top = HかつH2=IH^2 = Iを満たす行列HHで、Hv⃗=e⃗1H\vec v = \vec e_1となるものが存在する。このときH⊤H=H2=IH^\top H = H^2 = IなのでHHは直交行列であり、He⃗1=H2v⃗=v⃗H\vec e_1 = H^2\vec v = \vec vでもある。

証明.v⃗=e⃗1\vec v = \vec e_1ならH=IH = Iとすればよい。v⃗≠e⃗1\vec v \ne \vec e_1とし、u⃗=v⃗−e⃗1≠0⃗\vec u = \vec v - \vec e_1 \ne \vec 0とおいて

H=I−2∥u⃗∥2 u⃗ u⃗⊤H = I - \frac{2}{\|\vec u\|^2}\,\vec u\,\vec u^\top

と定める。u⃗≠0⃗\vec u \ne \vec 0は実ベクトルなので∥u⃗∥2>0\|\vec u\|^2 > 0であり、HHは定義される。(u⃗u⃗⊤)⊤=u⃗u⃗⊤(\vec u\vec u^\top)^\top = \vec u\vec u^\topよりH⊤=HH^\top = Hである。またu⃗⊤u⃗=∥u⃗∥2\vec u^\top\vec u = \|\vec u\|^2だから

H2=I−4∥u⃗∥2u⃗u⃗⊤+4∥u⃗∥4u⃗(u⃗⊤u⃗)u⃗⊤=I−4∥u⃗∥2u⃗u⃗⊤+4∥u⃗∥2u⃗u⃗⊤=IH^2 = I - \frac{4}{\|\vec u\|^2}\vec u\vec u^\top + \frac{4}{\|\vec u\|^4}\vec u(\vec u^\top\vec u)\vec u^\top = I - \frac{4}{\|\vec u\|^2}\vec u\vec u^\top + \frac{4}{\|\vec u\|^2}\vec u\vec u^\top = I

である。さらに∥v⃗∥=∥e⃗1∥=1\|\vec v\| = \|\vec e_1\| = 1から

∥u⃗∥2=(v⃗−e⃗1)⊤(v⃗−e⃗1)=2−2 e⃗1⊤v⃗,u⃗⊤v⃗=(v⃗−e⃗1)⊤v⃗=1−e⃗1⊤v⃗\|\vec u\|^2 = (\vec v - \vec e_1)^\top(\vec v - \vec e_1) = 2 - 2\,\vec e_1^\top\vec v, \qquad \vec u^\top\vec v = (\vec v - \vec e_1)^\top\vec v = 1 - \vec e_1^\top\vec v

であり、v⃗≠e⃗1\vec v \ne \vec e_1より∥u⃗∥2≠0\|\vec u\|^2 \ne 0、したがって2(u⃗⊤v⃗)/∥u⃗∥2=12(\vec u^\top\vec v)/\|\vec u\|^2 = 1である。よって

Hv⃗=v⃗−2(u⃗⊤v⃗)∥u⃗∥2u⃗=v⃗−u⃗=e⃗1H\vec v = \vec v - \frac{2(\vec u^\top\vec v)}{\|\vec u\|^2}\vec u = \vec v - \vec u = \vec e_1

となる。▨

3 実対称行列のスペクトル定理

定理 3.1 (スペクトル定理). 実対称行列AA（A⊤=AA^\top = A）は、ある直交行列PPでP⊤AP=DP^\top A P = D（対角）と対角化できる。固有値はすべて実数で、異なる固有値の固有ベクトルは直交する。

証明. 次数nnについての帰納法で示す。固有値が実数であることと固有ベクトルの直交性は命題 2.1で示したので、直交行列PPの存在を示せばよい。

n=1n = 1のときはP=(1)P = (1)とすればよい。n≥2n \ge 2とし、n−1n - 1次の実対称行列について主張が成り立つと仮定する。

補題 2.2により、実数λ\lambdaと長さ11のベクトルv⃗∈Rn\vec v \in \mathbb{R}^nでAv⃗=λv⃗A\vec v = \lambda\vec vとなるものを取る。補題 2.3のHHを取り、A′=H⊤AHA' = H^\top A Hとおく。HHは直交行列であり（定義 1.1）、

(A′)⊤=H⊤A⊤(H⊤)⊤=H⊤AH=A′(A')^\top = H^\top A^\top (H^\top)^\top = H^\top A H = A'

よりA′A'は実対称行列である。補題 2.3のHe⃗1=v⃗H\vec e_1 = \vec vとH⊤=HH^\top = Hから

A′e⃗1=H⊤AHe⃗1=HAv⃗=H(λv⃗)=λHv⃗=λe⃗1A'\vec e_1 = H^\top A H \vec e_1 = H A \vec v = H(\lambda\vec v) = \lambda H\vec v = \lambda\vec e_1

となる。すなわちA′A'の第1列は(λ,0,…,0)⊤(\lambda, 0, \dots, 0)^\topである。A′A'は対称なので第1行も(λ,0,…,0)(\lambda, 0, \dots, 0)であり、

A′=(λ0⃗⊤0⃗B)A' = \begin{pmatrix} \lambda & \vec 0^\top \\ \vec 0 & B \end{pmatrix}

と書ける。ここでBBはA′A'から第1行と第1列を除いたn−1n - 1次行列で、A′A'の対称性からB⊤=BB^\top = Bである。

帰納法の仮定により、n−1n - 1次の直交行列QQでQ⊤BQQ^\top B Qが対角行列となるものが存在する。

R=(10⃗⊤0⃗Q)R = \begin{pmatrix} 1 & \vec 0^\top \\ \vec 0 & Q \end{pmatrix}

とおくと、ブロックごとの計算からR⊤R=IR^\top R = IなのでRRは直交行列である。P=HRP = HRとおくと

P⊤P=R⊤H⊤HR=R⊤R=IP^\top P = R^\top H^\top H R = R^\top R = I

よりPPも直交行列であり、

P⊤AP=R⊤(H⊤AH)R=R⊤A′R=(λ0⃗⊤0⃗Q⊤BQ)P^\top A P = R^\top (H^\top A H) R = R^\top A' R = \begin{pmatrix} \lambda & \vec 0^\top \\ \vec 0 & Q^\top B Q \end{pmatrix}

は対角行列である。よってnn次でも主張が成り立つ。▨

この構成は計算にもそのまま使えます。単位固有ベクトルを1本求めて鏡映HHを作り、H⊤AHH^\top A Hの右下のn−1n-1次ブロックへ同じ操作を繰り返せば、直交行列PPが積として得られます。

例 3.2 (二変数二次形式の直交標準化). 二次形式

q(x,y)=2x2+2xy+2y2=(xy)(2112)(xy)q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2 =\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

を考える。対称行列A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}は、単位固有ベクトル2−1/2(1,1)⊤2^{-1/2}(1,1)^\top、2−1/2(1,−1)⊤2^{-1/2}(1,-1)^\topと固有値3,13,1をもつ。したがって

P=12(111−1),P⊤AP=(3001)P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}, \qquad P^\top A P=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}

であり、PPは直交行列である。(xy)=P(uv)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}と変数変換すると

q(x,y)=3u2+v2q(x,y)=3u^2+v^2

となる。交差項は直交する固有ベクトル方向を座標軸に選ぶことで消える。

実対称行列は「直交する軸の伸縮」に必ず分解でき、対角化可能性の心配が要らない最良のクラスです。二次形式の標準化（線形代数II の§E3.39 定理 3.1。その符号数が基底によらないことは§E3.40 定理 2.2 (Sylvester の慣性法則)）、主成分分析、振動の基準モード（固有振動）など応用の宝庫で、無限次元では関数解析のスペクトル定理へ一般化されます。

参考文献

  1. 齋藤正彦『線型代数入門』基礎数学 1, 東京大学出版会, 1966.実対称行列の固有値が実数であることと、直交行列による対角化の道筋を参考にしました。
  2. Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th ed., Wellesley-Cambridge Press, 2023.鏡映を用いて単位ベクトルを座標軸へ移す構成を参考にしました。
  3. Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2013.実対称行列のスペクトル定理と、次数を1つ下げる帰納法の形を参考にしました。

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