1 数ベクトルの矢印表示 平面と空間の点に座標を与えると、R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
定義 1.1 (矢印表示). 平面に点O O O R 2 \mathbb{R}^2 R 2 x ⃗ ∈ R 2 \vec{x} \in \mathbb{R}^2 x ∈ R 2 P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P 0 ⃗ = O P_{\vec{0}}=O P 0 = O O O O P x ⃗ + P y ⃗ = P x ⃗ + y ⃗ P_{\vec{x}}+P_{\vec{y}}=P_{\vec{x}+\vec{y}} P x + P y = P x + y c P x ⃗ = P c x ⃗ cP_{\vec{x}}=P_{c\vec{x}} c P x = P c x x ⃗ = ( x 1 , x 2 ) ⊤ \vec{x}=(x_1,x_2)^\top x = ( x 1 , x 2 ) ⊤ y ⃗ = ( y 1 , y 2 ) ⊤ \vec{y}=(y_1,y_2)^\top y = ( y 1 , y 2 ) ⊤ P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P y ⃗ P_{\vec{y}} P y
( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2} ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 で定める。
x ⃗ ∈ R 2 \vec{x} \in \mathbb{R}^2 x ∈ R 2 O O O P x ⃗ P_{\vec{x}} P x O P x ⃗ → \overrightarrow{OP_{\vec{x}}} O P x x ⃗ \vec{x} x 矢印表示 (arrow representation )x ⃗ , y ⃗ ∈ R 2 \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^2 x , y ∈ R 2 O O O P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P y ⃗ P_{\vec{y}} P y P x ⃗ + y ⃗ P_{\vec{x}+\vec{y}} P x + y x ⃗ \vec{x} x O O O P y ⃗ P_{\vec{y}} P y P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P x ⃗ + y ⃗ P_{\vec{x}+\vec{y}} P x + y y ⃗ \vec{y} y O O O P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P y ⃗ P_{\vec{y}} P y O O O P x ⃗ P_{\vec{x}} P x P x ⃗ + y ⃗ P_{\vec{x}+\vec{y}} P x + y P y ⃗ P_{\vec{y}} P y x ⃗ + y ⃗ \vec{x}+\vec{y} x + y O O O x ⃗ ∈ R 2 \vec{x} \in \mathbb{R}^2 x ∈ R 2 x ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{x} \ne \vec{0} x = 0 c c c O O O P c x ⃗ P_{c\vec{x}} P c x c x ⃗ c\vec{x} c x P c x ⃗ P_{c\vec{x}} P c x O O O P x ⃗ P_{\vec{x}} P x t t t P t x ⃗ P_{t\vec{x}} P t x O O O t > 0 t > 0 t > 0 t < 0 t < 0 t < 0 c > 0 c > 0 c > 0 P c x ⃗ P_{c\vec{x}} P c x P x ⃗ P_{\vec{x}} P x c < 0 c < 0 c < 0 c = 0 c = 0 c = 0 P c x ⃗ = O P_{c\vec{x}} = O P c x = O x ⃗ \vec{x} x L L L c x ⃗ c\vec{x} c x ∣ c ∣ L \lvert c\rvert L ∣ c ∣ L 空間についても、点O O O R 3 \mathbb{R}^3 R 3 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
2 行列の列 m × n m \times n m × n A A A R n \mathbb{R}^n R n x ⃗ \vec{x} x x ⃗ \vec{x} x n × 1 n \times 1 n × 1 A x ⃗ A\vec{x} A x R m \mathbb{R}^m R m A A A
命題 2.1. m , n m, n m , n A = ( a i j ) A = (a_{ij}) A = ( a ij ) m × n m \times n m × n 1 ≤ j ≤ n 1 \le j \le n 1 ≤ j ≤ n e ⃗ j ∈ R n \vec{e}_j \in \mathbb{R}^n e j ∈ R n j j j 1 1 1 0 0 0 A e ⃗ j A\vec{e}_j A e j A A A j j j
証明. e ⃗ j \vec{e}_j e j n × 1 n \times 1 n × 1 §D3.1 定義 3.2 ）。§D3.1 定義 3.1 によりA e ⃗ j A\vec{e}_j A e j m × 1 m \times 1 m × 1 i i i ∑ k = 1 n a i k ( e ⃗ j ) k \sum_{k=1}^{n} a_{ik}(\vec{e}_j)_k ∑ k = 1 n a ik ( e j ) k ( e ⃗ j ) k (\vec{e}_j)_k ( e j ) k k = j k = j k = j 1 1 1 k ≠ j k \ne j k = j 0 0 0 a i j a_{ij} a ij a i j a_{ij} a ij A A A j j j i i i A e ⃗ j A\vec{e}_j A e j A A A j j j ▨
次の図は、2 × 2 2 \times 2 2 × 2 A A A A e ⃗ 1 A\vec{e}_1 A e 1 A e ⃗ 2 A\vec{e}_2 A e 2
x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x
3 符号付き面積と符号付き体積 平行四辺形の面積を辺の長さと内角から定める代わりに、面積が満たすべき性質を条件として書き下し、その条件を満たす関数として面積を定めます。以下では、u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ∈ R n \vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n \in \mathbb{R}^n u 1 , … , u n ∈ R n n n n ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) (\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) ( u 1 ⋯ u n )
定義 3.1 (符号付き面積と符号付き体積). n ∈ { 2 , 3 } n \in \{2,3\} n ∈ { 2 , 3 } e ⃗ j ∈ R n \vec{e}_j \in \mathbb{R}^n e j ∈ R n j j j 1 1 1 0 0 0 W : ( R n ) n → R W:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} W : ( R n ) n → R
各引数について線形である。すなわち、任意のk ∈ { 1 , … , n } k\in\{1,\ldots,n\} k ∈ { 1 , … , n } W ( … , α u ⃗ + β u ⃗ ′ , … ) = α W ( … , u ⃗ , … ) + β W ( … , u ⃗ ′ , … ) W(\dots,\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}',\dots)
=\alpha W(\dots,\vec{u},\dots)+\beta W(\dots,\vec{u}',\dots) W ( … , α u + β u ′ , … ) = α W ( … , u , … ) + β W ( … , u ′ , … ) u ⃗ , u ⃗ ′ ∈ R n \vec{u},\vec{u}'\in\mathbb{R}^n u , u ′ ∈ R n α , β \alpha,\beta α , β
p ≠ q p\ne q p = q p p p q q q 0 0 0 W ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) = 1 W(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)=1 W ( e 1 , … , e n ) = 1 n = 2 n=2 n = 2 W W W R 2 \mathbb{R}^2 R 2 符号付き面積 (signed area )n = 3 n=3 n = 3 W W W R 3 \mathbb{R}^3 R 3 符号付き体積 (signed volume )
定理 3.2. n ∈ { 2 , 3 } n\in\{2,3\} n ∈ { 2 , 3 } 定義 3.1 の3条件を満たす関数W : ( R n ) n → R W:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} W : ( R n ) n → R u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ∈ R n \vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\in\mathbb{R}^n u 1 , … , u n ∈ R n
W ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) = det ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) W(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n)=\det(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) W ( u 1 , … , u n ) = det ( u 1 ⋯ u n ) である。
証明. D : ( R n ) n → R D:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} D : ( R n ) n → R
D ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) = det ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) D(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n)=\det(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) D ( u 1 , … , u n ) = det ( u 1 ⋯ u n ) で定める。§D3.4 系 6.2 によりD D D 0 0 0 ( e ⃗ 1 ⋯ e ⃗ n ) = I n (\vec{e}_1\ \cdots\ \vec{e}_n)=I_n ( e 1 ⋯ e n ) = I n §D3.4 定義 2.1 によりD ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) = 1 D(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)=1 D ( e 1 , … , e n ) = 1 D D D 定義 3.1 の3条件を満たす。
W W W a ⃗ 1 , … , a ⃗ n ∈ R n \vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n\in\mathbb{R}^n a 1 , … , a n ∈ R n ( a ⃗ 1 ; … ; a ⃗ n ) (\vec{a}_1;\ldots;\vec{a}_n) ( a 1 ; … ; a n ) F : ( R n ) n → R F:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} F : ( R n ) n → R F ( a ⃗ 1 ; … ; a ⃗ n ) = W ( a ⃗ 1 , … , a ⃗ n ) F(\vec{a}_1;\ldots;\vec{a}_n)=W(\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n) F ( a 1 ; … ; a n ) = W ( a 1 , … , a n ) F F F §D3.4 定義 2.1 の3条件を満たす。§D3.4 定理 4.2 によりF = det F=\det F = det ( u ⃗ 1 ; … ; u ⃗ n ) ⊤ = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) (\vec{u}_1;\ldots;\vec{u}_n)^\top=(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) ( u 1 ; … ; u n ) ⊤ = ( u 1 ⋯ u n ) §D3.4 命題 6.1 により
W ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) = det ( u ⃗ 1 ; … ; u ⃗ n ) = det ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) = D ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) W(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n)=\det(\vec{u}_1;\ldots;\vec{u}_n)=\det(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n)=D(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n) W ( u 1 , … , u n ) = det ( u 1 ; … ; u n ) = det ( u 1 ⋯ u n ) = D ( u 1 , … , u n ) である。したがってD D D ▨
定理 3.3. R 2 \mathbb{R}^2 R 2 ( u ⃗ , v ⃗ ) ↦ det ( u ⃗ v ⃗ ) (\vec{u}, \vec{v}) \mapsto \det(\vec{u}\ \vec{v}) ( u , v ) ↦ det ( u v )
定理 3.4. R 3 \mathbb{R}^3 R 3 ( u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ) ↦ det ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mapsto \det(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}) ( u , v , w ) ↦ det ( u v w )
証明. u ⃗ = ( a , c ) ⊤ \vec{u}=(a,c)^\top u = ( a , c ) ⊤ v ⃗ = ( b , d ) ⊤ \vec{v}=(b,d)^\top v = ( b , d ) ⊤ u ⃗ = 0 ⃗ \vec{u}=\vec{0} u = 0 0 0 0 det ( u ⃗ v ⃗ ) = 0 \det(\vec{u}\ \vec{v})=0 det ( u v ) = 0
u ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{u}\ne\vec{0} u = 0 O O O P u ⃗ P_{\vec{u}} P u c x − a y = 0 cx-ay=0 c x − a y = 0 P v ⃗ P_{\vec{v}} P v
∣ c b − a d ∣ a 2 + c 2 \frac{\lvert cb-ad\rvert}{\sqrt{a^2+c^2}} a 2 + c 2 ∣ c b − a d ∣ である。また、線分O P u ⃗ OP_{\vec{u}} O P u a 2 + c 2 \sqrt{a^2+c^2} a 2 + c 2
a 2 + c 2 ⋅ ∣ c b − a d ∣ a 2 + c 2 = ∣ a d − b c ∣ = ∣ det ( u ⃗ v ⃗ ) ∣ \sqrt{a^2+c^2}\cdot\frac{\lvert cb-ad\rvert}{\sqrt{a^2+c^2}}
=\lvert ad-bc\rvert
=\lvert\det(\vec{u}\ \vec{v})\rvert a 2 + c 2 ⋅ a 2 + c 2 ∣ c b − a d ∣ = ∣ a d − b c ∣ = ∣ det ( u v )∣ である。▨
命題 3.6. u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ∈ R 3 \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{R}^3 u , v , w ∈ R 3 u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ \vec{u},\vec{v},\vec{w} u , v , w 0 0 0
∣ det ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) ∣ \lvert\det(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w})\rvert ∣ det ( u v w )∣ に等しい。
証明. u ⃗ = ( a , d , g ) ⊤ \vec{u}=(a,d,g)^\top u = ( a , d , g ) ⊤ v ⃗ = ( b , e , h ) ⊤ \vec{v}=(b,e,h)^\top v = ( b , e , h ) ⊤ w ⃗ = ( c , f , i ) ⊤ \vec{w}=(c,f,i)^\top w = ( c , f , i ) ⊤
Δ 1 = d h − e g , Δ 2 = g b − a h , Δ 3 = a e − d b \Delta_1=dh-eg,\qquad \Delta_2=gb-ah,\qquad \Delta_3=ae-db Δ 1 = d h − e g , Δ 2 = g b − ah , Δ 3 = a e − d b とおく。
Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 \Delta_1,\Delta_2,\Delta_3 Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 0 0 0 x , y , z x,y,z x , y , z
Δ 1 x + Δ 2 y + Δ 3 z = 0 \Delta_1x+\Delta_2y+\Delta_3z=0 Δ 1 x + Δ 2 y + Δ 3 z = 0 の解集合は原点を通る平面である。また、
Δ 1 a + Δ 2 d + Δ 3 g = a d h − a e g + d g b − d a h + g a e − g d b = 0 , Δ 1 b + Δ 2 e + Δ 3 h = b d h − b e g + e g b − e a h + h a e − h d b = 0 \begin{aligned}
\Delta_1a+\Delta_2d+\Delta_3g
&=adh-aeg+dgb-dah+gae-gdb=0,\\
\Delta_1b+\Delta_2e+\Delta_3h
&=bdh-beg+egb-eah+hae-hdb=0
\end{aligned} Δ 1 a + Δ 2 d + Δ 3 g Δ 1 b + Δ 2 e + Δ 3 h = a d h − a e g + d g b − d ah + g a e − g d b = 0 , = b d h − b e g + e g b − e ah + ha e − h d b = 0 であるから、この平面はP u ⃗ P_{\vec{u}} P u P v ⃗ P_{\vec{v}} P v Δ j ≠ 0 \Delta_j\ne0 Δ j = 0 j j j u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v 2 2 2 Δ j \Delta_j Δ j − Δ j -\Delta_j − Δ j u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v O O O P u ⃗ P_{\vec{u}} P u P v ⃗ P_{\vec{v}} P v
L 2 = a 2 + d 2 + g 2 L^2=a^2+d^2+g^2 L 2 = a 2 + d 2 + g 2 M 2 = b 2 + e 2 + h 2 M^2=b^2+e^2+h^2 M 2 = b 2 + e 2 + h 2 q = a b + d e + g h q=ab+de+gh q = ab + d e + g h u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v L > 0 L>0 L > 0 O O O P u ⃗ P_{\vec{u}} P u P t u ⃗ P_{t\vec{u}} P t u P v ⃗ P_{\vec{v}} P v
( b − t a ) 2 + ( e − t d ) 2 + ( h − t g ) 2 = L 2 t 2 − 2 q t + M 2 = L 2 ( t − q L 2 ) 2 + M 2 − q 2 L 2 \begin{aligned}
(b-ta)^2+(e-td)^2+(h-tg)^2
&=L^2t^2-2qt+M^2\\
&=L^2\left(t-\frac{q}{L^2}\right)^2+M^2-\frac{q^2}{L^2}
\end{aligned} ( b − t a ) 2 + ( e − t d ) 2 + ( h − t g ) 2 = L 2 t 2 − 2 q t + M 2 = L 2 ( t − L 2 q ) 2 + M 2 − L 2 q 2 である。したがって、底辺O P u ⃗ OP_{\vec{u}} O P u P v ⃗ P_{\vec{v}} P v M 2 − q 2 / L 2 \sqrt{M^2-q^2/L^2} M 2 − q 2 / L 2 L 2 M 2 − q 2 L^2M^2-q^2 L 2 M 2 − q 2
Δ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2 = ( d h − e g ) 2 + ( g b − a h ) 2 + ( a e − d b ) 2 = d 2 h 2 − 2 d e g h + e 2 g 2 + g 2 b 2 − 2 a b g h + a 2 h 2 + a 2 e 2 − 2 a b d e + d 2 b 2 = ( a 2 + d 2 + g 2 ) ( b 2 + e 2 + h 2 ) − ( a b + d e + g h ) 2 = L 2 M 2 − q 2 \begin{aligned}
\Delta_1^2+\Delta_2^2+\Delta_3^2
&=(dh-eg)^2+(gb-ah)^2+(ae-db)^2\\
&=d^2h^2-2degh+e^2g^2+g^2b^2-2abgh+a^2h^2\\
&\quad+a^2e^2-2abde+d^2b^2\\
&=(a^2+d^2+g^2)(b^2+e^2+h^2)-(ab+de+gh)^2\\
&=L^2M^2-q^2
\end{aligned} Δ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2 = ( d h − e g ) 2 + ( g b − ah ) 2 + ( a e − d b ) 2 = d 2 h 2 − 2 d e g h + e 2 g 2 + g 2 b 2 − 2 ab g h + a 2 h 2 + a 2 e 2 − 2 ab d e + d 2 b 2 = ( a 2 + d 2 + g 2 ) ( b 2 + e 2 + h 2 ) − ( ab + d e + g h ) 2 = L 2 M 2 − q 2 となる。ゆえに底面積はΔ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2 \sqrt{\Delta_1^2+\Delta_2^2+\Delta_3^2} Δ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2
点と平面の距離公式により、P w ⃗ P_{\vec{w}} P w
∣ Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i ∣ Δ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2 \frac{\lvert\Delta_1c+\Delta_2f+\Delta_3i\rvert}{\sqrt{\Delta_1^2+\Delta_2^2+\Delta_3^2}} Δ 1 2 + Δ 2 2 + Δ 3 2 ∣ Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i ∣ である。通常体積は底面積と高さの積であるから、
Vol = ∣ Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i ∣ = ∣ c d h − c e g + f g b − f a h + i a e − i d b ∣ = ∣ a e i + b f g + c d h − c e g − b d i − a f h ∣ = ∣ det ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) ∣ \begin{aligned}
\operatorname{Vol}
&=\lvert\Delta_1c+\Delta_2f+\Delta_3i\rvert\\
&=\lvert cdh-ceg+fgb-fah+iae-idb\rvert\\
&=\lvert aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\rvert\\
&=\lvert\det(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w})\rvert
\end{aligned} Vol = ∣ Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i ∣ = ∣ c d h − ce g + f g b − f ah + ia e − i d b ∣ = ∣ a e i + b f g + c d h − ce g − b d i − a f h ∣ = ∣ det ( u v w )∣ である。最後の等式は§D3.4 定理 4.2 の Leibniz 表示を3 3 3
Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = 0 \Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=0 Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 = 0 u ⃗ = 0 ⃗ \vec{u}=\vec{0} u = 0 u ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{u}\ne\vec{0} u = 0 a , d , g a,d,g a , d , g 0 0 0 a ≠ 0 a\ne0 a = 0 Δ 3 = 0 \Delta_3=0 Δ 3 = 0 Δ 2 = 0 \Delta_2=0 Δ 2 = 0 e = d b / a e=db/a e = d b / a h = g b / a h=gb/a h = g b / a v ⃗ = ( b / a ) u ⃗ \vec{v}=(b/a)\vec{u} v = ( b / a ) u d ≠ 0 d\ne0 d = 0 Δ 3 = 0 \Delta_3=0 Δ 3 = 0 Δ 1 = 0 \Delta_1=0 Δ 1 = 0 b = a e / d b=ae/d b = a e / d h = g e / d h=ge/d h = g e / d v ⃗ = ( e / d ) u ⃗ \vec{v}=(e/d)\vec{u} v = ( e / d ) u g ≠ 0 g\ne0 g = 0 Δ 2 = 0 \Delta_2=0 Δ 2 = 0 Δ 1 = 0 \Delta_1=0 Δ 1 = 0 b = a h / g b=ah/g b = ah / g e = d h / g e=dh/g e = d h / g v ⃗ = ( h / g ) u ⃗ \vec{v}=(h/g)\vec{u} v = ( h / g ) u u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v 0 0 0
det ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) = Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i = 0 \det(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w})=\Delta_1c+\Delta_2f+\Delta_3i=0 det ( u v w ) = Δ 1 c + Δ 2 f + Δ 3 i = 0 である。したがって退化している場合にも、通常体積は行列式の絶対値に等しい。▨
4 向きと拡大率 定義 4.1 (枠と向き). n n n
R n \mathbb{R}^n R n ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) n n n U = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) U = (\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) U = ( u 1 ⋯ u n ) R n \mathbb{R}^n R n 枠 (frame )( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) ( v ⃗ 1 , … , v ⃗ n ) (\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n) ( v 1 , … , v n ) R n \mathbb{R}^n R n U = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) U = (\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) U = ( u 1 ⋯ u n ) U ′ = ( v ⃗ 1 ⋯ v ⃗ n ) U' = (\vec{v}_1\ \cdots\ \vec{v}_n) U ′ = ( v 1 ⋯ v n ) U U U U B = B U = I UB = BU = I U B = B U = I n n n B B B P = U ′ B P = U'B P = U ′ B P U = U ′ B U = U ′ PU = U'BU = U' P U = U ′ B U = U ′ P U = U ′ PU = U' P U = U ′ n n n P P P P = P U B = U ′ B P = PUB = U'B P = P U B = U ′ B P U = U ′ PU = U' P U = U ′ n n n P P P P P P det P > 0 \det P > 0 det P > 0 同じ向きをもつ (have the same orientation ) 上の記号のもとで、§D3.4 定理 9.1 によりdet U ′ = det P ⋅ det U \det U' = \det P \cdot \det U det U ′ = det P ⋅ det U §D3.4 定理 10.1 によりdet U ≠ 0 \det U \ne 0 det U = 0 det U ′ ≠ 0 \det U' \ne 0 det U ′ = 0 det U \det U det U det U ′ \det U' det U ′ R n \mathbb{R}^n R n R n \mathbb{R}^n R n 向き (orientation )
A A A n n n R n \mathbb{R}^n R n ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) U = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) U = (\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) U = ( u 1 ⋯ u n ) §D3.1 命題 3.5 (1) により( A u ⃗ 1 ⋯ A u ⃗ n ) = A U (A\vec{u}_1\ \cdots\ A\vec{u}_n) = AU ( A u 1 ⋯ A u n ) = A U §D3.4 定理 9.1 によりdet ( A U ) = det A ⋅ det U ≠ 0 \det(AU) = \det A \cdot \det U \ne 0 det ( A U ) = det A ⋅ det U = 0 ( A u ⃗ 1 , … , A u ⃗ n ) (A\vec{u}_1, \dots, A\vec{u}_n) ( A u 1 , … , A u n ) R n \mathbb{R}^n R n R n \mathbb{R}^n R n ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) ( A u ⃗ 1 , … , A u ⃗ n ) (A\vec{u}_1, \dots, A\vec{u}_n) ( A u 1 , … , A u n ) ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x 向きを保つ (orientation-preserving ) 命題 4.2. n n n
R n \mathbb{R}^n R n ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) (\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n) ( e 1 , … , e n ) ( − e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , … , e ⃗ n ) (-\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n) ( − e 1 , e 2 , … , e n ) S S S R 2 \mathbb{R}^2 R 2 ( u ⃗ , v ⃗ ) (\vec{u},\vec{v}) ( u , v ) R 2 \mathbb{R}^2 R 2 S ( u ⃗ , v ⃗ ) > 0 S(\vec{u},\vec{v})>0 S ( u , v ) > 0 ( u ⃗ , v ⃗ ) (\vec{u},\vec{v}) ( u , v ) ( e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ) (\vec{e}_1,\vec{e}_2) ( e 1 , e 2 ) S ( u ⃗ , v ⃗ ) < 0 S(\vec{u},\vec{v})<0 S ( u , v ) < 0 ( u ⃗ , v ⃗ ) (\vec{u},\vec{v}) ( u , v ) ( − e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ) (-\vec{e}_1,\vec{e}_2) ( − e 1 , e 2 ) 証明. (1) を示す。R n \mathbb{R}^n R n ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) U = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) U=(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) U = ( u 1 ⋯ u n ) U U U det U ≠ 0 \det U\ne0 det U = 0 定義 4.1 (3) より、det U > 0 \det U>0 det U > 0 ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) (\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n) ( e 1 , … , e n ) det U < 0 \det U<0 det U < 0 ( − e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , … , e ⃗ n ) (-\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n) ( − e 1 , e 2 , … , e n ) 1 1 1 − 1 -1 − 1 §D3.4 定理 10.1 により両方とも枠であり、定義 4.1 (3) により異なる向きをもつ。
(2) を示す。定理 3.3 によりS ( u ⃗ , v ⃗ ) = det ( u ⃗ v ⃗ ) S(\vec{u},\vec{v})=\det(\vec{u}\ \vec{v}) S ( u , v ) = det ( u v ) (1) のn = 2 n=2 n = 2 ▨
定理 4.3. n n n A A A n n n x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x det A > 0 \det A > 0 det A > 0
証明. e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ∈ R n \vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n \in \mathbb{R}^n e 1 , … , e n ∈ R n e ⃗ j \vec{e}_j e j j j j 1 1 1 0 0 0 ( e ⃗ 1 ⋯ e ⃗ n ) (\vec{e}_1\ \cdots\ \vec{e}_n) ( e 1 ⋯ e n ) n n n ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) (\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n) ( e 1 , … , e n ) R n \mathbb{R}^n R n
( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) R n \mathbb{R}^n R n U = ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) U = (\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) U = ( u 1 ⋯ u n ) §D3.1 命題 3.5 (1) により( A u ⃗ 1 ⋯ A u ⃗ n ) = A U (A\vec{u}_1\ \cdots\ A\vec{u}_n) = AU ( A u 1 ⋯ A u n ) = A U P U = A U PU = AU P U = A U n n n P P P 定義 4.1 (2) によりただ一つであり、P = A P = A P = A ( A u ⃗ 1 , … , A u ⃗ n ) (A\vec{u}_1, \dots, A\vec{u}_n) ( A u 1 , … , A u n ) ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) (\vec{u}_1, \dots, \vec{u}_n) ( u 1 , … , u n ) det A > 0 \det A > 0 det A > 0
したがって、det A > 0 \det A > 0 det A > 0 R n \mathbb{R}^n R n x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) (\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n) ( e 1 , … , e n ) det A > 0 \det A > 0 det A > 0 ▨
例 4.4.
R = ( 0 − 1 1 0 ) , H = ( − 1 0 0 1 ) R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad
H=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} R = ( 0 1 − 1 0 ) , H = ( − 1 0 0 1 ) とする。det R = 1 \det R=1 det R = 1 det H = − 1 \det H=-1 det H = − 1 §D3.4 定理 10.1 によりR R R H H H R e ⃗ 1 = e ⃗ 2 R\vec{e}_1=\vec{e}_2 R e 1 = e 2 R e ⃗ 2 = − e ⃗ 1 R\vec{e}_2=-\vec{e}_1 R e 2 = − e 1 定理 4.3 によりx ⃗ ↦ R x ⃗ \vec{x}\mapsto R\vec{x} x ↦ R x H e ⃗ 1 = − e ⃗ 1 H\vec{e}_1=-\vec{e}_1 H e 1 = − e 1 H e ⃗ 2 = e ⃗ 2 H\vec{e}_2=\vec{e}_2 H e 2 = e 2 x ⃗ ↦ H x ⃗ \vec{x}\mapsto H\vec{x} x ↦ H x 命題 4.2 (1) により( − e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ) (-\vec{e}_1,\vec{e}_2) ( − e 1 , e 2 ) ( e ⃗ 1 , e ⃗ 2 ) (\vec{e}_1,\vec{e}_2) ( e 1 , e 2 )
系 4.5. n ∈ { 2 , 3 } n\in\{2,3\} n ∈ { 2 , 3 } W : ( R n ) n → R W:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} W : ( R n ) n → R 定義 3.1 の3条件を満たす関数、A A A n n n u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ∈ R n \vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n\in\mathbb{R}^n u 1 , … , u n ∈ R n
W ( A u ⃗ 1 , … , A u ⃗ n ) = det A ⋅ W ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) W(A\vec{u}_1,\ldots,A\vec{u}_n)=\det A\cdot W(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n) W ( A u 1 , … , A u n ) = det A ⋅ W ( u 1 , … , u n ) が成り立つ。
証明. §D3.1 命題 3.5 (1) により
( A u ⃗ 1 ⋯ A u ⃗ n ) = A ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) (A\vec{u}_1\ \cdots\ A\vec{u}_n)=A(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n) ( A u 1 ⋯ A u n ) = A ( u 1 ⋯ u n ) である。定理 3.2 と§D3.4 定理 9.1 により
W ( A u ⃗ 1 , … , A u ⃗ n ) = det ( A ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) ) = det A ⋅ det ( u ⃗ 1 ⋯ u ⃗ n ) = det A ⋅ W ( u ⃗ 1 , … , u ⃗ n ) W(A\vec{u}_1,\ldots,A\vec{u}_n)
=\det\bigl(A(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n)\bigr)
=\det A\cdot\det(\vec{u}_1\ \cdots\ \vec{u}_n)
=\det A\cdot W(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_n) W ( A u 1 , … , A u n ) = det ( A ( u 1 ⋯ u n ) ) = det A ⋅ det ( u 1 ⋯ u n ) = det A ⋅ W ( u 1 , … , u n ) が成り立つ。▨
系 4.6. n ∈ { 2 , 3 } n\in\{2,3\} n ∈ { 2 , 3 } W : ( R n ) n → R W:(\mathbb{R}^n)^n\to\mathbb{R} W : ( R n ) n → R 定義 3.1 の3条件を満たす関数、A A A n n n
W ( A e ⃗ 1 , … , A e ⃗ n ) = det A W(A\vec{e}_1,\ldots,A\vec{e}_n)=\det A W ( A e 1 , … , A e n ) = det A である。n = 2 n=2 n = 2 det A \det A det A n = 3 n=3 n = 3 det A \det A det A
証明. 系 4.5 にu ⃗ j = e ⃗ j \vec{u}_j=\vec{e}_j u j = e j W ( e ⃗ 1 , … , e ⃗ n ) = 1 W(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)=1 W ( e 1 , … , e n ) = 1 ▨
例 4.7. A = ( a i j ) A = (a_{ij}) A = ( a ij ) det A = 0 \det A = 0 det A = 0 2 2 2 1 1 1 a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 2 2 2 a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2 x ⃗ ∈ R 2 \vec{x} \in \mathbb{R}^2 x ∈ R 2 1 1 1 x 1 x_1 x 1 2 2 2 x 2 x_2 x 2 §D3.1 定義 3.1 によりA x ⃗ A\vec{x} A x i i i x 1 a i 1 + x 2 a i 2 x_1 a_{i1} + x_2 a_{i2} x 1 a i 1 + x 2 a i 2 A x ⃗ = x 1 a ⃗ 1 + x 2 a ⃗ 2 A\vec{x} = x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 A x = x 1 a 1 + x 2 a 2
{ A x ⃗ ∣ x ⃗ ∈ R 2 } = { x 1 a ⃗ 1 + x 2 a ⃗ 2 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } \{A\vec{x} \mid \vec{x} \in \mathbb{R}^2\} = \{x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R}\} { A x ∣ x ∈ R 2 } = { x 1 a 1 + x 2 a 2 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } である。
a ⃗ 1 = a ⃗ 2 = 0 ⃗ \vec{a}_1 = \vec{a}_2 = \vec{0} a 1 = a 2 = 0 { 0 ⃗ } \{\vec{0}\} { 0 } O O O
a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2 0 ⃗ \vec{0} 0 a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2 a ⃗ 1 ≠ 0 ⃗ \vec{a}_1 \ne \vec{0} a 1 = 0 a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 p , q p, q p , q a ⃗ 2 \vec{a}_2 a 2 r , s r, s r , s det A = p s − q r = 0 \det A = ps - qr = 0 det A = p s − q r = 0 p ≠ 0 p \ne 0 p = 0 c = r / p c = r/p c = r / p r = c p r = cp r = c p p s = q r = c q p ps = qr = cqp p s = q r = c q p p p p s = c q s = cq s = c q q ≠ 0 q \ne 0 q = 0 c = s / q c = s/q c = s / q s = c q s = cq s = c q p s = q r ps = qr p s = q r c p q = q r cpq = qr c pq = q r q q q r = c p r = cp r = c p a ⃗ 1 \vec{a}_1 a 1 0 ⃗ \vec{0} 0 p ≠ 0 p \ne 0 p = 0 q ≠ 0 q \ne 0 q = 0 a ⃗ 2 = c a ⃗ 1 \vec{a}_2 = c\vec{a}_1 a 2 = c a 1
{ x 1 a ⃗ 1 + x 2 a ⃗ 2 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } = { ( x 1 + c x 2 ) a ⃗ 1 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } = { t a ⃗ 1 ∣ t ∈ R } \{x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R}\} = \{(x_1 + cx_2)\vec{a}_1 \mid x_1, x_2 \in \mathbb{R}\} = \{t\vec{a}_1 \mid t \in \mathbb{R}\} { x 1 a 1 + x 2 a 2 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } = {( x 1 + c x 2 ) a 1 ∣ x 1 , x 2 ∈ R } = { t a 1 ∣ t ∈ R } であり、定義 1.1 (3) により、対応する点の全体はO O O P a ⃗ 1 P_{\vec{a}_1} P a 1
いずれの場合も、S S S R 2 \mathbb{R}^2 R 2 系 4.5 により、任意のu ⃗ , v ⃗ ∈ R 2 \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^2 u , v ∈ R 2 S ( A u ⃗ , A v ⃗ ) = 0 S(A\vec{u}, A\vec{v}) = 0 S ( A u , A v ) = 0
5 演習 問題 5.1. R 3 \mathbb{R}^3 R 3
u ⃗ = ( 1 2 3 ) , v ⃗ = ( 0 1 4 ) , w ⃗ = ( 5 6 0 ) \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad
\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad
\vec{w} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} u = 1 2 3 , v = 0 1 4 , w = 5 6 0 と、R 3 \mathbb{R}^3 R 3 V V V V ( u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ) V(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) V ( u , v , w )
B = ( 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} B = 1 0 1 1 1 0 0 1 1 に対してV ( B u ⃗ , B v ⃗ , B w ⃗ ) V(B\vec{u}, B\vec{v}, B\vec{w}) V ( B u , B v , B w )
解答. 定理 3.4 によりV ( u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ) = det ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) V(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \det(\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}) V ( u , v , w ) = det ( u v w ) §D3.4 定理 4.2 の与える表示を3 3 3 3 3 3 ( c i j ) (c_{ij}) ( c ij ) c 11 c 22 c 33 + c 12 c 23 c 31 + c 13 c 21 c 32 − c 13 c 22 c 31 − c 11 c 23 c 32 − c 12 c 21 c 33 c_{11}c_{22}c_{33} + c_{12}c_{23}c_{31} + c_{13}c_{21}c_{32} - c_{13}c_{22}c_{31} - c_{11}c_{23}c_{32} - c_{12}c_{21}c_{33} c 11 c 22 c 33 + c 12 c 23 c 31 + c 13 c 21 c 32 − c 13 c 22 c 31 − c 11 c 23 c 32 − c 12 c 21 c 33 ( u ⃗ v ⃗ w ⃗ ) (\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}) ( u v w )
det ( 1 0 5 2 1 6 3 4 0 ) = 0 + 0 + 5 ⋅ 2 ⋅ 4 − 5 ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 6 ⋅ 4 − 0 = 40 − 15 − 24 = 1 \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}
= 0 + 0 + 5 \cdot 2 \cdot 4 - 5 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot 6 \cdot 4 - 0
= 40 - 15 - 24 = 1 det 1 2 3 0 1 4 5 6 0 = 0 + 0 + 5 ⋅ 2 ⋅ 4 − 5 ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 6 ⋅ 4 − 0 = 40 − 15 − 24 = 1 であるからV ( u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ) = 1 V(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 1 V ( u , v , w ) = 1 B B B
det B = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 0 − 0 − 1 ⋅ 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ⋅ 1 = 2 \det B = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 - 0 - 1 \cdot 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \cdot 1 = 2 det B = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 0 − 0 − 1 ⋅ 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ⋅ 1 = 2 である。よって系 4.5 によりV ( B u ⃗ , B v ⃗ , B w ⃗ ) = det B ⋅ V ( u ⃗ , v ⃗ , w ⃗ ) = 2 V(B\vec{u}, B\vec{v}, B\vec{w}) = \det B \cdot V(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 2 V ( B u , B v , B w ) = det B ⋅ V ( u , v , w ) = 2 ▨
問題 5.2. e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 ∈ R 3 \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \in \mathbb{R}^3 e 1 , e 2 , e 3 ∈ R 3 e ⃗ j \vec{e}_j e j j j j 1 1 1 0 0 0 ( e ⃗ 2 , e ⃗ 3 , e ⃗ 1 ) (\vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_1) ( e 2 , e 3 , e 1 ) R 3 \mathbb{R}^3 R 3 ( e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 ) (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) ( e 1 , e 2 , e 3 )
A = ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 − 1 ) A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} A = 0 1 0 − 1 0 0 0 0 − 1 について、x ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x
解答. U = ( e ⃗ 2 e ⃗ 3 e ⃗ 1 ) U = (\vec{e}_2\ \vec{e}_3\ \vec{e}_1) U = ( e 2 e 3 e 1 ) U U U 3 3 3 I I I 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 §D3.4 系 6.2 によりdet U = ( − 1 ) 2 det I = 1 \det U = (-1)^2 \det I = 1 det U = ( − 1 ) 2 det I = 1 §D3.4 定理 10.1 によりU U U ( e ⃗ 2 , e ⃗ 3 , e ⃗ 1 ) (\vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_1) ( e 2 , e 3 , e 1 ) R 3 \mathbb{R}^3 R 3 ( e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 ) = I (\vec{e}_1\ \vec{e}_2\ \vec{e}_3) = I ( e 1 e 2 e 3 ) = I P I = U PI = U P I = U P = U P = U P = U det P = 1 > 0 \det P = 1 > 0 det P = 1 > 0 ( e ⃗ 2 , e ⃗ 3 , e ⃗ 1 ) (\vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_1) ( e 2 , e 3 , e 1 ) ( e ⃗ 1 , e ⃗ 2 , e ⃗ 3 ) (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3) ( e 1 , e 2 , e 3 )
A A A 0 0 0 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) − 1 -1 − 1 ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) 1 1 1 ( 3 , 3 ) (3,3) ( 3 , 3 ) − 1 -1 − 1 §D3.4 定理 4.2 の与える表示のうち、これら3つの成分だけを因子にもつ項は、1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 − 1 -1 − 1 ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) = − 1 (-1) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-1) = -1 ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ⋅ 1 ⋅ ( − 1 ) = − 1 det A = − 1 \det A = -1 det A = − 1 §D3.4 定理 10.1 によりA A A det A < 0 \det A < 0 det A < 0 定理 4.3 によりx ⃗ ↦ A x ⃗ \vec{x} \mapsto A\vec{x} x ↦ A x ▨