§E3.40実二次形式

証明.§E3.39 命題 2.1により$q$は対称双線形形式$B_q$と一対一に対応する。§E3.39 定理 3.1により、ある基底$(e_1,\ldots,e_n)$と実数$a_1,\ldots,a_n$が存在して

となる。$a_i>0$なら$f_i=e_i/\sqrt{a_i}$、$a_i<0$なら$f_i=e_i/\sqrt{-a_i}$、$a_i=0$なら$f_i=e_i$と置く。$(f_i)$は基底であり、この基底に関する係数は$a_i$の符号に応じて$1,-1,0$になる。基底を並べ替えれば表示した形を得る。▨

証明. 一つの符号付き対角化を固定し、対応する基底を$(e_1,\ldots,e_n)$とする。

上では、$0\ne x\in V_+$に対して$q(x)>0$である。したがって

逆向きを示す。

と置くと$\dim V_{\leq0}=n-p$であり、全ての$x\in V_{\leq0}$に対して$q(x)\leq0$である。$q|_U$が正定値で$\dim U>p$なら

なので$0\ne x\in U\cap V_{\leq0}$が存在する。$x\in U$から$q(x)>0$、同時に$x\in V_{\leq0}$から$q(x)\leq0$となり矛盾する。よって$\dim U\leq p$であり、

右辺は基底に依存しないため$p$は不変である。

$-q$へ同じ議論を適用すると、負の平方の個数$r$は$-q$が正定値になる部分空間の次元の最大値として定まり、基底に依存しない。最後に$z=n-p-r$も基底に依存しない。▨

証明.$q$が正定値なら$V$自身が正定値部分空間なので、慣性法則の証明における特徴づけから$p=n$である。したがって$r=z=0$である。逆に慣性指数が$(n,0,0)$なら、符号付き対角表示は$q(x)=x_1^2+\cdots+x_n^2$であり、$x\ne0$に対して$q(x)>0$である。▨

証明. まず$S$が正定値であるとする。$1\leq k\leq n$に対し、$\mathbb R^k$を最初の$k$個の座標が張る部分空間とみなすと、$S_k$はこの部分空間への二次形式の制限を表す。したがって$S_k$も正定値である。定理 1.1によって$P^{\mathsf T}S_kP=I_k$となる可逆行列$P$が存在する。行列式を取ると

なので$\Delta_k=\det S_k>0$である。

逆に、全ての$\Delta_k$が正であると仮定し、$n$について帰納法を用いる。$n=1$では$S=(\Delta_1)$なので成立する。$n\geq2$とし、

と書く。帰納法の仮定から$S_{n-1}$は正定値であり、特に可逆である。Schur 補元

を考える。

と置いて積を計算すると

$\det L=1$なので

仮定から$\Delta_n,\Delta_{n-1}>0$であるため$s>0$である。

$x=(y,t)\in\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R$に対して平方完成すると

$x\ne0$とする。$t\ne0$なら第2項が正であり、$t=0$なら$y\ne0$なので第1項が正である。したがって$x^{\mathsf T}Sx>0$であり、$S$は正定値である。▨