§E3.9次元定理

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以下、KKを可換体、V,WV,WをKK上の線形空間、T∈Hom⁡K(V,W)T\in\operatorname{Hom}_K(V,W)とする。核の基底を定義域の基底へ延長すると、追加した基底ベクトルの像がim⁡T\operatorname{im}Tの基底になる。定義域の基底は核の基底と追加した基底に分かれるため、定義域の次元が核と像の次元の和に等しいことを証明することができる。任意次元では、この和は基数の加法である。

1 階数と退化次数

定義 1.1. 線形写像T:V→WT:V\to Wに対し、

rank⁡T=dim⁡Kim⁡T,nullity⁡T=dim⁡Kker⁡T\operatorname{rank}T=\dim_K\operatorname{im}T,\qquad \operatorname{nullity}T=\dim_K\ker T

をそれぞれTTの階数 (rank) と退化次数 (nullity) という。

補題 1.2.B0B_0をker⁡T\ker Tの基底とし、B0∪B1B_0\cup B_1をVVの基底へ延長したとする。このとき

T(B1)={T(v):v∈B1}T(B_1)=\{T(v):v\in B_1\}

はim⁡T\operatorname{im}Tの基底である。

証明. まず生成性を示す。任意のy∈im⁡Ty\in\operatorname{im}Tをy=T(x)y=T(x)と書く。B0∪B1B_0\cup B_1はVVの基底なので、有限個の元を用いて

x=∑u∈B0auu+∑v∈B1bvvx=\sum_{u\in B_0}a_uu+\sum_{v\in B_1}b_vv

と書くことができる。T(u)=0T(u)=0なのでy=∑v∈B1bvT(v)y=\sum_{v\in B_1}b_vT(v)となり、T(B1)T(B_1)は像を生成する。

次に一次独立性を示す。相異なるv1,…,vm∈B1v_1,\ldots,v_m\in B_1について∑iciT(vi)=0\sum_i c_iT(v_i)=0とする。このときT(∑icivi)=0T(\sum_i c_iv_i)=0なので∑icivi∈ker⁡T=span⁡B0\sum_i c_iv_i\in\ker T=\operatorname{span}B_0である。したがってある有限一次結合∑jajuj\sum_ja_ju_jに対して

∑icivi−∑jajuj=0\sum_i c_iv_i-\sum_ja_ju_j=0

となる。B0∪B1B_0\cup B_1は一次独立なので、全てのcic_iは零である。よってT(B1)T(B_1)は一次独立であり、像の基底である。▨

定理 1.3 (次元定理).KKを可換体、V,WV,WをKK上の線形空間、T∈Hom⁡K(V,W)T\in\operatorname{Hom}_K(V,W)とする。このとき、基数の等式

dim⁡KV=dim⁡Kker⁡T+dim⁡Kim⁡T\dim_KV=\dim_K\ker T+\dim_K\operatorname{im}T

が成り立つ。VVが有限次元なら、自然数の等式として

dim⁡KV=nullity⁡T+rank⁡T\dim_KV=\operatorname{nullity}T+\operatorname{rank}T

と書くことができる。

証明.ker⁡T\ker Tの基底B0B_0をVVの基底B0∪B1B_0\cup B_1へ延長する。補題 1.2によりT(B1)T(B_1)はim⁡T\operatorname{im}Tの基底である。したがって

dim⁡V=∣B0⊔B1∣=∣B0∣+∣B1∣=dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T.\dim V=|B_0\sqcup B_1|=|B_0|+|B_1| =\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T.

この等式は有限の場合には自然数の加法であり、無限の場合には基数の加法である。▨

無限基数κ\kappaについてはκ+1=κ\kappa+1=\kappaとなる場合がある。そのため、無限次元ではdim⁡im⁡T=dim⁡V−dim⁡ker⁡T\dim\operatorname{im}T=\dim V-\dim\ker Tという減法を一般には定義することができない。

系 1.4.V,WV,Wを同じ有限次元をもつ線形空間とし、T:V→WT:V\to Wを線形写像とする。このとき、次の条件は同値である。

  1. TTは単射である。
  2. TTは全射である。
  3. TTは同型である。

証明.TTが単射ならdim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0なので、次元定理からdim⁡im⁡T=dim⁡V=dim⁡W\dim\operatorname{im}T=\dim V=\dim Wとなる。WWの部分空間im⁡T\operatorname{im}TがWWと同じ有限次元をもつためim⁡T=W\operatorname{im}T=Wであり、TTは全射である。

TTが全射ならdim⁡im⁡T=dim⁡W=dim⁡V\dim\operatorname{im}T=\dim W=\dim Vなので、次元定理からdim⁡ker⁡T=0\dim\ker T=0となり、TTは単射である。単射かつ全射であることは同型の定義である。▨

2 完全列の次元

定理 2.1. 短完全列

0⟶U→iV→pW⟶00\longrightarrow U\xrightarrow{i}V\xrightarrow{p}W\longrightarrow0

に対して、基数の等式

dim⁡V=dim⁡U+dim⁡W\dim V=\dim U+\dim W

が成り立つ。三つの空間が有限次元なら、これは非負整数の通常の加法である。

証明.ppは全射なのでim⁡p=W\operatorname{im}p=Wであり、完全性からker⁡p=im⁡i\ker p=\operatorname{im}iである。iiは単射なのでi:U→im⁡ii:U\to\operatorname{im}iは同型であり、dim⁡ker⁡p=dim⁡U\dim\ker p=\dim Uとなる。次元定理をp:V→Wp:V\to Wに適用すると

dim⁡V=dim⁡ker⁡p+dim⁡im⁡p=dim⁡U+dim⁡W\dim V=\dim\ker p+\dim\operatorname{im}p=\dim U+\dim W

を得る。▨

系 2.2. 部分空間U⊆VU\subseteq Vについて

dim⁡V=dim⁡U+dim⁡(V/U)\dim V=\dim U+\dim(V/U)

が基数の等式として成り立つ。VVが有限次元ならdim⁡(V/U)=dim⁡V−dim⁡U\dim(V/U)=\dim V-\dim Uである。

証明.§E3.7 例 1.4の短完全列に定理 2.1を適用する。有限次元の場合には全ての次元が自然数なので、等式を自然数の減法によって書き直すことができる。▨

例 2.3 (行列の核・像・余核).T:R4→R3T:\mathbb R^4\to\mathbb R^3の表現行列を

A=(101001100000)A=\begin{pmatrix} 1&0&1&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}

とする。第一列と第二列は一次独立で、第三列はその和、第四列は零なのでrank⁡T=2\operatorname{rank}T=2である。次元定理からdim⁡ker⁡T=4−2=2\dim\ker T=4-2=2となる。実際、ker⁡T\ker Tは(−1,−1,1,0)T(-1,-1,1,0)^{\mathsf T}と(0,0,0,1)T(0,0,0,1)^{\mathsf T}が張る。また

coker⁡T=R3/im⁡T,dim⁡coker⁡T=3−2=1\operatorname{coker}T=\mathbb R^3/\operatorname{im}T,\qquad \dim\operatorname{coker}T=3-2=1

であり、像im⁡T\operatorname{im}Tは終域R3\mathbb R^3の余次元11の部分空間である。

3 演習

問題 3.1 (次元定理の証明確認).補題 1.2でT(B1)T(B_1)の一次独立性を示す際に、単にB1B_1の一次独立性を用いるだけでは不十分である理由と、核の基底B0B_0を合わせて用いる一手を述べよ。

解答.

一般の線形写像は一次独立な集合を一次独立な集合へ送るとは限らず、像の一次関係は元の一次結合が核に入ることしか意味しない。∑iciT(vi)=0\sum_i c_iT(v_i)=0から∑icivi∈ker⁡T=span⁡B0\sum_i c_iv_i\in\ker T=\operatorname{span}B_0とし、B0B_0の一次結合を移項する。得られたB0∪B1B_0\cup B_1上の一次関係に基底の一次独立性を適用すると、全てのcic_iが零になる。▨

参考文献

  1. Paul R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, 2nd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 1974, originally published 1958.次元定理と有限次元完全列の次元加法性を参考にした。
  2. Nicolas Bourbaki, Algebra I, Chapters 1–3, Elements of Mathematics, Springer, Berlin, 1989.任意基数の次元と線形写像の核・像の基底を参考にした。

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