§E3.1可換体

証明.(1)を示す。$0$と$0'$がともに (F3) の条件を満たすとする。$0'$についての (F3) を$x = 0$に適用すると$0 + 0' = 0$である。一方、(F2) により$0 + 0' = 0' + 0$であり、$0$についての (F3) を$x = 0'$に適用すると$0' + 0 = 0'$である。よって$0 = 0'$である。次に$1$と$1'$がともに (F7) の条件を満たすとする。$1'$についての (F7) を$x = 1$に適用すると$1'1 = 1$であり、$1$についての (F7) を$x = 1'$に適用すると$11' = 1'$である。(F6) により$1'1 = 11'$であるから$1 = 1'$である。

(2)を示す。$y$と$y'$がともに$x + y = 0$、$x + y' = 0$を満たすとする。(F3)、(F1)、(F2) を順に用いて

を得る。次に$x \ne 0$とし、$y$と$y'$がともに$xy = 1$、$xy' = 1$を満たすとする。(F7)、(F6)、(F5) を用いて

を得る。

(3)を示す。(F3) により$0 = 0 + 0$であるから、(F6) と (F9) により$0x = x(0 + 0) = x0 + x0 = 0x + 0x$が成り立つ。(F4) により$0x + w = 0$を満たす$w \in K$が存在する。この$w$を用いると、(F1) と (F3) により

となる。

(4)を示す。(F9) と (F6) から、任意の$a, b, y \in K$について$(a + b)y = y(a + b) = ya + yb = ay + by$が成り立つ。これを$a = -x$、$b = x$に適用すると、(F2) と加法についての逆元の定義により$(-x) + x = x + (-x) = 0$であるから、(3)を用いて

となる。したがって$(-x)y$は$xy$の加法についての逆元であり、(2)の一意性により$(-x)y = -(xy)$である。$x = 1$とすると、(F7) により$1y = y$であるから$(-1)y = -y$である。

(5)を示す。$xy = 0$かつ$x \ne 0$とする。(F8) と(2)により$x^{-1}$が存在する。(F6) により$x^{-1}x = xx^{-1} = 1$であるから、(F7)、(F5)、(3)を用いて

を得る。よって$y = 0$である。

(6)を示す。$x_0 = a^{-1}b$とおくと、(F5) と$a^{-1}$の定義、(F7) により$ax_0 = a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = 1b = b$である。次に$x$と$x'$がともに$ax = b$、$ax' = b$を満たすとする。(4)と (F6) により$a(-x') = (-x')a = -(x'a) = -(ax')$であるから、(F9) により

である。$a \ne 0$であるから、(5)により$x - x' = 0$である。両辺に$x'$を加え、(F1)、(F2)、(F3) を用いると

を得る。▨

証明. 集合$T = \{\, a - qd \mid q \in \mathbb{Z} \,\}$は正の整数を含む。実際、$q = -\lvert a \rvert - 1$と取ると、$d \ge 1$により$(\lvert a \rvert + 1)d \ge \lvert a \rvert + 1$であるから$a - qd = a + (\lvert a \rvert + 1)d \ge a + \lvert a \rvert + 1 \ge 1$である。整列性（注意 2.3）により、$T$に含まれる正の整数のうち最小のものが存在する。その最小の元を$m = a - q_0 d$とする。

$m > d$と仮定すると、$m - d = a - (q_0 + 1)d$は$T$に含まれる正の整数であり、$m$より小さいので、$m$の最小性に反する。よって$0 < m \le d$である。$m = d$の場合は$a = (q_0 + 1)d + 0$であるから、$q = q_0 + 1$、$r = 0$が条件を満たす。$m < d$の場合は$q = q_0$、$r = m$が条件を満たす。▨

証明. 代表元によらないことを示す。$a \equiv a'$、$b \equiv b' \pmod n$とすると、$a - a'$と$b - b'$はいずれも$n$の倍数である。このとき

はいずれも$n$の倍数であるから、$[a + b] = [a' + b']$かつ$[ab] = [a'b']$である。よって二つの式は剰余類の代表元によらずに定まる。

(F1) は、整数の和の結合法則により

と確かめることができる。(F2)、(F5)、(F6)、(F9) も、整数の対応する法則から同じ計算によって従う。 (F3) は$[0]$が満たす。実際$[a] + [0] = [a + 0] = [a]$である。(F4) については$[a] + [-a] = [a + (-a)] = [0]$であるから$[-a]$が条件を満たす。また$[1][a] = [1 \cdot a] = [a]$である。

元の個数を数える。任意の整数$a$に対して、補題 2.4により$a = qn + r$、$0 \le r < n$を満たす整数$q, r$が存在し、$a - r = qn$であるから$[a] = [r]$である。したがって$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \dots, [n-1]\}$である。さらに$0 \le r < s < n$について$[r] = [s]$が成り立つとすると$s - r$は$n$の倍数となるが、$0 < s - r < n$であるから$s - r$は$n$の倍数ではない。よって列挙した$n$個の剰余類は互いに異なり、元の個数は$n$である。

最後に、$[1] = [0]$が成り立つことは、$1 - 0 = 1$が$n$の倍数であること、すなわち$n = 1$と同値である。よって$n \ge 2$であることと$[1] \ne [0]$は同値であり、このとき上で確かめたことと合わせて、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は (F1) から (F7) までと (F9) を満たす。▨

証明. 集合$S = \{\, ua + vp \mid u, v \in \mathbb{Z} \,\}$を考える。$a$は$p$の倍数でないから$a \ne 0$であり、$a \in S$かつ$-a \in S$であるから、$S$は正の整数を含む。整列性（注意 2.3）により、$S$に含まれる正の整数のうち最小のものが存在する。その最小の元を$d = u_0 a + v_0 p$とする。

$d$が$a$を割ることを示す。補題 2.4により、$a = qd + r$、$0 \le r < d$を満たす整数$q, r$が存在する。このとき

であるから$r \in S$である。$0 < r$とすると$r$は$d$より小さい$S$の正の元となり、$d$の最小性に反する。よって$r = 0$、すなわち$d$は$a$を割る。同じ議論を$p$について行うと、$d$は$p$を割る。

$d$は正であり$p$を割るから、$p$が素数であることにより$d = 1$または$d = p$である。$d = p$とすると、$d$が$a$を割ることから$p$が$a$を割ることになり、仮定に反する。よって$d = 1$であり、$u = u_0$、$v = v_0$が求める整数である。▨

証明.$p$は素数であるから$p \ge 2$であり、命題 2.6により (F1) から (F7) までと (F9) が成り立ち、元の個数は$p$である。残るのは (F8) である。

$[a] \ne [0]$とする。すなわち$a$は$p$の倍数でない。補題 2.7により$ua + vp = 1$を満たす整数$u, v$が存在する。このとき$ua - 1 = -vp$は$p$の倍数であるから$[u][a] = [ua] = [1]$であり、(F6) により$[a][u] = [1]$である。よって$[u]$が (F8) の条件を満たす。▨

証明.$n = \operatorname{char} K > 0$とする。(F7) により$1 \ne 0$、すなわち$1 \cdot 1 = 1 \ne 0$であるから$n \ne 1$であり、$n \ge 2$である。

はじめに、任意の正の整数$s, t$について

が成り立つことを示す。第一の等式は$t$についての帰納法による。$t = 1$の場合は定義 3.1の定義そのものである。$t$で成り立つとすると、(F1) により$(s\cdot1) + ((t+1)\cdot1) = (s\cdot1) + (t\cdot1 + 1) = ((s\cdot1) + (t\cdot1)) + 1 = (s+t)\cdot1 + 1 = (s+t+1)\cdot1$である。第二の等式も$t$についての帰納法による。$t = 1$の場合は (F6) と (F7) により$(s\cdot1)(1\cdot1) = (s\cdot1)\cdot1 = 1\cdot(s\cdot1) = s\cdot1$である。$t$で成り立つとすると、(F9)、(F6)、(F7)、および第一の等式により

である。

$n$が素数でないと仮定する。$n \ge 2$であるから、$n = ab$、$1 < a < n$、$1 < b < n$を満たす正の整数$a, b$が存在する。上で示した第二の等式により$(a\cdot1)(b\cdot1) = (ab)\cdot1 = n\cdot1 = 0$である。命題 1.3 (5)により$a \cdot 1 = 0$または$b\cdot1 = 0$であるが、$1 < a < n$かつ$1 < b < n$であるから、いずれの場合も$n$が最小であることに反する。よって$n$は素数である。▨

証明.(1)を示す。定義 3.1により$2 \cdot 1 = 1\cdot1 + 1 = 1 + 1$である。$\operatorname{char}K = 2$とすると$2\cdot 1 = 0$、すなわち$1 + 1 = 0$である。逆に$1 + 1 = 0$とすると、$2\cdot1 = 0$であり、また (F7) により$1\cdot1 = 1 \ne 0$であるから、$n\cdot1 = 0$を満たす最小の正の整数は$2$である。

(2)を示す。(F6) と (F9) から得られる$(a + b)x = ax + bx$を$a = b = 1$に適用し、(F7)、(1)、および命題 1.3 (3)を用いると

である。

(3)を示す。(1)により$2\cdot1 = 0$である。$0$が乗法についての逆元をもつと仮定すると、$0y = 1$を満たす$y$が存在することになるが、命題 1.3 (3)により$0y = 0$であるから$1 = 0$となり、(F7) に反する。

(4)を示す。(1)の対偶により、$\operatorname{char}K \ne 2$ならば$1 + 1 \ne 0$、すなわち$2\cdot1 \ne 0$である。(F8) により$(2\cdot1)^{-1}$が存在する。▨

証明.(1)を示す。$A = (a_{ij})$、$B = (b_{jk})$、$C = (c_{kl})$とする。(F9) により有限和とスカラーの積を展開することができ、(F1) と (F2) により有限和の順序を入れ替えることができるので、

である。(F5) により各項が一致し、(F1) と (F2) により二重和の順序を入れ替えることができるので、両者は等しい。

(2)を示す。この主張は、(F9) と (F6) から得られる二つの分配法則を各成分へ適用したものである。

(3)を示す。まず、任意の$x \in R$について$0x = 0$が成り立つ。実際、(F3) により$0 = 0 + 0$であるから、(F6) と (F9) により$0x = x(0 + 0) = x0 + x0 = 0x + 0x$であり、(F4) により$0x + w = 0$を満たす$w \in R$が存在するので、(F1) と (F3) により$0 = 0x + w = (0x + 0x) + w = 0x + (0x + w) = 0x + 0 = 0x$である。$(I_m A)_{ij} = \sum_{k} (I_m)_{ik} a_{kj}$であり、$(I_m)_{ii} = 1$、$k \ne i$のとき$(I_m)_{ik} = 0$である。上で示したことと (F3) により$k \ne i$の項の和は$0$であり、(F7) により残る項は$a_{ij}$である。よって$I_m A = A$である。$A I_n = A$も同様である。

(4)を示す。$B$と$B'$がともに条件を満たすとする。(3)と(1)により

である。▨

証明.$x \in K^n$が$Ax = b$を満たすとする。(R1) は等式の並び順だけを変える。(R2) と (R3) の後の各行が表す等式は、$Ax = b$の行が表す等式のスカラー倍、または二つの行が表す等式のスカラー倍どうしの和であるから、$x$はそれらも満たす。したがって$Ax = b$の解は$A'x = b'$の解である。