§E3.30行列関数

証明.$\lambda I$は全ての自己準同型と可換するので、二項定理から

を得る。$k\geq m$なら$N^k=0$であるため、非零になり得る項の範囲を$0\leq k\leq\min(n,m-1)$に制限することができる。▨

証明. 表現行列を取る操作は積を保つので、$[T^n]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal B}^n$である。ブロック対角行列の積は対応するブロックごとの積であるため、右辺の表示を得る。▨

証明. 可換する自己準同型$S$と$R$に対し、絶対収束する級数の Cauchy 積と二項定理から

を得る。$S=t\lambda I$、$R=tN$とすれば

となる。最後の等式では$N^k=0\ (k\geq m)$を用いた。▨

証明. 有限区間上では指数級数と項別微分した級数が一様収束するので、

である。また$e^{0A}=I$なので、$e^{tA}x_0$は初期値問題を満たす。

$y$を別の解とすると、指数法則により$e^{-tA}e^{tA}=I$であり、

となる。したがって$e^{-tA}y(t)$は定数で、その値は$y(0)=x_0$である。両辺へ$e^{tA}$を掛けると$y(t)=e^{tA}x_0$を得る。$A,x_0$が実なら指数級数の全ての項が実である。▨

証明.$q_i(t)=\sum_{k=0}^{m_i-1}\dfrac{c_{i,k}}{k!}(t-\lambda_i)^k$と置く。この多項式は$q_i^{(k)}(\lambda_i)=c_{i,k}$（$0\leq k<m_i$）を満たす。多項式$a_i=(t-\lambda_i)^{m_i}$は二つずつ互いに素である。$A_i=\prod_{j\ne i}a_j$とすれば$\gcd(A_i,a_i)=1$なので、Bézout の等式から$u_iA_i+v_ia_i=1$を満たす多項式$u_i,v_i$が存在する。

と置く。$a_i$を法として見ると、$i$番目以外の項は$a_i$で割り切れ、$u_iA_i\equiv1$であるから$p\equiv q_i\pmod{a_i}$となる。この合同は、$\lambda_i$における$m_i-1$階までの導関数が一致することと同値である。

$p$と$p'$が同じ条件を満たすなら、$p-p'$は各$a_i$で割り切れる。$a_i$は二つずつ互いに素なので、その積$m_T$で割り切れる。最小多項式の定義から$(p-p')(T)=0$であり、$p(T)=p'(T)$を得る。▨

証明.命題 3.1の補間多項式を$p$とする。多項式の Taylor 展開は有限なので

$N^m=0$であるため$k\geq m$の項は消える。残る係数は補間条件により$p^{(k)}(\lambda)=f^{(k)}(\lambda)$である。▨

証明.$A$の Jordan ブロック$J_m(\lambda)=\lambda(I+X)$を一つ取る。可逆性から$\lambda\ne0$であり、$X=N/\lambda$は$X^m=0$を満たす。

$e^\mu=\lambda$を満たす$\mu\in\mathbb C$を一つ選び、

と置く。形式冪級数の恒等式$\exp(\log(1+z))=1+z$を$z^m$を法として用いると、$X^m=0$により$e^{L_{\lambda,m}}=\lambda(I+X)=J_m(\lambda)$となる。この形式冪級数の計算は、各係数を次数$m-1$まで比較する有限個の等式である。

次に$\nu^2=\lambda$を満たす$\nu\in\mathbb C$を一つ選び、

と置く。形式冪級数の恒等式$\bigl(\sum_{k\geq0}\binom{1/2}{k}z^k\bigr)^2=1+z$を$z^m$を法として用いると、$R_{\lambda,m}^2=J_m(\lambda)$を得る。

全 Jordan ブロックについて構成した$L_{\lambda,m}$と$R_{\lambda,m}$をブロック対角に並べ、Jordan 基底から元の基底へ戻せば$L$と$R$を得る。▨