§E3.22最小多項式

証明.§E3.21 定理 2.1により$\chi_T\ne0$は$\chi_T(T)=0$を満たすので、$\operatorname{Ann}(T)$は零でない。零でない零化多項式のうち次数が最小であるものを取り、最高次係数で割ってモニックにしたものを$m$とする。

$p(T)=0$とし、多項式の除法で$p=qm+r$、$\deg r<\deg m$と書く。作用素へ評価すると$0=p(T)=q(T)m(T)+r(T)=r(T)$となる。$r\ne0$なら、最高次係数で割ることにより$m$より低い次数のモニック零化多項式を得て最小性に反する。したがって$r=0$であり、$m\mid p$である。逆に$m\mid p$なら積の評価から$p(T)=0$となる。よって$\operatorname{Ann}(T)=(m)$である。二つのモニック生成元は互いに割り合い、最高次係数も同じなので一致する。▨

証明. Cayley–Hamilton の定理により$\chi_T(T)=0$である。命題 1.2の割り切り条件を$p=\chi_T$に適用する。▨

証明.系 1.3により$m_T(\lambda)=0$なら$\chi_T(\lambda)=0$である。§E3.20 命題 3.1により、$\chi_T(\lambda)=0$と$\lambda$が固有値であることは同値である。最後に$\lambda$を固有値とし、$0\ne v$を対応する固有ベクトルとする。任意の多項式$p$について$p(T)v=p(\lambda)v$である。$p=m_T$とすると左辺は零なので$m_T(\lambda)v=0$となり、$v\ne0$から$m_T(\lambda)=0$を得る。▨

証明.$V=\{0\}$なら$m_T=1$であり、係数拡大後も零空間なので主張は成立する。以下、$V\ne\{0\}$とする。$d=\deg m_T$とする。$m_T(T_L)=0$なので、$m_{T_L}$の次数は$d$以下である。一方、$I,T,\ldots,T^{d-1}$は$K$上で一次独立である。もし非自明な関係があれば、次数が$d$未満の非零零化多項式が得られ、$m_T$の最小性に反する。

基底を選んで各$T^j$を$K^{n^2}$の列ベクトルとみなす。$K$成分の列ベクトルが$K$上で一次独立なら、それらを列に並べた行列は階数$d$の小行列式をもつ。その小行列式は$K$の非零元であり、$L$でも非零である。したがって同じ列は$L$上でも一次独立である。よって$I,T_L,\ldots,T_L^{d-1}$は$L$上で一次独立であり、$T_L$には次数$d$未満の非零零化多項式がない。$m_{T_L}$と$m_T$はともに次数$d$のモニック零化多項式なので一致する。

$L$上で定理 2.1の証明を$T_L$に適用し、§E3.20 命題 3.3と上の等式を用いれば、$L$に属する根についても同じ同値を得る。▨

証明.$p(T|_{C_v})=0$であるための必要十分条件は、$C_v$の生成元$v$に対して$p(T)v=0$であることである。実際、後者が成り立てば任意の$q(T)v\in C_v$について$p(T)q(T)v=q(T)p(T)v=0$となる。§E3.18 命題 3.3により$p(T)v=0$であるための必要十分条件は$c_v\mid p$なので、$c_v$は制限の最小多項式である。$m_T(T)v=0$であるから同じ割り切り条件により$c_v\mid m_T$となる。▨

証明. 多項式$p$が$T$を零化するための必要十分条件は$p(T)v_i=0$が全ての基底ベクトルについて成り立つことである。各$i$について、この条件は$c_{v_i}\mid p$と同値である。したがって零化多項式全体は、全ての$c_{v_i}$の公倍多項式全体であり、そのモニック最小次数の元は最小公倍多項式である。零化イデアルのモニック生成元の一意性から表示式を得る。▨

証明.$V=\{0\}$では$m_T=1$は空積であり、空基底によって$T$は対角表示をもつ。以下、$V\ne\{0\}$とする。$T$が対角化可能とし、相異なる固有値を$\lambda_1,\ldots,\lambda_r$とする。固有ベクトル基底上では$\prod_i(T-\lambda_iI)=0$なので、$m_T$は$\prod_i(t-\lambda_i)$を割る。一方、定理 2.1により各$\lambda_i$は$m_T$の根である。したがって$m_T=\prod_i(t-\lambda_i)$である。

逆に表示した分解を仮定する。

とおく。$\sum_ie_i(t)$は次数が$r$未満で、各$\lambda_k$で値$1$を取るため、相異なる$r$個の根をもつ多項式$\sum_ie_i(t)-1$は零多項式である。したがって$I=\sum_ie_i(T)$である。任意の$v\in V$を$v=\sum_iv_i$、$v_i=e_i(T)v$と分けると

したがって各$v_i$は$\lambda_i$の固有空間に属する。$V$は固有空間の和で生成されるので、各固有空間の基底を合わせると固有ベクトル基底を得る。よって$T$は対角化可能である。▨